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法向量详解


专题:法向量的详解
高中数学法向量的定义: 如果向量 a ? 平面 ? , 那么向量 a 叫做平面 ? 的 法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍,其实 灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离” 、 “求异面直线间的距离” 、 “求直线与平面所成的角” 、 “求二面角的大 小” 、 “证明两平面平行或垂直”等是比较简便的,现介绍如下:



一、求点到平面的距离 设 A 是平面 ? 外一点, AB 是 ? 的一条斜 线,交平面 ? 于点 B,而 n 是平面 ? 的法向量,
α B θ h

A

n

那么向量 BA 在 n 方向上的正射影长就是点 A 到平面α 的距离 h, 所以
h ? BA ? cos BA,n ? BA ? n n



例 1: 已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 B1C1 和 C1D1 的中点,求点 A1 到平面 DBEF 的 距离。 解:如图建立空间直角坐标系,
DB =(1,1,0)
A1 z D1 F B1 D A x B E C1

, DF =(0, ,1) , DA1 =

1 2

C y

(1,0,1) 设平面 DBEF 的法向量为 n =(x,y,z) , 则有:

1

-

-

x? y ?0 ? ?n ? DB ? 0 ,即 ? ? ? ?1 y?z ?0 ? ? ?n ? DF ? 0 ?2

令 x ? 1,y ? ?1,z ? ,
n ? DA1 n ?1

1 2

取 n =(1,-1, ) ,则 A1 到平面 DBEF 的距离 h ?

1 2

注:此题 A1 在平面 DBEF 的射影难以确定,给求解增加难度,若利用 (※)式求解,关键是求出平面 DBEF 的法向量。法向量的求解有多 种,根据线面垂直的判定定理,设 n =(x,y,z) ,通过建立方程组求 出一组特解。

二、求异面直线间的距离 假设异面直线 a 、b ,平移直线 a 至 a? ,且交 b 于点 A,那么直线 a? 和
b 确定平面 ? ,且直线 a ∥ ? ,设 n 是平面 ? 的法向量,那么 n ⊥ a ,n

⊥ b 。所以异面直线 a 和 b 的距离可以转化为求直线 a 上任一点到平 面 ? 的距离,方法同例 1。 结论:l1 , l2 是两条异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任 一点, d 为 l1 , l2 间的距离,则 d ? | CD ? n | 。
|n|

例 2: 已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1, 求直线 DA1 和 AC 间的距离。
A1 D1

z C1 B1 D A x B C y

解:如图建立空间直角坐标系, 则 AC =(-1,1,0) , DA1 =(1,0,1) 连接 A1C1 ,则 A1C1 // AC , 设平面 A1C1 D 的法向量为
2

-

-

n ? ( x,y,z) ,



? ?n ? AC ? 0 ? ? ?n ? DA1 ? 0

,解得 n =(1,1,-1) ,又 AA1 =(0,0,1)

所以点 A 到平面 A1C1D 的距离为 h ? 距离为
3 。 3

AA1 ? n n

?

3 3

,即直线 DA1 和 AC 间的

注:这道题若用几何推理,需连结 D1B,交△DA1C1 和△B1CA 分别为 E、F,并证明△D1DE≌△B1BE,且 EF 恰好等于 DA1 和 AC 的公垂线 段长而且三等分线段 D1B,进而求解 EF,解题过程几经转化,还需添 加大量辅助线,不如用法向量求解更直接简便。

三、求直线与平面所成的角 直线 AB 与平面 ? 所成的角θ 可看成是向量 AB 与平面 ? 的法向量
n 所成的锐角的余角,所以有 sin ? ? cos AB,n ?
AB ?n AB ? n



例 3: 已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 是 A1B1 的中点, 求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角。 解:如图建立空间直角坐标系, , AD1 =(-1,0,1) , AE AB =(0,1,0) =(0, 1 ,1)
2

z D1 A1 E B1 C1

D
A

C B y

x

A

设平面 ABC1D1 的法向量为 n =(x,y,z),

3

-

-

由? ?

?n ? AB ? 0 ? ?n ? AD1 ? 0

可解得 n =(1,0,1)
AE ? n AE ? n ? 10 5

设直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角为 θ ,则 sin ? ?
?? ? arcsin 10 5



四、求二面角的大小 若 n? 、n ? 分别为平面 ? , ? 的法向量,则二面 角 ? ? l ? ? 的平面角, ? ? arccos 角) 。
n? ? n? n? ? n?

A

(或者其补

α

C D l B β

例 4:已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,求平面 A1BC1 与平 面 ABCD 所成的二面角的大小。 解:如图建立空间直角坐标系, A1C1 =(-1,1,0) , A1 B =(0,1, -1) 设 n1 、 n2 分 别 是 平 面 A1BC1 与 平 面 ABCD 的法向量,
n1 ? A1 B ? 0 由? ? ? ? ?n1 ? A1C1 ? 0
A1 z D1 B1 D C y x B C1

可解得 ? ?

?n1 ? (1,1,1) ? ?n2 ? (0,0,1)

A

所以, cos n1 , n2

?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

3 3
3 3

所以平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的二面角大小为 arccos
? ? arccos
3 。 3
4 -



注:用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的 方向,取的方向不同求 出来的角度当然就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际 形态确定其大小。

五、证明两平面平行或垂直 ①若α ∥β , 则 n? ∥ n ? ;反之也成立。 ②若α ⊥β , 则
n?

⊥ n ? ;反之也成立。

例 5:已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、M 分别是 A1C1、A1D 和 B1A 上任一点,求证:平 面 A1EF∥平面 B1MC。 证明:如图建立空间直角坐标系, 则 A1C1 =(-1,1,0) , B1C =(-1, 0,-1) , A1 D =(1,0,1) 1,-1) 设 A1 E ? ? A1C1 , A1 F ? ? A1 D , B1M ? ? B1 A ( ? 、 ? 、 且均不为 0) 设 n1 、 n2 分别是平面 A1EF 与平面 B1MC 的法向量, 由? ? 1)
?n1 ? A1 E ? 0 ? ?n1 ? A1 F ? 0
x A A1 F D B M C D1 z E B1 y C1

B1 A =(0,-

? ?R ,

,可得 ? ?

?n1 ? ? A1C1 ? 0 ? ?n2 ? ? A1 D ? 0

,即 ? ?

?n1 ? A1C1 ? 0 ? ?n2 ? A1 D ? 0

解得: n1 =(1,1,-

5

-

-

由? ?

?n2 ? B1 M ? 0 ? ?n2 ? B1C ? 0

,可得 ? ?

?n2 ?? B1 A ? 0 ? ?n2 ? B1C ? 0

,即 ? ?

?n2 ? B1 A ? 0 ? ?n2 ? B1C ? 0

解得 n2 =(-1,1,

-1) , 所以 n1 ? ?n2 , n1 // n2 ,所以平面 A1EF∥平面 B1MC。

注:如果求证的是两个平面垂直,可以求出两个平面的法向量,利用
n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0 来证明。

利用法向量来解决上述五种立体几何题目, 最大的优点就是不用象 在进行几何推理时那样去确定垂足的位置,完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性,高中阶段用代数推理解立体几何题目,关键 就是得建立空间直角坐标系,把向量通过坐标形式表示出来,所以能 用这种方法解题的立体几何模型一般都是如:正(长)方体、直棱柱、 正棱锥等。

例 5 如图 4,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD= AA1 =1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动。 (Ⅰ)证明: D1E ? A1D ; (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到
ACD1 的距离;
A1 A x D D1

z C1 B1 E B C y

面 图4
? 4

(Ⅲ)AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 。 分析 本题是立体几何试题的常见题型,考查的是传统内容。证线线 垂直,求点到平面的距离,求二面角的大小,可用传统的几何方法求
6 -

解,也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。 解: 建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AE ? a , 则 A11 ( , 0 1 ,)
E (1, a, 0) , A(1, 0, 0) , C (0, 2,0) 。

,D1 (0,0,1) ,

(Ⅰ)证明:由 DA1 ? (1,0,1) , D1E ? (1, a ?1, ?1) ,
DA1 ? D1E ? (1,0,1) ? (1, a ?1, ?1) ? 1?1 ? 0 ,有 DA1 ? D1E ,于是 D1E ? A1D 。

(Ⅱ) E 是 AB 的中点,得 E (1,1, 0) ,? D1E ? (1,1, ?1) , AC ? (?1, 2,0) ,
AD1 ? (?1,0,1) 。

设平面 ACD1 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,单位法向量为 n0 ,
? n ? AC ? 0 ? ?( x, y,1) ? (?1, 2, 0) ? 0 ? ?? x ? 2 y ? 0 ,解得 ? 由? ? ? ? ? ? ? n ? AD1 ? 0

?( x, y,1) ? (?1, 0,1) ? 0

?? x ? 1 ? 0

?x ? 1 1。 y? ? ? 2

1 (1, ,1) 1 2 1 2 2 于是 n ? (1, ,1) ,有 n0 ? ? ( , , )。 2 3 3 3 1 1? ?1 4

设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,则 d ? 所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 。 (Ⅲ)平面 。 n2 ? ( x, y, 1 ) 又 EC ? (?1, 2 ? a,0) , D1C ? (0,2, ?1) 。
?n2 ? EC ? 0 ,得 ?( x, y,1) ? (?1, 2 ? a, 0) ? 0 由? ? ? ? ?n2 ? D1C ? 0
?( x, y,1) ? (0, 2, ?1) ? 0
a ? x ? 1? ? ?? x ? y (2 ? a) ? 0 2 ,解得 ? ?? ? 2 y ? 1 ? 0 1 ? ?y ? ? ? 2

2 1 2 1 D1 E ? n0 ? (1,1, ?1) ? ( , , ) ? 3 3 3 3

1 3

DEC

的 法 向 量 n1 ? ( 0 , 0 , 1 , ) 设 平 面 D1 E C 的 法 向 量

,于是 n2 ? (1 ?
?

a 1 , ,1) 。 2 2

设所求的二面角为 ? ,则 ? ? ,有
4
7 -

cos ? ? cos ? DD1 , n2 ??

(0, 0,1) ? (1 ?

a 1 , ,1) 2 2 2 ? 2 a 1 (1 ? )2 ? ? 1 2 4

,得

(1 ?

a 2 1 ) ? ? ?1 2 4

2 解 得 。

a ? 2? 3,

所以,当 AE= 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 。 例6 如图 5,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,
z

? 4

例7

PD ? 底面

ABCD,AD=PD,E,F 分别 CD、PB 的
x C F E

P

中点。 (Ⅰ)求证:EF ? 平面 PAB;

D A

(Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大 图 5 分析:本题考查的是立体几何的重点内容:直线与平面 垂直和直线与平面所成的角,考查空间想像能力和推理 论证能力,本题也是一题两法。 (Ⅰ)证明:建立空间直角坐标系(如图 5) , 设 AD=PD=1,AB= 2a ( a ? 0 ) ,

B

y

小。

则 E( a ,0,0),C(2 a ,0,0),A(0,1,0),B(2 a ,1,0),P(0,0,1),,F( a,
1 1 , ) , PB ? (2a,1, ?1) , AB ? (2a,0,0) 。 2 2 1 1 由 EF ? AB ? (0, , ) ? (2a, 0, 0) ? 0 ,得 EF ? AB ,即 EF ? AB , 2 2

1 1 , ). 2 2

得 EF ? (0,

同理 EF ? PB ,又 AB

PB ? B ,

所以,EF ? 平面 PAB。
2 2

(Ⅱ)解:由 AB ? 2BC ,得 2a ? 2 ,即 a ? 得 E(
2 2 1 1 , 0, 0) , F ( , , ) , C( 2,0,0) 。 2 2 2 2



有 AC ? ( 2, ?1,0) , AE ? (

1 1 2 , ?1, 0) , EF ? (0, , ) 。 2 2 2
8 -

设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y,1)
( x, y,1) ? (0, , ) ? 0 y? ?0 ?n ? EF ? 0 ? ? ? ? y ? ?1 2 2 2 2 ? ? 由? ,解得 。 ? ? ?? ?? x ? ? 2 ? ? 2 2 ? ?n ? AE ? 0 ?( x, y,1) ? ( ? , ?1, 0) ? 0 x? y ?0 ? ? 2
? ? 2

?

1 1

?1

1

于是 n ? (?

2, ?1,1) 。

设 AC 与面 AEF 所成的角为 ? , AC 与 n 的夹角为 ? AC, n ? 则 sin ? ? cos ? AC, n ? ?
AC ? n AC ? n ? ( 2, ?1, 0) ? (? 2, ?1,1) 2 ?1? 0 2 ?1?1 ? 3 6

, 得? ? a c r s n i

3 。 6

所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小为 arcsin

3 。 6

说明:用传统的几何方法,在限定的时间内,很难找到 AC 与平 面 AEF 所成的角。而利用平面的法向量解题,可顺利地避开这一切麻 烦,只要找到平面的法向量 n ,利用向量间的代数运算,可方便简捷地 解决此题。 利用法向量也可顺利求解: 如图 6 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为 形 , AB//DC , ?DAB ? 900 , 且 PA=AD=DC=
1 AB ? 1 ,M 2
PA ?
P

M

直角梯
B

底面
D

A

ABCD,

是 PB 的中

C 图 6

点。

(Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。 解: (略) 说明:本题求二面角的大小,由于不易找到二面角的平面角,无论 是用传统的几何方法还用一般的向量方法,都很不易解决,这也是造

9

-

-

成立体几何解答题得分不高的原因之一, 如果采用平面的法向量解题, 情况就大不相同了,请大家仔细体会。 以上介绍了平面的法向量及其几个引理,以此为工具,解决了立体 几何中的部分难题。利用平面法向量解题,方法简便,易于操作,可 以避开传统几何中的作图、证明的麻烦,又可弥补空间想像能力的不 足,发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能,平面法向量将在 数学解题中起到越来越大的作用。

10

-

-


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