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用放缩法证明数列不等式


用放缩法证明数列不等式

n ?1 例1: 已知 cn ? n , Tn ? c1 ? c2 ? L ? cn 2
求证:1 ? Tn

,

?3

方法总结:能求和时,先求和再放缩。
1 例2: 已知an ? n ,S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a

n , 3 ?1
1 求证: S n ? 2

方法总结:不能求和时,先将通项公式 放缩成等比数列再求和,最后再放缩。

1 例3: 已知 bn ? 2 , S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn , n 7 Sn ? 求证:(1) 4

5 ( 2) S n ? 3

方法总结:不能求和时,先将通项公式 放缩成裂项相消型数列再用裂项法求和。 若放缩过大时,适当保留前几项或将通 项适当调整再放缩。

(2012 广东理)已知数列?an ? 的前n项和为S n , 满足2 S n ? an ?1 ? 2 ( 1)求a1 ; (2)求an ; (3)求证:对一切正整数n, 1 1 1 3 都有 ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 an 2
法一:放缩成等比型数列
n ?1 ? 2 ? ? ? n?1 n n n -1 当n ? 1时, 3 ? 2 ? 3 ?3 ? 2 ? ? ? ? ? 3 ?3? ? ? ? ? n ? ? n n n ?3? 当n ? 2时, 3 ? 2 ? 2 ?? ? ? 1? ? 2n ? ? ?? 2 ? ?

n ?1

? 1, 且a1 , a2 ? 5, a3成等差数列。

用放缩法证明数列不等式
法二:放缩成裂项型数列
1 2 3n ? 2 n ? (1 ? 2) n ? 2 n ? (1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? ? ? 2n ) ? 2n 2 ? Cn ? 2 2 ? 2n(n ? 1)

(n ? 3)

法三:利用相邻两项的不等关系进行放缩

an ?1 3n ?1 ? 2 n ?1 ? ? n an 3 ? 2n ? an ?1 ? 3an

2 n 3(3 ? ? 2 ) 3 ? ?3 n n 3 ?2
n

用放缩法证明数列不等式
形如:Tn<c (c为常数)的不等式证明方法总结
一.具备求和条件的数列不等式先求和再放缩 二.不具备求和条件的数列不等式先放缩再求和 目标1.放缩成裂项相消型求和 目标2.放缩成等比数列求和

总目标:放缩成可求和的数列即可。
三.放缩过大时,可以考虑保留前几项不动或进一步缩小 通项公式即可。 化归与转化思想

用放缩法证明数列不等式
2 a ? n ( n ? 1), b ? ( n ? 1) 练习:(08· 辽宁卷)已知: n n

1 1 1 5 ? ??? ? 求证:a ? b a ? b an ? bn 12 . 1 1 2 2
n 2n 练习: 已知数列 {an } 中 an ? n , 求证: ? ai (ai ? 1) ? 3 . 2 ?1 1 1 1 1 1i ?1 1 ? ? ? ( ? ) an ? bn (n ? 1)(2n ? 1) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ? ? ??? ? ) 故 ? 6 2 2 3 3 4 n n ?1 i ?1 ai ? bi
5 1 ? ? 12 2( n ? 1) 5 ? . (n ? 2) 12

n

从通项入手放缩 放缩成裂项形式

1 5 当 n ? 1时,有 ? 也成立. 6 12

用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an ? n , 求证: 2 ?1

? a (a ? 1) ? 3 .
i ?1 i i

n

用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an ? n , 求证: 2 ?1 方法一:

? a (a ? 1) ? 3 .
i ?1 i i

n

2i 1 1 1 ai (ai ? 1) ? 2i ? ? ? (i ? 2) i i i ?1 i ?1 i ?1 2 ? 2 ? 2 ?1 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2

1 1 1 1 故 ? ai (ai ? 1) ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 3 ? n ?1 ? 3(n ? 2) 2 2 2 2 i ?1
当 n ? 1时,有 2 ? 3 也成立. 放缩成等比数列

n

用放缩法证明数列不等式
n 2n 练习: 已知数列 {an } 中 an ? n , 求证: ? ai (ai ? 1) ? 3 . 2 ?1 i ?1 i 2 2i ? i 方法二:ai (ai ? 1) ? i i (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2i ? 2)

2i ?1 1 1 ? i ? i ?1 ? i (i ? 2) i ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
1 1 1 1 1 ai (ai ? 1) ? 2 ? ( ? 2 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ) ? 3 ? n ? 3(n ? 2) ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 i ?1
n

当 n ? 1时,有 2 ? 3 也成立. 放缩成裂项相消型数列

常见的裂项放缩技巧:

用放缩法证明数列不等式

1 1 1 1? 1 1 ? 1. n 2 ? n 2 ? 1 ? (n ? 1)( n ? 1) ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ? ? ? 1 4 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2. n 2 4n 2 4n 2 ? 1 (2n ? 1)( 2n ? 1) ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 3. ? ? ? 2 ? ? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n ? n n(n ? 1) n ? 1 n

4. ? 2 n ? 1 ? (1 ? 1) n ? 1 ? (C 0 ? C 1 ? C 2 ? ? ? ?) ? 1 ? C 1 ? C 2 ? n(n ? 1) n n n n n
2 ? 1 2 1 1 ? ? 2 ? ( ? ) n 2 ? 1 n(n ? 1) n n ?1 (n ? 3)

5. 6.

2( n ? 1 ? n ) ?

2 n ? n ?1

?

1 2 2 ? ? ? 2( n ? n ? 1) n 2 n n ? n ?1

2n 2n 2n 2 n ?1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) n 2 n n n n n n ?1 n ?1 n (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

例4.已知数列?an ? 的通项公式为an ? n(n ? 1) , 前n项和记为S n ,
2 n ( n ? 1 ) ( n ? 1 ) 求证: ? Sn ? . 2 2

方法总结:借助基本不等式进行放缩。
n n ? 2n ? 1 例5.(09高考)已知an ? , bn ? n ?1 n ?1 1 ? an an 求证:a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ? ? 2 sin 1 ? an bn (n ? N ? )

方法总结:借助分式性质或构造辅助数列 或函数的单调性进行放缩。

形如:Tn<f(n)型的不等式证明方法总结

一.具备求和条件的数列不等式先求和再放缩 二.不具备求和条件的数列不等式通先放缩再求和 目标3.借助基本不等式或二项展开式或分数的性质进 行放缩求和 目标4.构造新数列或借助函数的单调性进行放缩

目标5.利用数学归纳法进行证明

化归与转化思想

用放缩法证明数列不等式
1.已知:

an ? e ? e
n

?n
n 2

a1 ? a2 ? ? ? an 求证:

? (en?1 ? 2)

ln 2 ln 3 ln 4 ln (n ? 1) n(n ? 1) 2.求证: ? ? ?? ? ? (n ? N *) 3 4 5 n?2 4


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