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6.2《算术平均数与几何平均数》第三课时


6.2 算术平均数与几何平均数
第三课时

一、教学目标:
1.进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题; 2.三个数均值的简单运用; 3.能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题。

二、教学重难点:
重点:利用均值不等式求最值及值域 难点:化实际问题为数学问题

三、教学过程:
(一)复习:1.均值不等式; (二)新课讲解: 例 1.设 a, b, c ? R ,求证:
?

2.极值定理

b?c a?c a?b ? ? ?6 a b c b a c b c a 分析 1:左 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 (三次均值) a b b c a c
分析 2:左 ? ( b ? c ? a ) ? ( c ? b ? a ) ? 3 ? 3 ? 6 a b c a c b 例 2.求函数 y ? x 2 ? 2 ( x ? 0) 的值域。

x

分析: y ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 3 2 ? 1 ? 1 ? 3 x x x
x x x x x

1 由 x ? 得 x ? 1 故值域是 [3, ??) 。 x a 例 3.求函数 y ? x(a ? 2 x) 2(0 ? x ? ) 的最大值。 2 3 3 分析: y ? x( a ? 2 x) 2 ? 1 ? 4 x ? (a ? 2 x) ? (a ? 2 x) ? 1 ? ( 4 x ? a ? 2 x ? a ? 2 x ) ? 2 4 4 27 a 3
2

例 4.如图,设矩形 ABCD( AB ?

AD) 的周长为 24 ,把它关于 AC 折起来, AB 折过去后,交 DC B? 于 P ,设 AB ? x ,求 ?ADP 的最大面积及相应的 x 值。 解:∵ AB ? x , ∴ AD ? 12 ? x , P D C 又 DP ? PB? , AP ? AB? ? PB? ? AB ? DP ? x ? DP , ? x 2) ? D P2 ? (x ? D P2,得 ) DP ? 12 ? 72 , 由勾股定理得 (1 2
x 1 1 72 432 , ∴ ?ADP 的面积 S ? AD ? DP ? (12 ? x) ? (12 ? ) ? 108 ? (6 x ? ) 2 2 x x
∵x

A

B

x ∴ S ? 108 ? (6 x ? 432 ) ? 108 ? 72 2 x 432 当且仅当 6 x ? 时,即当 x ? 6 2 时, S 有最大值 108 ? 72 2 。 x 例 5.某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅, 每 1m 长造价 40 元,两侧墙砌砖,每 1m 长造价 45 元,顶部每 1m2 造价 20 元.计算: (1)仓库底面积S的最大允许值是多少? (2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?

? 0 ,∴ 6 x ? 432 ? 2

6x ?

432 ? 72 2 , x

解:设铁栅长为 x m,一堵砖墙长为

y m,则有 S ? xy

6.2

算术平均数与几何平均数 3-1

由题意得 40 x ? 2 ? 45 y ? 20 xy

? 3200 (?)

应用算术平均数与几何平均数定理,得

3200 ? 2 40 x ? 90 y ? 20 xy ? 120 xy ? 20 xy ? 120 S ? 20S ,
? S ? 6 S ? 160 ,
即: (

S ? 10)( S ? 10) ? 0
而 xy ? 1 ? 90 y , 0 0 , 由此求得 x ? 15 ,

? S ? 16 ? 0, ? S ? 10 ? 0, ? S ? 100
因此 S 的最大允许值是 100 m , 取得此最大值的条件是 40 x
2

即铁栅的长应是 15 m 。 说明:本题也可将 y ? S 代入(*)式,导出关于 x 的二次方程,利用判别式法求解. x 例 6.甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已知汽车每小时的 .... 运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 x (千米/时)的平方成正比,比例 .... 系数为 b ,固定部分为 a 元, (1)把全程运输成本 ...... y (元)表示为速度 x (千米/时)的函数,指出定义域; (2)为了使全程运输成本 最小,汽车应以多大速度行驶? ...... 解: (1)由题知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 S ,全程运输成本为

x

S S a y ? a ? ? bx 2 ? ? S ( ? bx) , x x x

S S a ? bx 2 ? ? S ( ? bx) , x ? (0, c] ; x x x a (2)由题知 S , a, b, x 都为正数,故有 S ( ? bx) ? 2S ab , x a 当且仅当 ? bx ,即 x ? a 时上式等号成立; x b
所以,函数及其定义域为 y ? a ? 若 若
a ? c ,则当 x ? b a 时,全程运输成本 b

y 最小;

a ? c ,当 x ? (0, c] 时, b a a a a S S ( ? bx) ? S ( ? bc) ? S[( ? ) ? (bx ? bc)] ? (c ? x)(a ? bcx) , x c x c xc

∵ c ? x ? 0, a

? 0, a a ∴ S ( ? bx) ? S ( ? bc) ,当且仅当 x ? c 时上式等号成立,即当 x ? c 时,全程运输成本 x c
2

? bc 2 ,

∴ a ? bcx ? a ? bc

y 最小。

综上,当

a ? c 时,行驶速度应为 x ? b

a ;当 b

a ? c 时,行驶速度应为 x ? c 。 b

(三)练习: 1.回答本章引例 2.P11 练习 4 (四)小结:解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及 不等式性质等)解决问题。

四、作业:
1.P12 习题 5 2.制造容积为 ?

2

立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米 30 元,做侧面的金

属板的价格为每平方米 20 元,要使用料成本最低,此圆柱形桶的底面半径和高。 3.今有一台天平,两臂长不等,其余均精确。有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右盘各称 一次,则两次称量结果的和和一半就是物体的真实重量。这种说法对吗?并说明你的理由。 6.2 算术平均数与几何平均数 3-2


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