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高一必修1数学第二章课后习题共十页


新课程标准数学必修 1 第二章课后习题解答
第二章 基本初等函数(I) 2.1 指数函数 练习(P54) 1. a = a ,a = a ,a
2 3 1 2 3 4

4

3

?

3 5

=

1
5

>a
4

3

,a

?

2 3

=

1
3

a2

.
3 4 2 3

2. (1) x =x ,

3

2

(2) ( a ? b) =(a+b) ,
3

(3) (m - n) =(m-n) ,
3

2

5
4 6 5 (4) (m - n) =(m-n)2,(5) p q =p3q 2 ,(6)

m3 m

=m

3?

1 2

=m .

5 2

3. (1)(

36 2 6 6 216 ) =[( )2] 2 =( )3= ; 49 7 7 343
1 1? ? ? ? 3 3 ) × (3× 22) 6 =2 3 3 × 3 2 3 6 =2× 3=6; 2 1 3 ? ? ? ? ? 1 4 ( x 3 -2x 3 )=x 3 3 -4x 2 3 =1-4x-1=1 ? . 2 x 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1

3

3

(2)2 3 ×3 1.5 ×6 12 =2× 32 × (
1 2 1 4 1 8 1 1 1 ? ? 2 4 8 5 8

(3)a a a 练习(P58) 1.如图

?

=a

=a ;

(4)2x

?

图 2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需 x-2≥0,即 x≥2,所以函数 y=3
1

x -2

的定义域为{x|x≥2};

1 (2)要使函数有意义,需 x≠0,即函数 y=( ) x 的定义域是{x∣ x≠0}. 2
3.y=2x(x∈ N*) 习题 2.1 A 组(P59) 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x-y.

b 2 解:(1) a

3

? ? a b a 2 2 2 2 2 a ? b ? ( ) = = =a0b0=1. 6 1 1 6? b a2 b 2

2

3 2

2?

1 2

1

1 1

3 3

(2) a

1 2

a

1 2

a = a

1 2

a ? a = a ? a =a .

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

1

1

1

(3)

m ?3 m ?4 m (6 m )5 ? m
1 4

=

m2 ? m3 ? m4 m m
5 6 1 4

=

m2 m

1 1 1 ? ? 3 4 5 1 ? 6 4

=m0=1.

点评:遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解:对于(1),可先按底数 5,再按 对于(2),先按底数 8.31,再按 键,再按 1 键,再按 1 2,最后按 2,最后按 键,再按 ,即可求得它的值.答案:1.710 0; 即可. 答案:2.881 0; 键,再按 2,最后按 即可.

对于(3)这种无理指数幂,先按底数 3,再按

答案:4.728 8; 对于(4)这种无理指数幂,可先按底数 2,其次按
1 3 3 4 7 12 1 3 7 ? ? 3 4 12 5 3

键,再按 π 键,最后按
2 3 3 4 2 3 5 ? ? 3 4 6

即可. 答案:8.825 0.
7 12

4.解:(1)a a a (3)(x y
2 3 1 3 ?

=a

=a ;
3 ? ?12 4 =x4y-9;
1

(2)a a ÷ a 6 =a

5

=a

;

3 4 12

) =x

1 ?12 3

y
1

(4)4a b

?

1 3

? ? ? 2 ? ? 2 ÷ ( ? a 3 b 3 )=( ? × 4) a 3 3 b 3 3 =-6ab0=-6a; 3 3
3 4?( ? ) 2 3 3 2?( ? ) ?6?( ? ) 2 2

2 1

1 1

16s 2 t ?6 ) (5) ( 25r 4
1

?

3 2

=

2

s

t

5
? 1 2 2

3 2?( ? ) 2
1

r

3 4?( ? ) 2
2

=

2 ?6 s ?3 t 9 125r 9 r 6 = ; 64s 3 5 ?3 r ? 6
1 1 1 ? ? 2 4

(6)(-2x 4 y
1

?

1 3

)(3x
1 4

y 3 )(-4x 4 y 3 )=[-2× 3× (-4)]x x 4
1 ? 1 4 1 2 1

y

1 2 2 ? ? ? 3 3 3

=24y;

(7)(2x 2 +3y (8)4x
1 4

?

)(2x 2 -3y
? 1 3

)=(2x 2 )2-(3y y
? 2 3

?

1 4 2

) =4x-9y
1 1 1

?

1 2

;
1

(-3x y

1 4

)÷ (-6x

?

? 3 ? 4 4 ? 4 ? 2 ?3? 3 )= =2xy 3 . x y ?6

1 2

点评: 进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结 果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 5.(1)要使函数有意义,需 3-x∈ R,即 x∈ R,所以函数 y=23-x 的定义域为 R. (2)要使函数有意义,需 2x+1∈ R,即 x∈ R,所以函数 y=32x+1 的定义域为 R. (3)要使函数有意义,需 5x∈ R,即 x∈ R,所以函数 y=(
1

1 5x ) 的定义域为 R. 2

(4)要使函数有意义,需 x≠0,所以函数 y=0.7 x 的定义域为{x|x≠0}. 点评:求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0 的 0 次幂 没有意义. 6.解:设经过 x 年的产量为 y,一年内的产量是 a(1+

p p 2 ),两年内产量是 a(1+ ) ,…,x 年内的产 100 100

2

量是 a(1+

p x p x ) ,则 y=a(1+ ) (x∈ N*,x≤m). 100 100

点评:根据实际问题,归纳是关键,注意 x 的取值范围. 7.(1)30.8 与 30.7 的底数都是 3,它们可以看成函数 y=3x,当 x=0.8 和 0.7 时的函数值; 因为 3>1,所以函数 y=3x 在 R 上是增函数.而 0.7<0.8,所以 30.7<30.8. (2)0.75-0.1 与 0.750.1 的底数都是 0.75,它们可以看成函数 y=0.75x,当 x=-0.1 和 0.1 时的函数值; 因为 1>0.75,所以函数 y=0.75x 在 R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1. (3)1.012.7 与 1.013.5 的底数都是 1.01,它们可以看成函数 y=1.01x,当 x=2.7 和 3.5 时的函数值; 因为 1.01>1,所以函数 y=1.01x 在 R 上是增函数.而 2.7<3.5,所以 1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3 与 0.994.5 的底数都是 0.99,它们可以看成函数 y=0.99x,当 x=3.3 和 4.5 时的函数值; 因为 0.99<1,所以函数 y=0.99x 在 R 上是减函数.而 3.3<4.5,所以 0.994.5<0.993.3. 8.(1)2m,2n 可以看成函数 y=2x,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 2>1,所以函数 y=2x 在 R 上是增函数. 因为 2m<2n,所以 m<n. (2)0.2m,0.2n 可以看成函数 y=0.2x,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0.2<1, 所以函数 y=0.2x 在 R 上是减函数.因为 0.2m<0.2n,所以 m>n. (3)am,an 可以看成函数 y=ax,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0<a<1, 所以函数 y=ax 在 R 上是减函数.因为 am<an,所以 m>n. (4)am,an 可以看成函数 y=ax,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 a>1, 所以函数 y=ax 在 R 上是增函数.因为 am>an,所以 m>n. 点评:利用指数函数的单调性是解题的关键.

1 9.(1)死亡生物组织内碳 14 的剩余量 P 与时间 t 的函数解析式为 P=( ) 5730 . 2
当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳 14 的含量为 P=(

1

1 ) 2

9?5730 5730

=(

1 9 ) ≈0.002. 2

答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳 14 的含量约为死亡前含量的 2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳 14 的存在.

1 (2)设大约经过 t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳 14,那么( ) 2
答:大约经过 6 万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳 14 的.

10000 t 5370

<0.001,解得 t>5.7.

B组 1. 当 0<a<1 时,a2x-7>a4x-12 ? x-7<4x-1 ? x>-3; 当 a>1 时,a2x-7>a4x-1 ? 2x-7>4x-1 ? x<-3. 综上,当 0<a<1 时,不等式的解集是{x|x>-3}; 当 a>1 时,不等式的解集是{x|x<-3}. 2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.
1

解:(1)设 y=x 2 +x

?

1 2

1

,那么 y2=(x 2 +x

?

1 2 2

) =x+x-1+2.由于 x+x-1=3,所以 y= 5 .

(2)设 y=x2+x-2,那么 y=(x+x-1)2-2.由于 x+x-1=3,所以 y=7. (3)设 y=x2-x-2,那么 y=(x+x-1)(x-x-1),而(x-x-1)2=x2-2+x-2= 5 ,所以 y=± 3 5. 点评:整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解:已知本金为 a 元. 1 期后的本利和为 y1=a+a× r=a(1+r),

3

2 期后的本利和为 y2=a(1+r)+a(1+r)× r=a(1+r)2, 3 期后的本利和为 y3=a(1+r)3, … x 期后的本利和为 y=a(1+r)x. 将 a=1 000,r=0.022 5,x=5 代入上式得 y=a(1+r)x=1 000× (1+0.022 5)5=1 000× 1.02255≈1118. 答:本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y=a(1+r)x,5 期后的本利和约为 1 118 元. 4.解:(1)因为 y1=y2,所以 a3x+1=a-2x.所以 3x+1=-2x.所以 x= ? (2)因为 y1>y2,所以 a3x+1>a-2x. 所以当 a>1 时,3x+1>-2x.所以 x> ?

1 . 5

1 . 5 1 . 5

当 0<a<1 时,3x+1<-2x.所以 x< ? 2.2 对数函数 练习(P64) 1.(1) log2 8 ? 3 ; 2.(1) 3 ? 9 ;
2

(2) log 2 32 ? 5 ; (2) 5 ? 125 ;
3

1 ? ?1 ; 2 1 ?2 (3) 2 ? ; 4
(3) log 2

1 1 ?? 3 3 1 ?4 (4) 3 ? 81
(4) log 27

x 2 3.(1)设 log5 25 ? x ,则 5 ? 25 ? 5 ,所以 x ? 2 ;

(2)设 log 2

1 1 ? x ,则 2 x ? ? 2?4 ,所以 x ? ?4 ; 16 16
x 3

(3)设 lg1000 ? x ,则 10 ? 1000 ? 10 ,所以 x ? 3 ; (4)设 lg 0.001 ? x ,则 10 ? 0.001 ? 10 ,所以 x ? ?3 ;
x ?3

4.(1)1; 练习(P68)

(2)0;

(3)2;

(4)2;

(5)3;

(6)5.

1.(1) lg( xyz ) ? lg x ? lg y ? lg z ;

xy 2 ? lg( xy 2 ) ? lg z ? lg x ? lg y 2 ? lg z ? lg x ? 2lg y ? lg z ; (2) lg z
(3) lg

xy3 1 1 ? lg( xy3 ) ? lg z ? lg x ? lg y 3 ? lg z ? lg x ? 3lg y ? lg z ; 2 2 z

(4) lg

x 1 1 ? lg x ? lg( y 2 z) ? lg x ? (lg y 2 ? lg z) ? lg x ? 2lg y ? lg z . y z 2 2
2

2.(1) log3 (27 ? 9 ) ? log3 27 ? log3 9 ? log3 3 ? log3 3 ? 3 ? 4 ? 7 ;
2 2 3 4

(2) lg100 ? 2lg100 ? 2lg10 ? 4lg10 ? 4 ;
2 2

(3) lg 0.00001 ? lg10

?5

? ?5lg10 ? ?5 ;

(4) ln e ?

1 1 ln e ? 2 2

4

6 ? log 2 2 ? 1 ; (2) lg 5 ? lg 2 ? lg10 ? 1 ; 3 1 1 (3) log 5 3 ? log 5 ? log 5 (3 ? ) ? log 5 1 ? 0 ; 3 3 5 1 ? log 3 ? log 3 3?1 ? ?1 . (4) log 3 5 ? log 3 15 ? log 3 15 3 5 4.(1)1; (2)1; (3) 4
3. (1) log 2 6 ? log 2 3 ? log 2 练习(P73) 1.函数 y ? log3 x 及 y ? log 1 x 的图象如右图所示.
3

相同点:图象都在 y 轴的右侧,都过点 (1, 0) 不同点: y ? log3 x 的图象是上升的,

y ? log 1 x 的图象是下降的
3

关系: y ? log3 x 和 y ? log 1 x 的图象是关于 x 轴对称的.
3

2. (1) (??,1) ;

(2) (0,1)

(1, ??) ;

(3) (??, ) ;

3. (1) log10 6 ? log10 8 习题 2.2 A 组(P74) 1. (1) log3 1 ? x ; (5) lg 25 ? x 2. (1) 5 ? 27
x

(2) log0.5 6 ? log0.5 4

1 (4) [1, ??) 3 (3) log 2 0.5 ? log 2 0.6 (4) log1.5 1.6 ? log1.5 1.4
3 3

(2) log 4

1 ? x; 6

(3) log4 2 ? x ;

(4) log2 0.5 ? x

(6) log5 6 ? x (2) 8 ? 7
x

(3) 4 ? 3
x

(4) 7 ?
x

1 3

(5) 10 ? 0.3
x

(6) e ? 3
x

3. (1) 0 ;

(2) 2 ;

(3) ?2 ;

(4) 2 ;

(5) ?14 ; (2) log3 4 ?

(6) 2 .

4. (1) lg 6 ? lg 2 ? lg 3 ? a ? b ;

lg 4 2lg 2 2a ? ? ; lg 3 lg 3 b

(3) log 2 12 ?

lg12 2lg 2 ? lg 3 lg 3 b ? ? 2? ? 2? ; lg 2 lg 2 lg 2 a
(2) x ?

(4) lg

3 ? lg 3 ? lg 2 ? b ? a 2

5. (1) x ? ab ;

m ; n

(3) x ?

n3 ; m

(4) x ?

b . c
x

6. 设 x 年后我国的 GDP 在 1999 年的 GDP 的基础上翻两番,则 (1 ? 0.073) ? 4 解得 x ? log1.073 4 ? 20 . 答:设 20 年后我国的 GDP 在 1999 年的 GDP 的基础上翻两番.

5

3 4 8. (1) m ? n ; (2) m ? n ; 9. 若火箭的最大速度 v ? 12000 ,
7. (1) (0, ??) ; (2) ( ,1] . 那么 2000ln ?1 ?

(3) m ? n ;

(4) m ? n .

? ?

M m

M M M ? ? e6 ? ? 402 ? ? 12000 ? ln(1 ? ) ? 6 ? 1 ? m m m ?

答:当燃料质量约为火箭质量的 402 倍时,火箭的最大速度可达 12km/s. 10. (1)当底数全大于 1 时,在 x ? 1 的右侧,底数越大的图象越在下方. 所以,①对应函数 y ? lg x ,②对应函数 y ? log5 x ,③对应函数 y ? log 2 x . (2)略. 11. (1) log 2 25 ? log3 4 ? log 5 9 ? (3)与原函数关于 x 轴对称.

lg 25 lg 4 lg 9 2lg 5 2lg 2 2lg 3 ? ? ? ? ? ?8 lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 3 lg 5

(2) log a b ? logb c ? log c a ? 12. (1)令 O ? 2700 ,则 v ?

lg b lg c lg a ? ? ?1 lg a lg b lg c

1 2700 log 3 ,解得 v ? 1.5 . 答:鲑鱼的游速为 1.5 米/秒. 2 100 1 O ? 0 ,解得 O ? 100 . 答:一条鱼静止时的耗氧量为 100 个单位. (2)令 v ? 0 ,则 log 3 2 100
x ?x

B组 1. 由 x log3 4 ? 1 得: 4 ? 3, 4 2. ①当 a ? 1 时, log a

1 1 10 ? ,于是 4 x ? 4? x ? 3 ? ? 3 3 3

3 ? 1 恒成立; 4 3 3 3 ②当 0 ? a ? 1 时,由 log a ? 1 ? log a a ,得 a ? ,所以 0 ? a ? . 4 4 4 3 综上所述:实数 a 的取值范围是 {a 0 ? a ? 或 a ? 1} 4 1 3. (1)当 I ? 1 W/m2 时, L1 ? 10 lg ?12 ? 120 ; 10
(2)当 I ? 10
?12

W/m2 时, L1 ? 10lg

10?12 ?0 10?12
120dB .

答:常人听觉的声强级范围为 0

4. (1)由 x ? 1 ? 0 , 1 ? x ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ,∴函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (?1,1) (2)根据(1)知:函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (?1,1) ∴ 函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域关于原点对称 又∵

f (? x )? g ? (x ? )

la o g? ( x1? ) a l ? ox g ? (1 f x) ? g x( )

( )

∴ f ( x) ? g ( x) 是 (?1,1) 上的偶函数.
6

5. (1) y ? log 2 x , y ? log0.3 x ; 习题 2.3 A 组(P79) 1.函数 y=

(2) y ? 3x , y ? 0.1x .

1 是幂函数. x2

2.解析:设幂函数的解析式为 f(x)=xα, 因为点(2, 2 )在图象上,所以 2 =2α.

1 所以 α= ,即幂函数的解析式为 f(x)=x 2 ,x≥0. 2
3.(1)因为流量速率 v 与管道半径 r 的四次方成正比,所以 v=k· r4; (2)把 r=3,v=400 代入 v=k· r4 中,得 k= (3)把 r=5 代入 v=

1

400 400 400 4 = ,即 v= r; 4 81 81 3

400 4 400 4 r ,得 v= ×5 ≈3 086(cm3/s), 81 81

即 r=5 cm 时,该气体的流量速率为 3 086 cm3/s.

第二章 复习参考题 A 组(P82)
1.(1)11; (2)
1

7 ; 8
1

(3)
1

1 ; 1000
1

(4)
1 1

9 . 25
1 1

2.(1)原式=

(a 2 ? b 2 ) 2 ? (a 2 ? b 2 ) 2 (a ? b )(a ? b )
?1 2
1 2 1 2 1 2 1 2

a ? 2a 2 b 2 ? b ? a ? 2a 2 b 2 ? b 2 ( a ? b ) = = ; a?b a?b

1 2 (a ? a ) a = a ?1 . (2)原式= = (a ? a ?1 )(a ? a ?1 ) a ? 1 a 2 ? 1 a a?
10 lg 5 2 = 1 ? lg 2 ,所以 log 5= 1 ? a . 3.(1)因为 lg2=a,lg3=b,log125= = 12 2 2a ? b lg 12 lg 2 ? 3 2 lg 2 ? lg 3 lg
(2)因为 log2 3 ? a , log3 7 ? b

1 3( ? b) ? 1 log 7 2 ? 7 3 log7 2 ? 1 3(log3 2 ? log3 7) ? 1 ab ? 3 = = = a = . log14 56 ? 1 ab ? 1 1 ? log3 2 ? log3 7 log 7 2 ? 7 1 ? log7 2 1? ? b a 1 1 4.(1) (-∞, )∪( ,+∞);(2) [0,+∞). 2 2 2 5.( ,1)∪(1,+∞);(2) (-∞,2);(3) (-∞,1)∪(1,+∞). 3
3

6.(1)因为 log67>log66=1,所以 log67>1.又因为 log76<log77=1,所以 log76<1.所以 log67>log76. (2)因为 log3π>log33=1,所以 log3π>1.又因为 log20.8<0,所以 log3π>log20.8. 7.证明: (1)因为 f(x)=3x,所以 f(x)· f(y)=3x× 3y=3x+y.

7

又因为 f(x+y)=3x+y,所以 f(x)· f(y)=f(x+y). (2)因为 f(x)=3x,所以 f(x)÷ f(y)=3x÷ 3y=3x-y. 又因为 f(x-y)=3x-y,所以 f(x)÷ f(y)=f(x-y). 8.证明:因为 f(x)=lg

1? x ,a、b∈(-1,1), 1? x

所以 f(a)+f(b)=lg

(1 ? a)(1 ? b) 1? a 1? b ? lg =lg , 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

a?b a?b 1 ? ab )=lg 1 ? ab ? a ? b =lg (1 ? a)(1 ? b) . f( )=lg( a?b 1 ? ab 1 ? ab ? a ? b (1 ? a)(1 ? b) 1? 1 ? ab a?b 所以 f(a)+f(b)=f( ). 1 ? ab 1?
9.(1)设保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式为 y=k· ax(a>0,且 a≠1). 因为点(0,192) 、 (22,42)在函数图象上,

?k ? 192, 0 ? ?192 ? k ? a , ? 所以 ? 解得 ? 7 22 ? 0.93. ? ?42 ? k ? a , ?a ? 22 32 ?
所以 y=192× 0.93x, 即所求函数解析式为 y=192× 0.93x. (2)当 x=30 ℃时,y≈22(小时) ; 当 x=16 ℃时,y≈60(小时), 即温度在 30 ℃和 16 ℃的保鲜时间约为 22 小时和 60 小时. (3)图象如图:

图 2-2 10.解析:设所求幂函数的解析式为 f(x)=xα,因为 f(x)的图象过点(2,
1 1

2 ), 2

所以

? ? 1 2 α =2 ,即 2 2 =2α.所以 α= ? .所以 f(x)=x 2 (x>0). 2 2

图略,f(x)为非奇非偶函数;同时它在(0,+∞)上是减函数. B组 1.A 2.因为 2a=5b=10,所以 a=log210,b=log510,所以 3.(1)f(x)=a ?

1 1 1 1 + = + =lg2+lg5=lg10=1. a b log2 10 log5 10

2 在 x∈(-∞,+∞)上是增函数. 2 ?1
x

8

证明:任取 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2. f(x1)-f(x2)=a ?

2 2 2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) a + = = . 2x ?1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1)

因为 x1,x2∈(-∞,+∞), 所以 2
x2

? 1 ? 0.2 x1 ? 1 ? 0.

又因为 x1<x2, 所以 2
x1

? 2 x2 即 2 x1 ? 2 x2 <0.所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
2 在(-∞,+∞)上是增函数. 2 ?1
x

所以函数 f(x)=a ?

(2)假设存在实数 a 使 f(x)为奇函数,则 f(-x)+f(x)=0,

2 1 1 2 1 =0 ? a= ? x + x = x + x =1, 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 即存在实数 a=1 使 f(x)= ? ? x 为奇函数. 2 ?1
即 a?
?x

1

+a ?

x

4.证明:(1)因为 f(x)=

e x ? e?x e x ? e? x ,g(x)= , 2 2

所以[g(x) ]2-[f(x) ]2=[g(x)+f(x) ] [g(x)-f(x) ]

e x ? e?x e x ? e?x e x ? e?x e x ? e?x ? )( ) =( 2 2 2 2
=ex· e-x=ex-x=e0=1, 即原式得证. (2)因为 f(x)=

e x ? e?x e x ? e? x ,g(x)= , 2 2

e 2 x ? e ?2 x e x ? e ? x e x ? e ? x e 2 x ? e ?2 x 所以 f(2x)= ,2f(x)· g(x)=2· · = . 2 2 2 2
所以 f(2x)=2f(x)· g(x). (3)因为 f(x)=

e x ? e?x e x ? e? x e 2 x ? e ?2 x ,g(x)= ,所以 g(2x)= , 2 2 2

[g(x) ]2+[f(x) ]2=(

e x ? e? x 2 e x ? e?x 2 ) +( ) 2 2

e 2 x ? 2 ? e ?2 x ? e 2 x ? 2 ? e ?2 x e 2 x ? e ?2 x = = . 4 2
所以 g(2x)=[f(x) ]2+[g(x) ]2. 5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当 t=1 时,θ=52,于是 52=15+(62-15)e-k, 解得 k≈0.24,那么 θ=15+47e-0.24t. 所以,当 θ=42 时,t≈2.3;当 θ=32 时,t≈4.2. 答:开始冷却 2.3 和 4.2 小时后,物体的温度分别为 42 ℃和 32 ℃.物体不会冷却到 12 ℃.

9

6.(1)由 P=P0e-kt 可知,当 t=0 时,P=P0;当 t=5 时,P=(1-10%)P0.于是有(1-10%)P0=P0e-5k,
( ln 0.9 ) t 1 解得 k= ? ln0.9,那么 P=P0e 5 . 5 1 ?10??n 0.9 5 1

所以,当 t=10 时,P=P0e

=P0eln0.81=81%P0.

答:10 小时后还剩 81%的污染物. (2)当 P=50%P0 时,有 50%P0=P0e
1 ( ln 0.9 ) t 5

,解得 t=

ln 0.5 ≈33. 1 ln 0.9 5

答:污染减少 50%需要花大约 33h. (3)其图象大致如下:

图 2-3

10


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