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2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第3讲 直线、平面平行的判定与性质练习 理


【创新设计】 (全国通用)2017 版高考数学一轮复习 第八章 立体几 何 第 3 讲 直线、平面平行的判定与性质练习 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.若直线 a 平行于平面 α ,则下列结论错误的是( A.a 平行于 α 内的所有直线 B.α 内有无数条直线与 a 平行 C.直线 a 上的点到平面 α 的距离相等 D.α 内

存在无数条直线与 a 成 90°角 解析 若直线 a 平行于平面 α ,则 α 内既存在无数条直线与 a 平行,也存在无数条直线 与 a 异面且垂直,所以 A 不正确,B、D 正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相 等,所以 C 正确. 答案 A 2.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角 线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( A.平行 C.在平面内 ) B.相交 D.不能确定 )

解析 如图,由 = 得 AC∥EF.又因为 EF? 平面 DEF,

AE CF EB FB

AC?平面 DEF,所以 AC∥平面 DEF.
答案 A 3.给出下列关于互不相同的直线 l,m,n 和平面 α ,β ,γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α ,m? β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m.γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( A.3 B.2 ) C.1 D.0

解析 ①中当 α 与 β 不平行时,也可能存在符合题意的 l,m;②中 l 与 m 也可能异面;

1

③中

? ? l? α ?? l∥n,同理,l∥m,则 m∥n,正确. α ∩γ =n? ?
l∥γ

答案 C 4.(2016·郑州模拟)设 α ,β ,γ 为三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,在命题 “α ∩β =m,n? γ ,且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使 该命题为真命题.①α ∥γ ,n? β ;②m∥γ ,n∥β ;③n∥β ,m? γ . 可以填入的条件有( A.①或② ) C.①或③ D.①或②或③

B.②或③

解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β ,m? γ 时,n 和 m 在同一平面内, 且没有公共点,所以平行,③正确.故选 C. 答案 C 5.在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列结论中,错误的是 ( )

A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° 解析 因为截面 PQMN 是正方形, 所以 MN∥QP, 由于 MN?平面 ABCD,

PQ? 平面 ABC,则 MN∥平面 ABC,
由线面平行的性质知 MN∥AC, 则 AC∥截面 PQMN, 同理可得 MQ∥BD, 又 MN⊥QM, 则 AC⊥BD,故 A、B 正确. 又因为 BD∥MQ,所以异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角,即为 45°,故 D 正确. 答案 C
2

二、填空题 6.(2016·泉州一模)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是一直角梯形,AB∥

CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________.
解析 取 PD 的中点 F,连接 EF,AF, 1 在△PCD 中,EF 綉 CD. 2 又∵AB∥CD 且 CD=2AB, ∴EF 綉 AB, ∴四边形 ABEF 是平行四边形, ∴EB∥AF. 又∵EB?平面 PAD,AF? 平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. 答案 平行 7.在四面体 A-BCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行 的是________. 解析 如图,取 CD 的中点 E. 连接 AE、BE,由于 M、N 分别是△ACD、△BCD 的重心,所以 AE、BE 分别过 M、N,则 EM∶MA=1∶2,

EN∶BN=1∶2,
所以 MN∥AB.所以 MN∥平面 ABD,

MN∥平面 ABC.
答案 平面 ABD 与平面 ABC 8.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 AA1 的中点,过 C,M,D1 作正方体的截面, 则截面的面积是________. 解析 由面面平行的性质知截面与面 AB1 的交线 MN 是△AA1B 的中位线,所以截面是梯形

CD1MN,易求其面积为 .
答案 9 2

9 2

三、解答题
3

9.如图,ABCD 与 ADEF 为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,EF 的 中点. 求证:(1)BE∥平面 DMF; (2)平面 BDE∥平面 MNG. 证明 (1)如图,连接 AE,则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O,连接 MO, 则 MO 为△ABE 的中位线,所以 BE∥MO, 又 BE?平面 DMF,MO? 平面 DMF, 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点,所以

DE∥GN,
又 DE?平面 MNG,GN? 平面 MNG, 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 中点,所以 MN 为△ABD 的中位线,所以 BD∥MN, 又 BD?平面 MNG,MN? 平面 MNG,所以 BD∥平面 MNG, 又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线,所以平面 BDE∥平面 MNG. 10.如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC ⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点, 求证:DM∥平面 BEC. 证明 (1)如图,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO. 由于 CB=CD,所以 CO⊥BD. 又 EC⊥BD,EC∩CO=C,

CO,EC? 平面 EOC,
所以 BD⊥平面 EOC, 又 EO? 平面 EOC,因此 BD⊥EO. 又 O 为 BD 的中点,所以 BE=DE. (2)法一 如图,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN. 因为 M 是 AE 的中点,

4

所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC,

BE? 平面 BEC,
所以 MN∥平面 BEC. 又因为△ABD 为正三角形, 所以∠BDN=30°. 又 CB=CD,∠BCD=120°, 因此∠CBD=30°. 所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC? 平面 BEC, 所以 DN∥平面 BEC.又 MN∩DN=N, 所以平面 DMN∥平面 BEC. 又 DM? 平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC. 法二 如图,延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF. 因为 CB=CD,∠BCD=120°, 所以∠CBD=30°. 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=∠ABD=60°, ∠ABC=90°, 1 因为∠AFB=30°,所以 AB= AF. 2 又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点. 连接 DM,由于点 M 是线段 AE 的中点, 因此 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC,EF? 平面 BEC, 所以 DM∥平面 BEC.

能力提升题组

5

(建议用时:20 分钟) 11.(2016·广东七校联考)设 a,b 是两条不同直线,α ,β 是两个不同的平面,则 α ∥β 的一个充分条件是( )

A.存在一条直线 a,a∥α ,a∥β B.存在一条直线 a,a? α ,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α 解析 对于 A,两个平面还可以相交,若 α ∥β ,则存在一条直线 a,a∥α ,a∥β ,所 以 A 是 α ∥β 的一个必要条件; 同理, B 也是 α ∥β 的一个必要条件; 易知 C 不是 α ∥β 的一个充分条件,而是一个必要条件;对于 D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个 平面中,成为相交直线,则有 α ∥β ,所以 D 是α ∥β 的一个充分条件. 答案 D 12.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

解析 对于图形①:平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB∥平面 MNP;对于图 形④:AB∥PN,即可得到 AB∥平面 MNP;图形②,③都不可以,故选 C. 答案 C 13.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,

D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,
则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

解析 如图,连接 FH,HN,FN, 由题意知 HN∥面 B1BDD1,FH∥面 B1BDD1. 且 HN∩FH=H,∴面 NHF∥面 B1BDD1. ∴当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥面 B1BDD1.

6

答案 M∈线段 HF 14.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在边 AB,AD 上,

AE=AF=4,现将△AEF 沿线段 EF 折起到△A′EF 位置,使得 A′C
=2 6. (1)求五棱锥 A′-BCDFE 的体积; (2)在线段 A′C 上是否存在一点 M,使得 BM∥平面 A′EF?若存在,求出 A′M 的长;若 不存在,请说明理由. 解 (1)连接 AC,设 AC∩EF=H,连接 A′H.

∵四边形 ABCD 是正方形,AE=AF=4, ∴H 是 EF 的中点,且 EF⊥AH,EF⊥CH,从而有 A′H⊥EF,CH⊥EF, 又 A′H∩CH=H, 所以 EF⊥平面 A′HC,且 EF? 平面 ABCD, 从而平面 A′HC⊥平面 ABCD, 过点 A′作 A′O 垂直 HC 且与 HC 相交于点 O, 则 A′O⊥平面 ABCD, 因为正方形 ABCD 的边长为 6,AE=AF=4, 故 A′H=2 2,CH=4 2,

A′H2+CH2-A′C2 8+32-24 1 所以 cos∠A′HC= = = , 2A′H·CH 2×2 2×4 2 2
所以 HO=A′H·cos∠A′HC= 2,则 A′O= 6, 所以五棱锥 A′-BCDFE 的体积

? 2 ? V= ×?6 - ×4×4?× 6=
1 3

?

1 2

?

28 6 . 3

(2)线段 A′C 上存在点 M,使得 BM∥平面 A′EF, 此时 A′M= 证明如下: 连接 OM,BD,BM,DM,且易知 BD 过 O 点. 6 . 2

A′M=

6 1 1 = A′C,HO= HC, 2 4 4

所以 OM∥A′H,又 OM?平面 A′EF,A′H? 平面 A′EF, 所以 OM∥平面 A′EF,

7

又 BD∥EF,BD?平面 A′EF,EF? 平面 A′EF, 所以 BD∥平面 A′EF, 又 BD∩OM=O,所以平面 MBD∥平面 A′EF, 因为 BM? 平面 MBD,所以 BM∥平面 A′EF.

8


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