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3.1.1-两角差的余弦公式001


特殊角的三角函数值

α
sinα cosα tanα

0? 30 ? 45 ? 0
1 2

60 ? 90 ?
3 2 1 2

1
0

3 2 3 3

2 2 2 2

1
0

1

3 不存在

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探究点一 问题 1

两角差余弦公式的探索

有人认为 cos(α -β) =cos α -cos β ,你认为正确吗,试

举例加以说明.

答 不正确. π π 例如:当 α=2,β=4时, π 2 cos(α-β)=cos 4= 2 , π π 2 而 cos α-cos β=cos 2-cos 4=- 2 ,

cos(α-β)≠cos α-cos β;

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问题 2

请你计算下列式子的值, 并根据这些式子的共同特征,

写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°+sin 45°sin 45°=1=cos(45 ; °-45°)
3 ②cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°= 2 =cos(60 ; °-30°)

③cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0=cos(30 ; °-120°)
1 °-210°) ④cos 150°cos 210°+sin 150°sin 210°=2=cos(150 .

猜想: cos αcos β+sin αsin β = cos(α-β) ; 即: cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β .

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探究点二

两角差余弦公式的证明

如图,在直角坐标系内做单位圆,并做出任意角α ,β和α -β, 它们的终边分别交单位圆于 A 、B 和 C 点,单位圆与 x 轴交于 D,则: (1)A、 B、C、D 的坐标分别是多少?
A (cosα, sin α)、 B (cosβ, sin β)、 C(cos(α-β), sin(α-β))、 D(1,0)

(2)线段 AB 和 CD 是什么关系?
AB =CD

证明思路: ∵∠AOB=∠COD=α-β 且 OA=OB=OC=OD=1, ∴ ?AOB ? ?COD , ∴AB=CD, 又由于 A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)、

C(cos(α-β),sin(α-β))、D(1,0)
∴(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β) 化简,得:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

思考 两角差的余弦公式有哪些结构特征?

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

上述公式称为差角的余弦公式,记作

C(? ?? )

注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α-β的
余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘 积的和。

简记“C C S S,符号相反”

2.公式中的α ,β 是任意角。

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探究点三

两角差余弦公式的应用

根据两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 解 答下列问题,体验公式的正向、逆向应用的灵活选择. 问题 1 写出下列式子的化简结果:

1 (1)cos 80° cos 20° +sin 80° sin 20° = 2 ;
(2)sin αsin(α+β)+cos αcos(α+β)= cos β ; 3 (3)sin 57° cos 63° +cos 57° sin 63° = 2 .

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问题 2 利用公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,证明下 列诱导公式: (1)cos(π-x)=-cos
?3 ? x;(2)cos?2π-x?=-sin ? ?

x.

证明 (1)cos(π-x)=cos πcos x+sin πsin x
=(-1)×cos x+0×sin x=-cos x;
?3 ? (2)cos?2π-x?=cos ? ?

3 3 2πcos x+sin 2πsin x

=0×cos x+(-1)×sin x=-sin x.

〖公式应用〗

例1 求cos15°的值.
分析:将150可以看成450-300而450和300均为特殊角,
借助它们即可求出150的余弦.

cos150 =cos(450- 300) =cos450cos300 + sin450sin300 = = 思考:1、本题还有别的求解方法吗? 2、你会求 sin 75?吗? × + ×

应用

? 5 4 例2,已知sinα= ,α∈( ,?),cosβ= - 13 , β是 2 5 第三象限角,求cos(α-β)的值。

总结:要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦, ? 4 解:由sinα= 5 , α∈( ,?),得
3 ?4? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
2

分析:由Cα-β和本题的条件,要计算cos(α-β),还应求什么?

2

2

所以cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα

12 ? 5 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 13 ? ?

5 又由cosβ= 13 ,β是第三象限的角,得

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

应用

公式的逆用

cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα-sin cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α β) β
1 例3:1. cos1750 cos550 ? sin 1750 sin 550 ? ? 2

2. cos(? ? 210 ) cos(? ? 240 ) ? sin(? ? 210 ) sin(? ? 240 ) ?

2 2

2.求值:(1) cos53? cos 23? ? sin 53? sin 23?;

(2) cos80? cos35? ? cos10? cos55?.
3 解:(1)原式 ? cos(53 ? 23 ) ? cos30 ? . 2
? ? ?

(2)原式 ? cos80? cos35? ? sin 80? sin 35? 2 ? cos(80 ? 35?) ? cos 45 ? . 2
? ?

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【典型例题】

例 1 求下列三角函数式的值. π (1)sin ; (2)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°; 12 ?π π? 解 (1)原式=cos?2-12? ? ? ?π ? π?? ?π π ? 5 ? ? ? - - =cos 12π=cos?4+6?=cos? ?4 ? 6?? ? ? ? ? 6- 2 π π π π =cos 4cos 6-sin 4sin 6= 4 . (2)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=0.

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小结 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时, 关键 在于把待求的角转化成已知特殊角(如 30° , 45° , 60° ,90° , 120° , 150° ,?)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.

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跟踪训练 1 求 cos 105° +sin 195° 的值.
解 cos 105° +sin 195° =cos 105° +sin(90° +105° ) =cos 105° +cos 105° =2cos 105° =2cos(135° -30° ) =2(cos 135° cos 30° +sin 135° sin 30° )
? =2? ?- ?

2- 6 2 3 2 1? ? = . × + × ? 2 2 2 2 2?

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8 21 例 2 已知α ,β 均为锐角,sin α = ,cos( α-β)= , 17 29 求 cos β的值. ? π? 8 1 π 解 因为 α、β∈?0,2?,sin α=17<2,所以 0<α<6, ? ? ? π π? 21 3 ? ? 所以 α-β∈ -2,6 ,因为 cos(α-β)=29< 2 , ? ? π π 所以-2<α-β<-6, ?8? 15 2 2 ? ? 所以 cos α= 1-sin α= 1- 17 =17, ? ? ?21? 20 2 2 ? ? sin(α-β)=- 1-cos ?α-β?=- 1- 29 =-29, ? ?

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所以 cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

15 21 8 ? 20? 155 =17×29+17×?-29?=493. ? ?
小结 三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、

函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最 基本的变换.常见的有: α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β), 1 1 α=2[(α+β)+(α-β)] ,α=2[(β+α)-(β-α)] 等.

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跟踪训练 2 设
? π? β∈?0,2 ?,求 ? ?

? ?α ? 2 β? 1 cos?α-2?=- , sin?2-β?= , 其中 9 ? ? ? ? 3

?π ? α∈?2,π?, ? ?

α+β cos . 2



?π ? ? π? ∵α∈?2,π?,β∈?0,2?, ? ? ? ?

? α ? π π? β ?π ∴α-2∈?4,π?,2-β∈?-4,2?, ? ? ? ? ? β? ∴sin?α-2?= ? ? ?α ? cos?2-β?= ? ?

1-cos
2

2

? β? ?α- ?= 2? ?

1 4 5 1-81= 9 , 4 5 1-9= 3 .

1-sin

?α ? ? -β?= ?2 ?

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?? ?? α+β β? ?α ∴cos =cos??α-2?-?2-β?? 2 ?? ? ? ??

? ? β ? ?α ? β ? ?α ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 5 4 5 2 7 5 =-9× 3 + 9 ×3= 27 .

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π 0 , 1 11 例 3 已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,且α、β∈ 2, 7 14 求β 的值. ? π? 1 11 ? ? 解 ∵α、β∈ 0,2 且 cos α=7,cos(α+β)=-14, ? ? 4 3 2 ∴sin α= 1-cos α= 7 , 5 3 2 sin(α+β)= 1-cos ?α+β?= 14 . 又∵β=(α+β)-α,

∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
? 11? 1 5 3 4 3 1 =?-14?×7+ 14 × 7 =2. ? ? ? π? π 又∵β∈?0,2?,∴β=3. ? ?

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小结

(1)本题属“给值求角”问题, 实际上也可转化为“给值

求值”问题,求一个角的值,可分以下三步进行: ①求角的某一三角函数值;②确定角所在的范围(找区间); ③确定角的值. (2)确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.

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12 12 跟踪训练 3 已知 cos(α-β)=- ,cos(α+β)= ,且 α- 13 13 ?π ? ?3π ? β∈?2,π?,α+β∈? 2 ,2π?,求角 β 的值. ? ? ? ? ?π ? 12 ? ? 解 由 α-β∈ 2,π ,且 cos(α-β)=-13, ? ? 5 得 sin(α-β)=13, ?3π ? 12 由 α+β∈? 2 ,2π?,且 cos(α+β)=13, ? ? 5 得 sin(α+β)=-13.
cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)

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12 ? 12? ? 5 ? 5 = ×?-13?+?-13?× =-1. 13 ? ? ? ? 13
?3π ? ?π ? ?π 3π? 又∵α+β∈? 2 ,2π?,α-β∈?2,π?,∴2β∈?2, 2 ?. ? ? ? ? ? ?

π ∴2β=π,则 β= . 2

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1.设

? π? α∈?0,2 ?,若 ? ?

7 A. 5
解析

? π? 3 sin α= ,则 2cos?α-4 ?等于 5 ? ? 1 7 1 B. C.- D.- 5 5 5
? 2?cos ?

( A )

? π? 2cos?α-4?= ? ?

π π? αcos 4+sin αsin 4? ?

4 3 7 =cos α+sin α=5+5=5.

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6 2 2.cos 15° +sin 15° =________.
解析 cos 15° +sin 15° = 2(cos 15° cos 45° +sin 15° sin 45° ) 6 = 2cos(45° -15° )= 2cos 30° =2.

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3 4 3.已知 sin α+sin β= ,cos α+cos β= ,求 cos(α-β)的值. 5 5
解 ∵(sin α+sin β)
2

?3? =?5?2,(cos ? ?

α+cos β)

2

?4? =?5?2, ? ?

以上两式展开两边分别相加,得 2+2cos(α-β)=1, 1 ∴cos(α-β)=-2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处 4 1 4.已知锐角 α、β 满足 cos α= ,tan(α-β)=- ,求 cos β. 5 3 4 3 解 ∵α 为锐角,且 cos α=5,∴sin α=5.
π π π π 又∵0<α<2,0<β<2,∴-2<α-β<2. 1 3 又∵tan(α-β)=-3<0,∴cos(α-β)= . 10 1 从而 sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=- . 10

∴cos β=cos[ α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
1 ? 4 3 3 ? ? ? 9 10 - =5× + × = 50 . 10? 10 5 ? ? ?

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1.给式求值或给值求值问题,即由给出的某些函数关系式 (或 某些角的三角函数值 ),求另外一些角的三角函数值,关键 在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知 角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、 拼角等技巧. 2.“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题, 求一个角的值,可分以下三步进行: ①求角的某一三角函数值;②确定角所在的范围(找区间); ③确定角的值. 确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.


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