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高三艺术生数学复习学案第1讲:集合及其运算


必修 1

学案一:集合及其运算
知识梳理: 1.元素与集合的关系:用 或 表示; 2.集合中元素具有 、 、 3.集合的分类: ①按元素个数可分: 限集、 限集 ;②按元素特征分:数集,点集等 4.集合的表示法: ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如 N={0,1,2,3,?}; ②描述法在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取

值范围, 再画一条竖线, 在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例: B ? x x ? 4 (如果元素的取值范围是 全体实数,范围可省略不写) 。 ③字母表示法:常用数集的符号:自然数集 N;正整数集 N *或N? ;整数集 Z;有理数集 Q、 实数集 R; 5.集合与集合的关系: 6.熟记:①任何一个集合是它本身的子集;②空集是任何集合的子集;空集是任何非空集

?

?

那么A ? C .④ 合的真子集;③如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B;如果 A ? B, B ? C,
n 个元素的子集有 2n 个;n 个元素的真子集有 2n -1 个;n 个元素的非空真子集有 2n-2 个.
7.集合的运算(用数学符号表示) 交集 A∩B= 补集 CUA= ;并集 A∪B= ,集合 U 表示全集. ;

8.集合运算中常用结论: A ? B ? A

B ? A ; A? B ? A B ? B

题型一 基本概念 例 1、判断下列语句是否正确 1)大于 5 的自然数集可以构成一个集合。 2)由 1,2,3,2,1 构成一个集合,这个集合共有 5 个元素。 3)所有的偶数构成的集合是无限集。 4)集合 A ? ?a, b, c?, B ? ?c, a, b? 则集合 A 和集合 B 是两个不同的集合。 变式: 1、用适当的方法表示下列集合 (1)一次函数 y ? 2 x ? 1 与 y ? ?

1 x ? 4 的交点组成的集合。 2

(2)绝对值等于 3 的全体实数构成的集合。 (3)大于 0 的偶数。

1

必修 1

2.集合 A ? 3、 ?

??x, y ? x ? 2 y ? 7, x, y ? N?,用列举法表示集合 A 。

?x ? y ? 3 解集为______. ?2 x ? 3 y ? 1

2 4、设 A ? ?4, 2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,已知 A

?

?

B ? ?9? ,求实数 a 的值.

[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性,切入点是分类讨论思想, 由于集合中元素用字母表示,检验必不可少。 题型二 元素与集合之间的关系 例 2、用符号 ? 或 ? 填空。 1) 0 __ N

?

2) 3.14 _____Z

Q 3) ? ______
2 5)若 B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 3 _____B

2 4)若 A ? x x ? 2 x ,则 ? 2 _____A

?

?

?

?

变式: 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ?

5 ______ N ,

16 ______ N

1 ______ Q, ? _______ Q, e ______ CR Q ( e 是个无理数) 2

题型三 集合与集合之间的关系 例 3、用适当的符号填空 ? ? ? 1) 2 __ ?1, 2,3? 2) a __ ?a, b? 3) ?a? _____ ?a, b, c? 4) ? __ ?0?

5) ?1,4,7? ____ ?7,1,4? 变式:

6) ?0,1 ? ____ N

7) ? ____ x ? R x ? ?1
2

?

?

1、用适当的符号 (?、 ?、 =、 茌 、 ) 填空: ①π ___ Q ;②{3.14}____ Q ;③ R ∪R _____R;④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k-1, k∈Z}。
+

?

2、 下列关系式中正确的是( (A) ? ? ??? (B) 0 ????

) (C)0 ? ??? (D)0 ? ???

3.集合 {?1, 0,1} 的所有子集个数为 4、已知集合 A ? ??2,0,1 ? ,那么 A 的非空真子集有_________个。

小结:全部子集个数 ? 2n ,n表示元素个数。

2

必修 1

题型四 集合间的运算 例 4、已知全集 U={2,4,1-a} ,A={2,a -a+2} 如果 ? ? ,那么 a 的值为 U A ? ??1
2
王新敞
奎屯 新疆

____. 变式: 1、设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8},A = {3,4,5} B = {4,7,8}, 求: (CU A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B).

(A 2.设集合 A ? ?1,2? , B ? ?1,2,3?, C ? ?2,3,4? 则

B) C ?



3.若集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,则 A

B ? _____________.

课后练习:
A级 1.(2010 广东文)1.若集合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ? 1,2,4?则集合 A ? B ? A. ?0,1,2,3,4? B. ? 1,2,3,4? C. ? 1,2? D.

?0?


2.(2010 福建文)若集合 A=?x|1 ? x ? 3? , B=?x|x>2? ,则 A ? B 等于( A. ?x|2<x ? 3? B. ?x|x ? 1? C. ?x|2 ? x<3?

D. ?x|x>2?

3.(2010 全国卷 1 文)(2)设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 M ? ?1, 4? , N ? ?1,3,5? ,则

N ? ?? UM? ?
A. ?1,3? B. ?1,5? C.

?3,5?

D.

?4,5?


4.(2010 广东理)1.若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A∩B=( A. { x -1< x <1} B. { x -2< x <1} C. { x -2< x <2} ) D.M∪N={1,4}

D. { x 0< x <1}

5.(2010·湖南卷)已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},则( A.M?N B.N?M C.M∩N={2,3}

6.【2012 高考安徽文 2】设集合 A={ x | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 },集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定 义域,则 A ? B= (A) (1,2) (B)[1,2] (C)[ 1,2) (D) (1,2 ] 7.已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {2, 4} ,则 (CU A) ? B 为( (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}



8.【2012 高考四川文 1】设集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } ,则 A A、 {b} B、 {b, c, d} C、 {a, c, d}
3

B?(



D、 {a, b, c, d}

必修 1

9.【2012 高考浙江文 1】设全集 U={1,2,3,4,5,6} ,设集合 P={1,2,3,4} ,Q{3, 4,5},则 P∩(CUQ)= A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2} 10.【2012 高考广东文 2】设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6} , M ? {1,3,5} ,则 ? UM ? A. {2, 4,6} B. {1,3,5} C. {1, 2, 4} D. U

11.已知全集 U=R,集合 A={x|0<x<9,x∈R},B={x|-4<x<4,x∈Z},则 图中的阴影部分表示的集合中所含元素的个数为( A.5 个 B.4 个 C.3 个 ) D.无穷多个

2, 4} , B ? {2 , 4, 6} ,则 A 12.【2012 高考江苏 1】 (5 分)已知集合 A ? {1,
B级

B?

▲ .

1.【2102 高考福建文 2】已知集合 M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是 A.N ? M B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2}

C ? {x | x 2. 【2012 高考全国文 1】 已知集合 A ? {x | x 是平行四边形 } ,B ? {x | x 是矩形 } ,
是正方形 } , D ? {x | x 是菱形 } ,则 (A) A ? B (B) C ? B (C) D ? C (D) A ? D

3.(2011·新课标全国文科·T1)已知集合

M ? ?0,1,2,3,4?, N ? ?1,3,5?, P ? M

N,



P 的子集共有(

)

A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 4. 定义集合 A*B={x|x∈A,且 x?B},若 A={1,3,5,7},B={2,3,5},则 A*B 的子集个数 为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2 2 5. ( 2011 · 广 东 高 考 文 科 · T 2 ) 已 知 集 合 A= {(x, y) | x, y为实数且x ? y ? 1} ,

B= {( x, y ) | x, y为实数且x ? y ? 1} 则 A ? B 的元素个数为(



(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 6.(2011·《高考调研》原创题)已知集合 A、B 与集合 A@B 的对应关系如下表:

A B A@B

{1,2,3,4,5} {2,4,6,8} {1,3,6,5,8}

{-1,0,1} {-2,-1,0,1} {-2}

{-4,8} {-4,-2,0,2} {-2,0,2,8}

若 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011},试根据图表中的规律写出

A@B=________

.
2

7.(2010·江苏)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a +4},A∩B={3},则实数 a=______________.
4

必修 1

§1 集合及其运算答案
例 1.解: (1)正确 ?x ? N x ? 5?(2)错误(3)正确(4)错误 1. (1) ?? (2) (3)

?? 6 17 ?? , ?? ?? 5 5 ??

注意: ??

?? 6 17 ?? ? 6 17 ? , ?? ? , ? 区别 ?? 5 5 ?? ? 5 5 ?

?3,?3?

?x x ? 2n, n ? N *? ?2,4,6,8,...?

2.解: x, y ? N ? x ? 0 y ? 0 当x=1 y=3 当x=3 y=2 5 3 x=2 y= ? N x=4 y= ? N 2 2 x=5 y=1 ?{(1,3),(3,2),(5,1)}
3、填{(2,1)} 注:方程组解的集合应是点集. 4、解:∵ A

B ? ?9? ,∴ 9 ? A .⑴若 2a ? 1 ? 9 ,则 a ? 5 ,此时 A ? ??4,9,25? , B ? ?9,0, ?4? ,

A B ? ?9, ?4? ,与已知矛盾,舍去.⑵若 a 2 ? 9 ,则 a ? ?3 ①当 a ? 3
时, A ? ??4,5,9? , B ? ??2, ?2,9? .B 中有两个元素均为 ?2 ,与集合中元素的互异性矛盾, 应舍去.②当 a ? ?3 时, A ? ??4, ?7,9? , B ? ?9, ?8,4? ,符合题意.综上所述, a ? ?3 . 例 2.略 1. 例 3.略 1、①?,② ? ,③ ? ,④ 2、选 A;
3 3、[解析]8;集合 {?1, 0,1} 的所有子集个数为 2 ? 8

(1) ?,?,?;(2) ?,?,?

4.6 解析:A的非空真子集指的是,除A集合本身与?后所有子集 含有1个元素的??2??0??1? 含有2个元素的??2, 0???2, 1??1,0?
例 4、填 2 1、解:∵CU A = {1,2,6,7,8} ,CU B = {1,2,3,5,6}, ∴(CU A)∩(CU B) = {1,2,6} ,(CU A)∪(CU B) = {1,2,3,5,6,7,8}, ? A∪B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ CU (A∪B) = {1,2,6} ,CU (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 2. 3.

2, 3, 4? ?1,

A B ? ?1 , 2?

?x | 2 ? x ? 10?
5

必修 1

A级 1.答案 A 6.【答案】D 【解析】 A ? {x ?3 ? 2x ?1 ? 3} ? [?1,2] , B ? (1, ??) ? A 7.【答案】C 【解析】 CU A ? {0,4} ,所以 (CU A) ? B ? {0,2, 4} ,选 C. 8.【答案】D. 【解析】 A ? B ? {a, b, c, d} ,故选 D. 9.【答案】D 【解析】 Q{3,4,5},? CUQ={1,2,6},? P∩(CUQ)={1,2}. 10.【答案】A 【解析】 ? U M ? {2, 4,6} . 11.答案 B 2.答案 A 3 答案 C 4.答案 D. 5.答案 C

B ? (1, 2] 。

解析 由题意可得 B={-3,-2,-1,0,1,2,3},图中阴影部分表示的集合为?UA∩B, 所以?UA∩B={-3,-2,-1,0},阴影部分表示的集合所含元素的个数为 4. 12. 【答案】 ?1,2,4,6? 。 B级 1. 【答案】D. 【解析】两个集合只有一个公共元素 2,所以 M ? N ? {2} ,故选 D. 2. 【答案】B 【解析】根据四边形的定义和分类可知选 B. 3. 【思路点拨】确定 M

N 的元素个数 n ,子集个数为 2n .

【精讲精析】选 B 由已知得 P ? M 4.答案:D

N= {1,3} ,? P 的子集有 22=4 个.
2

解析:由题意知:A*B={1,7}.故 A*B 的子集有 2 =4 个.故选 D. 5. 【思路点拨】通过解方程组求交点坐标,从而得交点个数.
2 2 ? ?x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 1 【精讲精析】选 C.由 ? 解得

?x ? 0 ?x ? 1 ? ? 2 2 y ? 0 ? 或 ? y ? 1 ,即圆 x ? y ? 1 与直线 x ? y ? 1 交点为

(1,0)或(0,1) ,即 A ? B 的元素个数为两个.故选 C. 6.答案 {2010,2011} 7. 答案:1 解析:∵A∩B={3},∴3∈B.又∵a +4≥4,∴a +4≠3,∴a+2=3,∴a=1.
2 2

6


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