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高中数学全部知识点整理


高中高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1.常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.关于“属于”的概念 如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a?A 3.集合的分类: (1).有限集 含有有限个元素的集合 (2).无限集 含有无限个元素的集合 2 (3).空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5}=Φ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。反之: 集

? B 或 B? ? A 合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ?
2. “相等”关系:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任 何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。即 A?A ②如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集: 记作 A∩B(读作"A 交 B"),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2.并集: 记作 A∪B(读作"A 并 B"),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3.交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A ,A∪φ = A ,A∪B = B∪A. 4.全集与补集(1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素 组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA ={x ? x?S 且 x?A} (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以 看作一个全集。通常用 U 来表示。 (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1.函数的单调性 2.函数的定义域值域 3.函数的奇偶性 若 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 若 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数.

S CsA A

注意:○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数 可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,

则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征
1

偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否 关于原点对称;○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)- f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 补充不等式的解法与二次函数(方程)的性质 1、a>0 时, | x |? a ? x ? ?a或x ? a , | x |? a ? ?a ? x ? a 2、配方: ax ? bx ? c ? a ( x ?
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a

2 3、△>0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根为 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ),则

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x1或x ? x2 , ax2 ? bx ? c ? 0 ? x1 ? x ? x2
2 4、△=0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个等根为 x0 ? ?

b ,则 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x0 , ax 2 ? bx ? c ? 0 无解 ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? R , ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x0
2 5、△<0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )无解,则

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? R , ax 2 ? bx ? c ? 0 无解
6.根与系数的关系(韦达定理)
2 若 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根为 x1 , x2 则

b c x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a
高中数学必修 2 知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们 规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
? ? 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;

?

?

? ? ? 当 ? ? 90 ,180 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1
2

(3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐 标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C 注意:○ 1 各式的适用范围

? 0 (A,B 不全为 0)
2 特殊的方程如: ○

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1 :

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,
(9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C
A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,圆心
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;
? 2 2?

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

2

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
2 2 2 2

3

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:

(1) 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 , 圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C ,
A2 ? B 2

则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交
2 2

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次 方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 2 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 去解直线与圆相切的问题,其中 x0 , y0 表示 切点坐标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推 广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 三、立体几何初步 1.柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

?

?

(2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)

'

S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch '
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

1 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
V柱 ? Sh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆 锥 表? ?r?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V圆柱 ? S h ? ? 2r h V锥 ? 1 S h
3

1 1 1 ' V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2? rR ? R )2 h V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3 3 3 2 (4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R 3 ; S 球面 = 4? R
3

2.空间直角坐标系 (1)定义:如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A , ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向, 食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y , z ) 来表示,有序实数组 ( x, y , z ) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z ) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做 点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2
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高中数学必修 3 知识点 第二章 2.1.1 简单随机抽样 统计

1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位完全独 立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之 间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证 程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 2.1.2 系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采 用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规 则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说 明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较 简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序
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排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3 分层抽样 1.分层抽样(类型抽样) :先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型 或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些 子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样 的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别 代表该子总体,所有的样本进而代表总体。 分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主 要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对 各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n

2、 .样本标准差: s ?

s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息 会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、 均值和标准差并不是总体的真正的分布、 均值和标准差, 而只是一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用;
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“去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关 1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数

2.回归直线方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进 行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如 已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程, 即可通过控制汽车流量来控制空气 中 NO2 的浓度。 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图;

(3)回归直线不要外延。 第三章 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出 概 率

nA 现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的概率:
对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常 数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。

nA (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n ,
它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度 越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能 性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率、 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥;
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(3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1— P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其 具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3) 事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情

形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)

A包含的基本事件数 = 总的基本事件个数
3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出 现的可能性相等. 高中数学必修 4 知识点

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

8

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴 n
*

的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? 8、 若扇形的圆心角为 ?

? 终边所落在的区 n

l . r

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? 57.3 . ? ? ?

C ? 2r ? l , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , 则l ? r ? , ??为弧度制? ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2
9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是

r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦 为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12 、 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 : ?1? sin
2
2 2 ?? 1 ? co s ? , c2o ? s ? ? 1 2s? i ? ? cos2 ? ? 1 ? s i n ? n;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

y P T v O MA x

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? ,cos ? 2k? ? ? ? ? cos? ,tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
9

?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再 将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则

??

1 1 ? ? ymax ? y min ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2
性 函 质 数 y ? sin x

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

10

值 域

??1,1?
当 x ? 2 k? ? 时 ,

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

最 值

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

在 ? 2k? ? 单 调 性

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?


?2k? ? ? ,2k? ?? k ???

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

上 是 增 函 数 ; 在

在 ? k? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
心 对 称 中 心

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对 对 称 性 称 中

? k? ,0?? k ???
对 称 轴









? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ?? ?

?

x ? k? ?

?
2

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

?k ? ??

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

11

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 则? ??

?

?

?

?

C

a

?
b

? ?x 1

x2 y ,1 ? y2

?.

?

19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时,? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、 平面向量基本定理: 如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基 2e 2 . 底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,? 1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ?

?

?

?

?

?

?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与 b 反
2 向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? 2

?

?

a ? a .③ a ? b ? a b .

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
12

?

?

? ?

?

?

若 a ? ? x, y ? ,则 a

2

? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

cos ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 x2 ? y2 2 1



24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos ⑶ tan 2? ?
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
? . ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

高中数学必修 5 知识点 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径,则

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
有 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

13

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac
2 2 2

6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 2 2 2

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这 个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若

b?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?


an ? a1 n ?1



④n ?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

* 21、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an * 差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an

? ap ? aq ;若 ?an ? 是等

? ap ? aq .

22、等差数列的前 n 项和的公式:① S n

?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

* 23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则 S2n

?

?

? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 a ? n S偶 an ?1


14

* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 n (其中 S奇 ? nan , ? S偶 n ? 1

. S偶 ? ? n ?1? an ) 24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这 个常数称为等比数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab ,
2

则称 G 为 a 与 b 的等比中项. 26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 27、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n ?1

?

a n?m an ? n . ;④ q am a1

* 28、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等比 * 数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an

2

? a p ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . 1 n ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q
* 30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

?q.

② Sn?m

? Sn ? qn ? Sm .

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
n n ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ??, n ? 1? ;

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0

??0

??0

15

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

x1,2 ?

? a ? 0? 的根
ax 2 ? bx ? c ? 0
一元二次 不等式的 解集

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

? a ? 0?
ax 2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所有这 样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 .

0 表 示 直 线 ?x ? ?y ? C ? 0 上 方 的 区 域 ; ?x ? ?y ? C ? 0 表 示 直 线 ① 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ?y ? C ? ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域. 0 表 示 直 线 ?x ? ?y ? C ? 0 下 方 的 区 域 ; ?x ? ?y ? C ?0 表 示 直 线 ② 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ?y ? C ? ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域.
40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
16

可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2
41、设 a 、 b 是两个正数,则 43、常用的基本不等式:① a2 ? b2 ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ;④ a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .高中数学函数知识点梳理 1. .函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x ) 为增函数; 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x)

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

为减函数. 注: 如果函数 f ( x ) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数;如果函数

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 注 : 若 函 数 y ? f ( x) 是 偶 函数 ,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a) 是 偶 函数 ,则

f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 注 : 对 于 函 数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒 成 立 , 则 函 数 f ( x ) 的 对 称 轴 是 函 数 a?b a?b x? ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 注:若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0 ) 对称;若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 2

y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数.
3. 多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ?

? a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
17

23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
4. 两个函数图象的对称性

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

(1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲线

f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27.若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 y ? 函数 y ? [ f 6.
?1

1 [f k

?1

( x ) ? b] ,并不是 y ? [ f

?1

(kx ? b) ,而

(kx ? b) 是 y ?

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .
x (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

(3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,
?
'

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

7.

几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 , 或 f ( x ? a) ? 或

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a ) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) f ( x)

1 ? 2

f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T=2a;

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 f ( x) 的 周 期 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )
(3) f ( x) ? 1 ? T=4a; (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a)

? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=6a.
8. 分数指数幂

18

(1) a (2) a 9.

m n

?
?

1
n

?

m n

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

a
根式的性质

m n

(1) ( n a )n ? a .

(2)当 n 为奇数时, n an ? a ;

当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? 10. 有理指数幂的运算性质

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

(1) ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) .(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (2)(3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . p 注:若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数 指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
11. 对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
2 注:设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f ( x ) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,

(2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

且 ? ? 0 ;若 f ( x ) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验. 12. 对数换底不等式及其推论

1 ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)(2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. a a
若 a ? 0 ,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n .(2) log a m log a n ? log a
2

m?n . 2

19

高三数学备课组 椭 1. 2. 圆

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4. 5.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

6.

若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 P1P2 的直线方程是

x2 y 2 ? ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 a 2 b2
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

7.

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1, F 2, 点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? , a 2 b2

则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan 8. 椭圆

?
2

.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a 2 b2

| MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点, A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆
x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, 则 , ( x , y ) OM AB 0 0 a 2 b2 a2

即 K AB ? ?

b 2 x0 。 a 2 y0
x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 . 内, 则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a2 b a b a 2 b2 x 2 y 2 x0 x y0 y x2 y 2 ? ? 1 ? ? ? 2 . 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a 2 b a 2 b2

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

双曲线
20

1. 2.

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

5.

若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 a 2 b2

6.

若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点 a 2 b2
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 7. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一 a 2 b2

点 ?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2co t 8. 双曲线

?
2

.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a 2 b2

当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a . 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点, A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.
x2 y 2 11. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中 a b

点,则 K OM ? K AB ?

b 2 x0 b 2 x0 ,即 。 K ? AB a 2 y0 a 2 y0
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

21

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b

13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线
x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b> 0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 高三数学备课组 椭 1. 椭圆 圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭 a 2 b2

x2 y 2 圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b

2.

过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭 a 2 b2

圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC

b2 x0 ? 2 (常数). a y0

3.

x2 y 2 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a b

?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意 a 2 b2 sin ? c ? ?e. sin ? ? sin ? a

一点, 在△PF1F2 中, 记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? , 则有

5.

x2 y 2 若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e a b

≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中 项. 6. P 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
22

7.

椭圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与 直 线 A x? B y ? a2 b2
2

C ? 0 有公共点的充要条件是

2 2 A2a 2? B b ? ( Ax0 ? By0 ? C) .

8.

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ . a 2 b2

(1)

4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ;(3) S?OPQ 的最小 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2

值是

a 2b 2 . a 2 ? b2

9.

过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN a 2 b2 | PF | e ? . | MN | 2

的垂直平分线交 x 轴于 P,则

10. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) a 2 b2

,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分

线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

x2 y 2 11. 设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 a b

?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b 2 .(2) S?PF1F2 ? b 2 tan . 2 1 ? cos ?

12. 设 A、 B 是椭圆

x2 y 2 ? ?1 ( a>b>0) 的长轴两端点, P 是椭圆上的一点,?PAB ? ? , a 2 b2

2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率, 则有(1) | PA |? 2 2 2 .(2) a ? c co s ?

tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ?
2

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的 a 2 b2

直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
23

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦 点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半 径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

24


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