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必修四培优讲义-教师版


第一章 三角函数 1.任意角: 任意角?负角:按顺时针方向旋 转形成的角;

?正角:按逆时针方向旋 转形成的角; ? ? ? 零角:不作任何旋转形 成的角.

2. 角 ? 的顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角.

?? k ? 360 ? ? ? k ?

360 ? 90 , k ? ?? ; 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? ; 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? ; 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? ; 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? ; 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? ; 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? .
第一象限角的集合为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3.由角 ? 所在象限判断

?

? n

所在象限:

?
2

? ?Ⅰ ? ?Ⅱ ? ?Ⅲ ? ?Ⅳ
4.与角 ? 终边相同的角的集合为

?
2

? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅱ、Ⅳ ? Ⅱ、Ⅳ
?

?
2

?
2

?
2

?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
? ?
l r

?

5.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6.半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是

? 7.弧度制与角度制的换算公式: ? ? 180 ? , 2? ? 360 , 1 ?

?

? 180 ? ,1 ? ? ? 57.3? . ? 180 ? ? ?

?

8.若扇形的圆心角为 ? (1)弧长公式: l

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则
=

?r ?

n?r ( n 为圆心角的角度数);(2) 180

扇形的周长: C

? 2r ? l ;

(3)扇形的面积公式: S

1 1 ? lr ? ? r 2 . 2 2
45 ? 60 ? 90 ? 120 ? 135 ? 150 ? 180 ? 270 ? 360 ? 2?
0

9.特殊角的三角函数值: 度 弧度

0?
0

30 ?

?
6 1 2

?
4

?
3

2
1

2? 3

3? 4

5? 6 1 2
? 3 2 3 3

?
0

3? 2
-1

sin ?

0

2 2 2 2
1

3 2
1 2

3 2
? 1 2
?

2 2
2 2

cos?

1

3 2 3 3

0

-1

0

1

tan ?

0

3

不存 在

? 3

-1

?

0

不存 在

0

10.设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是

? x, y ? ,它与原点的距离是
y a的 终边
P( x,y) r

y x y r r ? x ? y ? 0 ,则 sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? r r x
2 2

?

?

x cot? ? ; y

r r sec ? ? ; csc ? ? . x y

o

x

11.三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第 四 象 限 余 弦 为 正 . 记 忆 口 诀 : 一 全 正 , 二 正 弦 , 三 正 切 , 四 余 弦 .

y
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

- + o x + 正切、余切

P T v O M A x

12.三角函数线: sin ?

? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .
余弦线:OM; 正切线: AT.

正弦线:MP; 13.三角函数间的基本关系:

(1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sec 2 ? ? tan2 ? ? 1 csc 2 ? ? cot2 ? ? 1 (2)商数关系: sin ? ? tan ? cos ? ? cot ? cos ? sin ? (3)乘积关系: tan ? ? cot ? ? 1 csc ? ? sin ? ? 1 sec ? ? cos ? ? 1

16. 几个重 要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则 sinx<x<tanx 2

14.三角函数的诱导公式:公式一~公式八:记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. 1、公式一~公式四:记忆口诀:函数名称不变,符号看象限. 诱导公式一:sin (2k? 诱导公式二: sin (?

? ? ) ? sin ? ,cos ? 2k? ? ? ? ? cos? ,tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ???

? ? ) ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? .

诱导公式三: sin (?? ) 诱导公式四: sin (?

? ? ) ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .

2、公式五~公式八:记忆口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 诱导公式五: sin(

? ?

?? ? ? ? ) ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . 2 ?2 ? ?? ? ? ? ) ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . 2 ?2 ?
3? ? ? ) ? sin ? . 2 3? - ? ) ? ? sin ? . , cos( 2
, cos(

诱导公式六: sin(

3? ? ? ) ? ? cos ? 2 3? ? ? ) ? ? cos ? 诱导公式八: sin( 2
诱导公式七: sin(

15 .(1) 的图象上所有点向左(右)平移

?

个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数
1 ?
倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 (2) 函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
1 ?
倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

y ? sin? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? ?

个单位长度,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 16.函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
?
1 ? 2? ? ;③频率: f ? ? 2? |? |
;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

①振幅: ? ;②周期: T

函数

当 x ? x1 时, 取得最小值为 ymin y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,

; 当x?

取得最大值为 ymax , x2 时,

??


1 1 ? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ymax ? ymin ? ? ? ? ymax ? ymin ? 2 2 , ,2 .


17.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:







y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

值域

??1,1?
当 时

??1,1?
? k ???
; 当 当 x ? 2k?

x ? 2 k? ?


?
2

? k ??? 时,
既无最大值也无最小值

ymax ? 1

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

最值

x ? 2 k? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期 性 奇偶 性 奇函数 奇函数

2?

?



? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?


单调 性

? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ? ? , 2k? ?? k ??? 上是 ?2k? ,2k? ? ? ?

在 ? k?

增函数;在

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 对称 性 对

? k? ,0?? k ???
称 轴

? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k?









x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

第二章 18.向量:既有大小,又有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量.

平面向量

数量:只有大小,没有方向的量. 零向量:长度为 0 的向量.

平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 19.向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连,首尾连. ⑵平行四边形法则的特点:作平移,共起点,连对角. ⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c

?

?

?

?;

C

? ? ? ? ? ③a ?0 ? 0?a ? a .
⑸坐标运算:设 a ? 20.向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? 分别为

? a

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
? ? ?

?

? ?

? ? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? b

?

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .设 ? 、 ? 两点的坐标

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .
?
?

21.向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a .① ②当 ?

?a ? ? a

?

?



? ? ? ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时 ? ? ?a ? 0 .

⑵运算律:① ?

? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ?? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b .
? ? ? ? ?
? ?

?

?

⑶坐标运算:设 a

?

? ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? ? ? a?0

22. 向量共线定理: 向量 a

?

? ? . 设 a ? ?x , y ? , ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a
1 1

?

?

? ? ? ? ? ? ? b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0

?

? 共线
?

23.平面向量基本定理: 如果 e1 、 那么对于这一平面内的任意向量 a , e2 是同一平面内的两个不共线向量, 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a 组基底) 24.(1) 定比分点坐标公式:设点 ?

?? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?? ? ? ? (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一 ? ?1 e1 ? ?2 e2 .
( x, y ) 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? ?
公式)

??? ?

????

x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? (当 ? ? 1 时,就是中点坐标 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

x1 ? x2 ? ?x ? 2 (2)中点坐标公式: ? y ? y2 ?y ? 1 2 ?
25. 重 心 坐 标 公 式 设

,即点 ? 的坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ). 2 2
, 则 △ ABC 的 重 心 坐 标

A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ?

(

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ). 3 3

26.平面向量的数量积: ⑴ a ?b

? ?

? ? ? ? ? ? ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
;当 a

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a 与 b 反向时, a ? b ⑶运算律:① a ? b

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b
.③

?

?

? ?

? ? ?? a b

;a ?a

? ?

? ?2 ? ? ? ? a2 ? a 或 a ? a ? a

? ? ? ? a ?b ? a b ?



? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?

?

? ? ? ? ? ? b ??c ? a ?c ? b ?c . ? ? ;③ ? a

?

⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? 则

?

? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .若 a ? ? x, y? ,
. 设

?

? ?

?

?2 a ? x2 ? y 2

, 或

? a ? x2 ? y 2

? a ? ? x1, y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?
?

, 则

? ? ? ? ? ? a ? b ?1 x2 x? 1 y 02.设 ? y a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b 夹角,则 cos ? ? ? ? ? 2 2 2 a b x1 ? y12 x2 ? y2

是a 与b 的

?

第三章 三角恒等变换 27.两角和或差的公式: (1) cos (2) sin

?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;
?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?
( tan ? ? tan ? ; ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? )

(3) tan

(4) tan

tan ? ? tan ? . ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) 1 ? tan ? tan ?
cotAcotB - 1 cotAcotB ? 1 cot(A-B) = cotB ? cotA cotB ? cotA

(5)cot(A+B) =

28.两角的和差化积和积化和差公式 (1)和差化积公式:

sin ? ? sin ? ? 2 sin(

? ?
2 2

? ?

?
2

) cos( ) sin(

? ?
2

? ?

? ?
2

) ) ) )

sin ? ? sin ? ? 2 cos(

?
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos(

?
2

?

?
2

2

) cos(

?
2

2

? ?

?
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin(
(2)积化和差公式:

?
2

?

?
2

) sin(

?
2

?
2

29.二倍角公式: ⑴ sin 2?

1 [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 sin ? sin ? ? ?

? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2

⑵ cos 2?

? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ⑶ tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?



? 升幂公式: 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? ? 降幂公式: cos 2 ? ? 2 2
(4)三倍角公式 1.sin3A = 3sinA-4(sinA) 2.cos3A = 4(cosA) -3cosA
3 3

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

3.tan3a = tana?tan(

?
3

+a)?tan(

?
3

-a)

a 2 ; cos? ? 2 ;tana= 2 30.万能公式: sin? ? a 2 ? 2 ? 1 ? (tan ) 2 1 ? tan 1 ? tan 2 2 2 2 tan 1 ? tan2 2 tan
31. 半 角 公 式 :

?

?

sin

?
2

??

1 ? cos? 2

;

cos? ? ?

1 ? cos? 2

;

tan? ? ?

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? . ? (后两个不用判断符号,更加好用) ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

32. 辅助角公式: a sin x ? b cos x - ? )其中 tan ? 的

? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ,asinα

+bcosα =

a 2 ? b2

cos (α

b .(合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方” a y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式.) ?

33.解三角形

a b c ? ? ? 2 R 及其变形公式有: sin A sin B sin C (1) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; a b c , sin B ? , sin C ? (2) sin A ? ; 2R 2R 2R (3) sin A : sin B : sin C ? a : b : c 等. b2 ? c 2 ? a 2 2 2 2 2.余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 及其变形: cos A ? 等; 2bc 1 1 1 1 三角形面积公式: S ?ABC ? ah ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B . 2 2 2 2
1.正弦定理:

第一讲 任意象限角与弧度制 典型例题 【例 1】角 ? 的终边为射线

y ? ?2 x ( x ? 0) ,求 2sin ? +cos ? 的值。 ? 60? , R ? 10cm ,求角 ? 所对的

【例 2】已知一扇形的中心角是 ? ,所在圆的半径是 R .(1)若 ?

扇形的弧长及弧所在的弓形面积; (2 ) 若扇形的周长是一定值 c , 当 ? 为多少弧度时, 该扇形有最大面积?

【例 3】若 ? 为第三象限角,求

? ? 、 2 3

所在象限,并在平面直角坐标系表示出来.

【例 4】已知 0 ? ? 随堂练习题 1、已知集合 A

?

?
2

,证明 sin ?

? ? ? tan ? 。

A ? {第一象限角}, B ? {锐角}, C ? {小于 90? 的角},则下列关系正确的是(




A? B?C

C ? A.



B?C



A?C ? B

2、已知角 ?

? 45? ,在区间 [?720? , 0? ] 内找出所有与角 ? 有相同终边的角 ? ? _____.
) A 小于0 B 大于0 C 等于0 ,则 ? ? ( ) D 不存在

3、 sin 2 cos 3 tan 4 的值( 4、若 ? ? (0, 2? ) ,

sin ? ? cos ? ? tan ?
B(

A(0,

?
4



5? , 2?) 4

C(0,

?
4
)

)( ?

5? 3? , ) 4 2

D(

3? , 2?) 2

5、若 ? 为第一象限角,那么能确定为正值的是( A cos2 ? B

sin

? 2



cos

?
2



tan

? 2

k? ? k? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则( ) 4 2 2 4 M?N A M ?N B M ?N C D M ?N ?? 7、若 ? 、 ? 为第三象限角,且 ? ? ? ,则( )
6、集合 M

? {x | x ?

?

?

(A) cos?

? cos ? (B) cos? ? cos ? (C) cos? ? cos ? (D)以上都不对
sin x | cos x | tan x ? ? 的值域是_________。 | sin x | cos x | tan x |
? 0 ,则 sin ?
的值是__________。

8、函数

y?

9、角 ? 的终边上有一点 P( a , a ) ,实数 a

10、某一时钟分针长 10 cm ,将时间拨慢 15 分钟,分针扫过的图形的面积为_______。 11、 tan 60
?

cos90? ? sin 45? cos 45? ? __________。

12、若角 ? 满足 sin 2? 13、函数

? 0 ,且 cos ? ? sin ? ? 0 ,则 ? 为第_____象限角。

y ? sin x ? ? cos x 的定义域是______________________。
9,a ? 2),若 cos? ? 0 , sin ?? 0 ,则实数 a 的取值范围是 -

14 、已知角 ? 的终边经过点 (3a ? _______________。 15、已知集合 A ? { x |

?
3

? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z } , B ? {x | 4 ? x2 ? 0} , A ? B ? _____。

16、已知角 ? 的终边上一点 P(m , ? 2) ,且 | OP | ? 4 ,则 tan ? =__________。 17、给出下列四个命题: (1)若 ? (3)若 sin ?

? ? ,则 sin ? ? sin ?

; (2)若 sin ?

? sin ?

,则 ?

??;

? 0 ,则 ? 是第一或第二象限角; (4)若 ? 是第一或第二象限角,则 sin ? ? 0 .

这四个命题中,错误的命题有______。 18、 已知 sin ?

? m ,求 cos?

的值及相应 ? 的取值范围。

第二讲三角函数诱导公式及化简求值 例 1.求下列三角函数值: (1)cos210?; (2)sin

5? 4

例 2.求下列各式的值: (1)sin(-

4? 3

);

(2)cos(-60?)-sin(-210?)

例 3.化简

sin(1440 ? ? ? ) ? cos(? ? 1080 ?) cos(?180? ? ? ) ? sin(?? ? 180?)
1 2
3? < ? <2π ,则 sin(2π - ? )的值是( 2

例 4.已知 cos(π + ? )=-



) .

(A)

3 2
sin(

(B)

1 2

(C)-

3 2

(D)±

3 2

例 5、求证:

3? ? ? ? ) ? cos( ??) sin(4k? ? ? ) sin( ? ? ) 2 2 2 ? ? t an( 2k? ? ? ) ? cot ( ?k? ? ? ) cos(5? ? ? ) ? cos( ? ? ) 2

?

例6

? ? 求 cos 2 ( ? ?) ? cos 2 ( ? ?)的值。 4 4

例7

若 f (cosx) ? cos17x, 求 f (sin x)

随堂练习题 1.在直角坐标系中,若角 ? 与 A.

? 终边互为反向延长线, ? 与 ? 之间的关系是(
C.



???

B.

? ? 2k? ? ? ? k ? Z ?
B.大于 1 弧度

? ?? ? ?


D.

? ? ? 2k ?1?? ? ? ? k ? Z ?

2.圆内一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角是( A.等于 1 弧度 C.小于 1 弧度

D.无法判断 )

3. 角 α 的终边上有一点 P(a,a),a∈R,且 a≠0,则 sinα 的值是( A.

2 2

B.-

2 2

C.±

2 2


D.1

4. α 是第二象限角,其终边上一点 P(x,

5) ,且 cosα

2 4

x,则 sinα 的值为(



10 A. 4

6 B. 4

2 C. 4

10 D.- 4

5.设角 α

? 是第二象限角,且|cos 2

? |=-cos 2

? ,则角 2

是(

) D.第四象限角

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

sin ? ? cos ? ? ?
6. 已知

5 4 ,则 sin ? ? cos ? 等于 ( 9 C.- 32 9 D. 32



A.

7 4
y?

9 B.- 16

7. 函数

1 ? sin 2 x 1 ? cos2 x ? cos x sin x
B. {-2,0}

的值域是(

) D. {-2,2}

A. {0,2} 8. 化简

C. { -2,0,2} )

1 ? 2 sin 4 cos4 的结果是(
4

A、 sin 4 ? cos 9. 若 sin ? A、1

B、 sin 4 ? cos

4

C、 cos 等于(

4 ? sin 4


D、 ? sin 4 ? cos

4

? cos? ? 2 ,则 tan ? ? cot ?
B、2 C、-1

D、-2 )

10. 若 A、B、C 为△ABC 的三个内角,则下列等式成立的是( A sin(B ? C )

? sin A B cos(B ? C ) ? cos A C tan(B ? C ) ? tan A D cot(B ? C ) ? cot A


11.

1 sec(?? ) ? sin(?? ? 90? ) 若 sin(? ? ? ) ? ,则 的值是( 10 csc(540? ? ? ) ? cos(?? ? 270? )

A、 ?

1 3

B、 ?

1 27
2

C、

1 3

D、 ?

3 3


12. 若 sin ? 、 cos ? 是关于 x 的方程 4 x A、 m ? ? ?

? 2mx ? m ? 0 的两个实根,则 m 值为(
C、 m ? 1 ?

? ?

4 ? ,0 ? 3 ?

B、 m

? 1? 5

5

D、 m ? 1 ?

5
π ] 2

13. 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x∈[0,

时,f(x)=sinx,则 f(

5π )的值为( 3

)A.-

3 3 1 1 B. C.- D. 2 2 2 2
) .

14. 函数 y ? lg(2cos x ? 3) 的单调递增区间为 ( A. (2k? ? ? , 2k? ? 2? ) (k ? Z ) C. (2k? ?

B. (2k? ? ? , 2k? ? D. (2k? , 2k? ?

11 ? ) (k ? Z ) 6

?
6

, 2k? ) (k ? Z )
)

?
6

) (k ? Z )

15. 下列说法不正确的是(

A.正弦函数、余弦函数的定义域是 R,值域是[-1,1];

k∈Z) 时,取得最大值 1; ? 3? C.余弦函数在[2kπ + ,2kπ + ]( k∈Z)上都是减函数;
2 2
D.余弦函数在[2kπ -π ,2kπ ](
0 0 0

B.余弦函数当且仅当 x=2kπ (

k∈Z)上都是减函数
) D. b>c> a C. a>c> b ( ) D.第四象限 的值为.

16. 若 a=sin46 ,b=cos46 ,c=tan36 ,则 a、b、c 的大小关系是( A. c> a> b 18. A. 第一象限 19.若 sin ? 20.sin 若 ? 是第四象限角,则 ? ?? 是 B. a> b> c

B.第二象限 C. 第三象限期

? 3 cos ? ? 0 ,则

9? 4

tan

7? 3

cos ? ? 2 sin ? 2 cos ? ? 3 sin ?

= _________

? 21.若 ? 是第二象限的角,则 2 是第象限的角。
8? ? 0, 2 ? ? ? ? 22.若 角的终边与 5 角的终边相同,则在 上终边与 4 的角终边相同的角为; y x 23.终边在 轴上的角的集合为,终边在 轴上的角的集合为,终边在坐标轴上的角的集合为。

f ( x) ?
24. 已知

?? ? 1? x ? ? ? ,? ? 1 ? x ,若 ?2 ? ,求 f (cos? ) ? f (? cos? ) 的值。

25. 已知 sin(?

? ?) ?

1 ? ? ? ) ? cos? 的值. ,求 sin(2? ? ? ) ? cot( 2

26. 已知: sin ?

? cos ? ?

3 3 1 ,求 sin ? ? cos ? 2

和 sin

4

? ? cos4 ?

的值。

27. 若 cos α =

2 3

,α 是第四象限角,求

sin(? ? 2? ) ? sin( ?? ? 3? ) cos(? ? 3? ) cos(? ? ? ) ? cos( ?? ? ? ) cos(? ? 4? )

第三讲三角函数的定义域与值域 二、典例讲解??? 【例题 1】求下列函数的定义域 (1) y ? 3 ? 3 sin x ? 2 cos2 x ; 【例题 2】求下列函数的定义域 (1) y ? 25 ? x 2 ? lg cos x ; 【例题 3】求下列函数的值域 (1) y ? 2 cos2 x ? 5 sin x ? 4 ; (2) y ? 5 sin2 x ? 4 sin x cos x ? 2 cos2 x ; (2) y ? lg(2 | cos x | ? 3 sin x ? cos x)(0 ? x ? ? ). (2) y ? logsin x (cos x ? ) .

1 2

3 sin x ? 1 (3) y ? ; 3 sin x ? 2
【例题 4】求下列函数的值域

1 ? tan 2 (
(4) y ?

? ?
4 4

? x)


1 ? tan (

2

? x)

(1) y ? loga (?2 sin2 x ? 5 sin x ? 2) ; 【例题 5】求函数 y ?

(2) y ? sin(x ?

?
6

) cos x .

sin 2 x ? sin 2 x 的值域. 1 ? sin x ? cos x

课堂练习题 1、在坐标系中,分别画出满足不等式的角 x 的区域,并写出不等式的解集: (1) sin x ? ?

1 , x ? _____________. 2

(2) cos x ?

1 , x ? ______________. 2

(3) tan x ? ?1, x ? ______________. 2、 (1)y ?

(4) cot x ? 3 , x ?_____________.

1 1 的定义域为________________. (2)y ? 的定义域为________________. tan x ? 1 tan x ? cot x

3、 y ? 2 cos x ? 1 的值域为__________ _, y ? (2 sin x ?1) 2 ? 3的值域为__________ __ . 4、 y ?| 3 sin x ? cos x | ?4 的值域为___________, y ? 5、当 0 ? x ?

4 cos x ? 1 的值域为_____________. cos x ? 2

?
4

时, cos x, cot x, sin x 从小到大排列为_____________.
( ) D.第一或第三象限 ( C. [0, 2 ] D. [ ? 2 , 2 ] ( ) )

1、若 cos? ? csc? sec2 ? ?1 ? ?1, 则? 所在的象限是 A.第二象限 B.第四象限

C.第二象限或第四象限

2、若θ 为锐角,则 sin ? ? cos ? 的取值范围是 A. (1, 2 ] 3、α 在第三、四象限, sin? ? A. (-1,0) B. [1, 2 ]

2m ? 3 , 则m 的取值范围是 4?m
1 ) 2
C. (-1,

B. (-1,

3 ) 2

D. (-1,1)

4、函数 y ?| sin x | ? sin | x | 的值域是 ( ) B.[-1,1] C.[0,2] D.[0,1] A.[-2,2]

5、 (1)已知 f ( x)的定义域为 (?

1 3 , ), 则f (cos x) 的定义域为____________. 2 2

(2)设 f (2 sin x ? 1) ? cos2 x, 则f ( x) 的定义域为_____________. 6、 y ?

1 的值域为___________, y ? cos(sinx) 的值域为___________, 2 ? sin x

y ? tan 2 x ? 4 cot 2 ? 1 的值域为_____________.
7、求下列函数的定义域 (1) y ? sin x ?

1 25 ? x 2

.

(2) y ?

1 ? 2 cos x lg(2 sin x ? 3

.

8、求下列函数的定义域 (1) y ? 2 sin x ? cos x ? lg(2 tan x ? cot x). (2) y ? lg sin(cos2 x).

9、求下列函数的值域 (1) y ? (2 cos2 x ? 1)(2 sin2 x ? 1). (2) y ?

2 sin x cos 2 x . 1 ? sin x

10、求下列函数的值域 (1) y ? 1 ? sin x ? cos x ?

1 sin 2 x 2

x ? [?? , ? ].

(2) y ? ? cos3 x cos x.

11、求下列函数的值域 (1) y ? sec2 x ? 2 csc2 x. 12、求 y ? (2 cos? ? m) 2 ? sin2 ?的最小值(| m |? 2). (2) y ? 3 sin(20? ? x) ? 5 sin(x ? 80? ).

1、若 sin

x ? cos x ? 1 ? 0 ,求 x 的取值范围。 ? 120 ? ,讨论函数 y ? cos2 ? ? cos2 ? 的最值。

2、 设 ? 、 ? 为锐角,且 ? + ?

第四讲 三角函数的图像与性质 1.函数

(其中A ? 0,? ? 0) y ? A sin(?x ? ? ) ? B 最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是
,频率是

T?

2?

?

f ?

?x ? ? ? k? ?

?
2

? 2?

,相位是

?x ? ?

,初相是

?

;其图象的对称轴是直线

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。

2.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵 活进行图象变换。 3.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式:4.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 典例解析例 1. (2013 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

例 2.试述如何由 y=

1 π sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3

例 3. (2009 上海春,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 位,得到的曲线方程是( )

? 2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单

A. (1-y)sinx+2y-3=0 B. (y-1)sinx+2y-3=0 C. (y+1)sinx+2y+1=0
D.-(y+1)sinx+2y+1=0

例 4. (2003 上海春,18)已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0,x ∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直线 y= 交点的坐标。

3 与函数 f(x)图象的所有

例 5(1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义 域;

例 6.求下列函数的单调区间: (1)y=

1 π 2x π sin( - ) ; (2)y=-|sin(x+ )|。 2 4 3 4

例 7.关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题:①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数;②不 存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数;③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。其中一个假命题的序号是. 例 8.设

f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f (

?
12

) ? 4, (1)求 ? 、 a 、

b 的值; (2) 若?、?为方程f ( x) ? 0的两根, ?、?终边不共线,求tan( ? ? ? )的值。

例 9.函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
B.



A.

2 2

-1

2 2
?

+1

C.1-

2 2

D.-1-

2 2
、单调递增区间 、相位是 、初

随堂练习题 1、 是 相是

y ? 3sin(2 x ? ) 的最小正周期是 4
、单调递减区间是

、对称轴是 ;振幅是

。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由

y ? sin x 变化而来。

2、求

y ? 3sin(2 x ? ), x ? [? , ] 的单调递减区间。 4 2 2

?

? ?

3、比较大小

? cos( ?

?
8

),sin

6? ? ,sin ; 7 6

? tan1, tan 2, tan 3

4、求

y ? 3sin(2 x ? ), x ? [? , ] 的最大值、最小值及对应的 x 的取值范围。 3 6 6

?

? ?

5、求

y ? 3a sin(2 x ? ), x ? [? , ], a ? 0 的最值及对应的 x 的取值。 3 6 6

?

? ?

6、若

y ? 2a sin(2 x ? ) ? b, x ? [0, ] 的最大值是 1 ,最小值是 ?5 ,求 a, b 的值。 3 2

?

?

7、为了得到

y ? 3sin(2 x ? ) 的图象,只须将 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象向 6 3

?

?

平移

个单位。

8、若

y ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ?
和一个最低点 (

?
2

) ,在其一个周期内的图象上有一个最高点

(

? ,3) 12

7? , ?5) ,求这个函数的解析式。 12

10、求

1 ? 5? f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2a sin x ? b ? , x ? [ , ] 的值域 2 6 6
第五讲 三角函数的图像平移及周期性

例 1、 (北京)若角 α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α 的值为

.

例 2、(天津)把函数

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动
1 2

? 个单位长度,再把所得图象上 3


所有点的横坐标缩短到原来的

倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是(

A.

?? ? y ? sin ? 2 x ? ?,x ? R 3? ? ?? ? y ? sin ? 2 x ? ?,x ? R 3? ?

B.

? x ?? y ? sin ? ? ?,x ? R ?2 6? ?? ? ? y ? sin ? 2 x ? ?,x ? R 3 ? ?

C.

D.

y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ?
例 3、 (重庆理数) 已知函数

?
2

)
的部分图象如题 (6) 图所示, 则 ( )

A. ? =1

?

?
=

6

B.

? =1

? =- 6

?

C. ? =2

?= 6

?

D. ? =2

?=

?
-

6

例 4、 (福建理数) 已知函数 f(x)=3sin(? x-

?
6

)(? >0) 和 g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完全

相同。若 x ? [0,

?
2

] ,则 f(x) 的取值范围是 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0,? ? 0, ? ?

例 5、(广东题)已知函数

?
2

)

的图象在 y 轴上的截距

为 1, 它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 (x0, 2)和(x0 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x)

? 2) ( .Ⅰ) 求函数 f ( x ) ? 3? ,

? f (? x) 的单调递增区间.

随堂练习题 1、若点 P 在 A. (1,

2? 3

的终边上,且 OP=2,则点 P 的坐标( B. (



3)

3,?1)

D. (?1,?

3) C. (?1, 3)
( )

2、 (陕西理)对于函数

f ( x) ? 2sin x cos x ,下列选项中正确的是

(A)

f ( x) f(x)在(

?
4



?
2

)上是递增的

(B) (D)

f ( x) 的图像关于原点对称 f ( x) 的最大值为 2


(C)

f ( x) 的最小正周期为 2 ?

3、 (全国卷 2)为了得到函数

A .向左平移 C.向左平移 4、函数 y A. x 5、函数 A . [ 0,

?
6

y ? sin(2 x ? ) 的 图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像( 3
B.向右平移

?

个长度单位

?

?

6

个长度单位 个长度单位 ( ) D. ) D. [

3

个长度单位

D.向右平移

?
3

? sin(2 x ?

??

?
2

5? ) 的图象的一条对称轴方程是 2
B. x

??

?

y ? 2 sin(

?
6

4

C. x

?

?
8

x?

5? 4

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是(

? ] 3

B. [

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

5? , ?] 6

6、 (海南宁夏卷)函数

f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为()
B. -2,2 C.-3,

A. -3,1 7、函数

3 2

D. -2,

3 2

f ?x? ? sin??x ? ? ? ? cos??x ? ? ?
( B. ? )

?? ? 0? 以 2 为最小正周期,且能在 x ? 2 时取得最大
7 ? 4

值,则 ? 的一个值是 A. ?

3 ? 4

5 ? 4

C.

D.

?
2
两点,

8、 (全国Ⅱ卷理)若动直线 x ? a 与函数 则

f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N

MN

的最大值为()

A.1

B.

2

C.

3

D.2

9、函数

y ? sin(?x ? ? )(x ? R,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 ?与? 的值分别为。

10 、 (湖南卷理 6)函数

?? ? ? f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在 区 间 ? , ? ?4 2?

上的最大值是。

11、函数 12、函数

y ? sin x ? ? tan x 有意义,则 x 的取值范围为。
f ?x? ? sin??x ? ? ? ? cos??x ? ? ?
的值是。

?? ? 0?

( -?

? ? ? 0 )以 2 为最小正周期,且能在

x ? 2 时取得最大值,则 ?

13、 (辽宁卷理 16) 已知

?? ? f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f 3? ?

? ?? ? ?? ? ? ?? 且 f ( x ) 在区间 ? , ? ? ? ? f ? ?, ?6? ?3? ?6 3?

有最小值,无最大值,则 ? =______。 14、 (陕西卷理 17)已知函数

x x x f ( x) ? 2sin cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小 4 4 4

正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? 第六讲

π? ? f ? x ? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由。 3? ?

三角函数单调性及求最值问题

一、基础知识:求三角函数最值的常用方法: ① 通过适当的三角变换,把所求的三角式化为 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的形式,再利用正弦函数的有 界性求其最值。 ② ③ ④ 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题(如 y ? 利用函数的单调性求。

a sin x ? b )可利用正弦函数的有界性 c cos x ? d
1 3

例 1 已知函数 y ? f ( x) 是以 5 为最小正周期的奇函数,且 f (?3) ? 1 ,则对锐角 ? ,当 sin ? ?

时,

f (16 2 tan ? ) ? _________________例 1: f (8) ? f (3) ? ? f (?3) ? ?1
2 2 例 2 已知 a ? b ? 2, 则 a sin ? ? b cos ? 的最大值是___________例 2:

2

例 3 函 数 y ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x 取 最 小 值 的 x 的 集 合 为 ______________ 例 3 :
2 2

f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 ; 4

?

3? ? ? , k ?Z? ? x | x ? k? ? 8 ? ?

例 4 函 数 y ? cos 2 x ? 3sin x , x ? [?

5? ? , ? ] 的 最 大 值 和 最 小 值 的 和 为 ______________. 例 4 : 6 3

f ( x) ? 1 ? 2sin 2 x ? 3sin x , M ? ?1 , N ? ?4 M ? N ? ?5
例 5 函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cosx , x ? R 的最大值为_____________例 5:1 例 6 函数 y ?

sin x 3 (0 ? x ? ? ) 的最大值是_________________例 6: 3 2 ? cos x

例 7 函数 f ( x) ? (a cos x ? b sin x) cos x 有最大值 2, 最小值 ?1 , 求 y ? a sin(bx ?

?
4

例 7: ) 的最小正周期。

a ? 1, b ? ?2 2
例 8 已知函数 f ( x) ? 2a sin 2 x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b 的定义域是 [0,

?
2

] ,值域是 [ ?5,1] ,求 a , b 的值。

例 8: f ( x) ? ?2a sin(2 x ?

?
6

) ? 2a ? b ,

?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

?a?2 ? a ? ?2 或? ? b ? ? 5 ? ? b ?1

例 9 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ?

?
8

对称,求 a 的值。例 9: a ? ?1

例 10 已知 f ( x) ? A sin ? x ? B cos ? x ( A, B, ? 是常数,且 ? ? 0) 的最小正周期为 2,并且当 x ?

1 时, 3

f ( x) 取最大值为 2。 (1)求 f ( x) 表达式; (2)在区间 [

21 23 , ] 上是否存在 f ( x) 的图象的对称轴?若 4 4

存在,求出其方程;若不存在,说明理由。例 10: (1) f ( x) ? 2sin(? x ? 的对方程为 ? x ? 故存在。

?

) (2) f ( x) ? 2sin(? x ? ) 6 6

?

?
6

? k? ?

?

1 21 1 23 59 65 ? x ? k ? , k ? Z ,由 ? k ? ? ? ?k? , ?k ? Z ?k ? 5 2 3 4 3 4 12 12

例 11 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点 M ( 在区间 [0,

3? , 0) 对称,且 4

?
2

] 上是单调函数,求 ?,? 的值。例 11:03 高考天津卷 ? ?
2 3

?
2

, ? ? 2, ?=

2 3

例 12 . 已 知 定 义 在 区 间 [ ? ? ,

? ] 上 的 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? ?

?
6

对称,当

x ?[ ?

?
6

,

2 3

? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ) ,
2 2
1
?

y

其图象如图所示. (1)求函数 y ? f ( x ) 在 [ ? ? ,

2 3

? ] 的表达式;


x??? 6

?

o

? 6

2? 3

?

x

(2)求方程 f ( x) ?

2 2

的解.参考答案:

例 12: (1)当 x ? [ ? 随堂训练:

?

? 2 ? ] 时, f ( x) ? sin( x ? ) ,当 x ? [ ? ? , ? ] 时 f ( x) ? ? sin x 3 3 6 3
, 2

1. 有四个函数 ①y ? sin 2 x ②y ? sin x ③y ? tan 上是增函数的函数个数是( )
A. 1 B. 2

? x x 其中周期为 ? , 且在 (0 , ) ? cot ④y ? sin x , 2 2 2
C. 3 D. 4

2. 设函数 f ( x) ? 2 cos x ?
2

3 sin 2 x ? a ( a 为实常数) 在区间 [0,
?4 D. ?3

?
2

] 上的最小值是 ?4 ,则 a 的值是 ( )

A. 4

B.

?6

C.

3. y ? sin(2 x ?

?
3

) cos( x ?

?
6

) ? cos(2 x ?

?
3

) sin( x ?

?
6

) 的图像中一条对称轴方程是( )

A. x ?

?
4

B.

x?

?
2

C. x ? ?

D.

x?

3? 2

4.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,4]时,f(x)= x-2,则( ) A.f(sin

1 2

)<f(cos

1 2

)

B.f(sin D.f(sin

?
3

)>f(cos

?
3

)

C.f(sin1)<f(cos1)

3 2

)>f(cos

3 2

)
2

5. 将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移

?
4

个单位后, 再作关于 x 轴对称的曲线, 得到函数 y=1-2sin x, 则 B.2cosx C.sinx D.2sinx

f(x)是( )
6. 曲线 y ? 2 sin( x ? P3,?,则|P2P4|等于

A.cosx

?
4

) cos( x ?


?
4


) 和直线 y ?
A. ?

1 2

在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为 P1, P 2, B.2 ? C.3 ?
f(

D.4 ?

f x? 7.设 f ? x ? ? 2 cos ?? x ? ? ? ? m ,恒有 (

?
3

) ? f ? ? x ? 成立,且

?
6

)?

?1 ,则实数 m 的值为

A. ?1

B. ? 3

C.-1 或 3

D.-3 或 1

8 . 使 函 数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? _____________

3 cos(2x ? ? ) 是 奇 函 数 , 且 在 [0,

?
4

] 上是减函数的 ? 的一个值是

1 2 2 9.已知函数 f ( x) ? a cos ? x ? sin ? x ? cos ? x ? (? ? 0, a ? 0) 的最大值为 ,其最小正周期为π 。 (Ⅰ) 2 2 求实数 a 与ω 的值。 (Ⅱ)写出曲线 y ? f ( x ) 的对称轴方程及其对称中心的坐标。

强化练习: 1 C 2 C 3 C 4 C 5 B 6. A 7.D8. ? ?

2? 3

9. (1) y ? a cos2 ? x ? sin ? x ? cos ? x ?

1 2

?

a 2

1 1 (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? 2 2

?
?

1 2

(sin 2? x ? a cos 2? x) ?
a2 ? 1 2 sin(2? x ? ? ) ?

a ?1 2
2

a ?1



∵y 的最小正周期 T=π 。 ∴ yman ?

∴ω =1。

1 2 1 2

a ?1 ?
2

a ?1 2

?

2 2

, ∴a=1。

(2)由(Ⅰ)知 a=1,ω =1, ∴ f ( x) ?

(sin 2 x ? cos 2 x) ?

2 2

sin(2 x ? ) 。 4
k? 2 ?

?

∴曲线 y=f(x)的对称轴方程为 x ? 对称中心的坐标为 (

?
8

(k ? Z ) 。

k? 2

?

?
8

, 0)(k ? z ) 。
高一年段数学培优教材第五讲 平面向量(1)

二、基础知识: 1.向量的运算: 加法: AB ? BC ? AC ; 减法: AB ? AC ? CB ; 实数与向量的积:

??? ? ??? ? ??? ?

????

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

?

?

? ?

??? ? ????

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 向 量 ?a 与 a 的 关 系 ;

?

?

? ?

?

?

设 a ? ( x , y) , 则 ? a ? (? x , ? y) (? ? R)

?

?

? ? ? ?2 ? ? ? | a |? x2 ? y 2 , | ? a | ? | ? | ? | a | a ? a ? a ?| a |2
向量的数量积: 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 2.向量的关系: ①不等关系: || a |? | b || ? | a ? b | ? | a | ? | b | | a ? b | ? | a | ? | b | ②设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0

? ? ? ? ? ? ; a ? b ?| a | ? | b | ? cos? (? 是 a 与 b 的夹角)

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 )

?

?

? ?

?? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

(注意等号的条件)

?

?

?

?

则 a ? b ? a ? ?b ,

? ?

?

?

? ? a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0 ;

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?? ?? ? ??
?

3.平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的不共线向量,那么对于这个平面内的任一向量 a ,有 且只有一对实数 ? , ? ,使 a ? ? e1 ? ? e2 。 相关结论:如果 e1 , e2 是同一平面内的不共线向量,且 ? e1 ? ? e2 ? 0 ,则 ? ? ? ? 0 点 O、A、B、C 在同一平面内,A、B、C 共线的充要条件是: OA ? xOB ? yOC ( x ? y ? 1)

?

?? ?

?? ?? ?

??

?? ?

?

??? ?

??? ?

????

4. 常用公式:

? ? ?2 ? ? ?2 (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b
??? ? ??? ? ??? ? ?

? ? ? ? ? 2 ?2 (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ?ABC 中,M 为 BC 边的中点,

G 为重心, 则 AB ? BC ? CA ? 0 ; 三、综合应用:

???? ? 1 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? AM ? ( AB ? AC ) ; GA ? GB ? GC ? 0 2

例 1:求证:三角形的三条中线交于一点。

例 2: 设 ?ABC 外心为 O, 取点 M, 使 OA ? OB ? OC ? OM , 求证 M 是 ?ABC 的垂心, 且此三角形的外心、 垂心、重心在一条直线上。

??? ? ??? ? ????

???? ?

例 3:在三角形 ABC 中,点 M 分 AB 所成的比为 2,点 N 分 AC 所成的比为 直线 AP 和 BC 的交点为 Q,且 AB ? a , AC ? b ,用 a , b 表示 AP ; AQ

??? ?

????

3 ,设线段 CM 和 BN 交于点 P, 2

??? ?

?

????

?

? ?

??? ? ???? ??? ?

例 4:已知 O 为 ?ABC 内一点, ?AOB ? 150 , ?BOC ? 90 ,设 OA ? a , OB ? b , OC ? c , 且
? ?

? ??? ?

? ????

?

? ? ? ? ? ? | a |? 2 , | b |? 1 , | c |? 3 ,试用 a, b 表示 c 。
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

例 5: (1)已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 在( ) A

?ABC 内部
???

B

?ABC 外部
??? ?

C 在直线 AB 上

D

在直线 AC 上

(2)O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

??? ??? AB AC ? ? ? ? [0, ??). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? | AB | | AC |
A.外心





? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)在四边形 ABCD 中,设 AB ? a , BC ? b , CD ? c , DA ? d ,若 a ? b ? b ? c ? c ? d ? d ? a ,则该四
边形一定是( ) 三、强化训练: A 矩形 B 正方形 C 菱形 D 等腰梯形

???

B.内心

C.重心

D.垂心

1. 已知 A 、B 、C 三点在同一直线上, O 在直线外, OA ? a , OB ? b , OC ? c ,且存在实数 k ,使

???

?

???

?

??? ?

?

? ? ? ? ??? ? a ? 2kb ? 5c ? 0 成立,求点 C 分 BA 所成的比 ? 及 k 的值。 ??? ? ??? ? ??? ? OA ? ? OB ??? ? 2. 若 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? , (? ? ?1) ,则有 OP ? 。 1? ? ? ? ? ? ? ? 3. 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) ,当 k 为何值时: (1) k a ? b 与 a ? 3b 平行?平行时是否同向?
(2) k a ? b 与 a ? 3b 垂直? 4.如图,在平行四边形 ABCD 中, AH ? HD , BF ? MC ?

?

?

?

?

????

AM , MH , AF , MD

???? ??? ??? ?

??? ? ??? ? ? ? ? 1 BC ,设 AB ? a , AD ? b, 以 a, b 为基底表示 4 D C M H

A
5. 设 O 为 ?ABC 内一点,且满足 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,求 S ?ABC : S ?AOC

B

F

??? ?

??? ?

????

?

6. ?ABC 中,M 是 AB 的中点,E 是 CM 的中点,延长 AE 交 BC 于 F,作 MH∥AF,求证:BH= HF =FC。

7.如图,在平面斜坐标系 xOy中, ?xOy ? 60? ,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的: 若 op ? xe1 ? ye2 , 其中 e1 , e2 分别为与 x 轴 y 轴同方向的单位向量, 则 p 点斜坐标为 ( x , y ) .

? ?

?

?

? ?

y

o

60 ?

x

若 p 点斜坐标为(2,-2) ,求 p 到 O 的距离|PO|;

8.已知向量 u ? ( x, y) , v ? ( y, 2 y ? x) 的对应关系用 v ? f (u) 表示。 (1)证明: 对任意向量 a , b 及常数 m, n ,恒有 f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b) 成立; (2)设 a ? (1,1) , b ? (1,0) ,求向 量 f (a), f (b) 的 坐标。

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

(3)求使 f (c) ? ( p, q) ( p, q 为常数)的向量 c 的坐标。

?

?

参考答案: 例 1:略 例 2: AM ? BC ? (OM ? OA)(OC ? OB) ? (OC ? OB)(OC ? OB) ? OC ? OB ? 0

???? ? ??? ?

???? ? ??? ? ???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ?

???? 2 ??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ? ? GA ? GB ? GB ? 0 , ?OA ? OG ? OB ? OG ? OC ? OG ? 0 , ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? OA ? OB ? OC ? 3OG , ?OM ? 3OG , ?O , M , G 三点共线。
说明: ?ABC 外心为 O,取点 M,使 OA ? OB ? OC ? OM 成立的充要条件是 M 为 ?ABC 的垂心 例 3: AP ? 4a ? 5b , AQ ? ?4a ? 5b 例 4: 如图建立直角坐标系: A (2,0) , B (?

??? ? ??? ? ????

???? ?

??? ?

?

?

????

?

?

3 1 3 3 3 , ) , C(? ,? ) 2 2 2 2 B

? ? 3 1 ? 3 3 3 a ? (2,0) , b ? (? , ) , c ? (? , ? ) 2 2 2 2 ? ? ? 设 c ? ? a ? ? b ? ? ? ?3, ? ? ?3 3
例 5: (1)D 强化练习: 1. k ? 3 , ? ? ? 2.略 3. (1) k ? ? 4. AM ? a ? 5. 3 6. OP ? 2e1 ? 2e2 ? | OP |? 2 7. (2) f (a) ? (1,1) , (2)B (3)A

O C

A

1 6

1 3

反向

(2) k ? 19

???? ?

?

? ? 1? ??? ? ? 1 ? ???? ? ? 1? 3 ? ???? b , MH ? ?a ? b , AF ? a ? b , MD ? ?a ? b 4 4 4 4
?? ? ??? ?

??? ?

?

?

? f (b) ? (0, ?1)

(3) c ? (2 p ? q , p)

?

??? ? ??? ? ??? ? 例 1: (1)点 P 是 ?ABC 的外心,且 PA ? PB ? PC ,则角 C 的大小为_________________ ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? (2)在 ?ABC 中,| BC | GA? | AC | GB? | AB | GC ? 0 ,其中 G 为 ?ABC 的重心,则 ?ABC 的形状是___
(3)设 ?ABC 的外心为 O,H 是它的垂心,求证: OH ? OA ? OB ? OC

高一年段数学培优教材第六讲

平面向量(2)

???? ?

??? ? ??? ? ????

(4) 已知 O 为 ?ABC 所在平面内的一点, 且满足 | OA |2 ? | BC |2 ?| OB |2 ? | CA |2 ?| OC |2 ? | AB |2 , 求证: 点 O 是 ?ABC 的垂心。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

(5)O 为 ?ABC 所在平面内的一点,则 O 为 ?ABC 的垂心的充要条件是: OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA

??? ? ??? ?

??? ? ????

???? ??? ?

? ? ? ? ? ? 例 2: 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,b ? (cos ? ,sin ? ) , 且 a 与 b 之间有关系式:| ka ? b |?

? ? 3 | a ? kb | ,

其中 k>0.

? ? ? ? ? ? (1)证明: (a ? b) ? (a ? b) ; (2)试用 k 表示 a b

?

例 3:已知平面上的三个向量 a, b, c 的模均为 1 ,它们相互之间的夹角都是 120 , (1) 求证: ( a ? b) ? c

???

?

? ?

?

(2)若 | ka ? b ? c |? 1 , (k ? R) ,求 k 的取值范围。

? ? ?

例 4:已知向量 a ? ( 3, ?1) , b ? ( ,

?

?

1 2

? ? ? ? ? ? ? 3 ) ,存在实数 k , t ,使得向量 x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb, 且 2

? ? ? k ? t2 x? y, (1)试将 k 表示为 t 得函数 k ? f (t ) ; (2)求 得最小值。 t

例 5.已知向量 a ? (cos x,sin x) , b ? (sin 2 x,1 ? cos 2 x) , c ? (0,1) , x ? (0, ? ) (1)向量 a , b 是否共线? (2)求函数 f ( x) ?| b | ?(a ? b) ? c 的最大值。

?

?

?

? ?

?

? ? ?

例 6:在 Rt△ABC 中,已知 ?A ? 90 , BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹角 ? 取
?

?? ? ?? ?

何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

?? ? ?? ?

强化训练: 1.已知 ?ABC 满足 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,则 ?ABC 的形状是( ) A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形

??? ?2

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

2.已知 a, b, c 为非零的平面向量. 甲: a ? b ? a ? c,乙 : b ? c, 则 甲是乙的 A.充分条件但不是必要 B.必要条件但不是充分 C.充要条件

? ? ? ?

? ?



)条件

D.既非充分也非必要

3.已知平面上直线 l 的方向向量 e ? ( ?

?

4 3 , ), 点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O ' 和 A ' , 5 5 11 5
?

则 O?A? ? ? e ,其中 ? =

??? ?

?





A.

B. ?

11 5

C.2

D.-2

4.已知 e1 , e 2 是夹角为 45 的两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? e2 , 则 a , b 的夹角为___________
?

?

?

?

??

?? ?

?? ?? ?

? ?

5.如果向量 a 与 b 的夹角为 ? ,那么我们称 a ? b 为向量 a 与 b 的“向量积” , a ? b 是一个向量,它的长 度 | a ? b |?| a || b | sin ? ,如果 | a |? 3, | b |? 2, a ? b ? ?2 ,则 | a ? b |? ______________ 6 . 对 于 n 个 向 量 a1 , a2 , a3 , ???, an , , 若 存 在 n 个 不 全 为 零 的 实 数 k1 , k2 , ???, kn , 使 得

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

?? ? ?? ? ?? ?

?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? k1 a1 ? k2 a2 ? ??? ? kn an ? 0 成 立 , 则 称 向 量 a1 , a2 , a3 , ???, an , 是 “ 线 性 相 关 ” 的 。 按 此 规 定 , 能 说 明 ? ?? ? ?? ? a1 ? (1,0) , a2 ? (1, ?1) , a3 ? (2, 2) “线性相关”的实数 k1 , k2 , k3 的一组取值为____________________
7.设向量 a ? (cos 23?, cos 67?), b ? (cos 53?, cos 37?), 则a ? b ? ___________ 8.已知向量 m ? (1,1) ,向量 n 与 m 的夹角为

?

?

? ?

??

?

??

?? ? ? 3? ,且 m ? n ? ?1 ,则 n =______________ 4 ? ?

2 2 2 9.在 ?ABC 内求一点 P,使 AP ? BP ? CP 的值最小。

10.已知 a ? (1,3) , b ? (1,1) , c ? a ? ?b ,是否存在实数 ? ,使 a 与 c 的夹角为锐角?说明你的理由。 11. 已知向量 a ? (cos? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), | a? b |? (2)若 0 ? ? ?
? ? ? ?

?

?

?

?

?

2 5 5

. (1)求 cos(? ? ? ) 的值;

?
2

,?

?
2

? ? ? 0, 且 sin ? ? ?
? ?

5 13

, 求 sin ? 的值

12. 已知向量 a ? (2sin x,cos x), b ? ( 3cos x,2cos x), 定义函数 f ( x) ? a ? b ?1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的单调减区间;

? ?

? ?

(3)画出函数 g ( x) ? f ( x), x ? [? 参考答案 例 1: (1) 60 (3)
?

7? 5? , ] 的图象,由图象研究并写出 g ( x) 的对称轴和对称中心. 12 12

(2) 等边三角形

A D H O B C

如图,联结 BO 并延长交三角形外接圆于点 D,则

? AH ? DC ? AHCD 为 ? ? ? DA ? CH ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ? OH ? OA ? AH ? OA ? DC ? OA ? OC ? OD ? OA ? OC ? OB
(4) 略 (5)略

? ? 例 2: (1) | a |?| b |? 1

k 2 ?1 4k 2 例 3: (2) k ? 2k ? 0 ? k ? 2, k ? 0
(2) a ? b ? 例 4: (1) f (t ) ?

? ?

t 3 ? 3t 4

(2)

7 k ? t2 1 7 ? (t ? 2)2 ? ,当 t ? ?2 时取最小值 ? 4 t 4 4
2

例 5: (1)共线 ;

(2) f ( x) ? ?2sin x ? sin x ; f ( x)max ?

1 8

例 6:04 湖北高考题 BP ? CQ ? ?a 2 ? a 2 cos? ,所以当 ? ? 0 时,取最大值 0 强化练习: 1 C 2 B 3 D 4

??? ? ??? ?

arccos

3 46 46

5

4 2

6

?4, 2,1

7

3 2

8 (0, ?1) 或 ( ?1, 0)

9.设 AB ? a , AC ? b , AP ? x ,则

??? ?

?

????

?

??? ?

?

??? ? 2 ??? ?2 ??? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 2 ?2 AP ? BP ? CP ?| x |2 ?( x ? a)2 ? ( x ? b)2 ? 3x ? 2(a ? b) x ? a ? b
? 1 ? ? ? 2 ?2 1 ? ? ? 3[ x ? (a ? b)]2 ? a ? b ? (a ? b)2 3 3 ? 1 ? ? 所以当 x ? (a ? b) 时取最小,易证此时点 P 为三角形 ABC 的重心。 3
10. ? ? (? ,0) ? (0, ??) 11. (1) cos(? ? ? ) ?

5 2

3 5

(2)

33 65
2

12.解: f ( x) ? a ? b ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1

? ?

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6
(1) T ?

?

2? |? |

? ?.
? 2x ?

(2) 2k? ?

?
2

?
6

? 2k? ?

3? 2

? 2k? ?

?
3

? 2 x ? 2k? ?

4? 3

? k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? 3

(k ? Z )

?函数f ( x)的单调减区间为[k? ?
(3)

?
6

, k? ?

2? 3

](k ? Z ).

x
2x ?

?

7? 12

? ?

?
3

?

?
12

?
6

5? 12

?
6

??

?
2

0 0

?
2

?

y

0

-2

2

0

从图象上可以直观看出,此函数有一个对称中心( ?

? ,0 ) ,无对称轴 12

第二章 |。

平面向量

二、基础例题【必会】 1.向量定义和运算法则的运用 例1 设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心,求证:

OA1 ? OA2 ? ? ? OAn ? O.

【证明】



S ? OA1 ? OA2 ? ? ? OAn

2? ,若 S ? O ,则将正 n 边形绕中心 O 旋转 n

后与原正 n

边形重合,所以 S 不变,这不可能,所以 S 例2

? O. ? O. 2GD ? GP.

给定△ABC,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是 GA ? GB ? GC

【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD,则 AG ? 又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG 所以 GA ? GB ? GC

//

PC,所以 GB ? CP.

? GC ? CP ? PG ? O. ? O ,延长
AG 交 BC 于 D ,使 GP=AG ,连结 CP ,则 GA ?

充分性。若 GA ? GB ? GC

PG. 因为

GC ? PG ? PC ? O ,则 GB ? PC ,所以 GB // CP,所以 AG 平分 BC。
同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例3 在凸四边形 ABCD 中, P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点, 求证: AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 如图所示,结结 BQ,QD。 【证明】 因为

BP ? PQ ? BQ, DP ? PQ ? DQ ,

所以

BQ ? DQ ? ( BP ? PQ) 2 ? ( DP ? PQ) 2
2 2 2

2

2

BP ? DP ? 2 PQ ? 2 BP ? PQ ? 2DP ? PQ =
=

BP ? DP ? 2 PQ ? 2( BP ? DP ) ? PQ ? BP ? DP ? 2 PQ .

2

2

2

2

2

2



又因为

BQ ? QC ? BC, BQ ? QA ? BA, QA ? QC ? O,
BA ? BC ? QA ? QC ? 2 BQ
2 2 2 2 2

同理
2





CD ? DA ? QA ? QC ? 2QD
2 2 2

2

2

2

2




2 2 2

BA ? BC ? CD ? 4QA ? 2( BQ ? QD ) 由①,②,③可得 ? AC ? 2(2 BP ? 2 PQ ) ? AC ? BD ? 4 PQ
2.证利用定理证明共线 例4 △ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1:
2 2 2 2 2 2

。得证。

OG ? OA ? AG ? OA ?
【证明】 首先

2 AM 3

1 1 OA ? ( AB ? AC ) ? OA ? (2 AO ? OB ? OC ) 3 3 =
1 ? (OA ? OB ? OC ). 3
其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE ? 又 AH ? BC,所以 AH//CE。 又 EA ? AB,CH ? AB,所以 AHCE 为平行四边形。

BC .

所以

AH ? EC,
? OA ? AH ? OA ? EC ? OA ? EO ? OC ? OA ? OB ? OC , ? 3OG ,

所以 OH 所以 OH

所以 OG 与 OH 共线,所以 O,G,H 共线。 所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直 例5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a ? b.

【证明】|a+b|=|a-b| ? (a+b)2=(a-b)2 ? a2+2a?b+b2=a2-2a?b+b2 ? a?b=0 ? a ? b. 例6 已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ACD 重心。求证:OE ? CD。

【证明】



OA ? a, OB ? b, OC ? c ,

OD ?


1 ( a ? b) 2 ,

1? 1 1 1 ? 1 OE ? ?a ? c ? (a ? b)? ? c ? a ? b. 3? 2 2 6 ? 3
CD ?


1 ( a ? b) ? c 2 ,

1 1 ? ?1 1 ?1 ? OE ? CD ? ? a ? c ? b ? ? ? a ? b ? c ? 3 6 ? ?2 2 ?2 ? 所以
?
?

1 2 1 2 1 2 1 1 a ? b ? c ? a ?b ? a ?c 4 12 3 3 3
1 3 a?(b-c).

(因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)

又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a?(b-c)=0. 所以 OE ? CD。 4.向量的坐标运算 例7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求证:AF=AE。 【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方形边长为 1,则 A,B 坐标分别为 (-1, 1) 和 (0, 1) , 设 E 点的坐标为 (x, y) , 则 BE =(x, y-1), 所以-x-(y-1)=0. 又因为

AC ? (1,?1) , 因为 BE // AC ,

| CE |?| AC | ,所以 x2+y2=2.
x? 1? 3 1? 3 ,y ? . 2 2

由①,②解得

? 3 ? 3 ?1? 3 ? ?, | AE | 2 ? 4 ? 2 3. AE ? ? ? 2 , ? 2 ? ? 所以

1? 3 1? 3 x'? ? 0. F ( x' ,1) ,则 CF ? ( x' ,1) 。由 CF 和 CE 共线得 2 2 设
所以

x' ? ?(2 ? 3) ,即 F (?2 ? 3,1) ,

所以

| AF | 2 =4+ 2 3 ?| AE |2 ,所以 AF=AE。

三、趋近高考【必懂】

1. ( 2011. 湖 南 卷 14 ) 在 边 长 为 1 的 正 三 角 形

ABC

中,设

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? B C? 2 B D , C? A 3 C, E则

???? ??? ? AD ? BE ? ________ 。
???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? AD ? CD ? CA ? CB ? CA , BE ? CE ? CB ? CA ? CB , 2 3 ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? 1 1 7 ??? 1 所以 AD ? BE ? ( CB ? CA) ? ( CA ? CB ) ? ? ? ? CB ? CA ? ? 。 2 3 2 3 6 4
【解析】 :由题
? ?

2. ( 2011. 江苏卷 10 )已知 e1 , e 2 是夹角为
? ?

2 ? 3

的两个单位向量, a

?

? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 ,

?

? ?

?

?



a ? b ? 0 ,则 k 的值为
? ?

【解析】 :由 a ? b

? 0 得:k=2
? c ,则 c ? (a ? 2b) ?
D.0 故选 D

3.(2011.广东卷 3) .若向量 a , b, c 满足 a ∥ b 且 a A.4 [解析]:依题意得 c B.3 C.2

? a , c ? b ,则 c ? (a ? 2b) ? c ? a ? 2c ? b ? 0

4.(2011.四川卷 4)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF =

??? ? ??? ? ??? ?

(A)0 (B) BE (C) 答案 D

??? ?

? ???? ??? AD (D) CF
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BA ? AF ? EF ? BF ? EF ? CE ? EF ? CF
)

【解析】 : BA ? CD ? EF

??? ? ??? ? ??? ?

5.(成都市 2010 届高三第三次诊断理科)已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),则|a+ 2 b|的值为( (A)3

2

(B)7

(C)

17

(D)

13 ? 2 5

【答案】C 【解析】因为 a+2 b=(1,4) 故|a+2 b|= ?

12 ? 42 ? 17

6. (绵阳市 2010 年 4 月高 三三诊理科试题)已知向量 a、b 不共线,若向量 a+λ b 与 b+λ a 的方向相反,则

λ =( C ) (A)1 (B)0 (C)-1 (D)±1

? ? ? ? ? ? f ( x ) ? ( xa ? b ) ? ( a ? xb ), a , b 7. (雅安市 2010 届高三第三次诊断性考试理科) 已知 为非零向量, 函数
则使

f ( x) 的图象为关于 y 轴对称的抛物线 的一个必要不充分条件是( C )w_w w. k#s5_u.c o*m

? ? a A. ? b

? ? a B. // b
??? ? ???? | AB ? AC |? ( B )
(B) 10

?? ? ? | a | ?| b | C.

? ? a D. ? b

8. (资阳市 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理)已知平面直角坐标系内的点 A(1,1),B(2,4), C(-1,3),则 (A) 2 2

(C)8

(D)10

9. (泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试理科)如图:正六边形 的是( C )

ABCDEF

中,下列命题错误

A. AC ?AD ?

??? ? ????

???? ??? ? AD?AB

B. AD ? 2 AB ?

????

??? ? ??? ? AF

??? ? ??? ? ??? ? AC ? AF ? 2 BC C.

? AD?AF ? EF ? ? EF ?AF ? AD D.
量 a 与向量 b 的夹角是( C )

???? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ? a ? 1, b ? 6, a? b ? a ? 2

10.(四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题)已知

?

?

,则向

?

?

?
A.

?
B.

?
C.

?
D.

6

4

3

2

11. ( 成 都 市 石 室 中 学 2010 届 高 三 三 诊 模 拟 理 科 ) 已 知

a, b

是 非 零 向 量 且 满 足

(3a ? b) ? a, (4a ? b) ? b ,则 a与b 的夹角是



A

)w_w w. k#s5_u.c o*m

?
A.

?
B.

6

3

2? C. 3

5? D. 6

13.(眉山市 2010 年

?? ?? ? ?? ?? ? e , e , e , e 4 月高三第二次诊断性考试理科)设 1 2 3 4 是平面内的 四个单位向量,其中

? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? e1 ? e2 , e3 与 e4 的夹角为 135? ,对这个平面内的任一个向量 a ? xe1 ? ye2 ,规定经过一次“斜二测
?? ?? y ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? a1 ? xe3 ? e4 v1 v v ? 3 e ? 4 e 2 , 1 2, 变换” 得到向量 设向量 则经过一次 “斜二测变换” 得到向量 1 的模
是_____________________.

13 ? 6 2

14 . ( 省 泸 州 市 2010

? ?? a ? (2,1), a ? b ? 10 , 届高三第二次教学质量诊断性考试理科)已知向量
5 .

? ? a?b ? 5 2

,则

? b?

? ? ? ? a ? (1, n ), b ? (?1, n) ,若 2a ? b 11. (泸州市 20 10 届高三第二次教学质量诊断性考试文科)已知向量
? ? a ? 与 b 垂直,则
2 .

? A ( ? 1, ? 5) a ? (2,3) ,若 15.(四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题)已知点 和向 量
??? ? ? AB ? 3a ,则点 B 的坐标为
.

? 5 , 4?
三角恒等变换

高一年段数学培优教材第三讲 四、基础知识:

1. 三角的恒等变化:要注意公式间的内在联系和特点,审题时要善于观察差异,寻找联系,实现转化; 要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类,采用 “配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数,并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。 2. 常见的变形公式: sin ? cos? ?

1 ? sin 2? 1 ? cos? ? 2cos2 2 2

1 ? cos ? ? 2sin 2

?
2

1 ? sin ? ? (sin

?
2

? cos )2 ? 2sin 2 ( ? ) 2 2 4

?

? ?

1 ? sin ? ? (sin

?
2

? cos ) 2 ? 2sin 2 ( ? ) 2 2 4

?

? ?

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )[1 ? tan ? tan ? ] a sin ? x ? b cos ? x ? a2 ? b2 sin(? x ? ? )
3. 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。如常见的角的拆并有

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ?


???
2

?

? ??
2

, ? ? (? ? ) ? , ? ? ? ? (? ? ) 6 6 4 2 4

?

? ?

?

?

五、综合应用: 例 1:已知角 ? 的终边上一点 P(2sin 3 , ? 2cos3) ,则 ? 的弧度数为_____________ 已知

3? ? 3? 2 ? cot ? _________________ ,则 cot ? ? ? 2? , cot ? ? ? 2 2 2 2
3 2 sin x ( x ? R) 的最大值是____________________ 3

函数 y ? sin x cos x ?

1 2 ? ____________________________ 化简 ? 2 ? 2 tan( ? x)sin ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
例 2:已知 sin ? cos ? ?

1 ,求 cos ? sin ? 的取值范围。 4

2 ? 2 ? ? ? 例 3:求 sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos 50 的值。

例 4: 已知 f (? ) ? sin ? ? sin (? ? ? ) ? sin (? ? ? ), 其中 ? , ? 是适合 0 ? ? ? ? ? ? 的常数, 试问 ? , ? 取
2 2 2

何值时, f (? ) 的值恒为定值?

? ? ? ? 例 5:求值: cot15 cot 25 cot 35 cot 85

例 6:已知 ? , ? ? (0,

?
2

(1)求证: tan ? ? ),sin ? ? csc? ? cos(? ? ? ) ;

sin ? cos ? ; 1 ? sin 2 ?

(2)求 tan ? 的最大值,并求当 tan ? 取得最大值时 tan(? ? ? ) 的值。 例 7:已知 0 ? ? , ? ?

?
2

,且 sin(? ? ? ) ? 2sin ? ,求证: ? ? ?

例 8:已知当 x ? [0,1] 时,不等式 x cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x) sin ? ? 0 恒成立,求 ? 的取值范围。
2 2

六、强化练习: 1.若角 ? 满足条件 sin 2? ? 0 , cos? ? sin? ? 0 ,则 ? 在( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2.以下命题正确的是( ) (A) ?,? 都是第一象限角,若 cos? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? (B) ?,? 都是第二象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? (C) ?,? 都是第三象限角,若 cos? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? (D) ?,? 都是第四象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? 3.若 3? ? x ? 4? ,则

1 ? cos x 1 ? cos x 等于 ? 2 2
(C) 2 sin(

? x ? x (A) 2 cos( ? ) (B) ? 2 cos( ? ) 4 2 4 2

?

x ? ) 4 2

(D) ? 2 sin(

?

x ? ) 4 2

4.在(0, 2? )内,使 cosx ? sin x ? tan x 成立的 x 的取值范围是

(A) (

? 3? , ) 4 4

(B) (

5? 3? , ) 4 2

(C) (

3? , 2? ) 2

(D) (

3? 7? , ) 2 4

5.设 ?,? 是一个钝角三角形的两个锐角,则下列四个不等式中不正确的是 (A) tan? tan ? ? 1 (B) sin ? ? sin ? ? 2

1 ? ?? (C) cos? ? cos ? ? 1 (D) tan(? ? ? ) ? tan 2 2
)

2 2 6.已知 cos(? ? ? ) ? cos ? ? ? sin ? ,则 sin(2? ? ? ) ? sin ? 的值为(

A.0

B.1

C. 2 sin ?

D.以上都不对

7.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan

A 2

? tan

C 2

? 3 tan

A 2

tan

C 2

? __________

8.已知点 P( sin? ? cos? ,tan ? )在第一象限,则在[0,2 ? )内 ? 的取值范围是____________
? ? 9. cot10 ? 4 cos10 的值为

10.已知 sin 2 2? ? sin 2? cos? ? cos 2? ? 1, ? ? (0, 11.已知 cos(α 12.求值: cos

?
2

) ,求 sin ? , tan ? 的值。
?
2
,求 cos(α +β )之值.

?
2

)= ?

1 9

,sin(

?
2

-β )=

2 3

,

?
2

<α <π ,0<β <

?
11

cos

2? 3? 4? 5? cos cos cos 11 11 11 11

13.是否存在锐角 ? , ? ,使得① ? ? 2? ? 值;若不存在,说明理由。 参考答案: 例 1: ? ? 3 ?

2? ? ;② tan tan ? ? 2 ? 3 同时成立?若存在,求出 ? , ? 的 3 2

?
2

? 2k? , k ? ? ;

6( 3 ?1) ;

3 ; 6

1 cos 2 x 2

1 ? ?1 ? ? cos ? sin ? ? 1 ? 3 3 ? 4 ? ? ? cos ? sin ? ? 例 2:法 1: ?1 ? sin(? ? ? ) ? 1, ? 1 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? ? 4 4 ??1 ? 1 ? cos ? sin ? ? 1 ? ? 4
法 2:

cos2 ? sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? )(1 ? cos2 ? ) ? 1 ? ?

1 17 ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? ? [(sin ? ? cos ? )2 ? 2sin ? cos ? ] 16 16

9 9 3 3 ? (sin ? ? cos ? )2 ? , ?? ? sin ? cos ? ? 16 16 4 4
?a ? sin 2 20? ? cos 2 50? ? sin 20? cos50?
2 ? 2 ? ? ? ?b ? cos 20 ? sin 50 ? cos 20 sin 50

例 3:多种方法。 (构造对偶式)设 ?

? a ? b ? 2 ? sin 70?

a ? b ? ? cos 40? ? cos100? ? sin(?30? ) ? ?2sin 70? sin 30? ?
例 4: f (? ) ?

1 1 1 3 ? ? sin 70? ? ,? 2a ? 2 ? ? a ? 2 2 2 4

3 1 ? [1 ? 2cos(? ? ? )cos(? ? ? )]cos 2? ? [sin(? ? ? )sin(? ? ? )]sin 2? 2 2

?1 ? 2 cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 0 ? sin(? ? ? ) ? 0 ,考虑到 0 ? ? ? ? ? ? ? f (? ) 恒为定值,? ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ?

?? ? ? ? 2? ? cos(? ? ? ) ?

1 ? ? 2? , ? ?? ? ? ? ? ? 0 ?? ? ? ? ? , ?? ? , ? ? 2 3 3 3

(提示:本题也可以用赋值法:令 ? ? 0, 例 5:1

?
2

, ?? , ? ? , ? f (0) ? f ( ) ? f (?? ) ? f (? ? ) ) 2
? ?

?

(本题要总结公式 sin 3? ? 4sin ? sin(60 ? ? )sin(60 ? ? )

cos3? ? 4cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? ) tan 3? ? tan ? tan(60? ? ? ) tan(60? ? ? )
例 6: (2) tan ? ?

tan ? 1 ? 2 tan 2 ? ? 1 2 tan ? ?

1 tan ?

?

1 2 2

(tan ? ?

2 ) 2

例 7: 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? 例 8:令 x ? 0 则 sin ? ? 0 ,令 x ? 1 则 cos? ? 0 故原不等式化为

? sin ? ? 0 2sin ? ? 1 ? (1 ? sin ? ? cos ? ) x ? (2sin ? ? 1) x ? sin ? ? 0 , ? ? (0,1) , ? ?cos ? ? 0 ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ??0 ?
2

? ? sin ? ? 0 ? ? 5? ? cos? ? 0 ? ? ? (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 12 12 ? 1 ?sin 2? ? ? 2
强化练习: 7. 1. B 2. D 3. 8. ( C 4. C 9. 5. D 6. A 10.

3

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

3

sin ? ?

1 3 , tan ? ? 2 3

11. cos 12.

? +?
2

?

7 5 239 , cos(? ? ? ) ? ? 27 729

1 ? ? 13. 存在 ? ? , ? ? 32 6 4

四、课后巩固: 1. 【高考安徽文 7】 要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象, 只要将函数 y ? cos 2 x 的图象( (A)向左平移 1 个单位(B)向右平移 1 个单位 )

(C)向左平移

1 1 个单位(D)向右平移 个单位 2 2

2.【高考新课标文 9】已知 ω>0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 图像的两条相邻的对称轴,则 φ=( π π π 3π (A) (B) (C) (D) 4 3 2 4 )

? 5? 和x ? 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 4 4

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为( 3.高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

)

(A) 2 ? 3

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

4.【高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? ( 3

)

(A)

?
2

(B)

2? 3? 5? (C) (D) 3 2 3

5.【高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ?

3 ,则 sin 2? ? ( 5

)

(A) ?

24 12 12 24 (B) ? (C) (D) 25 25 25 25

6.【高考重庆文 5】

sin 47? ? sin17? cos 30? cos17? (

)

(A) ?

1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

7.【高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? =( (A) ? 1 (B) ?

)

2 2

(C)

2 2

(D) 1

8.【高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin ( x ?
2

?

1 ) 若 a=f(lg5) , b ? f (lg ) 则( 4 5

)

A.a+b=0

B.a-b=0

C.a+b=1

D.a-b=1

9. 【高考全国文 15】 当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ___________.

?? 4 ? ? 10.【高考江苏 11】设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为. 6? 5 ? 12

11.【高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x=

? 4

B.x=

? 2

? )的图像的一条对称轴是( 4 ? ? C.x=D.x=4 2

)

12.【高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图像向右平移 个单位长度,所
4

?

得图像经过点(

3? 4

,0) ,则 ? 的最小值是(

)(A) (B)1
3

1

C) (D)2
3

5

13.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

14【高考四川文 18】已知函数 f ( x) ? cos

2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

15.【高考广东文 16】已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ?0, 值.

?x ?? ? ? , x ? R ,且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2 ?3?

4 ? 30 ? ? ?? f 4 ? ? ? ? ? , , ? ? 3 ? 17 ? ? 2? ?

2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的 3 ? 5 ?

16.【高考重庆文 19】设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在

x?

?
6

处取得最大值 2, 其图象与轴的相邻两个交点的距离为 (I) 求 f ( x ) 的解析式; (II)

?

2

求函数 g ( x ) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

17.【高考北京文 15】已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。

18.【2012 高考陕西文 17】函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3,

其图像相邻两条对称轴之间的距离为

?
2



(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

高中数学三角函数常见习题类型及解法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 2 2 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx?cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角:α =(α +β )-β ,β =

???
2



???
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = 确定, ? 角的值由 tan ? =

a 2 ? b2

sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号

b a

确定。

2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函 数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1 ) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ?
例 1.已知 tan?

? 2 ,求(1)

的值.

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就会使解题过 程简化。 例 2.求函数 解:设 t

y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。

π ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4 1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4

当t

? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ?

1 3 时, ymin ? , 2 4

所以,函数的值域为

3 y ?[ , 3 ? 2] 。 4

例 3.已知函数 (1)求

f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。

f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; f ( x) 的图像关于直线 x ? ?
π 8
对称。

(2)证明:函数

解:

f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以

f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2) 证 明 : 欲 证 明 函 数 f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 对称,只要证明对任意 x?R 8 π π f (? ? x ) ? f ( ? ? x 成立, ) 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2( ? ? x) ? ] ? 2 2 sin( ? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f ( ? ? x) ? f ( ? ? x) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 1 3 例 4. 已知函数 y= cos x+ sinx?cosx+1 (x∈R), 2 2
所以,当 2 x ?
2

,有

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解: (1)y=

1 1 1 3 3 cos x+ sinx?cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx?cosx)+1 2 4 4 4 2 1 5 1 ? ? 5 3 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x?sin +sin2x?cos )+ 4 4 2 6 6 4 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4
2 2

所以 y 取最大值时,只需 2x+

? ?
6
=

2

+2kπ ,(k∈Z) ,即

x=

?

所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

?
6

6

+kπ ,(k∈Z) 。

+kπ ,k∈Z}

(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移

?
6

,得到函数 y=sin(x+

?
6

)的图像;

(ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的

1 2

倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y=sin(2x+

?
6

)的图像;

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 图像; (iv)把得到的图像向上平移

1 2

倍(横坐标不变) ,得到函数 y=

1 2

sin(2x+

?
6

)的

5 4

个单位长度,得到函数 y=

1 2

sin(2x+

?
6

)+

5 4

的图像。

综上得到 y=

1 2

cos x+

2

3 sinxcosx+1 的图像。 2

说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般 有两种解法: 一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式, 降幂后最终化成 y=

a 2 ? b2

sin (ω x+ ? )+k 的形式,

二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,

y=

1 3 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? t an x 2 2 2 2 +1= +1 sin 2 x ? cos2 x 1 ? t an2 x 化简得:2(y-1)tan x- 3 tanx+2y-3=0
2

∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ∴ymax=

6 x x 2 x . 例 5.已知函数 f ( x ) ? sin cos ? 3 cos 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
(Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函数 f(x)的 值域. 解: f ( x) ?
2

7 4

,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ +

?

3 4

≤y≤

7 4

,k∈Z}

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 ?, k ? z 即对称中心的横坐标为 2
(Ⅰ)由 sin( (Ⅱ)由已知 b =ac
2

1 2x 3 2x 1 2x 3 2x 3 2x ? 3 sin ? (1 ? cos ) ? sin ? cos ? ? sin( ? ) ? 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

k?z

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, 3 2 9 2 3 3 3 3 ]. 即 f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 ? 2 cos x ?
综上所述, x ? (0,

? 3 ? sin(

2x ? 3 ? ) ? 1? , 3 3 2

?
3

]



f ( x) 值域为 ( 3 ,1 ?

3 ] 2

.

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数

值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。 例 6.在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin

cos C 3a ? c ? , cos B b

B 的值;

(2)若 b ? 4

2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。

解:(1)由正弦定理及 即 sin B cos C 又因为

cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ? ? ,有 cos B b cos B sin B



? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B ,

A ? B ? C ? π , sin( B ? C ) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为 sin A ? 0 ,所以

cos B ?

1 2 2 2 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? 3 3
2



(2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a 所以有

2 ? c 2 ? ac ? 32 ,又 a ? c , 3

4 2 a ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为 3 1 1 S ? ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2

第二讲三角函数式的化简与求值 高考要求
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三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 重难点归纳
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通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解
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题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍
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1 求值问题的基本类型 ①给角求值,②给值求值,③给式求值,④求函数式的最值或值域,⑤化简求值
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技巧与方法

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①要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式
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②注意切割

化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 来解决

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③对于条件求值问题,要认真寻找条件和
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结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法
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④求最值问题,常用配方法、换元法

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典型题例示范讲解
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例 1 不查表求 sin 20°+cos 80°+ 解法一 sin 20°+cos 80°+
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2

3 cos20°cos80°的值

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3 sin220°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°) 2 2
= +

3 sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)

3 3 1 1 3 2 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin 20° 4 4 2 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
=1- 解法二 设 x=sin 20°+cos 80°+
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3 sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°=

1 , 2

x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100°
=-2sin100°sin60°+ ∴x=y=

3 sin100°=0

1 , 4
2 2

即 x=sin 20°+cos 80°+

3 sin20°cos80°=
2

1 4

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例 2 设关于 x 的函数 y=2cos x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 的 a 值求 y 的最大值
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1 的 a 值,并对此时 2
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命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力
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知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题
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错解分析 考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错
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技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等
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解 由 y=2(cosx-
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a 2 a ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得 2 2
2

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( a ? ?2) ?1 ? 2 ? a f(a)= ?? ? 2a ? 1 ( ?2 ? a ? 2) 2 ? 1 ? 4a ( a ? 2) ? ?

1 , 2 1 1 ∴1-4a= ? a= ?[2,+∞ ) 2 8
∵f(a)=

a2 1 -2a-1= ,解得 a=-1 ? (?2, 2) , 2 2 1 2 1 此时,y=2(cosx+ ) + , 2 2
或 - 当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5 例 3 已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[
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?
3

)-

3 sin2x+sinxcosx

?
12



7? -1 --1 ]时,f(x)的反函数为 f (x),求 f (1)的值 12

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命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能
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知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识
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错解分析 在求 f
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--1

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(1)的值时易走弯路
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技巧与方法 等价转化,逆向思维
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解 (1)f(x)=2cosxsin(x+
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?
3

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)-

3 sin2x+sinxcosx
)-

=2cosx(sinxcos =2sinxcosx+

?
3

+cosxsin

?
3

3 sin2x+sinxcosx
)

3 cos2x=2sin(2x+

?
3

∴f(x)的最小正周期 T=π

5? (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2 12 3 2 ? ? 7? (3)令 2sin(2x+ )=1,又 x∈[ , ], 3 2 2 ? ? 3? ? 5? ∴2x+ ∈[ , ],∴2x+ = , 3 3 2 3 6
(2)当 2x+ =2kπ -

?

?

,即 x=kπ -

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则 x= 例4

?
4

,故 f

--1

(1)=

?
4

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3? 12 3 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的值_________ 4 5 2 13 ? 3? ? 3? 解法一 ∵ <β <α < ,∴0<α -β < π <α +β < , 2 4 4 4
已知
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∴ sin(?

? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ? ) ?

5 4 ,cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? . 13 5

∴sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β )

5 4 12 3 56 ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65 5 4 解法二 ∵sin(α -β )= ,cos(α +β )=- , 13 5 ?
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72 65 40 sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=- 65 1 72 40 56 ∴sin2α = (? ? )?? 2 65 65 65
∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=-
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学生巩固练习
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1 已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、tanβ ,且α ,β ∈
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(- A

? ?
2 2 ,

),则 tan

???
2

的值是( C

) D

1 或-2 2 3 ? 1 2 已知 sinα = ,α ∈( ,π ),tan(π -β )= ,则 tan(α -2β )=______ 5 2 2 ? 3? ? ? 3 3? 5 3 设α ∈( , ),β ∈(0, ),cos(α - )= ,sin( +β )= ,则 sin(α +β )=_________ 4 13 4 4 4 4 5
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1 2

B -2
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4 不查表求值:
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2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?
+x)=

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.

sin 2 x ? 2 sin2 x 3 17? 7? ,( <x< ),求 的值 1 ? tan x 5 4 4 12 1 ? cos(? ? ? ) ? ? 8 ? 4 sin2 ( ? ) 的最大值及最大值时的条件 6 已知α -β = π ,且α ≠kπ (k∈Z) 求 ? ? 4 4 3 csc ? sin 2 2
5 已知 cos(
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?

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7 如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点
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B Q P

P 的位置,并求此最大面积 8 已知 cosα +sinβ =
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3 ,sinα +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log 1
2
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2x ? 3 的最小值,并 4 x ? 10

O

R

S

A

求取得最小值时 x 的值 参考答案
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1 解析 ∵a>1,tanα +tanβ =-4a<0 tanα +tanβ =3a+1>0,
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又α 、β ∈(-

??? ? ? ? ? , )∴α 、β ∈(- , θ ), 则 ∈(- ,0), 又 tan( α + β )= 2 2 2 2 2

??? 2 tan tan ? ? tan ? ? 4a 4 4 2 ? ? , 又 tan(? ? ?) ? ? , ? ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? (3a ? 1) 3 3 1 ? tan 2 2 ??? ??? 2 ? 3 tan ? 2 =0 解得 tan ? ? ? =-2 整理得 2tan 2 2 2
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答案 B
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2 解析 ∵sinα =
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3 4 ? ,α ∈( ,π ),∴cosα =- 5 5 2

则 tanα =-

3 1 1 ,又 tan(π -β )= 可得 tanβ =- , 4 2 2

1 2 ? (? ) 2 tan ? 2 ? ? 4. tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? (? 1 )2 3 2 3 4 ? ? (? ) tan ? ? tan ? 7 4 3 tan(? ? 2? ) ? ? ? 3 4 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? (? ) ? (? ) 24 4 3
2

答案

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7 24
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3 解析 α ∈(
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? 3? ? ? ? 3 , ),α - ∈(0, ),又 cos(α - )= 4 4 4 2 4 5

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? 4 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 ? sin(? ? ) ? , ? ? (0, ).? ? ? ? ( , ?). sin( ? ?) ? ,? cos( ? ?) ? ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ? ? sin(? ? ?) ? sin[(? ? ) ? ( ? ?) ? ] 4 4 2 ? 3? 56 答案 ? ? cos[(? ? ) ? ( ? ?)] 4 4 65 ? 3? ? 3? 3 12 4 5 56 ? ? cos(? ? ) ? cos( ? ?) ? sin(? ? ) ? sin( ? ?) ? ? ? (? ) ? ? ? . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(? ? ?) ? 65
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4 答案 2
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3 ? 7 ? x ) ? ,? sin 2 x ? ? cos 2( ? x ) ? . 4 5 4 25 17? 7 5? ? ? 4 又 ? x ? ? ,? ? x ? ? 2? ,? sin(x ? ) ? ? 12 4 3 4 4 5 2 2 sin 2 x ? 2 sin x 2 sin x cos x ? 2 sin x 2 sin x (sin x ? cos x ) cos x ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 ? ? (? ) sin 2 x sin( ? x ) 5 ? 28 4 ? ? 25 ? 3 75 cos( ? x ) 4 5 5.解 :? cos(

?

1 ? cos(? ? ?) ? ? ? 4 sin 2 ( ? ) ? ? 4 4 csc ? sin 2 2 ? ? ? ? ? sin (1 ? cos ?) 1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos 2 2 2 2 ? 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin ? ) ? ?4 2 2 2 2 2 ? 2 ? 1 ? sin cos 2 2 ? ? ??? ? ?? ? 2(sin ? sin ) ? 2 ? 4 sin cos ?2 2 2 2 2 8 2? ? ? 8 ? ?? 3 ? ? ? 2? . ? ? ? ? ? ?,? ? 3 4 4 2 3 ? 2 1 ? 2? ? t ? 4 sin( ? ?) ? (? ) ? 2 ? ?2 sin( ? ) ? 2 2 3 2 2 3 6.解 : 令t ?

? 2 k? 2? (k∈Z) ? ?? ? 2 3 2 3 ? 2? ? ? 2 ? ∴当 ? ? 2k? ? , 即 ? ? 4k? ? (k∈Z)时, sin( ? ?) 的最小值为-1 2 3 2 2 3 3
? ? ? k? (k∈Z),?
7 解 以 OA 为 x 轴 O 为原点,建立平面直角坐标系,
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并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ ),则 |PS|=sinθ 直线 OB 的方程为 y=
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3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ 联立解之得 Q(
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3 sinθ ;sinθ ), 3

3 sinθ 3 3 于是 SPQRS=sinθ (cosθ - sinθ ) 3 3 3 3 1 ? cos 2? 2 = ( 3 sinθ cosθ -sin θ )= ( sin2θ - ) 3 3 2 2 3 3 3 3 1 1 ? = ( sin2θ + cos2θ - )= sin(2θ + )- 3 2 3 6 2 2 6 1 ? ? ? 5 ? ∵0<θ < ,∴ <2θ + < π ∴ <sin(2θ + )≤1 2 3 6 6 6 6 3 ? ∴sin(2θ + )=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是 , 6 6 3 1 ? 此时,θ = ,点 P 为 ? AB 的中点,P( , ) 2 2 6
所以|PQ|=cosθ -
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8 解 设 u=sinα +cosβ 则 u +(
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2

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3 )2
2
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=(sinα +cosβ ) +(cosα +sinβ ) =2+2sin(α +β )≤4 ∴u ≤1,-1≤u≤1 即 D=[-1,1],
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设 t=

2 x ? 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 x=
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t2 ? 3 2

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2x ? 3 t 1 1 2 ? 2 ? ? ? . 4 x ? 10 2t ? 4 2t ? 4 4 2 8 t 4 2 当且仅当2t ? , 即t ? 2时, M max ? . t 8 ? y ? log 0.5 M 在M ? 0时是减函数, ?M ? ? ymin ? log 0.5 2 5 ? log 0.5 2 ? log 0.5 8 ? 时, 8 2 1 此时t ? 2, 2 x ? 3 ? 2, x ? ? . 2
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课前后备注

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第三讲 三角函数两角和公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = cot(A+B)

tanA ? tanB 1 - tanAtanB cotAcotB - 1 = cotB ? cotA

tan(A-B) = cot(A-B)

tanA ? tanB 1 ? tanAtanB cotAcotB ? 1 = cotB ? cotA

倍角公式 tan2A =

2tanA 1 ? tan 2 A
2 2

Sin2A=2SinA?CosA
2 2

cos2A = Cos A-Sin A=2Cos A-1=1-2sin A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA) tan3a = tana?tan(
3

cos3A = 4(cosA) -3cosA

3

?
3

+a)?tan(

?
3

-a)

半角公式

sin(

A 1 ? cos A )= 2 2 A 1 ? cos A )= 2 1 ? cosA

cos(

A 1 ? cos A )= 2 2 A 1 ? cos A )= 2 1 ? cosA
tan(

tan(

cot(

A 1 ? cos A sin A )= = sin A 1 ? cos A 2

万能公式

a 2 sina= a 1 ? (tan ) 2 2 2 tan

cosa=

a 1 ? (tan ) 2 2 a 2 1 ? (tan ) 2

a 2 tana= a 1 ? (tan ) 2 2 2 tan

例 1. 求值: (1)

2 cos 10? ? sin 20? sin 75? ? cos 75? ; (2) . sin 70? sin 75? ? cos 75?

例 2. 已知 3sinβ =sin(2α +β )且 tanα =1,求 tan(α +β ).?

例 3. 已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tanα ,tanβ 且 α ,β ∈ (-

2

? ? , ),求 sin (α +β )+sin(α +β )cos(α +β )+2cos (α +β )的值. 2 2
2 2

例 4.

?1? 化简 sin?2 A ? B ? ? 2 cos ? A ? B ?;
sin A

?2? 已知 ?、?为锐角 ,cos ? ? 4 ,tan?? ? ?? ? ? 1 ,求 cos ?的值 .
5 3

例 5. (1)如果方程 x

2

? bx ? c ? 0?c ? 1?的两根为 tanα 、tanβ ,求

sin 2 ?? ? ? ? ? b sin?? ? ? ? cos?? ? ? ? ? c cos2 ?? ? ? ? 的值;
(2)在非直角△ABC 中,求证:tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC.

例 6.

化简 1

? ? sin 7? ? cos15? sin8? . ?2?
sin 7? ? sin15? sin8?

2 sin 50? ? sin80? 1 ? 3 tan10? 1 ? 2 sin 50? cos 50?

?

?.

例 7.

已知 sin ?

1 1 ? sin ? ? ? , cos ? ? cos ? ? ,α 、β 3 2

都是锐角, 求 tan (α -β ) 的值.

课后练习 1.选择题

?1? sin 7? cos 37? ? sin83? sin37?的值为
(A)

(

)

?

3 2
2

(B)

?

1 2
)

(C)

1 2

(D)

3 2

?2? 1 ? tan
(A)

75? 的值为 ( tan 75?

2 3

(B)

2 3 ?C ? ? 2 3 3
(

(D)

?
)

2 3 3

?3? 若 sin 2x sin 3x ? cos2x cos3x,则x的值是
(A)

?
10

(B)

? 6

(C)

? 5

(D)

? 4

2.填空题

?4? 若 cos?

?

1 ?? ? 3? ? ? ,? ? ? ,2? ?, 则 sin?? ? ? ? ________. 5 3? ? 2 ? ?

?5?

3 ? tan15? 1 ? 3 tan15?

? _________.

?6? cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________.
3.解答题

?7? 化简 tan? ? tan?60? ? ? ? ?

3 tan? tan?60? ? ? ?.

?? ?? ? ?8?已知cos? ? 1 , cos?? ? ? ? ? ? 11 , 且? ? ? ? 0, ?,? ? ? ? ? ,? ?, 求 cos?的值.
7 14 ? 2? ?2 ?

?9? 若sin? ? sin? ? sin?

? cos? ? cos? ? cos? ? 0, 求cos?? ? ? ?的值.
第四讲 三角函数复习

一、知识点整理与归纳: 1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量制与换算 换算关系:: 180
?

? ? (弧度)

,弧长公式: l

? r?

,扇形面积公式: S

?

1 1 lr ? r 2? 2 2

2、三角函数的定义熟记三角函数在各象限的符号: sin ?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

3、三角函数线及简单应用(判断正负、比较大小,解方程或不等式等) 4、正弦函数 5、函数

y ? sin x 、余弦函数 y ? cos x 、正切函数 y ? tan x 的图像和性质:

y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质:作图时常用两种方法:

x
①五点法:

?x ? ?
y ? A sin(?x ? ? )

0

?
2
A

?
0

3? 2
-A

2?
0

0

②图象变换法:

y ? sin x ?
6、 结合函数

(1) y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin(? x ? ? ) (2) y ? sin? x ? y ? six(? x ? ? )

? y ? A sin(? x ? ? )

(其中A ? 0,? ? 0) y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的简图可知: 该函数的最大值是 A ? B ,
A ,周期是 T ?

最小值是 B ?

2?

?

,频率是

f ?

? 2?

,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? ;

7、几组重要公式 一)同角三角函数的基本关系式: 1)平方关系: sin 2)商式关系:
2

2 ? ? cos2 ? ? 1 ; 1 ? tan ? ?

1 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? 1 ? tan 2 ?

sin ? ? tan ? ;sinα =tanα ?cosα cos ?

二)诱导公式:“奇变偶不变,符号看象限”。 三)和角公式和差角公式:

S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

S(? ?? ) : sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? C(? ?? ) : cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? C(? ?? ) : cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ? ? ) : tan ?? ? ? ? ?
四)二倍角公式: sin 2?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

, T(? ? ? )

: tan

?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

? 2sin ? cos ? , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? , tan 2? ?

a 2 ? b 2 sin(α +φ )= a 2 ? b 2 cos(α - ? ) 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ,sin 2 ? ? 六)降次公式: cos ? ? , (sinα ±cosα ) =1±sin2α , 2 2 a b c ? ? ? 2 R 及其变形公式有: 七)正弦定理: sin A sin B sin C a b c , sin B ? , sin C ? (1) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; (2 ) sin A ? ; 2R 2R 2R (3) sin A : sin B : sin C ? a : b : c 等. b2 ? c 2 ? a 2 2 2 2 八)余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 及其变形: cos A ? 等; 2bc 1 1 1 1 九)三角形面积公式: S ?ABC ? ah ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B . 2 2 2 2
五)合一变形公式: asinα +bcosα =
2

8、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下四类解斜三角形问题: (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求其它的边和角, (3)已知三边求三内角; (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个内角。 9、解斜三角形的应用题的解题步骤: (1)分析属于哪种类型的问题(如:测量距离、高度、角度等) ; (2)依题意画出示意图,并把已知量标在示意图中; (3)最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解,并进行求解; (4)检验并作答. 典型例题: 例 1、定义在区间 ? 0 ,

? ?

?? ? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP ⊥x 轴于 2?
1

点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_________。

例 2、已知 的值。

? ? 3? ? 3 3? 5 ??? ? ?) ? ,求 ,0 ? ? ? , cos( ? ? ) ? ? , sin( 4 4 4 4 5 4 13

sin(? + ?)

I
300

例 3、已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I (1)右图是 I

? A sin(?t ? ? ) 。

? A sin(?t ? ? ) (ω >0, | ? |? ? A sin(?t ? ? ) 的解析式;

?
2

)在一个周期内的图象,

-

1 900

o

1 180

t

根据图中数据求 I

-300

(2)如果 t 在任意一段 的最小正整数值是多少?

1 秒的时间内,电流 I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么 ω 150

例 5、已知函数

f ( x) =2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) 。

(1)求函数

? ?? f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值: ? 2?
6 ?? ? ? , ,求 cos 2 x0 的值。 , x0 ? ? 5 ?4 2? ?

(2)若

f ( x0 ) ?

课后作业

1、设 α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 cosα =

2 x,则 sinα 的值. 4

2、已知 ? 是锐角,且 10? 与 ? 的终边相同,则角 ? 的大小为.. 3、满足 sin ? < 2 ,且 ? ∈(0,π )的角 ? 的集合是_____________. 2

2 2 2 4、已知 tan ? = ,则 sin ? -2sin ? cos ? +4cos ? 的值为 . 3 3π 3 5、已知 cos( + ? )=- ,且 ? 是第四象限角,则 cos(-3π + ? )的值为. 2 5 6、函数 y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间( π 3π , )内的图象大致是( 2 2 )

7、已知 sin ? 、cos ? 是方程 3x -2x+a=0 的两根,则实数 a 的值为.
2

8、函数

y ? 2 tan(
2

3? ? 3x) 的单调递减区间是. 4
2 4

9、若 sin ? +sin

? =1,则 cos ? +cos ? 的值为
?

.

10、已知 f(x)=2sinω x(0<ω <1)在区间?0, 11、已知 sinθ = 12、化简: 13 、曲线

π? 上的最大值是 2,则 ω =________. 3?

m-3 4-2m ,cosθ = ,则 tanθ =________. m+5 m+5

sin(2π -α )tan(α +π )tan(-α -π ) = . cos(π -α )tan(3π -α )

1 ,3? y ? A sin(? x ? ? ) 的一个最高点为? ?4 ? ,从相邻的最低点到这个最高点的图象交

x 轴于

?-1,0?,最低点纵坐标为-3,求此曲线的解析式. ? 4 ?

14、将最小正周期为

π π π 的函数 g(x)= 2sin(ω x+φ + )(ω >0,|φ |<2π )的图象向左平移 个单位长 2 4 4

度,则得到偶函数图象,求满足题意的 φ 的所有可能的值.

x x x f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (1)将 f(x)写成 A sin(? x ? ? ) ? B 的形式, (2)求其图象对称中心;
15、已知函数

16、 (1)已知关于 x 的方程 2sin?x+

π? ? 4 ?=k 在[0,π ]上有两解,求实数 k 的取值范围. π k+1 ? π ? 0, (2)设关于 x 的方程 sin?2x+ ?= 6 ? ? 2 在? 2 ?内有两个不同根 α 、β ,求 α +β 的值及 k 的取

值范围.

二、基础例题(必会) 1.结合图象解题。 【高考真题】 (2011.江苏卷 9)函数 图象如图所示,则

f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分

f (0) ? ____
A ? 2, T 7 ? ? ? 2 ? ? ? ? , ? ? 2, 2 ? ? ? ? k? , ? ? k? ? ? , 4 12 3 4 3 3

【解析】 :由图可知:

2 6 ? 7 ? f (0) ? 2 sin(k? ? ? ) ? ? 3 2 3 12
例1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。

? 2

【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图) ,由图象可知两者有 6 个交点,故方程 有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例2 设 x∈(0, π ), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。

【解】

?? ? ? ? ? x ? ? ,? ? x ? ? ? ,0 ? ? 2 ? ,则 cosx≤1 且 cosx>-1,所以 cos ? 2 ?, 若

所以 sin(cosx) ≤0,又 0<sinx≤1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx).

?? ? x ? ? 0,? ? 2 ? ,则因为 ? 若
?
2 sin(x+ 4
)≤

sinx+cosx=

? 2 ? 2 ? ?? 2 2? sin x ? cos x ? 2 ? 2 ? ? (sinxcos 4

?
+sin

4

cosx)=

?
2<2


?
所以 0<sinx<

?
-cosx<

2

2



?
所以 cos(sinx)>cos(

2

-cosx)=sin(cosx).

综上,当 x∈(0,π )时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).

?
例3 已知α ,β 为锐角,且 x? (α + β -

? cos ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? 2. ? ? ?? 2 )>0,求证: ? sin ? ? ? sin ? ?

x

x

?
【证明】 若α +β >

?
,则 x>0,由α >

?
-β >0 得 cosα <cos(

2

2

2

-β )=sinβ ,

cos? sin ? 所以 0<

?
<1,又 sinα >sin(
x x

2

-β )=cosβ ,
0

cos ? 所以 0< sin ?
0

<1,

? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? 所以

?
若α +β <

?
,则 x<0,由 0<α <

?
-β <

?
得 cosα >cos(

2

2

2

2

-β )=sinβ >0,

cos? sin ? 所以

?
>1。又 0<sinα <sin(
x x

2

-β )=cosβ
0

cos ? ,所以 sin ?
0

>1,

? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ,得证。
注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx) ;其次,当且仅当 【解】

?
x=kπ +

2

时,y=0(因为|2cosx|≤2<π ),

所以若最小正周期为 T0,则 T0=mπ , m∈N+,又 sin(2cos0)=sin2 ? sin(2cosπ ),所以 T0=2π 。 4.三角最值问题。 例5 已知函数 y=sinx+

1 ? cos2 x ,求函数的最大值与最小值。
3 ? ?? 2 cos? , 1 ? cos2 x ? 2 sin ? ? ? 0 ? ? ? 4 ?, ?4

【解法一】

令 sinx=

2 cos ? ? 2 sin ? ? 2 sin(? ?
则有 y=

?
4

).

?
因为

4

?0?

3 ? 4

?
,所以

2

?? ?

?
4

??


0 ? sin(? ?
所以

?
4

)
≤1 ,

?? ?
所以当 ,即 x=2kπ -

3 4

?
2
(k∈Z)时,ymin=0,

??


?
4
,即 x=2kπ +

?
2
(k∈Z)时,ymax=2.

?
例6 设 0< ? <π ,求 sin

2

(1 ? cos ? )
的最大值。

【解】因为 0< ? <π ,所以

0?

?
2

?

?

? 2 ,所以 sin 2 >0, ? 2 ? 2

? cos 2 >0.
2 ? 2 sin 2
=

所 以

sin

? 2

?
2

( 1+cos

?

? cos2

?
2

? cos2

?
2


) =2sin
3

? cos2

? ?? ? 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? 2 sin 2 2 2? 2?? 3 ? ? ? ? ? ?
? ? 当且仅当 2sin2 2 =cos2 2 ,

=

16 4 3 ? . 27 9

? 2 即 tan 2 = 2

,

?

=2arctan

2 2

? 时,sin 2 (1+cos ?

4 3 )取得最大值 9 。

例7

若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。

【解】

因为 sinA+sinB=2sin

A? B A? B A? B ? 2 sin 2 cos 2 2 ,



?
sinC+sin

3

? 2 sin

C? 2

?
3 cos

C? 2

?
3 ? 2 sin

C? 2

?
3
, ②

sin
又因为

A? B ? sin 2

C? 2

?
3 ? 2 sin

A? B ?C ? 4

?
3 cos

A? B ?C ? 4

?

3 ? 2 sin ? 3 ,③

?
由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin

?
≤4sin

3

3

,

? 3 3 所以 sinA+sinB+sinC≤3sin 3 = 2 ?

,

3 3 当 A=B=C= 3 时, (sinA+sinB+sinC)max= 2
函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。

.

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、

y?
例8 求

sin x cos x 1 ? sin x ? cos x 的值域。

【解】

设 t=sinx+cosx=

? 2 ? 2 ? ? 2? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? 2 sin(x ? 4 ). ? ?

? 1 ? sin( x ?
因为 所以 ?

?
4

) ? 1,

2 ? t ? 2.

又因为 t2=1+2sinxcosx,

x2 ?1 t ?1 t ?1 y? 2 ? 1? t 2 , 所以 sinxcosx= 2 ,所以
2

? 2 ?1 ?y? 2 所以

2 ?1 . 2

t ?1 ? ?1 因为 t ? -1,所以 2 ,所以 y ? -1.

? 2 ?1 ? ? 2 ? 1? ? ? 1, y ? ?? ,?1? ? ?. ? ? 2 2 ? ? ? ? 所以函数值域为
1 ? a n ?1 2 ? 1
例9 已知 a0=1, an=

a n ?1

? n?2 (n∈N+),求证:an> 2

.

【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan,

? ?? ? 0, ? 2 ? ,则 an∈ ?

1 ? tan2 a n ?1 ? 1
an=

tana n ?1

?

sec a n ?1 ? 1 1 ? cosa n ?1 a ? ? tan n ?1 ? tana n . 2 tana n ?1 sin a n ?1
n

a n ?1 因为 2

? ?? ?1? 1 ? 0, ? ? ? a0 . a n ?1 2 ? ,所以 an= 2 ,an∈ ? ,所以 an= ? 2 ?

?1? an ? ? ? ?2? 又因为 a0=tana1=1,所以 a0= 4 ,所以

?

n

?
?

4



?
又因为当 0<x<

2

a n ? tan
时,tanx>x,所以

?
2
n?2

?

?
2 n?2

.

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

? ?? ? 0, ? 2 ? 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是很容易的。 另外当 x∈ ?
6.图象变换【常考】 :y=sinx(x∈R)与 y=Asin( ? x+ 由 y=sinx 的图象向左平移

? )(A, ? , ? >0).

? 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,然后再保持纵坐标
, 得到 y=Asin( ? x+

1 不变, 横坐标变为原来的 ?

? )的图象;也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变,
? ,最后向左平移 ?

纵坐标变为原来的 A y=Asin( ? x+

1 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 ?

个单位,得到

? )的图象。
已知 f(x)=sin( ? x+

例 10

例 10

? )( ? >0,

? 3? ? M ? ,0 ? ? ? 4 ? 0≤ ≤π )是 R 上的偶函数,其图象关于点

? ?? ?0, 2 ? ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 对称,且在区间 ?
【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin( ? + 任意 x∈R 成立。

? )=sin(- ? x+ ? ),所以 cos ? sinx=0,对

又 0≤

? ≤π ,解得 ? = 2 ,

?

? 3? ? 3 3 M ? ,0 ? f ( ? ? x) ? f ( ? ? x) ? 4 ? 对称,所以 4 4 因为 f(x)图象关于 =0。

取 x=0,得

?? ? 3? 3 ? ? ? ? ? 0. f ( ?) 2? 4 =0,所以 sin ? 4
2 (k∈Z),即 ? = 3

3? ? ? ? k? ? 2 所以 4

(2k+1) (k∈Z).

?
又 ? >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+

?
)在[0,

2

2

]上是减函数;

?
取 k=1 时, ? =2,此时 f(x)=sin(2x+

?
)在[0,

2

2

]上是减函数;

10 ? 取 k=2 时, ? ≥ 3 ,此时 f(x)=sin( ? x+ 2 2 综上, ? = 3

?
)在[0,

2

]上不是单调函数,

或 2。

7.三角公式的应用。

例 11

已知 sin(α -β

5 )= 13

, sin(α +β )=-

5 13

,且 α -β

?? ? ? ,? ? 2 ? ,α ∈?



? 3? ? ? ,2? ? 2 ? ,求 ∈?

sin2α ,cos2β 的值。

【解】

因为 α -β

?? ? ? ,? ? 2 ? ,所以 cos(α ∈?

1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ?
-β )=-

12 . 13

又因为 α +β

? 3? ? ? ,2? ? 2 ? ,所以 cos(α ∈?

1 ? sin 2 (? ? ? ) ?
+β )=

12 . 13
120 )= 169 ,

所以 sin2α =sin[(α +β )+(α -β )]=sin(α +β )cos(α -β )+cos(α +β )sin(α -β

cos2β =cos[(α +β )-(α -β )]=cos(α +β )cos(α -β )+sin(α +β )sin(α -β )=-1.

例 12 值。

A?C 1 1 2 cos ? ?? 2 cos B ,试求 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 cos A cosC
A?C 2 =cos(600-C),



【解】

因为 A=1200-C,所以 cos

1 1 1 1 cos(1200 ? C ) ? cosC ? ? ? ? cos A cosC cos(1200 ? C ) cosC cosC cos(1200 ? C ) 又由于
2 cos600 cos(600 ? C )
=

1 [cos1200 ? cos(1200 ? 2C )] 2

?

2 cos(600 ? C ) 1 cos(120 ? 2C ) ? 2
0

? ?2 2


4 2 cos 2
所以

A?C A?C ? 2 cos ?3 2 2 2 =0。

cos
解得

A?C 2 A?C 3 2 ? cos ?? 2 2 或 2 8 。 cos
>0,所以
?

cos
又 例 13

A?C 2

A?C 2 ? 2 2 。
?

求证:tan20 +4cos70 .

【解】

sin 20? ? ? ? tan20 +4cos70 = cos 20

+4sin20

?

sin 20? ? 4 sin 20? cos 20? sin 20? ? 2 sin 40? ? ? cos 20? cos 20? ? sin 20? ? sin 40? ? sin 40? 2 sin 30? cos10? ? sin 40? ? cos 20? cos 20?

?

sin 80? ? sin 40? 2 sin 60? cos 20? ? ? 3. cos 20? cos 20?

三、趋近高考(必懂) 1.(2011.陕西卷 16. ) (本小题满分 12 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC= 60 ,∠BAC ? 90 ,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC ? 90 .
? ? ?

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)设 E 为 BC 的中点,求 AE 与 DB 夹角的余弦值. 【分析】 (1)确定图形在折起前后的不变性质,如角的大小不变,线段长度不变,线线关系不变,再由面 面垂直的判定定理进行推理证明; (2)在(1)的基础上确定出三线两两垂直,建立空间直角坐标系,利用 向量的坐标和向量的数量积运算求解. 【解析】 (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后, AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB ? DC

??? ?

??? ?

? D ,∴AD⊥平面 BDC,

∵AD ? 平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2) 由∠BDC ? 90 及 (1) 知 DA, DB, DC 两两垂直, 不妨设|DB|=1,
?

以 D 为坐标原点,以 DB , DC , DA 所在直线为 x, y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得: D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,

??? ?

????

??? ?

3 ),E(

1 3 , 2 2

,0),

所以

??? ? 1 3 ??? ? AE ? ( , , ? 3) , DB ? (1,0,0) , 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ?DB ∴ cos ? AE , DB ?? ??? ? ??? ? ? AE ? DB

1 2 1? 22 4

?

22 22

所以

??? ? ??? ? 22 AE 与 DB 夹角的余弦值是 22



2.(2011.江苏卷 7)已知 tan( x ? 【 解

?
4

) ? 2,



tan x 的值为__________ tan 2 x
析 】 :

tan( x ? ) ? 1 1 tan x tan x ( 1- tan 2 x) 4 4 tan x=tan( x ? ? ) ? ? , = = ? ? 2 tan x 4 4 3 tan 2 x 2 9 tan( x ? ) ? 1 2 4 1- tan x

?

?

?

3.(2011.广东卷 16) . (本小题满分 12 分)

已知函数

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) , x ? R . 3 6
5? ) 的值; 4

(1)求

f(

(2)设 ? , ?

? 10 6 ? ?? ? ?0, ? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 13 5 ? 2?
5? 1 5? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? 2 4 3 4 6 4

【解析】 : (1 )

f(

(2 )

5 ? 1 ? ? 10 f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? ,即 sin ? ? 13 2 3 2 6 13 3 1 ? ? 6 f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? ,即 cos ? ? 5 3 6 2 5

∵?, ?

? ?? ? ?0, ? , ? 2?
? 1 ? sin 2 ? ?
4 12 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 13

∴ cos ?

∴ cos(?

? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

4.(2011.安徽卷 9)动点 A

? x, y ? 在圆 x2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一

周。 已知时间 t

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时, ? 0 时, 点 A 的坐标是 ( , 动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位: 2 2

秒)的函数的单调递增区间是 A、

?0,1?

B、

?1,7?

C、

?7,12?
? 0 时? ?

D、

?0,1? 和 ?7,12?
?
6
,在 t ?

【解析】画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 ? ,则 t

?
3

,每秒钟旋转

?0,1?

上?

? ? 3? 7? ? [ , ] ,在 ?7,12? 上 ? ? [ , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递增的。故选 D 3 2 2 3

5.(2011.四川卷 6).在 ? ABC 中. sin

2

? sin 2 B ? sin 2 C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是

(A)(0, 答案:C 【

? ] 6

(B)[

? ,? ) 6


(c)(0,

? ] 3


(D) [

? ,? ) 3
意 正 弦 定 理









a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? 1 ? cos A ? ? 0 ? A ? bc 2 3

6.(2011.北京卷 10)在△ABC 中,若 b = 1,c =

3 , ?C ?

2? 3

,则 a =。

3 sin C 1 2 ? ? sin B ? ?b ? ?1 ? B? ,A? ? B c 2 3 6 6 【解析】 : ,因此 ,故 a ? b ? 1
7.(四川省成都市 2010 届高三第三次诊断理科)计算 cot15°-tan15?的结果是( (A) 3 2 (B) 6 2 (C)3

故为 1.

)

3

(D)2

3

【答案】D

8.(成都 2010 届高三第三次诊断文科)计算 cos45?cos15?-sin45?cos75?的结果是( 3 (A) 2 2 (B) 2

)

1 (C) 2

(D)1

【答案】Cw_w w. k#s5_u.c o*m

【解析】cos45?cos15?-sin45?c os75? =cos45?cos15?-sin45?sin15? =cos(45?+15?) =cos60?

1 =2
9. (成都 2010 届高三第三次诊断文科)先把函数 f(x)=sinx-

3 cosx 的图象按向量 a=(π ,0)平移
3

1 得到曲线 y=g(x),再把曲线 y=g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的 2 倍,横坐标保持不变,得到曲线 y
=h(x),则曲线 y=h(x)的函数表达式为( )w_w w. k#s5_u.c o*m

2π (A)h(x)=sin(x- ) 3

(B)h(x)=sinx

2π (C)h(x)=4sin (x- ) (D)h (x)=4sinx 3 【答案】A π 【解析】f(x)=2sin(x- ), 3 π 2π 按向量 a=( ,0)平移后,得到曲线 y=g(x) =2sin(x- ) 3 3

1 2π 再把纵坐标缩短到原来的 2 倍,横坐标保持不变,得到曲线 y=h(x)=sin(x- )
3 10(2011.北京卷 15) 已知函数

f (x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x 。

(Ⅰ)求

f ( ) 的值; 3

?

(Ⅱ)求

f ( x) 的最大值和最小值。

【解析】 :

(I) (2)

? 2? ? ? 3 9 f ( ) ? 2 cos ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? 2 ? ? . 3 3 3 3 4 4

f ( x) ? 2(2 cos 2 x ? 1) ? (1 ? cos 2 x) ? 4 cos x ? 3cos 2 x ? 4 cos x ? 1 2 7 ? 3(cos x ? ) 2 ? , x ? R 3 3
2 3 时,取最小值

因为

cos x ?? ?1,1? ,

所以当 cos x

? ?1 时, f ( x) 取最大值 6;当

cos x ?

?

7 3



11. (成都 2010 届高三第三次诊断理科)已知 sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα = 的值为________________.

3 3 ,则 cos2β

1 【答案】 3 w_w w. k#s5_u.c o*m
【解析】因为 sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα =sin[(α +β )-α ]

=sinβ =

3 3
2 1 ? =1- 3 3
?

于是 cos2β =1-2sin22β

cos 41 12. (四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题)
? 1 2

cos 79? ? sin 41? cos11? ?

.

6.(绵阳 2010 年 4 月高三三诊理科试题) (本小题满分 12 分)已知△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 A、B、C 成等差数列,b=1,记角 A=x,a+c=f (x).

?

?

(Ⅰ)当 x∈[ 6 , 3 ]时,求 f (x)的取值范围;

f (x ?
(Ⅱ)若

?
6

)?

6 5 ,求 sin2x 的值.

解: (I)由已知 A、B、C 成等差数列,得 2B=A+C,

B?
∵ 在△ABC 中, A+B+C=π ,于是解得

?
3,

A?C ?

2? 3 .

a b c ? ? ∵ 在△ABC 中, sin A sin B sin C ,b=1,
a?c ?


1 sin

?
3

? sin A ?

1 sin

?
3

sin C
?

2 3 2? [sin A ? sin( ? A)] 3 3

?

2 3 2? 2? ? [sin A ? sin cos A ? cos sin A] ? 2 sin(A ? ) ? 3 sin A ? cos A 3 3 3 6 ,

f ( x) ? 2 sin(x ? ) 6 即

?

?


?

?

?

?

6 ≤x≤ 3 得 3 ≤x+ 6 ≤ 2 ,于是 3 ≤ f ( x) ≤2,
(x)的取值范围为[ 3 ,2] . ???? ??????????????8 分

即f

3 ? ? ? 6 sin x ? f ( x ? ) ? 2 sin(x ? ? ) ? 5. 6 6 6 5 ,即 (Ⅱ)∵ 4 cos x ? ? 1 ? sin2 x ? ? 5 . ????????????????????9 分 ∴

cos x ? ?


4 2 4 3? 2? ? ?? A?C ? 2 知 x> 4 ,这与 5 ,此时由 5 3 矛盾.

4 5 ∴ x 为锐角,故 . ????????????????????11 分 24 sin 2x ? 2 sin x cos x ? 25 .???????????????? ????12 分 ∴ cos x ?
7. (雅安 2010 届高三第三次诊断性考试理科) (本题满分 12 分)w_w w. k#s5_u.c o*m

?? ? A , B , C a , b , c m ? (c ? a, b ? a) , n ? 三角形的三内角 所对边的长分别为 ,设向量
?? ? (a ? b, c) ,若 m // n 。
(1)求角 B 的大 小; (2)求 sin

A ? sin C 的取值范围。

13. (自贡 2010 届高三三诊理科试题) (本小题满分 12 分)

| AC |? 1 ,∠ABC=120°,∠BAC= ? 如图 4,已知△ABC 中,
(I)求

,记

??? ? ??? ? f (? ) ? AB ? BC 。

f (? ) 关于 ?

的表达式; w. k#s5_u.c o*m

(II)求

f (? ) 的值域。w_w

| AB | | BC | 1 ? ? sin 120 ? = sin(60? ? ? ) ????(2 分) 解: (Ⅰ) ,由正弦定理有: sin
| BC |?


1 sin( 60 ? ? ? ) sin ? | AB |? sin 120 ? sin 120 ? ,

????(4 分)

4 1 f ( 0 ) ? AB ? BC ? sin ? ? sin( 60 ? ? ? ) ? f ( ? ) 3 2 ∴

2 3 1 ( cos ?? sin ? ) sin ? 2 =3 2 =
1 ? 1 sin( 2 ?? )? 6 6 =3

1 3 1 ? cos 2 ? ( sin 2 ?? ) 3 2 2

(0 ? ? ? ) 3

?

????(8 分)

0 ?? ?
( Ⅱ)

?
3
=>

?
6

? 2? ?

?
6

?

5? 6

,

1 ? ? sin( 2 ?? )? 1 6 ∴2 ∴

1 f (? ) ? (0, ] 6

???(12 分)

14.(南充 2010 届高三 4 月月考理科试题) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、

4 sin 2
b、c,

A? B 7 ? cos 2C ? , a ? b ? 5, c ? 7 2 2 .

(1)求角 C 的大小;w_w w. k#s5_u.c o*m (2)求△ABC 的面积.

4 sin 2
解: (1)由

A? B 7 C 7 ? cos 2C ? , 得4cos 2 ? cos 2C 2 2 2 2

∴ 4cos2C-4cosC+1=0

cos C ?
解得 又 a+b=5 由①②得 ab=6

1 2

∴ C=60° 即 7=a2+b2-ab ① ②

(2)由余弦定理得 C2=a2+b2-2ab cos C ∴a2+b2+2ab=25

1 3 3 ab sin C ? 2 ∴ S△ABC= 2
15. (资阳 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理) (本小题满分 12 分)

在直角坐标系 xOy 中,若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l: (Ⅰ)求 tan 2? 的值;w_w w. k#s5_u.c o*m

y ? 2 x ( x ? 0)



2cos 2
(Ⅱ)求

?
2

? 2sin(? ? ? ) ? 1 7? ) 4
的值.

2 cos(? ?

解: (Ⅰ)在终边 l 上取一点

P(?1, ?2)

tan ? ?
,则

?2 ?2 ?1 , 2分

tan 2? ?


2? 2 4 ?? 2 1? 2 3.

4分

2cos 2
(Ⅱ)

? ? 2sin(? ? ? ) ? 1 cos ? ? 2sin ? 2 ? cos? ? 2sin ? ? 7? 2 cos(? ? ) ? 2 cos(? ? ) 4 cos? ? sin ? 4
12 分

8分

?

1 ? 2 tan ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ?5 1 ? tan ? 1? 2 .

11.(四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题) (12 分)在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的

边分别是

a , b, c ,

a 2 ? c2 ? b2 ?

1 ac 2 .w_w

w. k#s5_u.c o*m

sin 2
(Ⅰ)求 (Ⅱ)若 b

A?C ? cos 2 B 2 的值;

? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

cos B ?
解: (Ⅰ)由余弦定理:

1 4

sin 2

A?C ? B ? cos 2 B ? sin 2 ( ? ) ? 2 cos 2 B ? 1 2 2 2 B ? cos 2 ? 2 cos 2 B ? 1 2 1 ? cos B ? ? 2 cos 2 B ? 1 2 1 ?? 4

cos B ?
(Ⅱ)由

1 15 , 得 sin B ? . 4 4
1 ac 2

∵b

? 2,

a 2 ? c2 ? b2 ?

a2 ? c2 ?


8 1 1 ac ? ac ? b 2 ? ac ? 4 ? 2ac 3 2 2 ,从而

1 15 S?ABC ? ac sin B ? 2 3 (当且仅当 a ? c 时取等号) 故
16.(成都石室中学 2010 届高三三诊模拟理科)(12 分)w_w w. k#s5_u.c o*m

已知 ?ABC 中,

sin A(sin B ? 3 cos B) ? 3 sin C.

(I)求角 A 的大小; (II)若 BC=3,求 ?ABC 周长的取值范围。 解: (I)

A? B?C ??



sin C ? sin(A ? B) 代入已知条件得

sin A sin B ? 3 cossin B

? sin B ? 0 ,由此得

tan A ? 3 , A ?

?
3
????6 分

B?C ?
(II)由上可知: 由正弦定理得:

2? 2? ,? C ? ?B 3 3 2? ? B)) 3

AB ? AC ? 2 R(sin B ? sin C ) ? 2 3 (sin B ? sin(

3 3 ? AB ? AC ? 2 3 ( sin B ? cos B) ? 6 sin(B ? ) 2 2 6 即得:
0?B? 2? 1 ? 得 ? sin( B ? ) ? 1 3 2 6

? 3 ? AB ? AC ? 6 ,
? ?ABC 周长的取值 范围为 ?6,9?
????12 分 5_u.c o*m


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