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江苏省高中数学知识点大全


数学必修一知识点大全
一.集合
1.集合的表示:描述法、列举法 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量 的取值?还是曲线上的点?… ; 如: ①已知集合 A ? { x | lg x ? 1}, B ? { y | y ?
3 ? 2 x ? x } ,则 A ? B =
2

>; ;

② 设集合 A ? { x ? N | 3 ? x ? 7 }, B ? { x | x ? 5 }, 则 A ? B =

2.子、交、并、补运算: 数形结合是解集合问题常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具 如: ③集合 A ? { x | x ? 2 x ? 3 ? 0 }, B ? { x | x ? 2 mx ? m ? 4 ? 0 }
2 2 2

(1)若 A ? B ? [ 0 , 3 ] ,求实数 m 的值; (2)若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围。

3.含 n 个元素的集合的子集数为 2 ,真子集数为 2 ? 1
n n

4. A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B 注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。 如: ④设 P ? { x | 2 x ? 3 x ? 2 ? 0 }, Q ? { x | ax ? 1} ,若 Q ? P ,则实数 a 为: ;
2

1

二.函数概念及基本初等函数: 1.函数概念-函数图象-函数性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性) ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母 ? 0 ; 偶次根式被开方数非负; 对数真数 ? 0 ,底数 ? 0 且 ? 1 ; 零指数幂的底数 ? 0 ;实际问题有意义; 如:(2009 江西卷文)函数 y ?
? x ? 3x ? 4
2

的定义域为:

;

x

②求值域常用方法: (求值域一定要注意函数定义域) (1)利用基本初等函数的值域:如函数 y ?
3 1
x

?1

的值域是:

(2)二次函数配方法:如 y ?

3 ? 2x ? x

2

的值域是______________.

(3)利用函数单调性:如函数 y ? x ?

1 x

在 [1 , 2 ] 上的值域是_______________

y ? x ?

4 x

, x ? [1 , 4 ] 的值域为____。

(4)部分分式法:如 y ?

2x ? 1 x ? 3

的值域是______________.

(5)数形结合:函数 y ? 0 . 25 x

2

?2 x

2

③求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) 。 如:已知 f ( x ? 1 ) ? x ? 1 ,则函数 f ( x ) 的解析式为:

②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) 如: 已知 f(x)为二次函数, f ( x ? 2 ) ? f ( ? x ? 2 ) , f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 , 且 且 则 f(x)的解析式为:

③整体代换(配凑法) 。如若 f ( x ?

1 x

) ? x

2

?

1 x
2

,则函数 f ( x ? 1 ) =_________.

④构造方程组(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且 g(x)为偶函数等) 如若函数 f ( x ) 满足关系式 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f ( x ) 的表达式为________.
x 1

⑤已知函数 f ( x ) 为奇函数,且 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? x ,求 x ? 0 时, f ( x ) 的解析式。
3

3

2.函数的奇偶性: ①对于函数 f ( x ) ,其定义域关于原点对称:如果_________,那么函数 f ( x ) 为奇函数; ......... 如果______________________________________,那么函数 f ( x ) 为偶函数. ②奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称; ③ f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 0 有定义,则 f ( 0 ) ? 0 ; ④ f ( x ) 为偶函数,则 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f (| x |) ⑤奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数 ⑥若证明 f ( x ) 是奇、偶函数,必须用定义,而要说明一个函数没有奇偶性,则应用特殊值; ⑦常见函数的奇偶性: 奇函数: y ? x , y ? x , y ? x ?
3

1 x

,y ? x ?
x ?1 x ?1
2

1 x
,?

, y ? sin x , y ? tan x ,

y ? lg(

1? x

2

? x ), y ? lg

偶函数: y ? C ( C 为常数) y ? x , y ? | x |, y ? cos x , , 特别的, f ( x ) ? x ? | x ? a | ? 1 , a ? 0 时,函数为偶函数, a ? 0 时,无奇偶性。 如:
2

ⅰ.如果定义在区间 [ 3 ? a , 5 ] 上的函数 f ( x ) 为奇函数,则 a =_____;

ⅱ.函数 f ( x ) ?

1? x

2

| x ? 2 | ?2

的奇偶性是:



ⅲ.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? ( 0 , ?? ) 时, f ( x ) ? x (1 ? x ? ( ?? , 0 ) 时, f ( x ) =_______

3

x)

,那么当

ⅳ.定义在 [ ? 1,] 上的函数 y ? f ( x ) 是减函数,且是奇函数, 1 若 f ( a ? a ? 1 ) ? f ( 4 a ? 5 ) ? 0 ,则实数 a 的范围是:
2



ⅴ.若 f ( x ) ?

1 2 ?1
x

? a 是奇函数,则 a ?



4

3.)函数的单调性 ①对于给定区间 D 上的函数 f ( x ) ,如果________ 则称 f ( x ) 是区间 D 上的增(减)函数. ②判断函数单调性的常用方法: (1)定义法: (2)利用复合函数的单调性: (3)图象法 ③关于函数单调性还有以下一些常见结论: ⅰ.两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差__; ⅱ.奇函数在对称两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ④求函数的单调区间应注意: ⅰ.单调区间是定义域的一部分; ⅱ.复合函数单调区间遵循同增异减原则; ⅲ.单调区间不可以写成并集。 ⑤用定义证明函数的单调性,必须化成积的形式; 如: ①若 f ( x ) ? ? x ? 2 ax 与 g ( x ) ?
2



a x ?1

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的范围是:

②已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [ 0 , ?? ) 上为增函数, f ( ) ? 0 ,
3

1

则不等式 f (log

1 8

x ) ? 0 的解集为:

③已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , ? ? ) 单调增加,则满足 f ( 2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是
3

1

5

④已知 f ( x ) ? lo g a ( 2 ? a x ) 在[0, 1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是____。

⑤ f (x) ? ?

x

2

? ln x 的单调增区间:

;

2

? x ? 4x, ⑥已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
2

x ? 0 x ? 0

2 若 f ( 2 ? a ) ? f ( a ) , 则实数 a 的

范围是

;

4.函数的周期性 ①对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有
f ( x ? T ) ? f ( x ) ,则 f ( x ) 为周期函数,T 为这个函数的周期.

若 f ( x ? T ) ? ? f ( x ) ,则 f ( x ) 的周期为 2 T 若 f (x ? T ) ?
1 f (x)

,则 f ( x ) 的周期为 2 T

② y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 都是周期函数。
y ? A sin( ? x ? ? ) ? b , y ? A cos( ? x ? ? ) ? b 的最小正周期: T ? y ? A t a n ? x ? ? ) ? b 的最小正周期: T ? (

2? |? |

?
|? |

如 : 设 f ( x ) 是 ( ?? , ?? ) 上 的 奇 函 数 , f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x ) ? x , 则 。 f ( 47 . 5 ) =
6

5..函数的对称性 ①若 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ,则函数图象关于 x ?
a ? b 2 a ? b 2

对称;
, 0 ) 对称; b ? a 2

②若 f ( a ? x ) ? ? f ( b ? x ) ,则函数图象关于点 (

③函数 y ? f ( a ? x ) 与函数 y ? f ( b ? x ) 的图象关于 x ?

对称

6.幂函数
一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 是自变量, a 是常数。
a

我们只研究 a ? 1, 2 , 3 , 如: ①设 ? ? ? ? 1,1,
? ?

1 2

, ? 1 时的情形。

? ? , 3 ? ,则使函数 y ? x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为 2, ? 1



②函数 y ?

2 ? x x ?1

的对称中心是:

.

7.指数函数 函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 称为指数函数.
x

Ⅰ.定义域:R; Ⅱ.值域: ( 0 , ?? ) ; Ⅲ.图象恒过点(0,1); Ⅳ. a ? 1 时为增函数, 0 ? a ? 1 时为减函数; 如: (1) ( 2
1 4
1

)

2

? ( ? 9 .6 ) ? ( 3
0

3 8

?

2 3

)

? (1 .5 )

?2

(2)函数 y ?

16 ? 4

x

的值域是

;

7

8.对数函数
①对数式及对数函数 Ⅰ. lo g a ( M
? N ) ? lo g a M ? lo g a N ; lo g a
N ?
lo g b N lo g b a

M N

? lo g a M ? lo g a N ; lo g a M

n

? n lo g a M

Ⅱ.对数换底公式 lo g a Ⅲ.对数恒等式 a lo g
a

( a ? 0 , a ? 1, b ? 0 , b ? 1)

N

? N ( a ? 0 , a ? 1, N ? 0 )
a

; log

a

a ?1

log

a

1 ? 0
x

( a ? 0 , a ? 1)

②对数函数:函数 y ? log

x ( a ? 0 且 a ? 1 ) 称为对数函数,它与 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 互为

反函数,它们的图象关于 y ? x 对称. Ⅰ.定义域: ( 0 , ?? ); Ⅱ.值域:R; Ⅲ.图象恒过点(1,0); Ⅳ. a ? 1 时为增函数, 0 ? a ? 1 时为减函数; 记住:对数式 log a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) :当底数与真数都大于 1 或都在(0,1), 则 log
a

x ? 0 ;

否则 log
0 . 25 ?

a

x ? 0;

如: ① 2 log 5 10 ? log

5



2 ② lg 5 ? lg 2 lg 5 0 ? 2

1?

1 2

lo g 2 5

③若 1 ? m ? 2 ,则 a ? 2 , b ? log
m

1 2

m , c ? 0 .2

m

则这三个数从大到小的顺序是



④已知函数 f ( x ) ? ln[( 5 ? k ) x ? 6 x ? k ? 5 ] ,若 f ( x ) 的定义域为 R,求实数 k 的取值范围
2

8

9.函数与方程
函数零点存在的判定定理: 如果函数 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的图象是一条连续不断的曲线, 且有 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内有零点, 注:Ⅰ.上述定理中在 ( a , b ) 内的零点不唯一; Ⅱ.若函数是单调的,则零点唯一; Ⅲ.定理的逆定理不成立; Ⅳ.对于 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ,无法判定 y ? f ( x ) 在 ( a , b ) 内是否有零点. 如: ①函数 f ( x ) ? lg x ? A.(6,7)
9 x

的零点所在的大致区间一定是:( ) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)

②关于 x 的方程 满足
x1 ? 3 2

x ? (2 m ? 8) x ? m
2

2

? 16 ? 0

的两个实根 x 、 x
1

2

? x2

,则实数 m 的取值范围



③ 设函数 f ( x ) ? ?

?4 x ? 4 ?x
2

( x ? 1) ,

? 4 x ? 3 ( x ? 1)

g ( x ) ? log

2

x,

则函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的零点有________个.

9

三.三角函数及三角恒等变换 1.任意角的概念:
(1)正角、负角、零角: (2)象限角: (3)终边相同的角: 与 ? 终边相同角连同 ? 在内构成集合 S ? ? ? ? ? ? ? k ? 3 6 0 ? , k ? Z ?

2.弧度制:
(1)角度与弧度的互化公式:
1r a d ?(
180 ) ? 5 7 .3 ? ? 5 7 ? 1 8 ' ; 1 ? ?
?

?
180

?

rad
1 2 lr ? 1 2

(2)扇形的弧长公式: l ?
2

? r

扇形的面积公式: S ?

? r

2

如:设扇形的面积为 4 c m ,则扇形的圆心角弧度数为

时,周长最小?

3.任意角的三角函数的定义:
在角 ? 的终边上任取点 P ( x , y ) ,设 O P ? r ( r ? 0 ) 则 s in ? ?
y r x r y x

;cos ? ?

; tan ? ?

三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀: “一全二正弦,三切四余弦”. 三角函数的定义域: ; y ? cos x 的定义域: ; y ? sin x 的定义域: ; y ? tan x 的定义域: 如: Q ①若 ?
π 2 ?? ? 0

y

,则点 Q (c o s ?

, s in ? )

位于第

象限。 0 ; P 象限角。

x

②如图,角 ? 的顶点原点 O,始边在 y 轴的正半轴、终边经过 点 P ( ? 3 , ? 4 ) .角 ? 的顶点在原点 O,始边在 x 轴的正半轴, 终边 OQ 落在第二象限,且 tan ? ? ? 2 ,则 cos ③若 ? 是第二象限的角,且 | c o s
sin(
? POQ

的值为 是第

?
2

|? ? c o s

?
2

,则

?
2

?
2

? ? ) ? cos( ? ? ? )

④已知 tan ?

?

2 ,求值(1)

sin(

?
2

=
? ? ) ? sin( ? ? ? )



(2) sin ? ? sin ? ? cos ? =
2

; ;

⑤已知 sin ? ? cos ? ?

1 5

,且 0 ? ? ? ? .则 tan ? =

4.诱导公式:
如:

可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;
2? 3 2? 3
3? 2 cos (?? ? ? ) )

①已知角 ? 的终边上一点坐标为 (s in

, cos

) ,则角 ? 的最小正角是



s in ( ? ? ? ) c o s ( 2 ? ? ? ) ta n ( ? ? ?

②已知 f ( ? ) ? ③已知 sin(
?
6 ??) ? 1 3

, f (? ;

3 1? 3

)=



, 则 cos(

2? 3

? 2 ? ) 的值是

10

7.三角函数的图象与性质: Ⅰ. y ? s in x ( x ? R ) 、 y ? c o s x ( x ?

R ) 、 y ? ta n x 的图象和性质: y ? cos x ( x ? R )

y ? s in x ( x ? R )

y ? ta n x

y
图 象

y x x

y x

0
定义域 值 域 值域: 最大值: 最小值: ,此时 x= ,此时 x=

0
值域: 最大值: ,此时 x= 最小值: ,此时 x=
y ? cos( ? x ? ? )

0

值域:

周期性

y ? sin( ? x ? ? ) 的周

y ? tan ? x
的周期: 对称中心:

期: 对称性 对称轴: 对称中心: 增区间: 减区间:

的周期: 对称轴: 对称中心: 增区间: 减区间:

单调性

增区间:

③三角函数的单调区间问题的通法是:直接观察基本三角函数 y ? sin x 、 y ? cos x 、 y ? tan x 的 单调区间,从而得到三角复合函数的单调区间;如果 x 系数为负,应先化为正的。 ④求函数 f ( x ) ? A sin ? x ? ? ) 在某个给定的区域内的最值问题通用的方法是:根据自变量限定的区域, ( 求出 ? x ? ? 的整体的取值范围,从而把问题转化成求 y ? A s in ? 的值域问题。 Ⅲ.函数 y ? A s in ( ? x ? ? ) 图象的画法: (1)五点法”――设 X
? ?x??

,令 X =0,

?
2

,? ,

3? 2

, 2?

求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标, 个单位, 图

描点后得出图象; (2)图象变换法:将 y = sinx 图象上点沿 x 轴向 ( φ > 0 ) 或向 ( φ < 0 ) 平移 得到函数 的图象,再将横坐标伸长(或缩短)到原来的 倍,到函数 象,最后将纵坐标伸长(或缩短)到原来的 倍,得到 y = Asin ( ω x + φ ) 简图. 如: ① f ? x ? ? cos ? ? x ?
? ?

? ?

? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6 ? 5

?

. ;

②函数 f ( x ) ?

2 sin( ? x ?

?
4

) , x ? [ 0 , 2 ? ] 的减区间为:

③将函数 y ? s in ( 2 x ?

?
3

) 的图象先向左平移

?
6

,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 ; 。

倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为: ④已知函数 f ( x ) ? log 1 (sin x ? cos x ) ,则 f ( x ) 的定义域:
2

⑤已知函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 相邻两个交点之间的距离为
?
2

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,

,且图象上一个最低点为 M (

2? 3

, ?2) .

11

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [

?
12

,

?
2

] ,求 f ( x ) 的值域.

十一.平面向量
1.与向量概念有关的问题: ①向量: ③单位向量: 与 a 共线的单位向量为: ;②共线向量(平行向量) : ; ;与 a 同向的单位向量为: ___ ⑤相等向量: 。 ; ; ;

? 如:与 d ? (12 , 5 ) 平行的单位向量为___

④零向量: ; ⑥向量的模(向量的长度) :

2.向量的运算: ①向量的加法: 两个法则:三角形法则,首尾相连; ②向量的减法: 三角形法则:共起点,指向被减数。 ③向量的数乘: ⅰ:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量; ⅱ:︱ ? a ︱=︱ ? ︱·︱ a ︱; 当 ? >0 时, ? a 与 a 方向相同;

平行四边形法则,共起点。

当 ? <0 时, ? a 与 a 方向相反;当 ? =0 时, ? a = 0 ⅲ:若 a =( x 1 , y 1 ) ,则 ? · a =( ? x 1 , ? y 1 ) . ⅳ:若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的 任一向量 a ,有且只有一对实数 ? 1 , ? 2 ,使得 a = ? 1 e1+ ? 2 e2.
??? ? ???? ???? ????

如:①在 △ A B C 中, A B ? c , A C ? b .若点 D 满足 B D ? 2 D C ,则 A D ? ②在平行四边形 A B C D 中, A C 与 B D 交于点 O , E 是线段 O D 的中点, A E 的延长线与
???? ???? ???? C D 交于点 F .若 A C ? a , B D ? b ,则 A F ?

????

④向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ,使得 b ? ? ? a ,即
b ∥a ? b =a (a ? 0 ) ⑤一个重要结论:已知 A、B、C、P 为平面内四点,若 A、B、C 三点共线,则存在一对实数 m、n,

使PC =mPA +nPB ,且 m+n=1. 3.平面向量的坐标表示: ①若 a ? ( x1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,
? ?







?

?

则 a ? b = ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) , a ? b = ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ②若 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 A B ? ? x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 ? ③若 a ? ( x , y ) 和实数 ? ,则 ? a ? ( ? x , ? y ) ④ a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 如:若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,则 x= 4.向量的数量积: ⅰ:向量的夹角:
0 0 已知两个非零向量 a 与 b,作 OA = a , OB =b,则∠AOB= ? ( 0 ? ? ? 180 )

?

?

??? ?

?

?

?

?

?

?

?



叫做向量 a 与 b 的夹角。

共起点。范围:[0,180 ]
12

0

?
0

?

如:已知 ? ABC 中, a ? 3 , b ? 4 , C ? 30 则 BC ? CA =___ ⅱ:数量积的定义: a · b =| a || b |cos< a , b >= x 1 x 2 ? y 1 y 2
? ?
?
? ? ? ? ? ?

_;
?

o 如:(09 江苏文理 2).已知向量 a 和向量 b 的夹角为 3 0 , | a | ? 2 , | b | ? 3 ,则向量 a 和向量 b 的数量

?

?

积 a ? b = ___________; ⅲ:数量积的性质及运算律: ① a ⊥b ? a ·b=0 ? ②︱ a ︱=
a?a ?
2

? ?

x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0
2

( a ,b 为非零向量) ;
a?b a ? b

x1 ? y 1


?

③cos ? =
? ? ?

=
2

x1 x 2 ? y 1 y 2


2

如 : 已 知 平 面 向 量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 , 且 a 与 b 的夹角为
? ? c ? 2, 则 a ?

? ? ?

?

?

x1 ? y 1 ?
2

x2 ? y2
2

135

0

? ? , c与 b

的 夹 角 为 120

0



易错点: ① | a ? b |? | a | ? | b | 。 ② ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ).

③若 a 、 b 、 c 是非零向量且 a ? c ? b ? c 并不能得到 a ? b ④故 a ? 0 或 b ? 0 是 a ? b =0 的充分而不必要条件 5.数量积的应用: ⅰ。求长度:
a ?a ? a
2

=| a | .

2

| a |=

a ?a

= a =
0

2

x

2

? y

2

.

如: (2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 6 0 , a ? ( 2 , 0 ) , b ? 1 则 a ? 2b ?

ⅱ。求角度:
cos a,b ? a ?b ?
2

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 2

| a |? | b | x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ? ? ? ? ? ? ? 如:①已知 a ? 1, b ? 2 ,且 ( a ? b ) 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为_______

②已知若 a ? ( ? , 2 ), b ? ( ? 3 , 5 ), a

和 b 夹角为钝角,则 ? 的取值范围是:

ⅲ。证平行: 两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ? ,使得 b= ? a . (2) 若 a =( x 1 , y 1 ),b=( x 2 , y 2 )则 a ∥b ? x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 . 如: ① a , b 是不共线的两个向量,已知 AB ? 2 a ? k b , BC ? a ? b , CD ? a ? 2 b , 若 A , B , D 三点共线,则 k 值为: ; ②设向量 a ? (1, ), b ? ( 2,) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? ( ? 4, 7 ) 共线, 2 3 ? 则? ? ;

13

ⅳ。证垂直:

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2+y1y2=0

如:①若 a, b, c 为 △ A B C 的三个内角 A, B , C 的对边,向量
m ? ( 3, 1), n ? ( c o s A, in A ) ? s

.若 m ? n ,且 a co s B ? b co s A ? c sin C ,

则角 A, B 的大小分别为:

6.求两向量的数量积常有三种途径: (1)利用数量积的原始定义; (2)坐标化

(3)转化为基向量 D

如:①在平面四边形 A B C D 中,若 A C ? 3 , B D ? 2 , 则(AB
??? ? ???? ???? ???? ? DC ) ? (AC ? BD ) ?

. A C

B

②如图,在Δ ABC 中, A D ? A B , B C ?
???? ???? ???? A D ? 1 ,则 A C ? A D =

????

???? 3 BD ,



14


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