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数学必修5 2.4.1 等比数列的概念与通项公式


第二章





数学· 必修 5(人教 A 版)

2.4
2.4.1

等比数列

等比数列的概念与通项公式

?基础达标 1.在数列{an}中,对任意 n∈N*,都有 an+1-2an=0,则 的值为( 1 A. 4 ) 1 B. 3 1 C. 2 D.1 2a1+a2 2a3+a4

解析:a2=2a1,a3=2a2=4a1,a4=8a1, 2a1+a2 4a1 1 ∴ = = .故选 A. 2a3+a4 16a1 4 答案:A 9 1 2 2.在等比数列中,a1= ,an= ,q= ,则项数 n 为( 8 3 3 A.3 B.4 C.5 D.6 9 ?2? 1 解析:由 a1qn-1=an? · ? ? = ?n=4. 8 3
n-1

)

?3?

答案:B

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3.等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d≠0,如果 a1,a2,a5 成等 比数列,那么 d 等于( ) A.3 B.2 C.-2 D.2 或-2
2 解析:由 a2 =a1a5?(a1+d)2=a1(a1+4d)? (1+d)2=1+4d?d=2.故选 B. 答案:B

4. (2013· 江西卷)等比数列 x,3x+3,6x+6, …的第四项等于( A.-24 B.0 C.12 D.24 答案:A

)

5.等比数列{an}中,若 an+2=an,则公比 q=________;若 an =an+3,则公比 q=________. 答案:± 1 1

?巩固提高 6. 设 a1=2, 数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列, 则 a6 等于( A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5

)

5×32-1 解析:1+2an=(1+2a1)· 2n-1,∴1+2a6=5· 25.∴a6= = 2 79.5. 答案:C

7.三个数成等比数列,它们的和等于 14,它们的积等于 64,则 这三个数是________或________. a a 解析:设三数为q,a,aq,则q+a+aq=14, a a· aq=64, q·

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? 1? 即 a?1+q+q?=14,a3=64, ? ?





1 解得:a=4,q= 或 2. 2 故所求三数为 8,4,2 或 2,4,8. 答案:8,4,2 2,4,8 8.(1)方程 x2-17x+16=0 的两根的等差中项是______,两根的 等比中项是______. 8 27 (2)在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的 3 2 三个数的乘积为________. 解析:(1)∵x2-17x+16=0 的二根的 x1=1,x2=16. 17 ∴x1 与 x2 等差中项为 等比中项为± 4. 2 8 27 (2)设插入的三数为 a,b,c 则 b2=ac= × =36.又 b 与第一项 3 2 3 同号,∴b=6,∴插入的三数之积 abc=b =216. 17 答案:(1) ± 4 (2)216 2

9.等比数列{an}中 a2+a7=66,a3a6=128,求等比数列的通项 公式 an. 分析:求等比数列的首项为 a1,q 两个参数即可. 解析:解法一:设等比数列的首项为 a1,公比为 q,由题意

a 2 ? a 7 ? 66 ? a 3a 6 ? 128

a1q ? a1q ? 66

6

a1 ? q ? 128
2

7

以下求解 a1,q 不易找到思路. 转换思路,利用等比数列的性质,不难得以下解法. 解法二:设等比数列的首项为 a1,公比为 d,由题意 ? ? ? ? ?a2+a7=66, ?a2+a7=66, ?a2=2, ?a2=64, ? ? ? ? ? 或? . ? ? ? ? ?a3a6=128 ?a2a7=128 ?a7=64 ?a7=2

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a7 1 1 ∴q5= =25 或 5,q=2 或 . a2 2 2 1 ∴an=a2qn-2=2n-1 或 n-8. 2 ∴数列的通项公式为 an=2n-1 或 an=28-n. 点评: 在解决等比数列的有关问题时, 除了直接把题意翻译成数 列之外, 如果能合理地利用等比数列的性质, 往往可以更简单地得到 答案.

10.已知等比数列{an}中,a1=1,公比为 q(q≠1 且 q≠0),且 bn=an+1-an. (1)判断数列{bn}是否为等比数列?说明理由. (2)求数列{bn}的通项公式. 解析:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,公比为 q, ∴an=a1qn-1=qn-1(q≠0 且 q≠1), bn+1 an+2-an+1 qn+1-qn qn?q-1? 由于 b = = = =q, an+1-an qn-qn-1 qn-1?q-1? n ∴{bn}是首项为 b1=a2-a1=q-1,公比为 q 的等比数列. (2)由(1)可知,bn=b1qn-1=(q-1)· qn-1, ∴bn=(q-1)qn-1(q≠0 且 q≠1).

1.要注意利用等比数列的定义解题.在很多时候紧扣定义是解 决问题的关键. 2.注意基本量法:在用等比数列通项公式时,以首项 a1,公比 d 为基本量, 其他量用这两个量表示出来, 再寻求条件与结论的联系, 往往使很多问题容易解决. 3.若已知三个数成等比数列,一般设为:aq-1,a,aq; 若已知五个数成等比数列,一般设为:aq-2,aq-1,a,aq,aq2; 若前三个数成等差数列、 后三个数成等比数列, 设四个数分别为

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?a+d?2 a-d,a,a+d, a ,或 2aq-1-a,aq-1,a,aq. 具体设法,要视题设条件不同而选择,以便于运算为目的. 4.等比中项概念要掌握好,在题目中经常出现.


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