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2017届高考数学二轮复习第1部分专题四数列必考点文


专题四
[高考预测]——运筹帷幄 1.一般数列通项与递推关系的应用和计算.





必考点一 等差数列、等比数列的基本运算

2.等差(比)数列的通项公式、求和公式及性质的应用. [速解必备]——决胜千里 1.等差、等比数列的性质 等差数列 (1)若 m,n,p,q∈N ,且 m+n=p +q,则 am+an=ap+aq; 性质 (2)an=am+(n-m)d; (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍成等 差数列 2.前 n 项和公式变形 (1)前 n 项和公式法: Sn=An +Bn(A, B 为常数)?{an}是等差数列; Sn=mq -m(m 为常数, m≠0,
2 *

等比数列 (1)若 m, n, p, q∈N , 且 m+n=p+q, 则 am?an=ap?aq; (2)an=amq
n-m
*



(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍成等比 数列(Sn≠0)

n

q≠0)?{an}是等比数列.
(2)等差数列中 Sn 和 an 的关系:Sn= 为 Sn=

n?a1+an?
2

2Sn ,即 an= -a1,等比数列中 Sn 与 an 的关系

n

a1-anq ,即 anq=a1-(1-q)Sn. 1-q

[速解方略]——不拘一格 类型一 等差数列的运算 [例 1] (1)已知{an}是公差为 1 的等差数列, Sn 为{an}的前 n 项和. 若 S8=4S4, 则 a10=( 17 A. 2 C.10 D.12 解析:基本法:设首项为 a1,由 S8=4S4 得 8??a1+a8? 4??a1+a4? =4? ,∴a8=a1+2a4. 2 2 1 ∴a1+7d=a1+2a1+6d,∴d=2a1,∴a1= . 2 1 19 ∴a10=a1+9d= +9= . 2 2 速解法:由 S8=4S4 得 B. 19 2 )

1

4?3 ? 8?7 1 ? d?,∵d=1,∴a1= . 8a1+ d=4??4a1+ 2 ? 2 2 ? 1 19 ∴a10=a1+9d= +9= . 2 2 答案:B 方略点评:基本法和速解法各选用了不同的求和公式,比较起来,用 a1 和 d 的关系求和较 简单. (2)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( A.5 B.7 C.9 D.11 解析:基本法:∵a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=3a1+6d=3, ∴a1+2d=1, 5?4 ∴S5=5a1+ d=5(a1+2d)=5,故选 A. 2 速解法:∵a1+a5=2a3,∴a1+a3+a5=3a3=3, ∴a3=1, 5?a1+a5? ∴S5= =5a3=5,故选 A. 2 答案:A 方略点评:?1?基本法是寻求 a1 与 d 的关系,然后用公式求和.速解法是利用等差中项性 质转化求和公式.,?2?在等差数列中,当已知 a1 和 d 时,用 Sn=na1+ 当已知 a1 和 an 或者 a1+an=a2+an-1 形式时,常用 Sn= )

n?n-1? d,求和.,
2

a1+an?n a2+an-1?n
2 = 2

.

1.等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( A.n(n+1) B.n(n-1) C.

)

n?n+1?
2

D.

n?n-1?
2

解析:∵a2,a4,a8 成等比数列, ∴a4=a2?a8,即(a1+3d) =(a1+d)(a1+7d),将 d=2 代入上式,解得 a1=2, ∴Sn=2n+ 答案:A 2.(2016?高考全国乙卷)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( )
2 2

n?n-1??2
2

=n(n+1),故选 A.

2

A.100 B.99 C.98 D.97 解析:设等差数列{an}的公差为 d,因为{an}为等差数列,且 S9=9a5=27,所以 a5=3.又 a10 =8,解得 5d=a10-a5=5,所以 d=1,所以 a100=a5+95d=98,选 C. 答案:C 类型二 等比数列的运算 [例 2] (1)在数列{an}中, a1=2, an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和. 若 Sn=126, 则 n=________.

解析:基本法:∵a1=2,an+1=2an, ∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 2?1-2 ? 又∵Sn=126,∴ =126,∴n=6. 1- 2 速解法:由题意可知 a1=2,a2=4,a3=8,a4=16,a5=32,a6=64, ∴S6=2+4+8+16+32+64=126,∴n=6. 答案:6 方略点评:基本法采用的是求和公式,速解法则为最原始的求和方法,直接看到 S6=126. (2)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( A.21 B.42 C.63 D.84 解析:基本法:∵a3=a1?q ,a5=a3?q =a1?q , ∴3+3q +3q =21 ∴q +q -6=0,∴q =2 ∴a3=3?2=6,a5=6?2=12,a7=24 ∴a3+a5+a7=42. 速解法:由题意知,a3+a5=18, 又 a3=a1q ,a5=a1q , ∴a1q +a1q =18,∴q +q -6=0, 解得 q =2 或-3(舍去). ∴a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q =21?2=42. 答案:B 方略点评:?1?基本法是根据等比数列具体求出各项 .,速解法是利用了整体思想“a1+a3 +a5”为整体,技巧性较强. ?2?在等比数列的基本运算问题中,一般是列出 a1,q 满足的方程组,求解方程组,但有 时运算量较大,如果可利用等比数列的性质,便可减少运算量,提高解题的速度,要注意挖
2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 4 2 2 4

n

)

3

掘已知和“隐含”的条件.

1 1.已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( 4 A.2 B.1 1 1 C. D. 2 8 解析:基本法:∵a3=a1?q ,a4=a1?q ,a5=a1?q , ∴a1?q =4(a1?q -1) 1 ∵a1= , 4 1 6 3 3 ∴q -16q +64=0,∴q =8,∴q=2,∴a2=a1?q= . 2 速解法:设{an}的公比为 q,由等比数列的性质 可知 a3a5=a4,∴a4=4(a4-1),即(a4-2) =0, 得 a4=2,
2 2 2 2 6 3 2 3 4

)

a4 2 3 则 q = = =8,得 q=2, a1 1 4
1 1 则 a2=a1q= ?2= ,故选 C. 4 2 答案:C 2.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3 解析:由题意知 a1?a8=a2?a7=a3?a6=a4?a5=10,∴数列{lg an}的前 8 项和等于 lg a1 +lg a2+?+lg a8=lg(a1?a2???a8)=lg(a4?a5) =4lg(a4?a5)=4lg 10=4.故选 C. 答案:C [终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——消元法 方法诠释 适用方向 利用变量建立方程或函数关系后,把变量看作未知数,通过消元的方 法达到求解的目的. 主要适用于解方程,可代入消元法或加减消元法.
4

)

4

限时速解训练十一 等差数列、等比数列的基本运算 (建议用时 40 分钟) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.在等差数列{an}中,已知 a1+a7=10,则 a3+a5=( A.7 C.9 D.10 解析:选 D.因为{an}是等差数列,所以 a3+a5=a1+a7=10,故选 D. 2.已知等差数列{an}的前 9 项的和为 27,则 2a2+a8=( A.16 B.2 C.64 D.128 9?a1+a9? 解析:选 C.依题意得 S9= =27,即 a1+a9=6,a2+a8=6,2a2+a8=64,故选 C. 2 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-2,S6=12,则 a6 的值为( A.4 B.5 C.6 D.8 6?a1+a6? 解析:选 C.依题意,S6= =12,因为 a1=-2,解得 a6=6,故选 C. 2 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,S4=1,S8=3,则 S12=( A.9 B.7 C.5 D.4 解析:选 B.依题意,数列 S4,S8-S4,S12-S8,即 1,2,S12-3 成等比数列,于是有 S12-3 =4,S12=7,故选 B. 5.等差数列{an}的公差 d≠0,a1=20,且 a3,a7,a9 成等比数列.Sn 为{an}的前 n 项和,则 ) ) ) B.8 )

S10 的值为(

)

A.-110 B.-90 C.90 D.110 解析: 选 D.依题意得 a7=a3a9, 即(a1+6d) =(a1+2d)?(a1+8d), 即(20+6d) =(20+2d)(20 10?9 +8d).因为 d≠0,解得 d=-2,故 S10=10a1+ d=110,故选 D. 2 6.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2a7+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b2b8b11 等于( A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选 D.因为数列{an}为等差数列,所以由 a4+3a8=(a4+a8)+2a8=2(a6+a8)=2?a7
5
2 2 2 2 2

)

2 a4-2a2 7+3a8=0 得 4a7-2a7=0,又因为数列{an}的各项均不为零,所以 a7=2,所以 b7=2,

则 b2b8b11=b3b7b11(b7) =8,故选 D. 7.在正项等比数列{an}中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n=( A.11 B.12 C.14 D.16 解析:选 C.由 a1a2a3=4=a1q 与 a4a5a6=12=a1q 可得 q =3,an-1anan+1=a1q
3 3 3 12 9 3 3n-3

3

)

=324,即(a1

3

q3)q3n-6=324,因此 q3n-6=81=34=q36,所以 n=14,故选 C.
8.已知递增等比数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5,则 5 6 A. B. 6 5 2 3 C. D. 3 2 解析:选 D.因为 a3?a7=a2?a8=6,且 a2+a8=5,故 a2,a8 是方程 x -5x+6=0 的两根.因 为数列{an}单调递增,故 a2=2,a8=3,故
2

a10 =( a4

)

a10 a8 3 = = ,故选 D. a4 a2 2 S12 =( S9
)

9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 4 5 A. B. 3 3 C.2 D.3

S6 S3

解析:选 B.Sn 为等差数列的前 n 项和,则 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 为等差数列.又 =3, ∴S6=3S3,∴S6-S3=2S3,∴S9-S6=3S3,S12-S9=4S3,于是 S12=10S3,S9=6S3,故 故选 B. 10.已知{an}是等差数列,a3=5,a9=17,数列{bn}的前 n 项和 Sn=3 -1,若 1+am=b4, 则正整数 m 等于( A.29 B.28 C.27 D.26 解析:选 C.因为{an}是等差数列,a9=17,a3=5,所以 6d=17-5,得 d=2,an=2n-1.又 因为 Sn=3 -1,所以当 n=1 时,b1=2,当 n≥2 时,Sn-1=3 由 1+am=b4 得 1+2m-1=54,即 m=27,故选 C.
n n-1 n

S6 S3

S12 5 = , S9 3

)

-1,bn=3 -3

n

n-1

=2?3

n-1



a1 a2 2 2 a3 a4 4 4 11.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且满足 + = + , + = + ,则 2 2 a1 a2 4 4 a3 a4 a1a5=(
)

6

A.24 2 C.8 2

B.8 D.16

a1 a2 2 2 a1+a2 2?a1+a2? 解析:选 C.设正项等比数列的公比为 q,q>0,则由 + = + 得 = , 2 2 a1 a2 2 a1a2 a3 a4 4 4 a3a4 4 a1a2=4, 同理由 + = + 得 a3a4=16, 则q= =4, q= 2, a1a2= 2a2 a2 1=4, 1=2 2, 4 4 a3 a4 a1a2
所以 a1a5=a1q =8 2,故选 C. 12. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知(a8-1) +2 017(a8-1)=1, (a2 010-1) +2 017(a2
010 3 3 2 4

-1)=-1,则下列结论中正确的是(

)

A.S2 017=2 017,a2 010<a8 B.S2 017=2 017,a2 010>a8 C.S2 017=-2 017,a2 010≤a8 D.S2 017=-2 017,a2 010≥a8 解析:选 A.设 f(x)=x +2 017x,则由 f(-x)=-f(x)知 f(x)是奇函数.由 f′(x)=3x
3 3 3 2

+2 017>0 知函数 f(x)=x +2 017x 在 R 上单调递增.因为(a8-1) +2 017(a8-1)=1, (a2 010-1) +2 017(a2 010-1)=-1,所以由 f(a8-1)=1,f(a2 010-1)=-1 得 a8-1=-(a2
010 3

?a1+a2 017? -1),即 a8+a2 010=2,且 a2 010<a8.所以在等差数列{an}中,S2 017=2 017? = 2

?a8+a2 010? 2 017? =2 017,故选 A. 2 二、填空题(把答案填在题中横线上) 13.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S1,S3,S4 成等差数列,则数列{an}的公比 为________. 解析:∵S1,S3,S4 成等差数列,∴2S3=S4+S1,即 S4-S3=S3-S1,从而得 a4=a3+a2,∴q 1+ 5 -q-1=0,解得,q= . 2 1+ 5 答案: 2 14.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a4 是 a2,a8 的等比中项,则数列{an}的前 5 项和 S5= ________. 解析:由题意知 a4=a2?a8 ∵等差数列的公差为 2, ∴(a1+6) =(a1+2)(a1+14)解得 a1=2, 5?2+2+8? ∴S5= =30. 2 答案:30
7
2 2 2

15.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S10=60,则

S20 等于________.
解析:∵a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S10=60, ?a1+3d? =?a1+2d??a1+6d?, ? ? ∴? 10?9 ?10a1+ 2 d=60, ? 解得 a1=-3,d=2, 20?19 20?19 ∴S20=20a1+ d=20?(-3)+ ?2=320. 2 2 答案:320 16.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为________. 解析:由 Sn=na1+
2

n?n-1? d
2 2 解得 a1=-3,d= , 3 ? = (n -10n), 3 3
2

?10a1+45d=0, ? 得? ?15a1+105d=25, ?

则 Sn=-3n+

n?n-1? 2 1
2

1 3 2 所以 nSn= (n -10n ), 3 1 3 2 令 f(x)= (x -10x ) 3 20 ? 20? ? 20? ?20 ? 2 则 f′(x)=x - x=x?x- ?,当 x∈?1, ?时,f(x)递减,当 x∈? ,+∞?时,f(x) 3? 3? 3 ? ? ?3 ? 递增, 20 又 6< <7,f(6)=-48, 3

f(7)=-49,所以 nSn 的最小值为-49.
答案:-49 必考点二 递推数列及数列求和 [高考预测]——运筹帷幄 1.数列的求和问题与最值问题. 2.数列与归纳、递推、不等式的综合应用. [速解必备]——决胜千里 1.常见两种递推关系的变形 (1)递推关系形如 an+1=pan+q(p,q 为常数)可化为 an+1+

q ? q ? =p?an+ (p≠1)的形式, p-1? p-1 ? ?

8

利用?an+
?

?

q ?

p-1?

?是以 p 为公比的等比数列求解;

(2)递推关系形如 an+1= 2.数列的单调性

pan 1 1 1 (p 为非零常数)可化为 - = 的形式. an+p an+1 an p

对于数列{an},若 an+1>an,则{an}为递增数列 若 an+1<an,则{an}为递减数列 若 an+1=an,则{an}为常数列 3. 等差数列{an}的通项公式 an 是关于 n 的一次函数 an=dn+(a1-d)(d≠0)前 n 项和 Sn 是关 于 n 的无常数项的二次函数

d? d ? Sn= n2+?a1- ?n,(d≠0)
2

?

2?

4.数列中不等式的放缩技巧 1 ? 1 1 1? 1 - (1) 2< 2 = ? ?. k k -1 2?k-1 k+1? 1 1 1 1 1 (2) - < 2< - . k k+1 k k-1 k (3)2( n+1- n)< 1

n

<2( n- n-1).
?

5.一般地,若{an}为等差数列,则求数列? = 1 ? d an+1-an 1 ? 1 = = ?? - ?. danan+1 danan+1 d ?an an+1?

?anan+1?

1 ? 1 ?的前 n 项和可尝试此方法,事实上,

anan+1

[速解方略]——不拘一格 类型一 数列的递推关系 [例 1] (1)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn=________. 解析:基本法:∵an+1=SnSn+1, 且 an+1=Sn+1-Sn, ∴Sn+1-Sn=SnSn+1, 1 1 1 1 ∴ - =1,即 - =-1.

Sn Sn+1 S1 a1

Sn+1 Sn

1 1 又 = =-1,
?1? ∴? ?是首项为-1,公差为-1 的等差数列, ?Sn?

1 ∴ =-1+(n-1)?(-1)=-n.

Sn

9

1 ∴Sn=- .

n

速解法:由 Sn+1-Sn=Sn?Sn+1 得 Sn+1= ∴S2=

. 1-Sn

Sn

S1 -1 1 = =- , 1-S1 2 2

1 1 - - 2 3 S2 1 S3 1 S3= = =- ,S4= = =- 1-S2 1 3 1-S3 1 4 1+ 1+ 2 3 1 ∴Sn=- .

n

1 答案:-

n Sn

1 方略点评:基本法是转化为等差数列 求通项.,速解法是简单归纳法. 2 1 (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 2 1 2 1 解析:基本法:由 Sn= an+ 得,当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ ,两式相减,整理得 an=-2an 3 3 3 3
-1

2 1 ,又 n=1 时,S1=a1= a1+ ,∴a1=1,∴{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,故 3 3

an=(-2)n-1.
2 1 2 1 速解法:由 Sn= an+ 得 Sn-1+an= an+ 3 3 3 3 ∴an=1-3Sn-1,由于 a1=1. ∴a2=1-3=-2,a3=1-3S2=1-3?(1-2)=4 猜想{an}为 a1=1,q=-2 的等比数列,an=(-2) 答案:(-2)
n-1 n-1

.

方略点评:?1?基本法采用了递推关系, Sn - Sn -1 = an ,得出新的递推关系, an =- 2an -
1

?n≥2?,速解法经过简单的计算 a1,a2,a3,是归纳猜想.

?2?已知 Sn 求 an 时应注意的问题 ①应重视分类讨论思想的应用,分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论,特别注意 an=Sn-Sn-1 中需

n≥2.
②由 Sn-Sn-1=an 推得 an,当 n=1 时,a1 也适合“an 式”,则需统一“合写”. ③由 Sn-Sn-1=an 推得 an,当 n=1 时,a1 不适合“an 式”,则数列的通项公式应分段表示 ?“分写”?,即 an=?
? ? ? ?S1?n=1?,

Sn-Sn-1?n≥2?.
10

1 1.数列{an}满足 an+1= ,a8=2,则 a1=__________. 1-an 解析:基本法:先求出数列的周期,再进一步求解首项. 1 ∵an+1= , 1-an 1 1 1-an-1 ∴an+1= = = 1-an 1 1-an-1-1 1- 1-an-1 1-an-1 1 = =1- -an-1 an-1 =1- 1 1 1-an-2

=1-(1-an-2)=an-2, ∴周期 T=(n+1)-(n-2)=3. ∴a8=a2=2,而 a2= 1 1 =2,∴a1= . 1-a1 2

速解法:从 a8 开始,由递推公式逐次求出 a7、a6、a5 发现周期

a8= a7= a6=

1 1 =2,∴a7= 1-a7 2 1 1 = ,a6=-1 1-a6 2 1 =-1,a5=2 1-a5

1 ∴T=3,∴a7=a1= . 2 1 答案: 2 2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=3,an=2Sn-1+3 (n≥2),则该数列的通项公式为 an= ________. 解析:∵an=2Sn-1+3 ,∴an-1=2Sn-2+3 即 an=3an-1+2?3
n-1 n n-1 n

(n≥3),两式相减得:an-an-1=2an-1+2?3

n-1



an an-1 2 a2 5 a1 2 5 2 2 , ∴ n= n-1+ (n≥3), 又 a2=2S1+3 =2a1+3 =15, 2= , + = , 3 3 3 3 3 3 3 3

?an? a2 a1 2 2 an 2 即 2= + ,∴数列? n?是以 1 为首项, 为公差的等差数列,∴ n=1+(n-1)? ,∴an= 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

(2n+1)3

n-1

.
n-1

答案:(2n+1)3

11

类型二 数列求和 [例 2] (1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列? 和为( 100 A. 101 99 101 C. D. 100 100 5??a1+a5? 解析:基本法:由 S5= 得 a1=1, 2 又∵a5=a1+4d,∴d=1,∴an=1+(n-1)?1=n. ∴ 1 ) 99 B. 101
? ?anan+1?

1 ? ?的前 100 项

an?an+1 n n+1

1 1 = -

1 1 1 1 1 1 100 ∴T100= - + - +?+ - = . 1 2 2 3 100 101 101 速解法:由 S5=5a3 及 S5=15,得 a3=3 ∴d=

a5-a3
5-3

=1,a1=1,∴an=n,

1

anan+1



? 1 ? 1 1 1 ?的前 100 = - ,所以数列? n?n+1? n n+1 ?anan+1?

1 1 1 1 1 1 100 项和 T100=1- + - +?+ - =1- = ,故选 A. 2 2 3 100 101 101 101 答案:A 方略点评:本题考查的裂项求和,基本法是利用 Sn 和 an 公式求 an.速解法是利用性质 a1+a5 =2a3 及 a5-a3=2d,求 an. (2)数列{an}满足 an+1+(-1) an=2n-1,则{an}的前 60 项的和为________. 解析:基本法:当 n=2k 时,a2k+1+a2k=4k-1, 当 n=2k-1 时,a2k-a2k-1=4k-3, ∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+3+a2k+1=2, ∴a2k-1=a2k+3, ∴a1=a5=?=a61. ∴a1+a2+a3+?+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+?+(a60+a61)=3+7+11+?+(2?60-1)= 30??3+119? =30?61=1 830. 2 速解法:由 an+1+(-1) an=2n-1 得
n n

a2-a1=1 ①a3+a2=3 ②a4-a3=5 ③ a5+a4=7 ④?
58 a59+a58=2?58-1 ○

12

59a61+a60=2?60-1 ○ 60 a60-a59=2?59-1 ○ ②-①得 a3+a1=2,④-③得 a5+a3=2, ∴a1=a5=?=a61 60得 ∴②+④+⑥+?+○ (a2+a3)+(a4+a5)+?+(a58+a59)+(a60+a61) 30?29 =3+7+?(2?60-1)=3?30+ ?4=1 830. 2 答案:1 830 方略点评: ?1?基本法是针对 n 的奇偶性探求数列{an}的周期性.速解法是探讨特殊的前几 项得到求和规律. ?2?数列求和首先明确通项特征才能选用求和方法.

1.(2016?山东青岛模拟)数列{an}的通项公式是 an= 数 n 为( )

1

n+ n+1

,若前 n 项和为 10,则项

A.120 B.99 C.11 D.121 解析:an= 1

n+ n+1

n+1- n = ? n+1+ n?? n+1- n?
= n+1- n, 所以 a1+a2+?+an=( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n)= n+1-1=10. 即 n+1=11,所以 n+1=121,n=120. 答案:A 2. (2016?江西八所重点中学联考)在数列{an}中, 已知 a1=1, an+1+(-1) an=cos(n+1)π , 记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S2 019=________. 解析:∵an+1+(-1) an=cos(n+1)π =(-1)
n n+1 n

,∴当 n=2k 时,a2k+1+a2k=-1,k∈N ,

*

∴S2 019=a1+(a2+a3)+?+(a2 018+a2 019)=1+(-1)?1 009=- 1008. 答案:-1 008 [终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——归纳法 方法诠释 根据某类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的全部对象都 具有这种性质的推理方法叫归纳法.

13

方法特征

由部分到整体,由特殊到一般,在数列中由 a1,a2,a3?想象 an 由 S1,

S2,S3?想象 Sn.

限时速解训练十二 递推数列及数列求和 (建议用时 40 分钟) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知等差数列{an}中,a1 009=4,S2 018=2 018,则 S2 019=( A.-2 019 C.-4 038 D.4 038 解析:选 C.因为{an}是等差数列,所以 S2 018=1 009(a1+a2 018)=1 009(a1 009+a1 010)=2 018, 2 019?a1+a2 019? 则 a1 009+a1 010=2,又 a1 009=4,所以 a1 010=-2,则 S2 019= =2 019a1 010 2 =-4 038,故选 C. 2.若正项数列{an}满足 an+1=an+2,且 a25=7,则 a1 等于( 1 A. B.1 2 C. 2 D.2 解析:选 B.由 an+1=an+2 知数列{an}是公差为 2 的等差数列,∴an=a1+2(n-1),∴a25=
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.2 019

)

a2 1+48=49,
∴a1=1,∵a1>0,∴a1=1. 1 3.已知数列{an},若 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1,是首项为 1,公比为 的等比数列, 3 则 an=( 1? 3? A. ?1- n? 3 2? ? 1? 2? C. ?1- n? 3? 3? ) 1 ? 3? B. ?1- n-1? 3 2? ? 1 ? 2? D. ?1- n-1? 3? 3 ?
2

?1?n 1-? ? ?3? 3? 1 ? 解析:选 A.由题意 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)= = ?1- n?. 3? 1 2? 1- 3
4.若数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=4-an(n∈N ),则 a5=( 1 A.16 B. 16 1 C.8 D. 8 解析:选 D.当 n=1 时,a1=S1=4-a1,∴a1=2;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,∴2an
14
*

)

1 ?1?4 1 =an-1,∴数列{an}是以 2 为首项,以 为公比的等比数列,∴a5=2?? ? = .故选 D. 2 ?2? 8 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -3n,若它的第 k 项满足 2<ak<5,则 k=( A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 C.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -3n.令 n=1,可得 S1=a1=1-3=-2.an=Sn -Sn-1=n -3n-[(n-1) -3(n-1)]=2n-4,n≥2. 当 n=1 时也满足 an 与 n 的关系式, ∴an=2n-4,n∈N . 它的第 k 项满足 2<ak<5,即 2<2k-4<5, 解得 3<k<4.5. ∵n∈N ,∴k=4.故选 C. 6.数列{an}中,a1=1,对所有 n∈N 都有 a1?a2???an=n ,则 a3+a5=( 61 25 A. B. 16 9 25 31 C. D. 16 15 解析: 选 A.当 n≥1 时, a1?a2?a3???an=n ; 当 n≥2 时, a1?a2?a3???an-1=(n-1) . 两式相除,得 an=?
2 2 * 2 * * 2 2 2 2

)

)

? n ?2.∴a =9,a =25,∴a +a =61,故选 A. ? 3 5 3 5 4 16 16 ?n-1?
且{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围

? ??3-a?n-3,n≤7, 7.数列{an}满足:an=? n-6 ?a ,n>7, ?

是(

)

?9 ? A.? ,3? ?4 ?

?9 ? B.? ,3? ?4 ?

C.(1,3) D.(2,3)
??3-a?n-3,n≤7, ? 解析:选 D.根据题意,an=f(n)=? n-6 ?a ,n>7, ?

3-a>0, ? ? 要使{an}是递增数列,必有?a>1, ? ??3-a??7-3<a8-6,
*

解之得,2<a<3.

8.在等比数列{an}中,若对任意 n∈N ,都有 a1+a2+?+an=2 -1,则 a1+a2+?+an= ( )
n
2

n

2

2

2

A.(2 -1)

1 n 2 B. (2 -1) 3

15

1 n n C.4 -1 D. (4 -1) 3 解析:选 D.由已知令 n=1 得 a1=1,当 n≥2 时,an=(2 -1)-(2 首项 a1=1,公比 q=2 的等比数列. ∴{an}是首项 a1=1,公比 q′=2 =4 的等比数列. 1-4 1 n 2 2 2 ∴a1+a2+?+an= = (4 -1).故选 D. 1-4 3 9. 1 1 1 1 + 2 + 2 +?+ 的值为( 2 2 2 -1 3 -1 4 -1 ?n+1? -1 )
n
2 2 2

n

n-1

-1)=2

n-1

,∴{an}是

n+1 A. 2?n+2?
3 n+1 B. - 4 2?n+2? 1 ? 3 1? 1 + C. - ? ? 4 2?n+1 n+2? 3 1 1 D. - + 2 n+1 n+2 1 1 1 解析:选 C.∵ = 2 = 2 ?n+1? -1 n +2n n?n+2? 1 ? 1?1 = ? - ?. 2?n n+2? ∴ 1 1 1 1 + 2 + 2 +?+ 2 2 2 -1 3 -1 4 -1 ?n+1? -1

1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 = ?1- + - + - +?+ - 3 2 4 3 5 n n+2? 2? ? 1 1 ? 3 1? 1 1 ? 1?3 - + = ? - = - ? ? ?. 2?2 n+1 n+2? 4 2?n+1 n+2? 10.已知 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,若对任意 n∈N 满足 an+1=an+a2,且 a3=2,则 S2 019 =( ) B.1 008?2 019 D.1 009?2 020
*

A.1 008?2 020 C.1 009?2 019

解析:选 C.在 an+1=an+a2 中,令 n=1,得 a2=a1+a2,a1=0;令 n=2,得 a3=2=2a2,a2 2 019?2 018 =1,于是 an+1-an=1,故数列{an}是首项为 0,公差为 1 的等差数列,S2 019= 2 =1 009?2 019. 11.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a1a2a3=15,且 3

S1S3 S3S5 S5S1 5



15



5

3 = ,则

a2 等于(

)
16

1 A.2 B. 2 1 C.3 D. 3 解析:选 C.∵S1=a1,S3=3a2,S5=5a3, 3 1 1 1 ∴ = + + , 5 a1a2 a2a3 a1a3 ∵a1a2a3=15. 3 a3 a1 a2 a2 ∴ = + + = ,即 a2=3. 5 15 15 15 5 12.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项和, 则使得 Sn 取得最大值的 n 是( A.21 B.20 C.19 D.18 解析:选 B.设数列{an}的公差是 d,则 a2+a4+a6-(a1+a3+a5)=3d=99-105=-6,即 d =-2.又因为 3a3=105, 所以 a3=35.所以 an=a3+(n-3)d=41-2n.令 an>0, 得 n<20.5, 即数列{an}的前 20 项均为正,自第 21 项起各项均为负,因此使得 Sn 达到最大值的 n 为 20. 故选 B. 二、填空题(把答案填在题中横线上) 13.若数列{an}满足 a1=1,且对任意的正整数 m,n 都有 am+n=am+an+2mn,则数列{an}的 通项公式 an=________. 解析:令 m=1,则 an+1=an+a1+2n=an+2n+1, ∴an+1-an=2n+1, ∴an-an-1=2n-1,n≥2.∴当 n≥2 时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1= (2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+?+(2?2-1)+1= -1)+1=n . ∵a1=1=1 ,∴an=n . 答案:n
2 2 2 2

)

?2n-1+3??n-1? +1=(n+1)(n 2

1? ? 1? 1? ? ? 14.在等比数列{an}中,0<a1<a4=1,则能使不等式?a1- ?+?a2- ? +?+?an- ?≤0

?

a1? ?

a2?

?

an?

成立的最大正整数 n 是________.

?a1- 1 ?+?a2- 1 ?+?+?an- 1 ? 3 解析: 设等比数列的公比为 q, 由已知得 a1q =1, 且 q>1, ? ? a? ? a? a? ?
1

? ?

2

?

?

n

?

17

?1?n? 1-? ? ? ? 1 ? a1?1-q ? a1? ?q? ? 1 ?1 1 =(a1+a2+?+an)-? + +?+ ?= - ≤0,把 a1= 3代入化简得 an? 1-q 1 q ?a1 a2
n

1?

1-

q

q-3≤q4-n,则-3≤4-n,n≤7.
答案:7 15.设关于 x 的不等式 x -x<2nx(n∈N )的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和 为 Sn,则 S100 的值为________. 解析:由 x -x<2nx(n∈N )得 0<x<2n+1, 因此 an=2n, 所以数列{an}是一个等差数列, 100??2+200? 所以 S100= =10 100. 2 答案:10 100 16.数列{an}中,设 an>0,a1=1 且 an?an+1=3 ,则数列{an}的通项公式为________. 解析:由 an?an+1=3 得 2log3an+1+log3an=6,令 bn=log3an,有 2bn+1+bn=6,则 bn+1-2 1 ? 1?n-1 ? 1?n-1 2-n =- (bn-2), 所以 bn-2=(b1-2)?- ? =(log31-2)?- ? =(-2) , 从而 bn=2+(- 2 ? 2? ? 2? 2)
2-n 2 6 2 6 2 * 2 *


2-n

从而 an=32+(-2)

.

答案:an=32+(-2)

2-n

专题四 综合提升训练(四) (用时 40 分钟,满分 80 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (2016?浙江五校联考)在等差数列{an}中, a5=3, a6=-2, 则 a3+a4+?+a8 等于( A.1 C.3 D.4 解析:选 C.a3+a4+?+a8=3(a5+a6)=3. 2.(2016?河南郑州质量预测)已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a1a2a3=10, 且 1 = ,则 a2=( S1S5 5 5 ) B.2 )

A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 A.由 1 a1+a5 = 得 S1S5=25,又 S1S5=a1? ?5=5a1a3,所以 a1a3=5,又 a1a2a3= S1S5 5 2 5
18

10,所以 a2=2,故选 A. 3.(2016?北京东城模拟)定义

n

p1+p2+?+pn

为 n 个正数 p1,p2,?,pn 的“均倒数”.若

1 an+1 1 1 1 已知正项数列{an}的前 n 项的“均倒数”为 ,又 bn= ,则 + +?+ = 2n+1 4 b1b2 b2b3 b10b11 ( A. ) 1 1 B. 11 12

10 11 C. D. 11 12 解析: 选 C.设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 由 时,an=Sn-Sn-1=4n-1, ∴bn= 4n-1+1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ?1 1? =n,则 + +?+ = + +?+ = ? 1- ? + ? - ? 2? ?2 3? 4 b1b2 b2b3 b10b11 1?2 2?3 10?11 ? 1 = 得 Sn=n(2n+1), ∴当 n≥2 a1+a2+?+an 2n+1

n

+?+?

? 1 - 1 ?=1- 1 =10.故选 C. ? 11 11 ?10 11?
)

4.在等差数列{an},若 a2=4,a4=2,则 a6=( A.-1 B.0 C.1 D.6

解析:选 B.∵{an}为等差数列,∴2a4=a2+a6,∴a6=2a4-a2,即 a6=2?2-4=0. 5.已知数列{an},若点(n,an)(n∈N )在经过点(8,4)的定直线 l 上,则数列{an}的前 15 项 和 S15=( )
*

A.12 B.32 C.60 D.120 解析: 选 C.∵点(n, an)在定直线上, ∴数列{an}是等差数列, 且 a8=4, ∴S15= 2a8?15 = =15a8=60. 2 6.在等比数列{an}中,a1+an=34,a2?an-1=64,且前 n 项和 Sn=62,则项数 n 等于( A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选 B.设等比数列{an}的公比为 q,由 a2an-1=a1an=64,又 a1+an=34,解得 a1=2, ) ?a1+a15??15 2

a1?1-qn? a1-anq 2-32q an=32 或 a1=32,an=2.当 a1=2,an=32 时,Sn= = = =62,解 1-q 1-q 1-q
得 q=2.又 an=a1q
n-1

,所以 2?2

n-1

=2 =32,解得 n=5.同理,当 a1=32,an=2 时,由 Sn

n

19

1 ?1?n-1 ?1?n-1 1 ?1?4 n-1 =62,解得 q= .由 an=a1q =32?? ? =2,得? ? = =? ? ,即 n-1=4,n=5.综 2 16 ?2? ?2? ?2? 上,项数 n 等于 5,故选 B. 7. 已知{an}是等差数列, 公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8 成等比数列,则( A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 解析:选 B.∵a3,a4,a8 成等比数列,∴a4=a3a8,∴(a1+3d) =(a1+2d)(a1+7d),展开整 5 2 n?n-1? 2 理,得-3a1d=5d ,即 a1d=- d .∵d≠0,∴a1d<0.∵Sn=na1+ d, 3 2 2 2 2 ∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d =- d <0. 3 8.已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S19=S2 000,则 S2 019=( A.-2 019 B.2 019 C.1 010 D.0 2 019?a1+a2 019? 解析: 选 D.由 S19=S2 000 得 a20+a21+?+a2 000=0? a1 010=0, 所以 S2 019= = 2 2 019a1 010=0. 9.(2016?辽宁五校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 m 项 am 满足 5<am<8, 则 m=( A.9 B.8 C.7 D.6 解析:选 B.当 n=1 时,a1=S1=-8,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-10,由 5<am<8,得 5<2m-10<8,解得 7.5<m<9,又 m∈N ,所以 m=8,故选 B. 10.(2016?辽宁朝阳三校联考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( 7 A.2 B. 3 8 C. D.3 3 解析:选 B.设 S6=3a,则 S3=a,因为{an}为等比数列,所以 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列,
* 2 2 2

)

)

)

S6 S3

S9 S6

)

S9 7a 7 即 a,2a,S9-S6 成等比数列,所以 S9-S6=4a,解得 S9=7a,所以 = = ,故选 B. S6 3a 3
11.(2016?河北石家庄模拟)已知函数 f(x)的对应关系如下表所示,数列{an}满足 a1=3,

an+1=f(an),则 a2 019=(

)

x f(x)

1 3

2 2

3 1

20

A.1

B.2

C.3 D.2 019 解析:选 C.依题意可得 a1=3,a2=f(3)=1,a3=f(1)=3,a4=f(3)=1,??,∴a2 019=

f(1)=3,故选 C.
12.在等差数列{an}中 an>0,且 a1+a2+?+a10=30,则 a5?a6 的最大值等于( A.3 B.6 C.9 D.36 30 ?a5+a6?2=?6?2 解析:选 C.∵a1+a2+?+a10=30,得 a5+a6= =6,又 an>0,∴a5?a6≤? ? ? ? 5 ? 2 ? ?2? =9. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13. 数列{an}是首项 a1=4 的等比数列, 且 4a1, a5, -2a3 成等差数列, 则 a2 019=__________. 解析:设公比为 q,则 a5=a1q ,a3=a1q . 又 4a1,a5,-2a3 成等差数列, ∴2a5=4a1-2a3,即 2a1q =4a1-2a1q , ∴得 q +q -2=0, 解得 q =1 或 q =-2(舍去), ∴q=±1, ∴a2 019=4?(±1) 答案:4 14.中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为________. 解析:设数列首项为 a1,则 答案:5 15.若数列{an}满足 解析:由 1 = 1
2 019-1 2 2 4 2 4 2 4 2

)

=4.

a1+2 015
2

=1 010,故 a1=5.

an+1

2an+1 = 且 a1=3,则 an=________.

an

an+1

2an+1 1 1 ,得 - =2,

an

an+1 an

?1? 1 ∴数列? ?是首项为 ,公差为 2 的等差数列. 3 ?an?

1 1 5 ∴ = +(n-1)?2=2n- , an 3 3 ∴an= 3 . 6n-5

3 答案: 6n-5

21

16.已知数列{an},a1=2,点(nan+1,(n+1)an)在函数 f(x)=x 的图象上,则数列{an}的通 项公式为__________. 解析: 因为点(nan+1, (n+1)an)在函数 f(x)=x 的图象上, 所以 nan+1=(n+1)an, 即 所以 =

an+1 n+1 = , an n

a2 1+1 a3 2+1 3 an n * =2, = = ,?, = (n≥2 且 n∈N ),又 a1=2,以上式子累乘, a1 1 a2 2 2 an-1 n-1 a2 a3 a1 a2 a2 an 3 n =2?2? ??? =2n,所以数列{an}的通项公式是 an a1 an-1 2 n-1

得 an=a1? ? ??? ? =2n(n∈N ). 答案:an=2n(n∈N )
* *

专题一~四 滚动训练(三) (用时 40 分钟,满分 80 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|x -3x-4≤0},则集合 A∩B 等于 ( ) B.{x|3<x≤4}
2

A.{x|-2≤x≤4}

C.{x|-2≤x≤-1} D{x|-1≤x≤3} 解析:选 B.因为 B={x|x -3x-4≤0}={x|-1≤x≤4},所以 A∩B={x|x<-2 或 x> 3}∩{x|-1≤x≤4}={x|3<x≤4},故选 B. 2.下列有关命题的说法正确的是( )
2

A.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题 B.函数 f(x)=tan x 的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z} C.命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是“? x∈R,均有 x +x+1<0” D.“a=2”是“直线 y=-ax+2 与 y= x-1 垂直”的必要不充分条件 4 解析:选 A.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”为真命题,由于原命题与逆否命题同真假, 所以其逆否命题也为真命题.故选 A. 3.不等式 4 ≤x-2 的解集是( x-2 )
2 2

a

A.(-∞,0]∪(2,4]

B.[0,2)∪[4,+∞)

C.[2,4) D.(-∞,2]∪(4,+∞) 解析:选 B.①当 x-2>0,即 x>2 时,不等式可化为(x-2) ≥4,∴x≥4;②当 x-2<0, 即 x<2 时,不等式可化为(x-2) ≤4,∴0≤x<2.∴原不等式的解集为[0,2)∪[4,+∞). π? ? 4.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(x∈R,ω >0)的最小正周期为 π ,将 y=f(x)的图象向 4? ?
22
2 2

左平移|φ |个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是( π A. 2 π C. 4 3π B. 8 π D. 8

)

π? 2π ? 解析:选 D.函数 f(x)=sin?ω x+ ?(x∈R,ω >0)的最小正周期为 π ,所以 =π ,ω 4? ω ? =2. π? ? 从而 f(x)=sin?2x+ ?(x∈R,ω >0). 4? ? 将各选项代入验证可知选 D. 2 8 5.已知 + =1(x>0,y>0),则 x+y 的最小值为(

x y

)

A.12 B.14 C.16 D.18 2y 8x ?2 8? 解析:选 D.x+y=(x+y)? + ?=10+ + ≥10+2

?x y?

x

y

2y 8x ? =18.

x

y

当且仅当 x=6,y=12 时,(x+y)min=18. 6.已知|a|=1,|b|=6,a?(b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角是( π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2
2 2

)

解析: 选 C.由条件得 a?b-a =2, 设向量 a 与 b 的夹角为 α , 则 a?b=a +2=|a|?|b|cos α =6cos α , 1 π 又∵|a|=1,∴cos α = ,α ∈[0,π ],∴α = . 2 3 7.执行如图所示的程序框图,若输出 i 的值为 2,则输入 x 的最大值是( )

23

A.5 B.6 C.11 D.22

x ? ?2-1>3 解析:选 D.执行该程序可知? 1?x ? -1?-2≤3 ? ?2? ?2 ? x 的最大值是 22,故选 D.
8.设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- 4x,则 f(107.5)等于( 1 A.10 B. 10 C.-10 1 D.- 10 )

,解得?

? ?x>8 ?x≤22 ?

,即 8<x≤22,∴输入

1

f?x?

,且当 x∈[-3,-2]时,f(x)=

解析:选 B.f(x)是偶函数,有 f(x)=f(-x), 由 f(x+3)=- 1 1 知,f(x+6)=- =f(x), f?x? f?x+3?

∴f(x)是周期为 6 的周期函数, ∴f(107.5)=f(18?6-0.5)=f(-0.5), 当 x∈[2,3]时,-x∈[-3,-2],∴f(-x)=-4x, 又 f(x)=f(-x),∴f(x)=-4x, 当 x=-0.5 时,x+3=2.5∈[2,3],∴f(2.5)=-10, ∴f(-0.5)=- 1 1 1 =- = . f?2.5? -10 10

9.已知等比数列{an}的各项是均不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lg an,b3=18,b6=12, 则数列{bn}前 n 项和的最大值等于( A.126 B.130 C.132 D.134 解析:选 C.由 b3=18,b6=12 得 lg a3=18,lg a6=12, 即 a1q =10 ,a1q =10 , ∴q =10 ,即 q=10 ,∴a1=10 . ∵{an}为正项等比数列,∴{bn}为等差数列, 且 d=-2,b1=22,
3 -6 -2 22 2 18 5 12

)

bn=22+(n-1)?(-2)=-2n+24.
∵Sn=22n+

n?n-1?
2

?(-2)

24

? 23?2 529 2 =-n +23n=-?n- ? + . 2? 4 ?
又 n∈N ,∴当 n=11 或 12 时, (Sn)max=-11 +23?11=132. log2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=? 1 log ?-x?,x<0, ? ? 2 ( )
2 *

若 af(-a)>0,则实数 a 的取值范围是

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 1 1 解析:选 A.若 a>0,则 af(-a)=alog a>0? log a>0? 0<a<1; 2 2 若 a<0,则 af(-a)=alog2(-a)>0? log2(-a)<0? 0<-a<1? -1<a<0;综上可得, 选 A. 11.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 sin B+sin C=2sin A,3a=5c, 则角 B 等于( A.60° )

B.90°

C.120° D.150° 3 解析:选 C.∵3a=5c,∴c= a. 5 又∵sin B+sin C=2sin A, 根据正弦定理可得 b+c=2a, 3 7 所以 b+ a=2a,即 b= a, 5 5 由余弦定理可得

cos B=

a +c -b = 2ac

2

2

2

?3 ? ?7 ? a2+? a?2-? a?2 ?5 ? ?5 ?
3 2a? a 5

1 =- , 2

所以 B=120°,故选 C. 12.设函数 f(x)=ax -x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1]都有 f(x)≥0,则实数 a 的取 值范围为( )
3

A.(-∞,2] B.[0,+∞) C.[0,2] D.[1,2]
25

解析:选 C.∵f(x)=ax -x+1,∴f′(x)=3ax -1, 当 a<0 时,f′(x)=3ax -1<0,f(x)在[-1,1]上单调递减.
2

3

2

f(x)min=f(1)=a<0,不符合题意.
当 a=0 时,f(x)=-x+1,f(x)在[-1,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=0,符合题意. 当 a>0 时,由 f′(x)=3ax -1≥0,得 x≥
2

1 或 x≤- 3a 1 , 3a

1 ,当 0< 3a

1 1 <1,即 a> 时, 3a 3 1 ? ,1?上单调 3a ?

f(x)在?-1,-
递增,

? ?

1? ? ?上单调递增,在?- 3a? ?

1? ? ?上单调递减,在? 3a? ?

f?-1?=-a+1+1=2-a≥0, ? ? ∴? ? 1 1? ? 1 ?3 f? ?=a? ? - 3a+1≥0. ? 3 a 3 a ? ? ? ? ?

? 4 ? a≥ ∴? 27 1 a > ? ? 3.


a≤2,
1 ,∴ <a≤2. 3

1 1 ≥1,即 0<a≤ 时,f(x)在[-1,1]上单调递减, 3a 3

f(x)min=f(1)=a>0,符合题意.
综上可得:0≤a≤2. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 1 13.若复数 z=m(m-1)+(m-1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 =________.

z

解析:∵z=m(m-1)+(m-1)i 是纯虚数, ∴?
? ?m?m-1?=0, ?m-1≠0, ?

解得 m=0.

1 1 ∴z=-i,∴ = =i. z -i 答案:i 1 3 3 2 14.若函数 f(x)= x - x +ax+4 恰在[-1,4]上单调递减,则实数 a 的值为__________. 3 2 1 3 3 2 解析:∵f(x)= x - x +ax+4, 3 2 ∴f′(x)=x -3x+a.又函数 f(x)恰在[-1,4]上单调递减, ∴-1,4 是 f′(x)=0 的两根, ∴a=-1?4=-4.
26
2

答案:-4

x-y≥0, ? ? 15.设 x,y 满足约束条件?x+2y≤3, ? ?x-2y≤1,

则 z=x+4y 的最大值为________.

解析:法一:作出可行域如图阴影部分所示. 1 作直线 y=- x,并向上平移,由数形结合可知, 4 当直线过点 A(1,1)时,z=x+4y 取得最大值,最大值为 5.

? 1? 法二:分别求出点 A(1,1),点 B?2, ?,点 C(-1,-1), ? 2?
把三点坐标分别代入 z=x+4y 得到 5,4,-5, 故 z=x+4y 的最大值为 5. 答案:5 π 1 π 2 1 π 2 3 1 16.已知 cos = ,cos cos π = ,cos cos π cos π = ?根据以上等式可猜想出的 3 2 5 5 4 7 7 7 8 一般结论是________. 解析: 第 n 个式子有 n 个余弦相乘, 角度的分母为奇数 2n+1, 分子分别为 π 、 2π 、 3π , ?,

nπ ,结果为 n.
∴一般结论 cos π 2π nπ 1 cos ?cos = n. 2n+1 2n+1 2n+1 2

1 2

π 2π nπ 1 答案:cos cos ?cos = n 2n+1 2n+1 2n+1 2

27


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