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重庆市第一中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


数 学 试 题 卷
一,选择题 1. 已知集合 M ? {x 1 ? x ? 5, x ? N}, S ? {1,2,3} ,那么 M ? S ? ( A {1, 2,3, 4} B {1, 2,3, 4,5} ) C )
3



C {2,3}

D {2,3, 4}

2.

式子 log3 2log2 27 的值为( A

2

B

3

1 3

D

?3

3. 下列函数为奇函数的是( A

1? x ? 1? x

B x ?1

C

1? x ? 1? x
)条件.

D ?

4. 已知 p : lg( x ? 3) ? 0 , q : A 充分不必要 B 充要

x?2 ? 0 ,那么 p 是 q 的( x?4
C 必要不充分

1 x2

D 既不充分也不必要 ) D 3

5. 已知幂函数 y ? (a2 ? 2a ? 2) xa 在实数集 R 上单调,那么实数 a ? ( A 一切实数 B

3 或 ?1

C

?1

6. 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 y ? f ( x) 满 足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ( x1 ? x2 ) , 若 x1 ? x2
) D ?1 )

f( 5? )? 1 f( ,7? ) ,那么 0 f (?3) 的值可以为(
A 5 B

?5

C 0

7.对于任意的 a ? 1, b ? 1 ,以下不等式一定不成立的是(

A loga b ? 0

B

a ?1
b

1 C ( )b ? 1 a

1

D loga b ? logb a ? 2 )

8. 以下关于函数 f ( x) ?

2x ?1 ( x ? 3) 的叙述正确的是( x ?3

A 函数 f ( x ) 在定义域内有最值 C 函数 f ( x ) 的图像关于点 (3,1) 对称 D 函数 y ?

B 函数 f ( x ) 在定义域内单调递增

5 的图像朝右平移 3 个单位再朝上平移 2 个单位即得函数 f ( x ) x

3 2 9. 函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f (2 ? x), x ? R ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? 4 x ? 4 ,则方程

f ( x) ? 0 的所有实数根之和为(



A 2

B 3

C 4

D 1
-1-

10. 已 知 关 于 x 的 方 程 x ? 2ax ? 2a ? 3a ? 2 ? 0 有 两 个 不 等 的 实 数 根 x1 , x2 , 那 么
2 2

( x1 ? x2 )2 的取值范围是(
A

) C (0,1] D (0,1)

(0, ??)

B [0,1]

11. 已知函数 f ( x) ? log 2 (3x ? ( A (?1,3) )

a ? 2) 在区间 [1, ??) 上单调递增, 那么实数 a 的取值范围是 x
C [0,3] D [0,3)

B (?1,3]

12. 对于任意 x ? R, 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? x ?1 ? a ? x ? 2 ? 4 的值非负, 则实数 a 的最小值 为( A ? ) B ?5 C ?3 D ?2

11 8

二,填空题 13. 将函数 f ( x) ? log2 (3x ? 2) ?1 的图像向上平移 1 个单位, 再向右平移 2 个单位后得到函 数 g ( x) ,那么 g ( x) 的表达式为 14.已知 [1,5] ? x ? R x ? 6 x ? a ? 2 ,那么实数 a 的最小值为
2

?

?

3 2 15. 函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 是实数集 R 上的偶函数,并且 f ( x) ? 0 的解为 (?2, 2) ,



d 的值为 b
2

x 16. 函数 f ( x) ? 2 ,g ( x) ? x ? 2kx ?

5 , 若对于任意的 s ?[?1, 2] , 都存在 t ?[k , 2k ? 1] , 2

使得 f ( s) ? g (t ) 成立,则实数 k 的取值范围是

三,解答题 17. 集合 A ? ? x ( x ? )( x ? 3) ? 0? , B ? ?x ln( x 2 ? ax ? a ? ) ? 0? (1)若集合 B 只有一个元素,求实数 a 的值; (2)若 B 是 A 的真子集,求实数 a 的取值范围.

1 2

? ?

9 4

? ?

-2-

18. 函数 f ( x) ?

2 x ? 2? x ( x ? R) 2 x ? 2? x
3 15 ? f ( x ) ? 的解集. 5 17

(1)判断并证明函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求不等式

19. 如图,定义在 [?1, 2] 上的函数 f ? x ? 的图象为 折线段 ACB , (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)请用数形结合的方法求不等式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集, 不需要证明.

R? , B ? x q ? 9 ? p ? 3 ? 1 ? 0, x ? R? , 且 实 数 20. 集 合 A ? x 9 ? p ?3 ?q ?0,x ?
x x x x

?

?

pq ? 0
(1)证明:若 x0 ? A ,则 ? x0 ? B ; (2)是否存在实数 p, q 满足 A ? B ? ? 且 A ? CR B ? {1} ?若存在,求出 p, q 的值,不存 在说明理由.

-3-

21. 函数 f ( x) ? (log3 x)2 ? (a ?1)log3 x ? 3a ? 2( x ? 0, a ? R) (1)若函数 f ( x ) 的值域是 [2, ??) ,求 a 的值; (2)若 f (3x) ? log 3(9 x) ? 0 对于任意 x ? [3,9] 恒成立,求 a 的取值范围.

a (a ? 0) 在区间 (0, a ] 上单调递减,在区间 [ a , ??) 上单调递增;函 x 1 3 1 3 1 2 数 h( x) ? ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ( x ? [ , 2]) x x 2 a a 2 n ( 1 ) 请 写 出 函 数 f ( x) ? x ? 2 (a ? 0) 与 函 数 g ( x) ? x ? n (a ? 0, n ? N , n ? 3) 在 x x
22. 已知函数 y ? x ?

(0, ??) 的单调区间(只写结论,不证明) ;
(2)求函数 h( x) 的最值; (3)讨论方程 h ( x) ? 3mh( x) ? 2m ? 0(0 ? m ? 30) 实根的个数.
2 2

-4-

2015 年重庆一中高 2018 级高一上期半期考试 数 学 答 案 2015.12 一,选择题(每题 5 分,共 60 分) ABCAD BCDBC BD

二,填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.

log2 (3x ? 4)

14. - 7

15. ?4

16.

[ 2, ??)

三,解答题(70 分) 17.(12 分) 解: (1)根据集合 B 有 x ? ax ? a ?
2

5 ? 0 有两个相等的实数根,所以 4

5 ? ? a 2 ? 4(a ? ) ? 0 ? a ? 5 或 ?1 ; 4 1 (2)根据条件, A ? { ,3} , B 是 A 的真子集,所以当 B ? ? 时, 2 5 ? ? a 2 ? 4(a ? ) ? 0 ? ?1 ? a ? 5 ; 4
当 B ? ? 时,根据(1)将 a ? 5, ?1分别代入集合 B 检验,当 a ? 5, B ? {? } ,不 满足条件,舍去;当 a ? ?1 , B ? { } ,满足条件; 综上,实数 a 的取值范围是 [?1,5) 18(12 分) 解: (1)函数 f ( x ) 是定义域 R 上的奇函数,证明如下,

5 2

1 2

2 x ? 2? x 2? x ? 2 x 2 x ? 2? x , f ( ? x) ? ? x ?? x ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是 R 上的 任取 x ? R , f ( x) ? x 2 ? 2? x 2 ? 2x 2 ? 2? x
奇函数;又 f (1) ? (2) f ( x) ? 又 f (1) ?

3 3 ? f (?1) ? ? ,所以 f ( x) 不是偶函数. 5 5

2 x ? 2? x 2 x ? 2? x ? 2.2? x 2 ? ? 1? x ,易得 f ( x ) 在 R 上单增, x ?x x ?x 2 ?2 2 ?2 4 ?1

3 15 3 15 , f (2) ? ,所以不等式不等式 ? f ( x ) ? 的解集为 [1, 2] 5 17 5 17

19.(12 分)

-5-

?2 x ? 2,(?1 ? x ? 0) 解: (1)根据图像可知点 A(?1,0), B(0, 2), C (2,0) ,所以 f ? x ? ? ? ? ? x ? 2,(0 ? x ? 2)

(2)根据(1)可得函数 f ( x ) 的图像经过点(1,1) ,而函数 log 2 ( x ? 1) 也过点 (1,1) , 函数 log 2 ( x ? 1) 的图像可以由 log 2 x 左移 1 个单位而来,如图所示,所以根据图像可得不等 式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集是 (?1,1] .

20.(12 分) 证明: ( 1 ) 若 x0 ? A , 则 9 0 ? p3 0 ? q ? 0, 可 得 1 ? p3
x x ? x0

? q9? x0 ? 0, 即 ? x0 是 方 程

的实数根,即 x0 ? B . q9x ? p 3x ? 1 ? 0 (2)假设存在,则根据 A ? B ? ? , A ? CR B ? {1} ,易知集合 A, B 有且仅有一个公共元素, 设 A ? B ? {s} , 根 据 条 件 以 及 ( 1 ) 有 A ? {1,s }, B ? {?1, ? s} , 显 然 s ? ?1 , 则 有

s ? ? s ? s ?0 ,那么 A ? {0,1}, B ? {0, ?1} ,代入方程有 p ? q ? 1 ? 0, 3 p ? q ? 9 ? 0 ,联
立解得 ?

? p ? ?4 , ? q?3 ? p ? ?4 满足 A ? B ? ? 且 A ? CR B ? {1} q ? 3 ?

所以存在 ?

21.(12 分) 解: ( 1 ) f ( x) ? (log 3 x) ? (a ? 1) log 3 x ? 3a ? 2 ? (log 3 x ?
2

a ?1 2 (a ? 1)2 ) ? 3a ? 2 ? ,又 2 4
-6-

? x ? (0, ??),?log3 x ? R,? (log 3 x ?

a ?1 2 ) ? [0, ??) , 2

(a ? 1 2) a ? 2? ,? ? , ) 根 据 条 件 f ( x) 的 值 域 为 [ 2 ?? , ? f ( x) 的 值 域 为 [ 3 , ) 4

? 3a ? 2 ?

(a ? 1)2 ? 2,? a ? 7 ? 4 2 4

( 2 ) f (3x) ? log3 (9x) ? (log3 x ?1)2 ? (a ?1)(log3 x ?1) ? 3a ? 2 ? log3 x ? 2 , 整 理 得

f ( 3x ? ) lo (9 ? ) 3 g x

3

2 (l x o? g a ) ?

(

3

, 2 x? )l oag

4

令 log3 x ? t , 当 x ? [3,9] 时, t ?[1, 2] , 那么 f (3x ) ? log 对于任意 x ? [3,9] 恒成立 ? t ? (a ? 2)t ? 4a ? 0 对于任意 x) ? 0 3 (9
2

t ?[1, 2] 恒成立,根据实根分布

t 2 ? (a ? 2)t ? 4a ? 0 的二实根,一根小于等于 1,一根大于等于 2

? 1 ? (a ? 2) ? 4a ? 0 4 ?a?? ? 3 ?4 ? 2(a ? 2) ? 4a ? 0
22.(10 分) 解: (1)根据条件,

a (a ? 0) 的单调递减区间是 (0, 4 a ] ,单调递增区间是 [ 4 a , ??) x2 a n 函数 g ( x) ? x ? n 的单调递减区间是 (0, 2n a ] ,单调递增区间是 [2n a , ??) ; x 1 1 3 1 1 2 3 6 3 (2) h( x) ? ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ( x ? 6 ) ? 4( x ? 3 ) ? 6 x x x x 1 1 1 6 3 由 (1) 可知,x ? 6 与 4( x ? 3 ) 均在 [ ,1] 单调递减, 在 [1, 2] 上单调递增, 则有函数 h( x) x x 2 1 在 [ ,1] 单调递减,在 [1, 2] 上单调递增,所以 hmin ? h(1) ? 16, 2 1 9 9 6561 hmax ? h( ) ? h(2) ? ( )3 ? ( )3 ? 2 2 4 64 f ( x) ? x 2 ?
(3)由 h ( x) ? 3mh( x) ? 2m ? 0 可得 (h( x) ? m)(h( x) ? 2m) ? 0 ,所以有
2 2

1 h( x) ? m 或 h( x) ? 2m , 又 函 数 h( x) 在 [ ,1] 单 调 递 减 , 在 [1, 2] 单 调 递 增 , 而 2 1 6561 h(1) ? 16, h( ) ? h(2) ? , 2 64 所以当 0 ? 2m ? 16 ? 0 ? m ? 8 时,方程无实数根;
-7-

当 2m ? 16 ? m ? 8 时,有一个实数根; 当 0 ? m ? 16, 且 60 ? 2m ? 16 即 8 ? m ? 16 ,方程有两个实数根; 当 m ? 16, 2m ? 32 ,方程有三个实数根; 当 16 ? m ? 30, 2m ? 60 ?

6561 时,方程有四个实数根. 64

综上,①当 0 ? m ? 8 时,方程实根个数为 0; ②当 m ? 8 时,方程实根个数为 1; ③当 8 ? m ? 16 时,方程实根个数为 2; ④当 m ? 16, 2m ? 32 时,方程实根个数为 3; ⑤当 16 ? m ? 30 时,方程实根个数为 4.

-8-


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