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逻辑联结词“且”“或”“非”课件ppt(北师大版选修2-1)


理解教材 新知

知识点一 知识点二 考点一

第 一 章

§4

把握热点 考向

考点二 考点三

应用创新演练

如图所示,有三种电路图.

问题1:甲图中,什么情况下灯亮?
提示:开关p闭合且q闭合. 问题2:乙图中,什么情况下灯亮? 提示:开关p闭合或q闭合. 问题3:丙图中什么情况下灯不亮? 提示:开关p不闭合.

用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题 (1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q,构成一个 新命题“ p且q ”.

(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q,构成一个
新命题“ p或q ”. (3)一般地,对命题p加以否定,就得到一个新命题, 记作 綈p ,读作“ 非p ”.

在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中,若开关p、q
的闭合与断开分别对应着命题p、q的真与假,则灯亮与不亮 分别对应着p且q,p或q,非p的真与假. 问题1:什么情况下,p且q为真命题? 提示:当p真,且q真时. 问题2:什么情况下,p或q为假命题? 提示:当p假,且q假时.

问题3:什么情况下,綈p为真命题?
提示:当p为假时.

含有逻辑联结词的命题的真假判断 p 真 真 假 q 真 假 真 非p 假 假 真 p或q 真 真 真 p且q 真 假 假











1.新命题“p且q”的真假概括为:同真为真,有假为假; 2.新命题“p或q”的真假概括为:同假为假,有真为真; 3.新命题綈p与命题p的真假相反.

[例1] 式的命题.

分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形

(1)p:6是自然数;q:6是偶数.

(2)p:菱形的对角线相等;q:菱形的对角线互相垂直.
(3)p:3是9的约数;q:3是18的约数. [思路点拨] 先用逻辑联结词将两个简单命题连起来,再

用数学语言综合叙述.

[精解详析]

(1)p或q:6是自然数或是偶数.

p且q:6是自然数且是偶数.

綈p:6不是自然数.
(2)p或q:菱形的对角线相等或互相垂直. p且q:菱形的对角线相等且互相垂直. 綈p:菱形的对角线不相等. (3)p或q:3是9的约数或是18的约数.

p且q:3是9的约数且是18的约数.
綈p:3不是9的约数.

[一点通]

用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命

题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活 中的同义词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可 以进行适当的省略和变形.

1.下列命题是“p或q”的是 A.3≤2 C.6是合数,也是自然数 解析:3≤2意指3<2或3=2.

( B.3是12的约数 D.2<4<5

)

答案:A

2.分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题. (1)p:π是无理数,q:e不是无理数; (2)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根, q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;

(3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,
q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角

解:(1)“p或q”:π是无理数或e不是无理数; “p且q”:π是无理数且e不是无理数. (2)“p或q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根 的绝对值相等;“p且q”:方程x2+2x+1=0有两个相等

的实数根且两根的绝对值相等.
(3)“p或q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 或大于与它不相邻的任何一个内角;“p且q”:三角形的 外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的 任何一个内角.

3.判断下列命题的构成形式,若含有逻辑联结词 “且”“或”“非”,请指出其中的p、q.

(1)菱形的对角线互相垂直平分;
(2)2是4和6的约数; (3)x=1不是不等式x2-5x+6>0的解. 解:(1)是“p且q”形式的命题.其中p:菱形的对角线互相 垂直.q:菱形的对角线互相平分.

(2)是“p且q”形式的命题,其中p:2是4的约数;q:2是6
的约数. (3)是“綈p”形式的命题,其中p:x=1是不等式x2-5x+ 6>0的解.

[例2]

指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真

假.
(1)p:3是13的约数,q:3是方程x2-4x+3=0的解; (2)p:x2+1≥1,q:3>4; (3)p:四边形的一组对边平行,q:四边形的一组对边相等; (4)p:1∈{1,2},q:{1}?{1,2}.

[思路点拨]

要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假,首先

要确定命题的构成形式,再根据p、q的真假判断命题的真假.

[精解详析]

(1)因为p假q真,所以“p或q”为真,“p

且q”为假,“非p”为真; (2)因为p真q假,所以“p或q”为真,“p且q”为假, “非p”为假;

(3)因为p假q假,所以“p或q”为假,“p且q”为假,
“非p”为真; (4)因为p真q真,所以“p或q”为真,“p且q”为真, “非p”为假.

[一点通]

判断含逻辑联结词的命题真假的步骤:

(1)确定命题的形式; (2)判断构成该命题的两个命题的真假; (3)根据“p或q”、“p且q”、“綈p”的真假性与命题p、

q的真假性的关系作出判断.

4.设p,q是两个命题,则“p或q为真,p且q为假”的充要条 件是 ( )

A.p,q中至少有一个为真
B.p,q中至少有一个为假 C.p,q中有且只有一个为真 D.p为真,q为假 解析:“p或q为真,p且q为假”则p,q中必一真一假,而由

p,q中一真一假也可推得“p或q为真,p且q为假”.
答案:C

5.下列命题中,真命题个数为________. ①5或7是30的约数 ②方程x2+2x+3=0无实数根

③面积相等的两个三角形一定相似或全等.
④对角线垂直且相等的四边形是正方形. 解析:①③为“或”连接的命题,①为真,③为假;②为綈 p形式的命题,为真.对角线垂直且相等(不一定互相平分) 的四边形不一定是正方形.故④为假.故真命题个数为2.

答案:2

[例3]

(12分)已知p:方程x2+mx+1=0有两个不

等的负实根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若
“p或q”为真,“p且q”为假,求m的取值范围. [思路点拨] “p或q”为真,“p且q”为假,则p,q

中必一真一假;可分p真q假,p假q真两种情况处理.

[精解详析] 等的负实根, 则p

由题意,p:方程 x2+mx+1=0 有两个不

?Δ=m2-4>0, ? 为真时:? ?-m<0, ?

∴m>2.?

(3 分)

q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根, 则 q 为真时:Δ=16(m-2)2-4× 4<0, 即 1<m<3.? (6 分)

①若 p 真 q ∴m≥3.? ②若 p 假 q

?m>2, ? 假,则? ?m≤1或m≥3, ?

(8 分)
?m≤2, ? 真,则? ?1<m<3, ?

∴1<m≤2.?

(10 分)

综上所述:m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞). (12 分)

[一点通]

根据p、q的真假求参数的范围时,要充分

利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系,特 别注意“p假”时,一般不从綈p为真求参数的范围,而利用 补集的思想,求“p真”时参数的集合的补集.

1 6.p: <0,q:x2-4x-5<0,若p且q为假命题,则 x-3 x的取值范围是________.

解析: x<3; -1<x<5.当 p 且 q p: q:

?x<3, ? ? 为真命题时, ?-1<x<5, ?

即-1<x<3,则 p 且 q 为假命题时,x≥3 或 x≤-1.

答案:(-∞,-1]∪[3,+∞)

7.命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒 成立,命题q:指数函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q

为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
解:设g(x)=x2+2ax+4,由于关于x的不等式x2+2ax+ 4>0对一切x∈R恒成立, 所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点, 故Δ=4a2-16<0,∴-2<a<2.

函数f(x)=(3-2a)x是增函数,则有3-2a>1,即a<1.
又由于p或q为真,p且q为假,可知p和q一真一假.

?-2<a<2, ? (1)若p真q假,则? ?a≥1, ?

∴1≤a<2.

?a≤-2,或a≥2, ? (2)若p假q真,则? ?a<1, ?

∴a≤-2.

综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).

1.正确理解逻辑联结词是解题的关键.日常用 语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联 结词中的“或”是指两个中至少选一个. 2.命题的否定只否定结论,否命题既否定条件

又否定结论,要注意二者的区别.


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