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直线的倾斜角和斜率


1.1 直线的倾斜角和斜率 本节内容是北师大版必修二第二章第一节。 这章的内容是解析几何初 步。因为要研究一些复杂的曲线,原先的一套方法已经不适应了,这 就导致解析几何的出现。解析几何的基本思想是通过建立坐标系,把 几何问题化成代数问题,用代数方法加以研究,同时,也可以提供一 些代数问题的几何背景和解决思路。本节通过对“直线的倾斜角与斜 率”的讨论,帮助我们体会解析几何的基本思想。 一.教学目标 1. 知识与技能 ① 学习直线的倾斜角与斜率有关的概念; ② 会推导斜率公式并且会使用。 2. 过程与方法 通过学习直线的倾斜角和斜率的有关概念,培养学习的数学 理解能力,在推导斜率公式的过程中,增强学生运用坐标法解决 几何问题的能力。 3. 情感态度价值观 学生通过主动探究,合作学习,互相交流,增强学生的数学应用 意识,提高学生数学思维的情趣,给学生成功的体验,强化学生 参与意识与主体作用。 二.教学重难点 重点:直线的倾斜角和斜率的概念 难点:斜率概念的理解和过两点的直线的斜率公式的建立。

三.学情分析 作为教学对象的学生是学习主体,为了突出学生的主体的地位, 教师需全面研究学生,理解学生。 ① 知识结构 经过半年多时间的学习, 学生对数学概念和思维方法的认识水平 有了较大提高,但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距,尤其是 对知识的探究、 联想、 迁移能力上。 在新课中, 运用了生活中的实例, 引导学生思维,让学生主动参与探究过程。 ② 情感结构 随着年龄的增大,阅历的丰富,高中学生自主意识的增强,有独 立思考问题、 发现问题的能力。 在学生的探究活动中, 主动通过设疑、 质疑、 提示等启发式手段, 帮助他们分析问题, 激发学生的学习兴趣。 四.教学方法 研究式的学习方法,自主参与,合作交流。 五.教学过程 (一)新课引入 问题 1:在平面直角坐标系中,点可以用坐标来表示,直线如何 表示呢?
L

y

y

p(1,1)

x

O

x

探究:一条直线的位置有由哪些哪些条件确定呢? 问题 2:一点能不能确定一条直线?(不能)
Y

y=x

X

Y
Y

y=x

45 X

O

X

(二)新课讲解 1.直线的倾斜角的定义 在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,把 x 轴(正 方向)按逆时针方向绕着交点旋转道到和直线 l 重合所成的角,叫作 直线 l 的倾斜角。 注意:①直线向上的方向 X 轴的正方向 倾斜角的取值范围0。 ≤ α < 180。 思考:直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系呢? 平面直角坐标系中,每一条直线都有确定倾斜角,倾斜程度不同

的直线有不同的倾斜角,倾斜程度相同的有相同的倾斜角。
Y

a C O b
X

问题:怎样才能确定直线的位置? 一点+倾斜角(直线的方向)确定一条直线(两者缺一不可) 2.直线斜率的概念 (1)思考:在日常生活中,有没有表示倾斜程度的量(让学生 举例) 0.01km 1km 0.01km 1km 如上图:在日常生活中,我们用坡度来刻画道路的“倾斜程度” , 坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比。这相当于在水平方向移动 1km,在铅直方向上升或下降的数值(km) ,这个比值就表示了坡度 的大小。这样的例子很多很多,比如,楼梯及屋顶的坡度等。 (2)斜率的定义 一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率,通常用 k 表示。

Y

y=x

X

对α取不同的范围进行分析 k 的取值情况。 3.直线的倾斜角与斜率之间的关系 (1)0。 ≤ α < 90。 时,斜率是正的,倾斜角变化时,直线的斜 率如何变化? (2)90。 < < 180。 时,斜率是负的,倾斜角变化时,直线的 斜率如何变化? 4.两点确定直线的斜率 已知两点1 (1 ,1 ),2 (2 ,2 ), (1 ≠ 2 ) ,则由这两点确定直线 的斜率 k?

Y

P2

P1 α

α

Q
X

直线斜率:k=

2 ? 1

2 ? 1

注意:①当直线与 x 轴平行或重合时,k=0 ② 直线与 y 轴平行或重合时,k 不存在。 ③ 直线的斜率与两点的位置无关 (三)课堂小练

例一:判断题 1. 直线的倾斜角是α,则它的斜率为tan α 2. 直线的斜率是tan α,则它的倾斜角是α 3. 因为所有的直线都有倾斜角,所以所有的直线都有斜率。 例二:求经过点 A(-2,0) ,B(-5,3)两点直线的斜率和倾斜角。 例三:已知 A(3,2) ,B(-4,1) ,C(0,1)求直线 AB、BC、CA 的斜 率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角? (四)归纳小结 1.直线倾斜角定义与取值范围 2.直线斜率的定义 3.直线的倾斜角与斜率的关系 4.两点间斜率公式 (五)课后练习 课本 63 页练习


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