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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第九章 平面解析几何


压轴题目突破练——平面解析几何
A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 π? 1. 已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在? ?0,12?内 变动时,a 的取值范围是 A.(0,1) C.? 3 ? ∪(1, 3) 3 ? ,1? B.? 3 ? ? 3 , 3? ( )

D.(1,

3)

答案 C π π π? ?π π π ? π 解析 直线 l1 的倾斜角为 ,依题意 l2 的倾斜角的取值范围为? ?4-12,4?∪?4,4+12?, 4 π π? ?π π? ? 3 ? 即? ?6,4?∪?4,3?,从而 l2 的斜率 a 的取值范围为? 3 ,1?∪(1, 3). 2. 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是 A.(4,6) 答案 A |4×3-3×?-5?-2| 解析 因为圆心(3,-5)到直线 4x-3y-2=0 的距离为 =5,所以当 42+32 半径 r=4 时,圆上有 1 个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,当半径 r=6 时,圆上 有 3 个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,所以圆上有且只有两个点到直线 4x-3y -2=0 的距离等于 1 时,4<r<6. x2 y2 3. 已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个 a b 交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 A.y=± 3x C.y=± 2x 答案 A 解析 设点 P(x0,y0).依题意得,焦点 F(2,0), 3 B.y=± x 3 2 D.y=± x 2 ( ) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] ( )

? ?x0+2=5, ? 2 于是有 x0=3,y2 0=24; ?y0=8x0, ?

a +b =4, ? ? ? 9 24 由此解得 a2=1,b2=3, - = 1 , 2 2 ?a b ? b 因此该双曲线的渐近线方程是 y=± x=± 3x. a y2 x2 4 5 4. 已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为 ,点 a b 5 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为 y x A. - =1 2 3 y2 C. -x2=1 4 答案 C 解析 由题意得,抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0), y2 x2 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0, a b y2 x2 4 5 ∵抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为 , a b 5 ∴ 2a 4 5 2 2= 5 ,∴a=2b. a +b
2 2

2

2

(

)

x B.y2- =1 4 y2 x2 D. - =1 3 2

2

∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3, ∴|FF1|=3,∴c2+4=9,∴c= 5, ∵c2=a2+b2,a=2b,∴a=2,b=1. y2 ∴双曲线的方程为 -x2=1,故选 C. 4 5. 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两 点,若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为 A. 5 3 2 B. 3 C. 2 3 1 D. 3 ( )

答案 A |PF2| 解析 由题意可知,∠F1PF2 是直角,且 tan∠PF1F2=2,∴ =2, |PF1| 又|PF1|+|PF2|=2a, 2a 4a ∴|PF1|= ,|PF2|= . 3 3

2a?2 ?4a?2 2 根据勾股定理得? ? 3 ? +? 3 ? =(2c) , c 5 所以离心率 e= = . a 3 二、填空题 6. 如果 x2 y2 + =-1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,那么它的半焦距 c 的取值范围是 k-2 1-k

________. 答案 (1,+∞)

y2 x2 解析 将原方程化成标准方程为 - =1. k-1 k-2 由题意知 k-1>0 且 k-2>0,解得 k>2. 又 a2=k-1,b2=k-2,所以 c2=a2+b2=2k-3>1, 所以 c>1,故半焦距 c 的取值范围是(1,+∞). 7. 若点(3,1)是抛物线 y2=2px 一条弦的中点, 且这条弦所在直线的斜率为 2, 则 p=________. 答案 2 解析 设弦两端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
?y2 ? 1=2px1 y1-y2 2p 则? 2 ,两式相减得, = =2. x1-x2 y1+y2 ?y2=2px2 ?

又∵y1+y2=2,∴p=2. 8. 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,则以 AB 为 直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是________. 答案 2 3 解析 由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,利用直角三角形中勾股 定理得到弦长的解析式,再求弦长的最小值.设以 AB 为直径的圆的半径为 r,则|AB|= 2r≥4,r≥2,且圆心到 x 轴的距离是 r-1,所以在 x 轴上所截得的弦长为 2 r2-?r-1?2 =2 2r-1≥2 3,即弦长的最小值是 2 3. 三、解答题 9. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2),它的两个短轴顶点和焦点所组 成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两 → → 点 A,B,且AP=2PB. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围. 解 (1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上,

y2 x2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 由题意,知 a=2,b=c,又 a2=b2+c2,则 b= 2, y2 x2 所以椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,
?y2+2x2=4, ? 即? 消去 y,得 ? ?y=kx+m,

(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0, Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0,

? ?x +x =-2+k , 由根与系数的关系,知? m -4 x= , ?x · ? 2+k
1 2 2 2 1 2 2

2mk

→ → 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m), 所以-x1=2x2.
? ?x1+x2=-x2, 则? 2 ?x1x2=-2x2, ?

m2-4 ? 2mk2?2. 所以 2 =-2 ?2+k ? 2+k 整理,得(9m2-4)k2=8-2m2, 又 9m2-4=0 时等式不成立, 8-2m2 4 所以 k2= 2 >0,得 <m2<4,此时 Δ>0. 9 9m -4 2? ?2 ? 所以 m 的取值范围为? ?-2,-3?∪?3,2?. x2 y2 10. 已知中心在原点的椭圆 C: 2+ 2=1 的一个焦点为 F1(0,3), M(x,4)(x>0)为椭圆 C 上一点, a b 3 △MOF1 的面积为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OM 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)因为椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,3),

x2 y2 所以 c=3,b2=a2+9,则椭圆 C 的方程为 2+ 2 =1, a a +9

1 3 因为 x>0,所以 S△OMF1= ×3×x= ,解得 x=1. 2 2 1 16 故点 M 的坐标为(1,4).因为点 M(1,4)在椭圆上,所以 2+ 2 =1,得 a4-8a2-9=0, a a +9 解得 a2=9 或 a2=-1(不合题意,舍去), x2 y2 则 b2=9+9=18,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 18 (2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为 y= 4x+m(因为直线 OM 的斜率 k=4), y=4x+m, ? ?2 2 由?x y 消去 y 化简,得 18x2+8mx+m2-18=0. + = 1 , ? ? 9 18 m2-18 8m 进而得到 x1+x2=- ,x1· x2= . 18 18 因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 所以 Δ=(8m)2-4×18×(m2-18)>0, 化简得 m2<162,解得-9 2<m<9 2. 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点, → → 所以OA· OB=0,所以 x1x2+y1y2=0. 又 y1y2=(4x1+m)(4x2+m)=16x1x2+4m(x1+x2)+m2, x1x2+y1y2=17x1x2+4m(x1+x2)+m2 = 17?m2-18? 32m2 - +m2=0. 18 18

解得 m=± 102.由于± 102∈(-9 2,9 2), 所以符合题意的直线 l 存在,且所求的直线 l 的方程为 y=4x+ 102或 y=4x- 102. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1. 由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为 A.1 答案 C 解析 如图所示, 设直线上一点 P, 切点为 Q,圆心为 M,则|PQ|即为切线长, MQ 为圆 M 的半径,长度为 1, B.2 2 C. 7 D.3 ( )

|PQ|= |PM|2-|MQ|2 = |PM|2-1,要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线 y=x+1 上的点到 圆心 M 的最小距离, 设圆心到直线 y=x+1 的距离为 d, 则 d= |3-0+1| =2 2.所以|PM|的最小值为 2 2. 12+?-1?2

所以|PQ|= |PM|2-1≥ ?2 2?2-1= 7. 2. 在抛物线 y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,x2=2 的两点,过这两点引一条割 线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切,则抛物线顶点的 坐标为 A.(-2,-9) C.(2,-9) 答案 A 解析 当 x1 =- 4 时, y1 = 11 - 4a ;当 x2 = 2 时, y2 = 2a - 1 ,所以割线的斜率 k = B.(0,-5) D.(1,-6) ( )

11-4a-2a+1 =a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为 x0,由 y′=2x+a 得切线斜率为 -4-2 2x0+a,∴2x0+a=a-2,∴x0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为 y+a+4=(a-2)(x+1),即(a -2)x-y-6=0. 圆 5x2+5y2=36 的圆心到切线的距离 d= -2)2+1=5.又 a≠0, ∴a=4,此时,y=x2+4x-5=(x+2)2-9, 顶点坐标为(-2,-9). x2 y2 3. 过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M,与 y a b 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. 答案 6 3 6 6 6 .由题意得 = ,即(a 2 2 5 ?a-2? +1 ?a-2? +1

解析 由题意知 A 点的坐标为(-a,0), 设直线的方程为 y=x+a, a a? ∴B 点的坐标为(0,a),故 M 点的坐标为? ?-2,2?, 代入椭圆方程得 a2=3b2,∴2a2=3c2,∴e= 6 . 3

4. 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,则|AF|+4|BF|的最

小值为________. 答案 解析 9 2 p? p 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义可得|AF|+4|BF|=x1+ +4? ?x2+2?=x1 2

1 1 5 1 x + ?=x +4x2+ ,设直线 AB 的方程为 ky=x- ,联立抛物线方程得方程组 + +4? 2 ? 2 2? 1 2 2 1 ? ?ky=x-2, ? 消元整理得 y2-2ky-1=0,由根与系数的关系可得 y1y2=-1,又 A,B 2 ?y =2x ? 1 2 在抛物线上,代入方程得 y2 2x2=4x1x2=1,即 x1x2= ,因此根据基本不等式|AF| 1y2=2x1· 4 5 5 5 9 9 +4|BF|=x1+4x2+ ≥2 x1×4x2+ =2+ = ,当且仅当 x1=4x2 时取得最小值 . 2 2 2 2 2 5. 已知抛物线 Ω 的顶点是坐标原点 O,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的直线 l 与抛物线 → → 交于 M,N 两点,且满足OM· ON=-3. (1)求抛物线 Ω 的方程; (2)若直线 y=x 与抛物线 Ω 交于 A,B 两点,在抛物线 Ω 上是否存在异于 A,B 的点 C, 使得经过 A,B,C 三点的圆和抛物线 Ω 在点 C 处有相同的切线?若存在,求出点 C 的 坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)依题意,设抛物线 Ω 的方程为 x2=2py(p>0),

p 则 F(0, ), 2 由直线 l 的斜率存在,设为 k, p 得 l 的方程为 y=kx+ , 2

?x =2py, ? 联立方程? 消去 y 并整理, p ?y=kx+2, ?
得 x2-2pkx-p2=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-p2, p p 又 y1y2=(kx1+ )(kx2+ ) 2 2 1 p2 =k2x1x2+ kp(x1+x2)+ 2 4 1 p2 p2 =k2· (-p2)+ kp· 2kp+ = . 2 4 4 p2 → → 所以OM· ON=x1x2+y1y2=-p2+ =-3, 4

2

因为 p>0,解得 p=2, 故所求抛物线 Ω 的方程为 x2=4y.
?x2=4y, ? (2)联立方程? 可求得 A(0,0),B(4,4), ?y=x, ?

t2 假设抛物线 Ω 上存在异于 A,B 的点 C,且设 C 的坐标为(t, )(t≠0,t≠4),使得经过 4 A,B,C 三点的圆和抛物线 Ω 在点 C 处有相同的切线,
?|EA|=|EB|, ? 令圆心为 E(a,b),则由? ? ?|EA|=|EC|,

a +b =?a-4? +?b-4? , ? ? 得? 2 t2 a +b2=?a-t?2+?b- ?2, ? 4 ?

2

2

2

2

即?

?a+b=4, ?
t3 4 a + tb = 2 t + , ? 8 ?

解得

? ? t +4t+32 ?b= 8 .
2

t2+4t a=- , 8



t 因为抛物线 Ω 在点 C 处的切线斜率 k′=y′|x=t= (t≠0,t≠4), 2 t2 b- 4 t 又该切线与 EC 垂直,所以 ·=-1, a-t 2 t3 即 2a+bt-2t- =0. 4 t2+4t t2+4t+32 t3 将①代入②得,2(- )+t· -2t- =0, 8 8 4 即 t3-2t2-8t=0,因为 t≠0,t≠4,解得 t=-2. 故存在点 C 且坐标为(-2,1). ②


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