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汕头市2015-2016学年度普通高中毕业班教学质量检测试题(文科含答案)


汕头市 2015-2016 学年普通高中毕业班质量监测 数学(文科)参考答案及评分标准
一、 选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 题号 答案 1 D 提示: 11. 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 A 8 C 9 B 10 C 11 D 12 C

f ?

-7 ? ? - f ? 7 ? ? ? log ?27 ?1? ? ?3 ,

? 3?1? g? ? f ? ?7 ? ? ? ? g ? ?3? ? f ? ?3? ? ? f ? 3? ? ? log 2 ? ?2 故选 D.

12.

0] 单调递减,如图所示,易得 a ? 1 , f ? x ? ? x2 在 [?1,
?log a 3 ? 1 ,∴ 3 ? a ? 5 ,故选 C. ?log a 5 ? 1

依题意得 ?

. 二、填空题:本大题共 4 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13.

-4

14.

y ? 3x ? 1

15.

3 2

16. ⑷

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,由 cos B ?

7 3 且 0 ? B ? ? ,得 sin B ? ,……3 分 4 4

又由正弦定理:

14 c b ? 得: sin C ? .……6 分 sin C sin B 8
2

2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理: b ? a ? c ? 2ac ? cos B 得: 2 ? a ? 1 ? 2a ?

3 , 4

即a ?
2

3 1 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? - (舍去) ,………………4 分 2 2

所以, S? ABC ?

1 1 7 7 ? a ? c ? sin B ? ?1? 2 ? ? ……………………6 分 2 2 4 4

18. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 解: (Ⅰ)因为 d ≠0 的等差数列, a2 , a6 , a22 成等比数列
2 ? a6 ? a 2 a22 即 ? a1 ? 5d ? ? ? a1 +d ?? a1 ? 21d ? 即 d ? 3a1 ①……………1 分
2

又由 a4 ? a6 =26 得 2a1 +8d ? 26

②……………………2 分

,d ? 3 ?an ? 3n ? 2 ……………………3 分 由①②解得 a1 =1
?b3 ? a2 ? 4 即 b1q2 ? 4 , 又b5 ? a6 ? 16 即 b1q 4 ? 16 ;? q2 ? 4 ………………5 分
又 q 为正数? q ? 2 , b ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 anbn

?bn ? 2n?1 ……………………6 分

? ?3n ? 2? 2n?1 ……………………1 分

?Tn ? 1? 20 ? 4 ? 2 ? 7 ? 22 ??? ?3n ? 2? 2n?1 ……………………2 分 ?2Tn ? 1? 2 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ??? ?3n ? 2? 2n ……………………3 分
??Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2
2 n ?1

? ?3n ? 2 ? 2 ? 1 ?
n

6 ?1 ? 2n ? 1? 2

? ?3n ? 2 ? 2n ? ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5

?Tn ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5 ……………………6 分
19. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 解: (Ⅰ)设第 2 组 [30, 40) 的频率为 f 2 ,

f2 ? 1 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.03) ?10 ? 0.35 ; ………………3 分
第 4 组的频率为 0.02 ? 10 ? 0.2 …………………………4 分 所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为

0.35 ? 0.2 ? 0.55 P 1 ?

………………………6 分 ……………………1 分

(Ⅱ)设第 1 组 [30, 40) 的频数 n1 ,则 n1 ? 120 ? 0.005 ?10 ? 6 记第 1 组中的男性为 x1 , x2 , ,女性为 y1 , y2 , y3 , y4 ,

随机抽取 3 名群众的基本事件是: ( x1 , x2 , y1 ) , ( x1 , x2 , y2 ) , ( x1 , x2 , y3 ) , ( x1 , x2 , y4 )

( x1 , y2 , y1 ) , ( x1 , y3 , y2 ) , ( x1 , y1 , y3 ) , ( x1 , y4 , y1 ) , ( x1 , y2 , y4 ) , ( x1 , y3 , y4 ) , ( x2 , y2 , y1 ) , ( x2 , y3 , y2 ) , ( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y4 , y1 ) , ( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ……………………4 分 ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 20 种

其中至少有两名女性的基本事件是: ( x1 , y2 , y1 ) , ( x1 , y3 , y2 ) , ( x1 , y1 , y3 ) , ( x1 , y4 , y1 ) ,

( x1 , y2 , y4 ) ,( x1 , y3 , y4 ) ,( x2 , y2 , y1 ) ,( x2 , y3 , y2 ) ,( x2 , y1 , y3 ) ,( x2 , y4 , y1 ) ,( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 16 种………5 分 16 4 ? ………………………………………………6 分 所以至少有两名女性的概率为 P2 ? 20 5
20. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 解: (Ⅰ)记 AC1 与 A1C 的交点为 E .连结 ME .

? 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,点 M 是 BB1 中点,

? MA1 ? MA ? MC1 ? MC ? 42 ? 32 ? 5 ……2 分
因为点 E 是 AC1 、 A1C 的中点, 所以 ME ? AC1 , ME ? A1C , ……4 分 又 AC1 ? AC ? E 从而 ME ? 平面 AAC 1 1 1C . 因为 ME ? 平面 A1MC ,所以平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C . ……6 分

H, (Ⅱ)过点A作 AH ? AC 1 于点
由(Ⅰ)平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C ,平面 A 1 1C ? AC 1 , 1MC ? 平面 AAC 而 AH ? 平面 AAC 1 1C ……2 分

? AH

即为点 A 到平面 A1MC 的距离. ……3 分

在 ?A1 AC 中, ?A ,AC ? 4 2, AC1 ? 68 1 AC ? 90? , AA 1 ?6

? AH ?

AA1 ? AC 6 ? 4 2 24 34 ? ? AC 34 68 1
24 34 34
……6 分

即点 A 到平面 A1MC 的距离为

21. (本小题满分 12 分)(注:第(1)问 6 分,第(2)问 6 分)

?2a ?1 ? a ? x 2 ? x ? 1 解: (Ⅰ)由题知 f ? x ? ? ? x ? 0? ……………………1 分 x
'

当 a ? ?1 时,由

f ' ? x ? ? 0 得 2a ?1 ? a ? x2 +x ? 1=0 且 ? =9+8a ,

x1 ?

1 ? 9 ? 8a 1 ? 9 ? 8a , x2 ? ……………2 分 ?4 ?1 ? a ? ?4 ?1 ? a ?

①当 a ? ?1时,所以 f ( x ) 在 ②当 a ? ?1 时, f ( x) 在 ③当 a ? ?

? 0,1? 上单调递增在 ?1,+?? 上单调递减………………3 分
在上

? 0, x2 ? 上单调递增;

? x2 ,+?? 上单调递减 ………4 分

9 时, f ( x) 在 ? 0,+?? 上单调递增……………5 分 8

④当 ?

9 ? a ? ?1 时, f ( x) 在 ? 0, x1 ? 和? x2 , ??? 上单调递增; 在上 ? x1, x2 ? 上单调递 8

减……………………6 分 (Ⅱ)当 a ? 1 时,要证 f ? x ? ? ? 只需证 ln x ? x ? ?

ln x (0, ? ?) ? ?1 ? a ? x 2 ? a ? 1 在 上恒成立, x

ln x

x

(0, ? ?) ? a ? 1在 上恒成立, ……………………1 分
ln x ?1? a , x

令 F(x) ? ln x ? x, g ( x) ? ? ? 因为 F ' ( x) ?

1 1? x , ?1 ? x x

易得 F ( x) 在 (0, 1) 上递增,在 (1, ? ?) 上递减,故 F ( x) ? F (1) ? ?1,……………2 分 由 g ( x) ? ?

1 ? ln x ln x ? 1 ln x (x ) ? ? ? (x ? 0), ?1? a 得 g ? 2 x x x2

当 0 ? x ? e 时, g ' ( x) ? 0 ; 当 x ? e 时, g ' ( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, e) 上递减,在 (e,??) 上递增, ………………3 分

1 ? 1 ? a ,……………………4 分 e 1 1 又 a ? 1 ,? ? ? 1 ? a ? ? ? ?1 ,即 F ( x)max ? g ( x)min ,……………………5 分 e e ln x (0, ? ?) 所以 ln x ? x ? ? 上恒成立, ? a( x ? 1) 在 x ln x (0, ? ?) 故当 a ? 1 时,对任意的 x ? , f ( x) ? ? ? a( x ? 1) 恒成立………………6 分 x
所以 g ( x) ? g (e) ? ? 22. (本小题满分 10 分)(注:第(1)问 5 分,第(2)问 5 分) 解: (Ⅰ)∵ DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF
2

∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ……………………………………3 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA

EA EP ? , ∴ EA? ED ? EF ? EP EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP . ………………………………5 分
∴ ?EDF ∽ ?EPA, ∴ (Ⅱ)∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2
2

∴ EC ?

9 ,∵ CE : BE ? 3 : 2 2

∴ BE ? 3

由(Ⅰ)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? ∴ BP ? EP ? EB ?

27 . 4

…………………………2 分

15 2 . ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA ? PB ? PC 4

∴ PA ?
2

15 27 9 15 3 ? ( ? ) ,解得 PA ? . ……………………………………5 分 4 4 2 4

23. (本小题满分 10 分)(注:第(1)问 4 分,第(2)问 6 分)

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 解: (Ⅰ)将直线 l : ? ( t 为参数)消去参数 t , ? y? 3t ? ? 2
化为普通方程 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,……………………2 分 将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .…………4 分 ? y ? ? sin ?

(Ⅱ)方法一:曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .………………2 分 由?

? x ?1 ? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? ? x?3 ? 解得: ? 或? ………………4 分 2 2 ? ? ?y ? ? 3 ? ?y ? 3 ? x ? y ? 4x ? 0

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2, 方法二:由 ?

? 5? ) , (2 3, ) .………………6 分 6 3

? ? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ,……………2 分 ? ? 4 cos ? ? ?

得: sin(2? ?

?
3

) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ………………4 分

?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 所以 ? 5? 或 ? ? ?? ? ? ?? 3 ? 6 ?
所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2,

? 5? ) , (2 3, ) .………………6 分 6 3

24. (本小题满分 10 分)(注:第(1)问 5 分,第(2)问 5 分) 解: (Ⅰ)由题意可得: 2x ?1 ? x ?1 ? 3 ,

1 1 时, ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3, x ? ?3 ,即 ? 3 ? x ? ; ……………………2 分 2 2 1 5 1 当 ? x ? 1 时, 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即 x ? 即 ? x ? 1 ;……………………3 分 2 3 2
当x? 当 x ? 1 时, 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即1 ?

x?3

……………………4 分

? 该不等式解集为 ?x ? 3 ? x ? 3?. …………5 分
(Ⅱ)令 f ( x) ? 2x ?1 ? x ?1 ,有题意可知: a ?

f ( x)min ……………………2 分

1 ? ? ? x, x ? 2 ? 1 ? 1 又 f ( x ) ? ?3 x ? 2, ? x ? 1 ? f ( x) min ? ? ,……………………4 分 2 2 ? x, x ? 1 ? ? ? 1 ……………………5 分 ?a ? - . 2


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