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平面向量知识点总结及习题


平面向量知识点汇总
基本知识回顾:
1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示----- AB (几何表示法); ②用字母 a 、 b 等表示(字母表示法); ③平面向量的坐标表示(坐标表示法) : 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底。任作一个向量 a ,由平

面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj ,( x, y ) 叫做向量 a 的(直 角)坐标,记作 a ? ( x, y) ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特 别地, i ? (1, 0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) 。 a ?

?

?

x 2 ? y 2 ;若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?,
3.零向量、单位向量:

AB ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

①长度为 0 的向量叫零向量,记为 0 ; ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.(注: 4.平行向量: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a ∥ b ∥ c .共线向量与平行向量 关系:平行向量就是共线向量.

a |a|

就是单位向量)

? ? ?? ? 0, b 与 a同向 方向 --? ? ? 性质: a // b (b ? 0) ? a ? ?b (? 是唯一) ? ? ?? ? 0, b 与 a 反向 ? 长度---| a |? ? b ? ?

a // b (b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (其中 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) )
5.相等向量和垂直向量: ①相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为 ? ?

?
2

性质: a ? b ? a b ? 0

a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 (其中 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) )
6.向量的加法、减法: ①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则:

AC ? a ? b (起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形) DB ? a ? b
三角形法则 ?

?加法 ? ? ? 首尾相连 ?减法 ? ? ? 终点相连, 方向指向被减数

——加法法则的推广: ABn ? AB1 ? B1B2 ? ?? ? Bn?1Bn 即 n 个向量 a1 , a2 , ?? an 首尾相连成一个封闭图形,则有 a1 ? a2 ? ?? ?an ? 0 ②向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。即: a ? b = a + (? b ); 差向量的意义: OA = a ,

OB = b , 则 BA = a ? b

③平面向量的坐标运算:若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , ? a ? (? x, ? y) 。
④向量加法的交换律: a + b = b + a ;向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) ⑤常用结论: (1)若 AD ?

1 ( AB ? AC ) ,则 D 是 AB 的中点 2

(2)或 G 是△ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0 7.向量的模:

1、定义:向量的大小,记为 | a | 或 | AB | 2、模的求法: 若 a ? ( x, y) ,则 | a | ?

x2 ? y 2

若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 | AB | ? 3、性质: (1) | a |2 ? a ;
2

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

| a |? b (b ? 0) ? | a |2 ? b2 (实数与向量的转化关系)

(2) a ? b ? | a |2 ?| b |2 ,反之不然 (3)三角不等式: | a | ? | b | ? | a ? b | ? | a | ? | b | (4) | a b | ? | a || b | (当且仅当 a, b 共线时取“=” ) 即当 a, b 同反向时 , a b ??| a || b |

即当 a, b 同向时 , a b ? | a || b | ;

(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和, 即 2 | a |2 ?2 | b |2 ? | a ? b | 2 ? | a ? b |2 8.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a (1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 ; (3)运算定律 λ (μ a )=(λ μ ) a ,(λ +μ ) a =λ a +μ a ,λ ( a + b )=λ a +λ b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

交换律: a b ? b a ; 分配律: (a ? b) c ? a c ? b c ( ? a )? b = ? ( a ? b )= a ?( ? b ); ——①不满足结合律:即 (a b) c ? a (b c)

a a ②向量没有除法运算。如: a b ? c b ? a ? c , ? 都是错误的 ab b

2

(4)已知两个非零向量 a, b ,它们的夹角为 ? ,则

a b = | a || b | cos?
坐标运算: a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a b ? x1x2 ? y1 y2 (5)向量 AB ? a 在轴 l 上的投影为: ︱ a ︱ cos ? , ( ? 为 a 与 n 的夹角, n 为 l 的方向向量) 其投影的长为 A B ?
/ /

an |n|



n 为 n 的单位向量) |n|

(6) a 与 b 的夹角 ? 和 a b 的关系: (1)当 ? ? 0 时, a 与 b 同向;当 ? ? ? 时, a 与 b 反向 (2) ? 为锐角时,则有 ? 9.向量共线定理: 向量 b 与非零向量 a 共线 (也是平行) 的充要条件是: 有且只有一个非零实数λ , 使b = λ a。 10.平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有 且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 。 (1)不共线向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 、 e2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量。 向量坐标与点坐标的关系: 当向量起点在原点时, 定义向量坐标为终点坐标, 即若 A(x, y),则 OA =(x,y) ;当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即 若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 AB =(x2-x1,y2-y1) 11. 向量 a 和 b 的数量积:
???

? ?a b ? 0 ? ?a, b 不共线

; ? 为钝角时,则有 ?

? ?a b ? 0 ? ?a, b 不共线

?

?

?

?

?

?

?

?

???

???

① a ? b =| a |?| b |cos ? ,其中 ? ∈[0,π ]为 a 和 b 的夹角。 ②| b |cos ? 称为 b 在 a 的方向上的投影。 ③ a ? b 的几何意义是: b 的长度| b |在 a 的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可 负、也可是零) ,而不是向量。 ④若 a =( x1 , y1 ), b =(x2, y 2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑤运算律:a? b=b?a, (λ a)? b=a?(λ b)=λ (a?b) , (a+b) ?c=a?c+b?c。 ⑥ a 和 b 的夹角公式:cos ? =

? ?

a ?b a?b



x1 x2 ? y1 y2
2 x1 ? y1 ? 2 2 2 x2 ? y2

⑦ a ? a ? a ? | a | =x +y ,或| a |=
2 2 2

? ?

?2

x2 ? y2 ? a

2

⑧| a?b |≤| a |?| b |。

(

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) 3 3
? ? ? ? ? ?

12.两个向量平行的充要条件: 符号语言:若 a ∥ b , a ≠ 0 ,则 a =λ b

? ? ? ? ? x ? ?x 2 坐标语言为: 设a = (x1,y1) ,b =(x2,y2), 则 a ∥ b ? (x1,y1)=λ (x2,y2), 即? 1 , ? y 1 ? ?y 2

或 x1y2-x2y1=0 在这里,实数λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时,λ >0;当 a 与 b 异向时,λ <0。 |λ |=
|a| |b|
? ?

?

?

?

?

,λ 的大小由 a 及 b 的大小确定。因此,当 a , b 确定时,λ 的符号与大小就确

?

?

?

?

定了。这就是实数乘向量中λ 的几何意义。 13.两个向量垂直的充要条件: 符号语言: a ⊥ b ? a ? b =0 坐标语言:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0
? ? ? ? ? ? ? ?

《平面向量》测试题
一、选择题 1.若三点 P(1,1) ,A(2,-4) ,B(x,-9)共线,则( )

A.x=-1

B.x=3

C.x=

9 2

D.x=51

2.与向量 a=(-5,4)平行的向量是( A.(-5k,4k) B.(-



5 4 ,- ) C.(-10,2) D.(5k,4k) k k 3 3.若点 P 分 AB 所成的比为 ,则 A 分 BP 所成的比是( ) 4 3 7 7 3 A. B. C.D.7 3 3 7
4.已知向量 a、b,a?b=-40,|a|=10,|b|=8,则向量 a 与 b 的夹角为( A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|= 41 ? 20 3 ,|a|=4,|b|=5,则向量 a?b=( A.10 3 B.-10 3 C.10 2 ) D.10 )

6.(浙江)已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c =( ) 7 7 7? 7? ? ? ? 7 ?7 7? ? 7 A.? , ? B.?- ,- ? C.? , ? D.?- ,- ? 9? 3? ?9 3? ? 3 ?3 9? ? 9 7.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1),如果向量(a+x) ?b 与 b 垂直,则 x 的值为( ) A.

23 3

B.

3 23

C.2

D.-

2 5

8.设点 P 分有向线段 P 1P 2 的比是λ ,且点 P 在有向线段 P 1P 2 的延长线上,则λ 的取值范围 是( ) C.(-∞,0) D.(-∞,-

A.(-∞,-1) B.(-1,0) 9.设四边形 ABCD 中,有 DC =

1 ) 2


1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是( 2

A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将 y=x+2 的图像 C 按 a=(6,-2)平移后得 C′的解析式为( ) A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 2 2 11.将函数 y=x +4x+5 的图像按向量 a 经过一次平移后,得到 y=x 的图像,则 a 等于( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第 4 个顶点 D 的坐标是 ( ) A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量 a=(2,-1),向量 b 与 a 共线且 b 与 a 同向,b 的模为 2 5 ,则 b= 14.已知:|a|=2,|b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 45°,要使λ b-a 垂直,则λ = 15.已知|a|=3,|b|=5,如果 a∥b,则 a?b= 16.在菱形 ABCD 中, ( AB + AD ) ? ( AB - AD )= 。 。 。 。

三、解答题 17.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC、AB 的中点, 已知 AB =a, AD =b,试用 a、b 分别表示 DC 、 BC 、 MN 。

18.设 a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2), (1)求证 a 与 b 不共线,并求 a 与 b 的夹角的余弦值;(2)求 c 在 a 方向上的投影; (3)求 λ 1 和 λ 2,使 c=λ 1a+λ 2b. 19.设 e1 与 e2 是两个单位向量,其夹角为 60°,试求向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2 的夹角θ 。

20.以原点 O 和 A (4, 2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ∠B=90°, 求点 B 的坐标和 AB 。 21. 已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60 , c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? kb ,当当实数 k 为何
o

值时,⑴ c ∥ d

⑵c ? d

22.已知△ABC 顶点 A(0,0) ,B(4,8) ,C(6,-4) ,点 M 内分 AB 所成的比为 3,N 是 AC 边上的一点,且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半,求 N 点的坐标。 参考答案 1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结 AC

1 1 1 AB = a,?? AC = AD + DC = b+ a,?? 2 2 2 1 1 BC = AC - AB = b+ a-a= b- a,?? 2 2 1 NM = ND + DM = NA + AD + DM = b- a,?? 4 1 MN =- NM = a-b。?? 4

DC =

18. 【解析】 (1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1?3≠1?4,∴a 与 b 不共线. 又 a?b=-1?4+1?3=-1,|a|= 2,|b|=5, a?b -1 2 ∴cos〈a,b〉= = =- . |a||b| 5 2 10 (2)∵a?c=-1?5+1?(-2)=-7∴c 在 a 方向上的投影为

a?c -7 7 = =- 2. | a| 2 2

(3)∵c=λ 1a+λ 2b, ∴(5,-2)=λ 1(-1,1)+λ 2(4,3) =(4λ 2-λ 1,λ 1+3λ 2),

?4λ 2-λ 1=5 ? ∴? ? ?λ 1+3λ 2=-2

? ?λ ,解得? ? ?λ

1

=-

23 7

3 2= 7
2 2 2

.

19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a| =a =(2e1+e2) =4e1 +4e1?e2+e2 =7,∴|a|= 7 。
2 2

同理得|b|= 7 。又 a?b==(2e1+e2) ?(-3e1+2e2,)=-6e1 + e1?e2+2e2 =2 2

7 , 2

7 a·b 2 =- 1 ,∴θ =120°. ∴ cosθ = = | a |·| b | 7? 7 2 ?
20.[解] 如图 8,设 B(x,y),

则 OB =(x,y), AB =(x-4,y-2)。 ∵∠B=90°,∴ OB ⊥ AB ,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即 x +y =4x+2y。①
2 2

设 OA 的中点为 C,则 C(2,1), OC =(2,1) , CB =(x-2,y-1) ∵△ABO 为等腰直角三角形,∴ OC ⊥ CB ,∴2(x-2)+y-1=0,即 2x+y=5。② 解得①、②得 ?

?x1 ? 1 ? x 2 ? 3 或? ? y1 ? 3 ? y 2 ? ?1

∴B(1,3)或 B(3,-1),从而 AB =(-3,1)或 AB =(-1,-3) 21. ⑴若 c ∥ d 得 k ? 9 22.[解] 如图 10,

5

⑵若 c ? d 得 k ? ? 29

14

1 | AM |·| AN |·sin ?BAC S △ AMN 2 | AM |·| AN | = = 。 S △ ABC 1 | AB | · | AC | | AB |·| AC |·sin ?BAC 2

∵M 分 AB 的比为 3,∴

| AM | 3 = ,则由题设条件得 | AB | 4

| AN | 2 | AN | 1 4 | AN | = ,∴ = ,∴ =2。 2 3 | AC | | AC | 3 | AC |

0 ? 2?6 ? xN ? ? 4, ? ? 1? 2 由定比分点公式得 ? ? y ? 0 ? 2 ? (?4) ? ? 8 . N ? 1? 2 3 ?
∴N(4,-

8 )。 3

平面向量与三角形“四心”的应用问题
三角形的外心,内心,重心及垂心,在高考中的考查是比较棘手的问题,先 课程教材中所加的内容,更加引起我们的重视,尤其与平面向量结合在一起,那 就更加难于掌握了。 本文拟对与三角形的 “四心” 相关的平面向量问题加以归纳, 供学习时参考.

1 课本原题

例 1 、 已 知 向 量 OP P ? 1 , OP 2 , OP 3 满 足 条 件 O 1

O2 ? P

, O ?P 30

| OP 1 2P 3 是正三角形. 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |? 1 ,求证: △PP
分析 对于本题中的条件 | OP 容易想到, 点 O 是 △PP 1 2P 3的 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |? 1 ,

O 是 △PP 外心,而另一个条件 OP 1 2P 3 的重心. 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 表明,点

故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的重心也是外心,则该三角形一 定是正三角形.在 1951 年高考中有一道考题,原题是:若一三角形的重心与外 接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?与本题实质是相同的. 显然,本题中的条件 | OP 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |? 1 可改为 | OP 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |.

2 高考原题

例2、O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满 足

O P? O A ? ?(
A.外心 分析

AB AC P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ? )? ? ? [ 0 ?? , 则 ). | A B| | A C|
B.内心 C.重心 D.垂心

) .

已知等式即 AP ? ? (

AB AC AB AC ,显然 ? ) ,设 AE ? , AF ? | AB | | AC | | AB | | AC |

AE, AF 都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故 AP 为
?ABC 的平分线,选 B .

例 3 、 ?ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H ,

OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m =



分析: 本题除了利用特殊三角形求解外, 纯粹利用向量知识推导则比较复杂, 更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下,由已知,有向量等式 AH BC ? 0 , 将其中的向量分解,向已知等式形式靠拢,有 (OH ? OA) (OC ? OB) ? 0 ,将已知 代
2


2





[m(OA ? OB ? OC) ? OA] (OC ? OB) ? 0





由 O 是外心, 得 (m ?1)OA BC ? 0 , 由于 ?ABC m(OC ? OB ) ? (m ? 1)OA BC ? 0 , 是任意三角形,则 OA BC 不恒为0,故只有 m ? 1 恒成立. 或者, 过点 O 作 OM ? BC 与 M , 则 M 是 BC 的中点, 有 OM ?
1 (OB ? OC ) ; 2

H 是 垂 心 , 则 AH ? BC , 故 AH 与 OM 共 线 , 设 AH ? kOM , 则

k OH ? OA ? AH ? OA ? (OB ? OC ) 2

, 故 可 ,


A

OH ? m(OA ? OB ? OC)



得 有
T O F G

k k (m ? 1)OA ? (m ? )OB ? (m ? )OC ? 0 2 2 k m ? 1 ? m ? ? 0 ,得 m ? 1 . 2

根 据 已 知 式 子 OH ? m(OA ? OB ? OC) 中 的
H B

E

D

C

图1

OA ? OB ? OC 部分,很容易想到三角形的重心坐标公式,设三角形的重心为 G ,
O 是平面内任一点,均有 OG ?

OA ? OB ? OC ,由题意,题目显然叙述的是一个 3

一般的结论,先作图使问题直观化,如图1,由图上观察,很容易猜想到
HG ? 2GO ,至少有两个产生猜想的诱因,其一是, BF , OT 均与三角形的边 AC

垂直,则 BF // OT ;其二,点 G 是三角形的中线 BT 的三等分点.此时,会先猜 想 △BHG ∽△TOG ,但现在缺少一个关键的条件,即 BH ? 2OT ,这样由两个 三角形的两边长对应成比例,同时,夹角对应相等可得相似.当然,在考试时, 只需大胆使用,也可利用平面几何知识进行证明. 本题结论是关于三角形的欧拉定理,即设 O、G、H 分别是△ABC 的外心、重 心和垂心, 则 O、 G、 H 三点共线, 且 OG∶GH=1∶2, 利用向量表示就是 OH ? 3OG . 例 4 、 点 O 是 三 角 形 ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 , 满 足

OA OB ? OB OC ? OC OA ,则点 O 是 ?ABC 的(
A.三个内角的角平分线的交点 交点 C.三条中线的交点 分 析 移 项 后 不 难 得

) . B.三条边的垂直平分线的

D.三条高的交点 出 ,
A

OB CA ? OC AB ? OA CB ? 0 ,点 O 是 ?ABC 的垂心,
选D.

P

3 推广应用题
例5 小. 分析 在 △ABC 内求一点 P ,使 AP2 ? BP2 ? CP2 最

B



C

如图2,构造向量解决.取 CA ? a, CB ? b 为基向量,设 CP ? x ,有

AP ? x ? a, BP ? x ? b.
于 是 ,

2 2 1 1 AP 2 ? BP 2 ? CP 2 ? ( x ? a )2 ? ( x ? b) 2 ? x ? 3[ x ? (a ? b)]2 ? a ? b ? (a ? b) 2 . 3 3 1 1 当 x ? ( a ? b) 时, AP2 ? BP2 ? CP2 最小,此时,即 OP ? (OA ? OB ? OC ) , 3 3

则点 P 为 △ABC 的重心. 例 6
2 |O A |?

已 知 O 为 △ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 满 足

| B 2? C|

2 |O ?B |

2

|? C A|
2

2

2 O|为 △ABC ,则 ? |O C |A 的 B|
2

心.

分析

将 | BC |2 ? (OC ? OB ) 2 ? OC ? OB ? 2OC OB , | CA |2 ,| AB |2 也类似展

开代入,已知等式与例4的条件一样.也可移项后,分解因式合并化简,O 为垂 心. 例 7 已 知
O



△ABC















O sA i
分析

n? B

O

C

s O ? i B n

A . O? sC i

n O

C

0A

O

B

构造坐标系证明.如图3,以 A 为坐标

原点, B 在 x 轴的正半轴, C 在 x 轴的上 方 . S△ AOB ?
1 x2 y0 , 直 线 BC 的 方 程 是 2
2

y

C ( x3 , y3 ) O( x0 , y0 )

y3 x ?(

2

x? ) x ? y 3

, x3 ? 0 y 由于点 A 与点 O 必在直

线 BC 的 同 侧 , 且 ? x2 y3 ? 0 , 因 此 有

A
图3

B( x2 , y2 )

x

x0 y? 3
S△ BOC ?

x3 ? y0

,得 x2 ? y0 0 x ? 2 y3

1 ( x3 y0 ? x2 y3 ? x0 y3 ? x2 y0 ) . 2

直线 AC 的方程是 y3 x ? x3 y ? 0 ,由于点 (1, 0) 与点 O 必在直线 AC 的同侧,且
1 y3 ?1 ? x3 ? 0 ? 0 ,因此有 x0 y3 ? x3 y0 ? 0 ,得 S△ AOC ? ( x0 y3 ? x3 y0 ) . 2

于 是 , 容 易 验 证 , OA? S△BOC ? OB ? S△AOC ? OC ? S△AOB ? 0 , 又
S△ B
O C

S△ BOA

1 | O B | | O C | s i, n B O C 2 1 1 ? | OB || OA | sin AOB , S△ AOC ? | OA || OC | sin AOC , 又| O A || O ? B || O C? | 2 2 ?



则所证成立.


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