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2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷(2)


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2011 届高考数学仿真押题卷——江苏卷(2)
一.填空题 1.设复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? x ? 2i( x ? R) ,若 z1 ? z2 为实数,则 x 为 .

2.一个与球心距离为 1 的平面截球所得圆面面积为 ? ,则球的体积为________. 3.若 sin(? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ? ) cos ? =m,且α 是第三象限角,则 sinα = 4.若某程序框图如所示,则该程序运作后输出的 y 等于 .
开始

.

?x ? y ? 4 ? 5. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? x ,则点 ?x ? 1 ?

x ?1

P 到直线 4x+3y+1=0 的距离的最大值是________. x2 y 2 6、若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条 a b 1 渐近线的距离等于焦距的 ,则该双曲线的渐近线方 4
程是 . 2 2 7.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x +x-6<0 的解集 2 是 B, 不等式 x +ax+b<0 的解集是 A?B, 那么 a+b= . 8.如图在三角形 ABC 中,E 为斜边 AB 的中点,CD⊥AB,AB=1, ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 则 CA ? CD CA ? CE 的最大值是 .

y ?1


x ? 5?


y ? 2 y ?1
x ? x ?1

输出 y

结 束

?

??

?

B E D C A

9.如图,线段 AB=8,点 C 在线段 AB 上,且 AC=2,P 为线段 BC 上的一动 点,点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D,设 CP=x,△PCD 的面积为 f(x),则的最大值为 .

D A C P

B

10.直线 x+a y+1=0 与直线(a +1)x-by+3=0 互相垂直,a,b∈R,且 ab≠0,则|ab|的最小值 是 . 11.函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 12 . 已 知

2

2

x 2 x3 ? 的零点的个数是 2 3

.

f ( x)为 偶 函且f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 当 ? 2 ? x ? 0时, f ( x) ? 2 x , , 数
.

f ( x) ? 2 x , 若n ? N * , an ? f (n),则a2008 ?

13.设点 (a, b) 在平面区域 D ? {(a, b) | a | ≤1, | b | ≤1} 中按均匀分布出现,则椭圆

?

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e < 的概率为 2 a b 2
14.若数列{ an }满足 an?1 ? an
2 2



? d (其中 d

是常数, n ?N﹡) ,则称数列{ an }是“等方差

数列”. 已知数列{ bn }是公差为 m 的差数列,则 m=0 是“数列{ bn }是等方差数列”的 条件.(填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个) 二.解答题 15.高三年级有 500 名学生,为了了解数学学科的学习情况, 频 现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如 分组 频率 数 下频率分布表: ?85,95? ① ② (1)根据上面图表,①②③④处的数值分别为多少? (2)根据题中信息估计总体平均数是多少? ?95,105? 0.050 (3)估计总体落在[129,150]中的概率. ?105,115? 0.200

?115,125? ?125,135? ?135,145?

12 4 ④

0.300 0.275 ③ 0.050

[145, 155] 合计 16. 已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2) 证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称. 8

17. 已 知 : 矩 形 AEFD 的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 M ? 2, 0 , AE 边 所 在 直 线 的 方 程 为 : ?

x ? 3 y ? 6 ? 0,点 T ? ?1,1? 在 AD 边所在直线上.
(1)求矩形 AEFD 外接圆 P 的方程。 (2) ?ABC 是 ? P 的内接三角形,其重心 G 的坐标是 ?1,1? ,求直线 BC 的方程 .

18. 如图,海岸线 MAN , ?A ? 2? , 现用长为 l 的拦网围成

?

一养殖场,其中 B ? MA, C ? NA . (1)若 BC ? l ,求养殖场面积最大值; (2)若 B 、 C 为定点, BC ? l ,在折线 MBCN 内选点 D , 使 BD ? DC ? l ,求四 边形养殖场 DBAC 的最大面积.

19.已知各项均为正数的数列 {an } 满足 a0 (1)求 a1和a2 的值; (2)求证:

1 ? ?? ,a 2

n

? an?1 ?

1 n
2

2 an?1 其中 n=1,2,3,?.

1 an?1

?

1 1 ? 2; an n

(3)求证:

n ?1 ? an ? n . n?2

20.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a ( a ? R). 3

(1) 当 a ? ?3 时,求函数 f ?x ? 的极值; (2)若函数 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

参 考 答 案
1.4.提示: z1 ? z2 ? ? 2x ? 2? ? ( x ? 4)i ? R ∴ x ? 4 。

?

2.

8 2 ? .提示:画出简图可知,由 d 2 ? r 2 ? R 2 得球的半径为 2 ,利用球的体积公式得 3 V? 8 2 ?。 3

3.- 1 ? m 2 .提示:依题意得 cos? ? ?m ,α 是第三象限角,sinα <0,故 sinα =-

1 ? m2 .
4.63.提示:对于图中程序运作后可知,所求的 y 是一个“累加的运算”即第一步是 3;第二 步是 7;第三步是 15;第四步是 31,第五步是 63. 5. 3 提示:由图可知:P(2,2)到直线 4x+3y+1=0 的距离的最大,由点到直线的距离公式 可计算出,应填 3。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近 a 2 b2 b 1 1 3 ? ,因此 b ? c, a ? c 2 ? b 2 ? 线的距离因为 b ,而 c, 2c 4 2 2 b 3 ,因此其渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 . ? ? a 3
6. x ? 3 y ? 0 。 提示:对于双曲线 7.-3。提示:由题意: A ? {x | ?1< x <3 } , B ? {x | ?3 < x <2 } , A ? B ? {x | ?1< x < 2 } ,由根与系数的关系可知: a ? ?1, b ? ?2 . 8. 2 . 27 9. 2 2 . 10.2 . 提 示 : 由 题 意 k1 ? ?

1 a2 ?1 , k2 ? ∵ 两 直 线 互 相 垂 直 , ∴ k1 ? k 2 ? ?1 , 即 b a2

2 a2 ? 1 a2 ? 1 1 2 2 ? 1 ? a ?1 , ∴ | ab |? ?| a | ? ≥2 . ? 2 ?? ? ?1 , ∴ a b ? a ? 1 ,则 b ? ? 2 a |a| |a| ? a ? b

∴ ab 的最小值为 2 . 11.1.提示:对于 f ? ? x ? ? 1 ? x ? x ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 ? 0 ,因此函数 f ? x ? 在 R 上单调递增, 4

而对于 f (?2) ? ?

5 23 ? 0, f (2) ? ? 0 ,因此其零点的个数为 1 个. 3 3

12.1.提示: 由题意可知 f (x) 为周期函数, 周期为 4, a2008 ? f (2008 ? f (4) ? f (0) ? 1。 则 ) 13.

3 1 1 b 。 提示:属几何概型的概率问题,D 的测度为 4; e ? ,则 ? ? 1 , 2 16 2 a

?

1 d 的测度 1 a ? ? 0, 1?, b ? ? 0, 1? ,则 d 的测度为 ,∴ P ? ? . D的测度 16 4
14. 充分必要条件。 提示:一方面,由数列 {bn } 是公差为 m 的等差数列及 m=0 得 bn
2 2 ? b1 , bn?1 ? bn ? 0 ,数列

{bn } 是等方差数列;
另一方面,由数列 {bn } 是公差为 m 的等差数列及数列 {bn } 是等差数列得
2 2 bn?1 ? bn ? (b1 ? nm) 2 ? [b1 ? (n ? 1)m]2 ? 2b1m ? (2n ?1)m2 ? d

对任意的 n ? N 都 综上所

?

成立,令 n=1 与 n=2 分别得 2b1m ? m

2

? d , 2b1m ? 3m 2 ? d ,两式相减得 m=0.

述,m=0 是数列 {bn } 是等方差数列的充分必要条件. 15.解: 设抽取的样本为 x 名学生的成绩, 则由第四行中可知 0.3 ?

12 , 所以 x =40.? ④ x

40 ③处填 0.1,②0.025, ①1。 (2) 利用组中值估计平均数为 =90 ? 0.025+100 ? 0.05+110 ? 0.2+120 ? 0.3+130 ? 0.275+140 ? 0.1+150 ? 0.05=122.5, (3)在[129,150]上的概率为

6 6 ? 0.275 ? 0.1 ? ? 0.05 ? 0.292 。 10 11

16.解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2)证明:欲证明函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8 π π f (? ? x ) ? f (? ? x ) 成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin( ? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8
因为 x ? R ,所以,当 2 x ? 17.解: (1)设 A 点坐标为 ? x, y ? ? K AE ?

1 且 AE ? AD 3

?

? K AD ? ?3 又 T ? ?1,1? 在 AD 上
?x ? 3y ? 6 ? 0 ? ?? y ?1 ? x ? 1 ? ?3 ?

?x ? 0 ?? ? y ? ?2

即 A 点的坐标为 ? 0, ?2?

又? M 点是矩形 AEFD 两条对角线的交点 ? M 点 ? 2,0 ? 即为矩形 AEFD 外接圆的圆心,
2 其半径 r ? MA ? 2 2 ? ? P 的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 8 2

(2)连 AG 延长交 BC 于点 N x0, y0 ,则 N 点是 BC 中点,连 MN

?

?

???? ???? ? G 是 ?ABC 的重心,? AG ? 2GN ??1,3? ? 2? x0 ?1, y0 ?1?
3 ? ? x0 ? 2 ? ?? ?y ? 5 ? 0 2 ?
? K BC ? 1 5

? M 是圆心, N 是 BC 中点? MN ? BC , 且 KMN ? ?5

?y?

5 1? 3? ? ?x? ? 2 5? 2?

即直线 BC 的方程为 x ? 5 y ? 11 ? 0

18. 解:(1)设 AB ? x, AC ? y, x ? 0, y ? 0.

l 2 ? x 2 ? y 2 ? 2xy cos 2? ? 2xy ? 2xy cos 2? ,
xy ? l2 l2 ? , 2 ? 2cos 2? 4sin 2 ?

1 1 l2 l 2 cos ? S ? xy sin 2? ? ? ? 2sin ? cos ? ? , 2 2 4sin 2 ? 4sin ?

所以,△ ABC 面积的最大值为

l 2 cos ? ,当且仅当 x ? y 时取到. 4sin ?

(2)设 AB ? m, AC ? n(m,n 为定值). BC ? 2c (定值) , 由 DB ? DC ? l ? 2a ,a = l,知点 D 在以 B 、 C 为焦点的椭圆上,
1 mn sin 2? 为定值. 2 只 需 ?D B C 面 积 最 大 , 需此时 点 D 到 BC 的 距 离 最 大 , 即 D 必 为 椭圆 短 轴 顶 S ?ABC ?
1 2

?

l2 1 l2 2 点. b ? a ? c ? ? c , S?BCD 面积的最大值为 ? 2c ? b ? c ? ? c2 , 4 2 4
2 2

1 l2 因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 m ? n ? sin 2? ? c ? ? c2 2 4
19. (1)∵ a0

?

1 1 2 3 1 ,∴ a1 ? ? ( ) ? ?? ,a 2 2 4 2

2

?

3 1 3 2 57 ? ?( ) ? . 4 4 4 64

(2)∵ an

? an?1 ?

1 n
2

2 an?1 ? 0?? an ? an?1 ? 0 . ,∴

∴ an

? an?1 ?

1 n
2

2 an?1 ? an?1 ?

1 n
2

an an?1 ,∴

1 an?1

?

1 1 ? 2. an n
?



3



? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ? ? 1? 2 ? 2 ?a ? a0 a n a0 a1 a0 a 2 2 3 ? n?1 an ?

?

1 n2

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 2 3 n ?1 n n

又 a0

?

1 ?? an ? n . ,∴ 2

∵ an

? an?1 ?

1 2 1 n2 ? n ?1 an?1 ? an ? 1 ? 2 (n ? 1) ? an?1 ? an?1 , n2 n n2

n2 ∴ an?1 ? an . n2 ? n ?1
∴ an

1 2 1 n2 n2 ? an?1 ? 2 an?1 ? an?1 ? 2 an?1 ? 2 a n ? an?1 ? 2 a n an?1 . n n n ? n ?1 n ? n ?1 ? 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? . an n ? n ? 1 n ? n n n ? 1



1 an?1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ( ? ) ? ? n n ?1 2 n ?1 a1 an a1 a2 a2 a3 an?1 an 2 3 3 4 ? 3 n ?1 1 5 1 1 n?2 ,∴ ,∴ a n ? . ? ? ? 1? | ? 4 n?2 an 6 n ? 1 n ?1 n ?1
n ?1 ? an ? n. n?2

∵ a1

综上所述,

?

20.解: (1)当 a ? ?3 时, f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 3 , 3

∴ f ?? x ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ?x ? 3??x ? 1? . 令 f ?? x ? =0, 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 . 当 x ? ?1 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? ?,?1? 上单调递增; 当 ? 1 ? x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? 1, 3? 上单调递减; 当 x ? 3 时, f ' ?x? ? 0 , f ?x ? 在 ?3,??? 上单调递增. ∴ 当 x ? ?1 时, f ?x ? 取得极大值为 f ??1? ? ? 当 x ? 3 时, f ?x ? 取得极小值为 f ?3? ?

1 14 ?1? 3 ? 3 ? ; 3 3

1 ? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6 . 3

2 (2) ∵ f ?? x ? = x ? 2 x ? a ,∴△= 4 ? 4a = 4?1 ? a ? .

① 若 a≥1,则△≤0, ∴ f ?? x ? ≥0 在 R 上恒成立,∴ f(x)在 R 上单调递增 . ∵f(0) ? ? a ? 0 , f ?3? ? 2a ? 0 , ∴当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. ② 若 a<1,则△>0,∴ f ?? x ? = 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1,x2, x1<x2) ( . ∴x1+x2 = 2,x1x2 = a. 当 x 变化时, f
'

?x?, f ?x?的取值情况如下表:
x1
0 极大值
2

x

?? ?, x1 ?
+ ↗

(x1,x2) - ↘

x2
0 极小值

?x2 ,???
+ ↗

f ?? x ?
f(x)
2

∵ x1 ? 2 x1 ? a ? 0 ,∴ a ? ? x1 ? 2x1 . ∴ f ? x1 ? ?

1 3 1 1 x1 ? x12 ? ax1 ? a ? x13 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 ? x13 ? ?a ? 2 ?x1 3 3 3 1 ? x1 x12 ? 3?a ? 2 ? . 3 1 2 同理 f ?x2 ? ? x 2 x 2 ? 3?a ? 2? . 3

?

?

?

?

?

∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ?

1 2 x1 x 2 x12 ? 3?a ? 2? ? x 2 ? 3?a ? 2? 9 1 2 2 2 ? ?x1 x 2 ??x1 x 2 ? ? 3?a ? 2? x12 ? x 2 ? 9?a ? 2? 9 1 2 2 ? a a 2 ? 3?a ? 2??x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? 9?a ? 2? 9 4 ? a a 2 ? 3a ? 3 . 9 令 f(x1)·f(x2)>0, 解得 a> 0 .

?

??

?

?

?

?

?
?

?
?

?

?

?

而当 0 ? a ? 1 时, f ?0? ? ?a ? 0, f ?3? ? 2a ? 0 , 故当 0 ? a ? 1 时, 函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是 ?0,??? .


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