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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 4 章 第 1 节 平面向量的 概念及线性运算课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 → → → → |AO| 1.若 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2OA+OB+OC=0,那么 = → |AD| ________. → → → [解析] 因为 D 为 BC 边的中点,∴OB+OC=2OD, → → → 又 2OA+OB+OC=0, → → → → ∴2OA+2OD=0,即AO=OD. → → → |AO| 1 因此AD=2AO,故 = . → 2 |AD| [答案] 1 2

2.(2014?镇江质检)若 a+c 与 b 都是非零向量,则“a+b+c=0”是“b∥(a+c)” 的________条件. [解析] 若 a+b+c=0,则 b=-(a+c), ∴b∥(a+c); 若 b∥(a+c),则 b=λ (a+c),当 λ ≠-1 时,a+b+c≠0. 因此“a+b+c=0”是“b∥(a+c)”的充分不必要条件. [答案] 充分不必要 → → → 3. 如果AB=e1+e2, BC=2e1-3e2, AF=3e1-ke2, 且 A, C, F 三点共线, 则 k=________. → → [解析] ∵AB=e1+e2,BC=2e1-3e2, → → → ∴AC=AB+BC=3e1-2e2. ∵A,C,F 三点共线,

1

→ → → → ∴AC∥AF,从而存在实数 λ ,使得AC=λ AF. ∴3e1-2e2=3λ e1-λ ke2, 又 e1,e2 是不共线的非零向量,
?3=3λ , ? ∴? ? ?-2=-λ k,

因此 k=2.

[答案] 2 → → → 4.(2014?南京调研)在△ABC 中,点 D 是 BC 边上的点,AD=λ AB+μ AC(λ ,μ ∈R), 则 λ μ 的最大值为________. [解析] λ μ ≤? → → → ∵D 在边 BC 上,且AD=λ AB+μ AC,∴λ >0,μ >0,且 λ +μ =1,∴

?λ +μ ?2=1,当且仅当 λ =μ =1时,取“=”号. ? 2 ? 2 ? 4
1 4

[答案]

→ → → → → 5.(2014?泰州市期末考试)在△ABC 中,BD=2DC,若AD=λ 1AB+λ 2AC,则 λ 1λ 2 的 值为________. → → → → 1→ → → → → 1→ 2→ 1 [解析] AD=AC+CD=AC+ CB,而CB=AB-AC,所以AD= AB+ AC,所以 λ 1= ,λ 3 3 3 3 2 2 = ,则 λ 1λ 2= . 3 9 [答案] 2 9

2

6.(2014?南京市调研)如图 4?1?3 所示,在△ABC 中,D,E 分别为边 BC,AC 的中点, → → → → →

F 为边 AB 上的点,且AB=3AF,若AD=xAF+yAE,x,y∈R,则 x+y 的值为________.

图 4?1?3 → 1 → → 1 → → 3→ → 3 [解析] ∵D 为 BC 的中点, ∴AD= (AB+AC)= (3AF+2AE)= AF+AE, 故 x= , y=1, 2 2 2 2 5 ∴x+y= . 2

2

[答案]

5 2

→ → → 7.(2014?宿迁质检)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5AM=AB+3AC,则△

ABM 与△ABC 的面积比为________.

→ → → [解析] 设 AB 的中点为 D,如图所示,由 5AM=AB+3AC得 → → → → → → 3AM-3AC=2AD-2AM,即 3CM=2MD. → 3→ 故 C,M,D 三点共线,且MD= CD. 5

1 ?AB?DM S△ABM 2 DM 3 所以 = = = . S△ABC 1 DC 5 ?AB?DC 2 [答案] 3 5

→ → → 8.(2014?扬州质检)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,|BC|=4,|AB+AC| → → → =|AB-AC|,则|AM|=________.

→ → → → → [解析] 延长 AM 至点 D,连结 BD、CD,则 ABDC 为平行四边形,AB+AC=AD,AB-AC= → → → → → → →

CB,∵|AB+AC|=|AB-AC|,∴|AD|=|CB|=4,

→ 1 → ∴|AM|= |AD|=2. 2 [答案] 2 二、解答题
3

9.设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → → [解] (1)∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). → → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB. → → ∴AB,BD共线, 又∵它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)假设 ka+b 与 a+kb 共线, 则存在实数 λ ,使 ka+b=λ (a+kb),即(k-λ )a=(λ k-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ =λ k-1=0. ∴k -1=0,∴k=±1. → 2→ → 10.在△ABC 中,AD= AB,DE∥BC 交 AC 于 E,BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N,设AB=a, 3 → → → → → → →
2

AC=b,用 a、b 表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.

图 4?1?4 → → ? ?DE∥BC, ?→ 2→ ? ?AD=3AB

[解]

→ 2→ 2 ? AE= AC= b. 3 3



→ →

BC=AC-AB=b-a.
→ 2→ 2 由△ADE∽△ABC,得DE= BC= (b-a). 3 3 又 AM 是△ABC 的中线,DE∥BC,

4

→ 1→ 1 得DN= DE= (b-a). 2 3 → 1 → → 1 又AM= (AB+AC)= (a+b). 2 2 △ADN∽△ABM → 2→ AD= AB 3

? → 2→ 1 ?? AN=3AM=3(a+b). ?
[B 级 能力提升练]

一、填空题 1.如图 4?1?5 所示,平面内三

图 4?1?5 → → → → → → → → → 个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为 120°,OA与OC的夹角为 30°,且|OA|=|OB| → → → → =1,|OC|=2 3.若OC=λ OA+μ OB(λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值为________.

→ → [解析] 以 OC 为对角线,OA,OB方向作平行四边形(如图所示 ODCE).

由已知∠COD=30°,∠COE=90°, → 在 Rt△OCD 中,∵|OC|=2 3, → → |OC| 则|OD|= =4; cos 30° → → 在 Rt△OCE 中,|OE|=|OC|?tan 30°=2, → → → → ∴OD=4OA,OE=2OB, → → → → → 又OC=OD+OE=4OA+2OB. ∴λ =4,μ =2,故 λ +μ =6.

5

[答案] 6 → → → → → 2.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC 的 形状为________. → → → → → → → → → → → → → → → → [解析] OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC,OB-OC=CB=AB-AC,∴|AB+AC| → → =|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. [答案] 直角三角形 二、解答题 → → 3.设 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足OP=OA + → → ? AB AC ? + λ ? ,λ ∈[0, +∞).求点 P 的轨迹, 并判断点 P 的轨迹通过下述哪一个定点: → → ? ?|AB| |AC|? ①△ABC 的外心;②△ABC 的内心;③△ABC 的重心; ④△ABC 的垂心. → → → AB → AC → → [解] 如图,记AM= ,AN= ,则AM,AN都是单位向量, → → |AB| |AC|

→ → → → → ∴|AM|=|AN|,AQ=AM+AN, 则四边形 AMQN 是菱形,∴AQ 平分∠BAC. → → → → → → ∵OP=OA+AP,由条件知OP=OA+λ AQ, → → ∴AP=λ AQ(λ ∈[0,+∞)), ∴点 P 的轨迹是射线 AQ,且 AQ 通过△ABC 的内心.

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