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广东省肇庆市2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


肇庆市中小学教学质量评估 2015—2016 学年第一学期统一检测题 高一数学
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B

铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

?? ?x ? a ? 中系数计算公式 b 参考公式:线性回归方程 y ? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ?n?x
2

?x
i ?1

? x ,其 ? ? y ?b ,a

2

i

中 x , y 表示样本均值. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)设集合 A={1,2,3},集合 B={-2,2},则 A ? B ? (A) ? (B){2} (C){-2,2} (D){-2,1,2,3}

(2)某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,学校学生会用分层抽样 的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中 抽取的人数为 7,那么从高三学生中抽取的人数应为 (A)10 (B)9 (C)8 (D)7

(3)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是 (A) y ? e ? x (B) y ?| x | (C) y ? ln x (D) y ? x3

(4)下列各组函数表示相等函数的是
2 (A) y ? x ? 9 与 y ? x ? 3 x?3

(B) y ?

x2 ? 1 与 y ? x ? 1

(C) y ? x ( x ? 0) 与 y ? 1( x ? 0)
0

(D) y ? 2 x ? 1, x ? Z 与 y ? 2 x ? 1, x ? Z

(5)右边茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力 测试中的成绩(单位:分) .已知甲组数据的中位数为 15,乙 组数据的 平均数为 16.8,则 x ,

y 的值分别为
1

(A)5,8 (6)方程 log3

(B)5,5

(C)2,5

(D)8,8

x ? x ? 3 的根所在的区间是

(A) (0,1) (B) (1,2) (C) (2,3) (D)(3,+∞) (7)按如右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 6 ,则输出 k 的值是 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

(8)研究表明, 当死亡生物组织内的碳 14 的含量不足死亡前的千 分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了.若某一死 亡生物组织内的碳 14 经过 n(n ? N ) 个“半衰期”后用一般的放 射性探测器测不到碳 14 了,则 n 的最小值是 (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

( 9 )如图,正方形 ABCD 的顶点 A? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?, B? ? ? 2 ,0 ? ,顶点 C , D 位于第一象限,直线 2 ? ? ? ?

l : x ? t (0 ? t ? 2 ) 将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l
左侧阴影部分的面积为 f (t ) ,则函数 S ? f (t ) 的图象大致是

(10)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,则点 P(m,n)在函数 y ? ? x ? 4 图像 上的概率是 (A)

1 3

(B)

1 4

(C)

1 6

(D)

1 12

2 ? ?2 x ? x ,0 ? x ? 3, (11)函数 f ( x) ? ? 2 的值域是 ? ? x ? 6 x,?2 ? x ? 0

(A)[-8,1]

(B)[-8,-3]

(C)R

(D)[-9,1]
2

(12)已知函数 f ( x) 在其定义域( ? ? ,0)上是减函数,且 f (1 ? m) ? f (m ? 3) ,则实数

m 的取值范围是
(A) ( ? ? ,2) (B) (0,1) (C) (0,2) (D) (1,2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (13)计算:

?3 ? ? ?2 ? ln e2 ?



.

(14)日前,广佛肇城际轨道已开通投入运营,假设轻轨列车每 15 分钟一班,在车站停 2 分 钟,则乘客到达站台能立即上车的概率是 ▲ . (15)已知 f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ▲ .

(16) 直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 | ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象有且仅有两个公共点, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 某工厂对某种产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量 x(千件) 成本 y(万元) 2 7 3 8 5 9 6 12

经过分析,知道产量 x 和成本 y 之间具有线性相关关系.

?x ? a ? ?b ?; (Ⅰ) 请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(Ⅱ)试根据(1)求出的线性回归方程,预测产量为 10 千件时的成本. (18) (本小题满分 12 分)

? x 2 ? 4 x ? 4, x ? 0, ? , x ? 0, 已知函数 f ( x) ? ?0 ? x 2 ? 4 x ? 4, x ? 0. ?
(Ⅰ)求 f (1) , f (?3) , f (a ? 1) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的零点. (19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a
x?1

( a ? 0 ,且 a ? 1 ).

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象经过点 P(3,4) ,求 a 的值;
3

(Ⅱ)请比较 f (lg

1 ) 与 f (?2.1) 的大小,并写出比较过程. 100

(20) (本小题满分 12 分) 某校高一年级甲、已两班准备联合举行晚会,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者 获 得一件奖品,负者表演一个节目.甲班的文娱委员利用分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7 的两个转盘(如图所示) ,设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数 字相加,和为偶数时甲班代表获胜,否则乙班代表获胜. (Ⅰ)根据这个游戏方案,转到的两数之和会出现 哪些可能的情况? (Ⅱ)游戏方案对双方是否公平?请说明理由.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

k ? k , x ? [1,??) ,且 k ? 1 . x

(Ⅰ)证明函数 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? x ? f ( x) ? 2 x ?

3 . 若区间[2,5]是 g ( x) 的一个单调区间,且在 2

该区间上 g ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(22) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) . x ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的值域.

4

2015—2016 学年第一学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准

一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 B 8 B 9 C 10 D 11 A 12 D

二、填空题 (13) ? ? 1 (14)

2 15

(15) x( x ? 1)

(16) ? 0, ?

? ?

1? 2?

(16)解析:在同一平面直角坐标系中作出 y ? 2a 与 y ?| a x ? 1 | ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的大致 图象. 当 a ? 1 时,如图 2(1)所示.由图知两函 数的图象若要有两个公共点, 则 0 ? 2a ? 1 , 得0 ? a ?

1 ,与 a ? 1 矛盾,不合题意; 2 1 . 2

当 0 ? a ? 1 时,如图 2(2)所示,由图知满 足题意时, 0 ? 2a ? 1 ,则 0 ? a ? 综上,a 的取值范围是 0 ? a ?

1 . 2

三、解答题 (17) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由表中的数据得

x? y?

2?3?5? 6 ? 4, 4 7 ? 8 ? 9 ? 12 ?9, 4

(1 分)

(2 分)
5

?x y
i ?1 4 i

4

i

? 2 ? 7 ? 3 ? 8 ? 5 ? 9 ? 6 ?12 ? 155,

(3 分)

?x
i ?1

2 i

? 2 2 ? 32 ? 52 ? 6 2 ? 74 ,
? 4 xy ?
2

( 4 分)

?? b

?x y
i ?1 4 i

4

i

?x
i ?1

2 i

? 4x

155? 4 ? 4 ? 9 11 ? ? 1.1 , 10 74 ? 4 ? 4 2

(6 分)

?x ? 9 ?1.1? 4 ? 4.6 , ? ? y ?b a
? ? 1.1x ? 4.6 . 所以所求线性回归方程为 y

(7 分) (8 分)

? ? 1.1?10 ? 4.6 ? 15.6 ,即产量为 10 千件时,成本约为 15.6 (Ⅱ) 由 (1) 得, 当 x=10 时, y
万元. (10 分)

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 1 ? 0 ,所以 f (1) ? 1 ? 4 ?1 ? 4 ? 1 ;
2

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

因为 ? 3 ? 0 ,所以 f (?3) ? (?3) ? 4 ? (?3) ? 4 ? 1 ;
2 2 2 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f (a ? 1) ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 4 ? a ? 2a ? 1 ;

当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f (a ? 1) ? 0 ;
2 2 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f (a ? 1) ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 4 ? a ? 6a ? 9 ;

?a 2 ? 2a ? 1, a ? ?1, ? 所以 f (a ? 1) ? ?0, a ? ?1, ?a 2 ? 6a ? 9, a ? ?1. ?
(Ⅱ)由题意,得

(6 分)

? x ? 0, ,解得 x ? 2 ; ? 2 x ? 4 x ? 4 ? 0 ?
或?

(8 分)

? x ? 0,
2 ?x ? 4x ? 4 ? 0

,解得 x ? ?2 .

(10 分)

6

又因为 f (0) ? 0 , 所以函数 f ( x) 的零点为 2 、 0 与 ? 2 .

(11 分) (12 分)

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 y ? f ( x) 的图象过点 P(3,4) ,所以 a
2 即 a ? 4 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 2 .
3?1

? 4,

(2 分) (3 分) (4 分)

(Ⅱ)当 a ? 1 时, f (lg 当 0 ? a ? 1 时, f (lg 比较过程如下: 因为 f (lg

1 ) ? f (?2.1) ; 100

1 ) ? f (?2.1) . 100

(5 分)

1 ) ? f (?2) ? a ?3 , f (?2.1) ? a ?3.1 , 100

(7 分) (8 分) (10 分) (11 分) (12 分)

当 a ? 1 时, y

? a x 在( ? ? , ? ? )上为增函数,
?3

因为 ? 3 ? ?3.1 ,所以 a 当 0 ? a ? 1 时, y

? a?3.1 ,故 f (lg

1 ) ? f (?2.1) . 100

? a x 在( ? ? , ? ? )上为减函数,
?3

因为 ? 3 ? ?3.1 ,所以 a

? a ?3.1 ,故 f (lg

1 ) ? f (?2.1) . 100

(20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)和的各种情况如下表所示: 4 1 2 3 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 7 8 9 10 (6 分) (Ⅱ)该游戏方案是公平的. (7 分)
7

因为由上表可知该游戏可能出现的情况共有 12 种,其中两数字之和为偶数的有 6 种,为奇数 的也有 6 种, 6 1 所以甲班代表获胜的概率 P1= = , 12 2 6 1 乙班代表获胜的 概率 P2= = , 12 2 即 P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的. (8 分) (9 分) (10 分) (12 分)

(21) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:设 x1 , x2 ?[1,??) ,且 x1 则由

? x2 ,

(1 分)

f ( x) ? x ?

k ?k得 x
(2 分)

? ? ? ? k k f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? x1 ? x ? k ? ??? ? x2 ? x ? k ? ? ? ? ? ? 1 2
? x1 ? x2 ?
因为 x1 , x2 ?[1,??) 且 x1

k k ? x ? x2 ?? x1 x2 ? k ? ? ? 1 , x1 x2 x1 x2

(3 分)

? x2 , k ? 1 ,
(4 分)

所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1 , x1 x2 ? k ? 0 , 所以

?x1 ? x2 ??x1 x2 ? k ? ? 0 ,
x1 x2

(5 分)

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故函数 f ( x ) 在区间 [1,??) 上是增函数. (Ⅱ)解: g ( x ) ? x ? f ( x ) ? 2 x ?

(6 分) (7 分)

3 3 ? x 2 ? ( k ? 2) x ? k ? 2 2

? k?2 ?2 ?? 若 g ( x ) 在区间[2,5]上单调递增且 g ( x) ? 0 ,则 ? , 2 ? ? g ( 2) ? 0
解得 k ? ?

(8 分)

19 ; 6

(9 分)

8

? k?2 ?5 ?? 若 g ( x ) 在区间[2,5]上单调递减且 g ( x) ? 0 ,则 ? , 2 ? ? g (5) ? 0
其解集是 ? ; 又因为 k ? 1 ,所以实数 k 的取值范围是 ?

(10 分)

(11 分)

19 ? k ? 1. 6

(12 分)

(22) (本小题满分 12 分)

?x ?1 ? x ?1 ? 0 ? 解: (Ⅰ)要使求函数 f ( x ) 有意义,则 ? x ? 1 ? 0 , ?p ? x ? 0 ? ?
得 x ? 1且 x ? p , 又因为函数的定义域为非空数集,所以 p ? 1 , 所以函数 f ( x ) 的定义域是( 1, p ). (Ⅱ) f ( x) ? log2 ?

(2 分)

(3 分)

(4 分)

? x ?1 ? ? ( x ? 1) ? ( p ? x)? ? log2 ?( x ? 1)( p ? x)? ? x ?1 ?

(5 分)

2 2 ? ? p ? 1 ? ? p ? 1? ? ? log2 ?? ? x ? ? ? ? ,其中 1 ? x ? p , 2 4 ? ? ? ? ? ?

(6 分)

令 h( x) ? ?? x ? ①当

? ?

p ? 1 ? ? p ? 1? , ? ? 2 ? 4
2 2

p ?1 ? 1 ,即 1 ? p ? 3 时, 2
(7 分) (8 分)

因为 h( x) 在 [1, p ] 上单调递减,且 h(1) ? 2( p ? 1) ? 0 , h( p) ? 0 , 所以 f ( x) ? log2 2( p ? 1) ? 1 ? log2 ( p ? 1) ; ②当 1 ?

p ?1 ? p ,即 p ? 3 时, 2

9

? p ? 1 ? ? p ? 1? , h( x) max ? h? ?? 4 ? 2 ?
2

(9 分)

因为 h(1) ? ?(1 ?

p ? 1 2 ( p ? 1) 2 ) ? ? 2( p ? 1) ? 4 , h( p) ? 0 , 2 4 ( p ? 1) 2 , 4
(10 分)

所以当 1 ? x ? p 时, 0 ? h( x) ?

所以 f ( x) ? log2 ③当

( p ? 1) 2 ? 2 log2 ( p ? 1) ? 2 ; 4

(11 分)

p ?1 ? p 时,即 p ? ?1 ,这与 p ? 1 矛盾. 2

综上所述当 1 ? p ? 3 时, 函数 f ( x ) 的值域是 ?? ?,1 ? log2 ? p ? 1?? ; 当 p ? 3 时, 函数 f ( x ) 的 值域是 (??,2 log2 ? p ? 1? ? 2] . (12 分)

10


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