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高中数学必修四三角函数部分教学案


第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 一、 教学目标: 1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于 360 ? 角和负角; (2)理解并掌握正角、负角、零角的定义; (3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与 ? 角终边相同的角(包括 ? 角)的表 示方法; (5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念; (6)揭示知识背景,引发学 生学习兴趣.(7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境: “转体 720 ? ,逆(顺)时针旋转” ,角有大于 360 ? 角、零角和旋转方向 不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面 直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角, 画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方 法,巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之 分.角的概念推广以后, 知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法, 学会运用运动 变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中 实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过 角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表 示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了 5 分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了 1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现, 校正过程中分针需要正向或反向旋转, 有时转不到 一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于 0 ? ? 360 ? 之间,这正是我们这节课要研 究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1.初中时,我们已学习了 0 ? 360 角的概念,它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形.如图 1.1-1,一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止 位置 O B , 就形成角 ? .旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边,O B 叫终边, 射线的端点 O 叫 做叫 ? 的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语: “转
? ?

体 720 ? ” (即转体 2 周)“转体 1080 ? ” , (即转体 3 周)等,都是遇到大于 360 ? 的角以及按 不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于 360 ? 的角或按 不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、 螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我 们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正 角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线 没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). [展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于 750 ? ;图 1.1.3(2)中,正角
? ? ? ? ? 210 ,负角 ? ? ? 1 5 0 ,? ? ? 6 6 0 ;这样,我们就把角的概念推广到了任意角(any

angle) ,包括正角、 负角和零角. 为了简单起见, 在不引起混淆的前提下, ? ” “ ? ? ” “角 或 可简记为 ? . 3.在今后的学习中, 我们常在直角坐标系内讨论角, 为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图 1.1-4 中的 30 ? 角、
? 210 角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这
?

个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 4.[展示投影]练习: (1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这 两个问题. (2)(回答)今天是星期三那么 7 k ( k ? Z ) 天后的那一天是星期几? 7 k ( k ? Z ) 天前的那 一天是星期几?100 天后的那一天是星期几? 5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对 应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线 OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果 不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合 4.(2)口答加以分析. [展示课件]不难发现,在教材图 1.1-5 中,如果 ? 32 ? 的终边是 OB ,那么 328 , ? 392 ? 角的终边都是 OB ,而 328 ? ? ? 32 ? ? 1 ? 360 ? , ? 392 ? ? 32 ? ( ? 1) ? 360 . 设 S ? { ? | ? ? ? 32 ? k ? 360 , k ? Z } ,则 328 , ? 392 角都是 S 的元素, ? 32 ? 角也是 S
? ? ? ? ? ? ? ? ?

的元素.因此,所有与 ? 32 角终边相同的角,连同 ? 32 角在内,都是集合 S 的元素;反过来, 集合 S 的任一元素显然与 ? 32 角终边相同. 一般地,我们有:所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合
S ? { ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z } ,即任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数
?

?

?

?

个周角的和. 6.[展示投影]例题讲评 例 1. 例 1 在 0 ? ? 360 ? 范围内,找出与 -950 ?12 ' 角终边相同的角,并判定它是第几 象限角.(注: 0 ?-360 ? 是指 0 ? ? ? ? 360 ? ) 例 2.写出终边在 y 轴上的角的集合. 例 3.写出终边直线在 y ? x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ? 360 ? ? ?
? 720 的元素 ? 写出来.
?

7.[展示投影]练习 教材 P6 第 3、4、5 题. 注意: (1) k ? Z ; (2)? 是任意角(正角、负角、零角)(3)终边相同的角不一定 ; 相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差 360 ? 的整数倍. 8.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢? (3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在 x 轴、 y 轴、直 线 y ? x 上的角的集合. 五、评价设计 1.作业:习题 1.1 A 组第 1,2,3 题. 2.多举出一些日常生活中的“大于 360 ? 的角和负角”的例子,熟练掌握他们的表示, 进一步理解具有相同终边的角的特点. 1.1.2 弧度制 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义; (2)领会弧度制定义的合理性; (3)掌握并运用弧度制 表示的弧长公式、扇形面积公式; (4)熟练地进行角度制与弧度制的换算; (5)角的集合与 实数集 R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与 弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合 理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与 弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制,理解并认识到角度 制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.角的概念 推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯 一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即 弧度数等于这个实数的角)与它对应,为下一节学习三角函数做好准备.

二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义; 熟练地进行角度制与弧度制地互化换算; 弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义,弧度制的运用. 三、学法与教学用具 在我们所掌握的知识中,知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习,我们引入了 弧度制的概念, 我们一定要准确理解弧度制的定义, 在理解定义的基础上熟练掌握角度制与 弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 有人问:海口到三亚有多远时,有人回答约 250 公里,但也有人回答约 160 英里,请问 那一种回答是正确的?(已知 1 英里=1.6 公里) 显然, 两种回答都是正确的, 但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不 同,一个是公里制,一个是英里制.他们的长度单位是不同的,但是,他们之间可以换算:1 英里=1.6 公里. 在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再陌生,另外一个就 是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1.角度制规定:将一个圆周分成 360 份,每一份叫做 1 度,故一周等于 360 度,平角 等于 180 度,直角等于 90 度等等. 弧度制是什么呢?1 弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧 度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本 P6 ? P7 ,自行解决上述问题. 2.弧度制的定义 [展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角, 记作 1 rad , 1 弧度, 或 或 1(单位可以省略不写). 3.探究:如图,半径为 r 的圆的圆心与原点重合,角 ? 的终边与 x 轴的正半轴重合,交圆 于点 A ,终边与圆交于点 B .请完成表格. 弧 A B 的长
OB 旋转的方向 ? AOB 的弧度数 ? AOB 的度数
B ? A x y

?r
2? r r
2r

逆时针方向 逆时针方向
1
?2 ??

O

0
180 180
? ?

我们知道,角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π ,-2π 等等, 一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0,角的正 负主要由角的旋转方向来决定. 4.思考:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对的弧长是 l ,那么 a 的弧度数是多少? 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ?
l r

,其中,l 是圆心角所对的弧长, r 是半径.

5.根据探究中 180 ? ? ? rad 填空:
1 ? ___ rad , 1rad ? ___ 度
?

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解 例 1.按照下列要求,把 67 ?30 ' 化成弧度: (1) 精确值; (2) 精确到 0.001 的近似值. 例 2.将 3.14 rad 换算成角度(用度数表示,精确到 0.001). 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住 180 ? ? ? rad ,另外注意计算器计算非特殊角的 方法. 7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表: 度 弧度
0
?

30

?

45

?

120

?

120

?

120

?

120

?

?
3

?
2

?

3? 2

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立了一一对应关系:即每 一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应; 反过来, 每一个实数也都有唯一 的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 8.例题讲评 例 3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1) l ? ? R ; (2) S ?
1 2

?R ;
2

(3) S ?

1 2

lR .

其中 R 是半径, l 是弧长, ? (0 ? ? ? 2? ) 为圆心角, S 是扇形的面积. 例 4.利用计算器比较 sin 1.5 和 sin 85 ? 的大小. 注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. 9.练习 教材 P1 0 . 9.学习小结 (1)你知道角弧度制是怎样规定的吗? (2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 五、评价设计 1.作业:习题 1.1 A 组第 7,8,9 题. 2. 要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同. 能够使用计算器求某角的各三角函 数值.

1.2.1 任意角的三角函数(一) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号)(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; ; (3)了解如何利用与单位圆 有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表 示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为 自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个 定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意 角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函 数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方 法,巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于 用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意 角的三角函数的推广, 有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数, 但它对准确 把握三角函数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟 悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能 得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了 正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法, 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正 弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了 这两个函数之间的关系. 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密, 这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时 任意角的三角函数(一) 【创设情境】 y 提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾. 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? O 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那

P (a, b) r ? M

么它的终边在第一象限.在 ? 的终边上任取一点 y
P ( a , b ) ,它与原点的距离 r ?
a ? b ? 0 .过 P 作
2 2

a的终边
P(x,y ) O x

x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线

段 M P 的长度为 b .则 sin ? ?
cos ? ? OM OP ? a r

MP OP

?

b

;
? b a

;

tan ? ?

r MP

.

OM

思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的 特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数: MP OM MP b sin ? ? ? b ; cos ? ? ? a ; tan ? ? ? . OP OP OM a 思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以 后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改, 以利推广到任意角呢?本节课就研究 这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值 呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称 以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x , y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 cos ? ,即 cos ? ? x ; y y (3) 叫做 ? 的正切(tangent),记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x 注意:当α 是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在) ;当α 不是 锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交 点 P ( x , y ) ,从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角 函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我 们只需计算点到原点的距离 r ?
y x
x ? y ,那么 sin ? ?
2 2

y x ? y
2 2

, cos ? ?

x x ? y
2 2

,

tan ? ?

.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函

数, 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 故三角函数也可以看成实数为自

变量的函数. 4.例题讲评 5? 例 1.求 的正弦、余弦和正切值. 3 例 2.已知角 ? 的终边过点 P0 ( ? 3, ? 4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题, 主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例 2:设 x ? ? 3, y ? ? 4, 则 r ? 于是 sin ? ?
y r ?? 4 5
( ? 3) ? ( ? 4) ? 5 .
2 2

, cos ? ?

x r

??

3 5

, tan ? ?

y x

?

4 3

.

5.巩固练习 P1 7 第 1,2,3 题 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、 余弦和正切函数的定义域填入下表; 再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义域 三角函数 角度制
sin ?
cos ?
tan ?

第一象限 弧度制

第二象限

第三象限

第四象限

7.例题讲评 例 3.求证:当且仅当不等式组 {
sin ? ? 0 tan ? ? 0

成立时,角 ? 为第三象限角.

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(? ? 2 k ? ) ? sin ? cos(? ? 2 k ? ) ? cos ? tan(? ? 2 k ? ) ? tan ?

(其中 k ? Z )

9.例题讲评 例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: ? ? ? (1) cos 250 ; (2) sin( ? ) ; (3) tan( ? 672 ) ; (4) tan 3?
4

例 5.求下列三角函数值:
?

(1) sin 1480 10 ;

'

(2) cos

9? 4

; (3) tan( ?

11? 6

)

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0 到 2? (或 0 ? 到 360 ? )角的三

角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习 P1 7 第 4,5,6,7 题 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计 1.作业:习题 1.2 A 组第 1,2 题. 2. 比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应 用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法. 第二课时 任意角的三角函数(二) 【复习回顾】 1、 三角函数的定义; 2、 三角函数在各象限角的符号; 3、 三角函数在轴上角的值; 4、 诱导公式(一) :终边相同的角的同一三角函数的值相等; 5、 三角函数的定义域. 要求:记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上 角时,要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】 1.引入:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函 数是一个数量概念(比值) ,但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来 表示三角函数呢? 2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆就叫做单 位圆 (注意: 这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米) . y 当角 ? 为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个 a角的终 边 交点 P ( x , y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M , P T 则请你观察: 根 据 三 角 函 数 的 定 义 : | M P |? | y |? | sin ? | ;
| OM |? | x |?| cos ? |

O

M A

x

随着 ? 在第一象限内转动,M P 、OM 是否也跟 着变化? 3.思考: (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段 M P 、 OM 规定一个适 当的方向,使它们的取值与点 P 的坐标一致? (2)你能借助单位圆,找到一条如 M P 、 OM 一样的线段来表示角 ? 的正切值吗? 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时, 以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线段 OM 与 x 轴反向

时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有
OM ? x ? cos ?

同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,规定: 当线段 M P 与 y 轴同向时, M P 的方向为正向,且有正值 y ;当线段 M P 与 y 轴反向 时, M P 的方向为负向,且有正值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有
M P ? y ? sin ?

4.像 MP、 OM 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(direct line segment). 5.如何用有向线段来表示角 ? 的正切呢? 如上图,过点 A (1, 0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 ? 的终边交于点
T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、 AT ,我们有

tan ? ? A T ?

y

x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、 OM 、 AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余

弦线、正切线,统称为三角函数线. 6.探究: (1)当角 ? 的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、 余弦线和正切线吗? (2)当 ? 的终边与 x 轴或 y 轴重合时,又是怎样的情形呢?

7.例题讲解 ? ? 例 1.已知 ? ? ? ,试比较 ? , tan ? , sin ? , cos ? 的大小. 4 2 处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习 P1 9 第 1,2,3,4 题 9 学习小结

(1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 ? 的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】 1. 作业: 比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) ? ? (1) sin 15 ? 、 tan 15 ? (2) cos150 ?18 ' 、 cos121? (3) 、 tan 5 5 2.练习三角函数线的作图.

1.2.2 同角三角函数的基本关系 一、教学目标: 1、知识与技能 (1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系;(2)已知某角的一个三角函数值,求它的其 余各三角函数值; (3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式; (4)利用同角三角函数关系 式证明三角恒等式; (5)牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学 生分析,解决三角问题的能力; (6)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒 等变形的能力,进一步树立化归思想方法; (7)掌握恒等式证明的一般方法. 2、过程与方法 由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系; 学习 已知一个三角函数值, 求它的其余各三角函数值; 利用同角三角函数关系式化简三角函数式; 利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所 学知识. 3、情态与价值 通过本节的学习,牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学 生分析,解决三角问题的能力;进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法. 二、教学重、难点 sin ? 重点:公式 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 及 (1)已知某任意角的 ? tan ? 的推导及运用: cos ? 正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个; (2)化简三角函数式; (3)证明简单的三角恒 等式. 难点: 根据角α 终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 及 sin ? ? tan ? ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. cos ? 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学设想 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样, 本节课我们来研究同角三角函数之间关系, 弄清同角各 不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. y 【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你 P 能从圆的几何性质出发,讨论一 1 M O A(1, 0) x

下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线 M P ,余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形,而且 OP ? 1 . 由勾股定理由 M P 2 ? OM
2

? 1 ,因此 x ? y ? 1 ,即 sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

2

2

根据三角函数的定义,当 a ? k ? ?

?
2

( k ? Z ) 时,有

sin ? cos ?

? tan ? .

这就是说,同一个角 ? 的正弦、余弦的平方等于 1,商等于角 ? 的正切. 2. 例题讲评 3 例 6.已知 sin ? ? ? ,求 cos ? , tan ? 的值. 5
sin ? , cos ? , tan ? 三者知一求二,熟练掌握.

3. 巩固练习 P2 3 页第 1,2,3 题 4.例题讲评 例 7.求证:
cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x

.

通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习 P2 3 页第 4,5 题 6.学习小结 (1) 同角三角函数的关系式的前提是 “同角”因此 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , ? ? , tan
sin ? cos ?



(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所 在象限进行分类讨论. 五、评价设计 (1) 作业:习题 1.2A 组第 10,13 题. (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.


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