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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 双曲线学案 理


第五十三课时 双曲线 课前预习案
考纲要求 掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质. 基础知识梳理 1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1, F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨 迹叫做 .这两个定点叫双曲线的 ,两焦点间的距离叫做 .

集合 P={M| |MF1|-|MF2||=2a},|F

1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当 (2)当 (3)当 时,P 点的轨迹是双曲线; 时,P 点的轨迹是两条射线; 时,P 点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 - =1 a2 b2
(a>0,b>0)

y2 x2 - =1 a2 b2
(a>0,b>0)

图 形

范 围

对称性

顶点 性 质

渐近线

离心率 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= 实虚轴 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= ; ;

a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系

1

预习自测 1.若 k∈R,则方程 A.-3<k<-2 + =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线的充要条件是( k+3 k+2 B.k<-3 C.k<-3 或 k>-2 D.k>-2

x2

y2

)

2.已知双曲线 - =1 的一个焦点坐标为(- 3,0),则其渐近线方程为________. a 2

x2 y2

x2 y2 3.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双曲线的左、右 a 9
焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于________. 4.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且点(4,- 10)在双曲线上.双曲 线的方程为________________

课堂探究案 典型例题 考点 1 双曲线的定义 【典例 1】(1)动点 P 到定点 F1(1,0)的距离比它到定点 F2(3,0)的距离小 2,则点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线 2 2 (2)已知圆 C:(x-3) +y =4,定点 A(-3,0) ,求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹方程.

【变式 1】已知三点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0),以 F1、F2 为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程为 _____________. 【变式 2】已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为 C 的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|, 9 16 则△PF1F2 的面积等于( A.24 ) B.36 C.48 D.96

x2

y2

考点 2 双曲线的标准方程 典例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1) 虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x. 2

【变式 3】根据下列条件,求双曲线方程:
2

x2 y2 (1) 与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3,2 3) ; 9 16
(2) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 ,2) 。 16 4
x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆 C: x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的 a 2 b2


(3) 已知双曲线

右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为(

x2 y 2 (A) ? ?1 5 4

x2 y 2 (B) ? ?1 4 5

x2 y 2 (C) ? ?1 3 6

x2 y 2 (D) ? ?1 6 3

考点 3

双曲线的性质

【典例 3】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点,

AB ? 4 3 ,则 C 的实轴长为(
( A) 2 (B) 2 2



(C ) ?

( D) ?

【变式 4】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C:x?-y?=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2= ( ) (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

(2)P 为双曲线 x - =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4) +y =4 和(x-4) +y =1 上的点,则|PM| 15 -|PN|的最大值为________.

2

y2

2

2

2

2

当堂检测 1.(2011·安徽)双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是( (A)2 (B) ? ? (C) 4
? ?

) (D) 4 ?

2.(2011· 新课标)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( )
3

(A) 2

(B) 3

(C)2

(D)3

3. (2013·湖南)设双曲线 A.4 B. 3

x2 y2 ? ? 1?a ? 0? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( a2 9
C. 2 D. 1



4.(2013·辽宁)已知点(2,3)在双曲线 C: 为_____________.

x 2 y2 ? 1 (a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率 a 2 b2

课后拓展案 A 组全员必做题 1 . (2013 福建)双曲线 A.

2 5

x2 ) ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4 2 5 4 5 4 B. C. D. 5 5 5

2 . (2013 广东)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ( )

F ?3,0?

3 ,离心率等于 2 ,则双曲线 C 的方程是

x2 y 2 ? ?1 5 A. 4

x2 y 2 ? ?1 5 B. 4

x2 y 2 ? ?1 5 C. 2

x2 y 2 ? ?1 5 D. 2

x2 y 2 5 3 . (2013 新课标 1)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 a b 2
( ) A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

4 . (2013 湖北) 已知 0 ? ? ? A.实轴长相等 5. (2013 江苏)双曲线 6. (2013 陕西)双曲线
2

?
4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x )

,则双曲线 C1 :
2

y2 x2 x2 y2 与 ( C : ? ? 1的 ? ? 1 2 sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ? cos2 ? sin 2 ?
C.焦距相等 D.离心率相等

B.虚轴长相等

x y ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________. 16 9
x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于_______. 4 16 m

B 组提高选做题 1.(2011 辽宁)已知点(2,3)在双曲线 C: 为_____________.
4

x 2 y2 ? 1 (a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率 a 2 b2

2. ( 2013 湖 南 ) 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 ,P 是 C 上 一 点 , 若 a 2 b2 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为______.

3.若双曲线的一条渐近线方程为 y ?

2 x ,则其离心率为
参考答案

预习自测 1.A 2. y ? ? 2x 3.7

x2 y 2 ? ?1 4. 6 6
典型例题 【典例 1】(1)C; (2) x ?
2

y2 ?1 1( x? ?? 0) (x 1) . 8

【变式 1】

x2 y 2 ? ?1; 20 16

【变式 2】C 【典例 2】 (1)

x2 y2 x2 y 2 y 2 x2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1或 ? ? 1 .(2) ? ?1 9 81 64 36 64 36 9 4 4 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1; ? ?1; (2) (3)A 9 4 12 8 4

【变式 3】 (1)

【典例 3】C 【变式 4】 (1)C; (2)5 当堂检测 1.C 2.B 3.C 4.2 A 组全员必做题
5

1.C 2.B 3.C 4.D 5. y ? ? 6.9 B 组提高选做题 1.2 2. 3 3. 4.2

3 x 4

6 或 3 2

6


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