当前位置:首页 >> 数学 >>

导数的几何意义


导数的几何意义
【教材分析】

教学设计

本节课选自北师大版高中数学选修 1-1 第三章第二节第二课时, 导数是微积分的核 心概念之一,它为研究函数提供了有效的方法。教材从形和数的角度即割线入手,用 形象直观的“逼近”方法定义了切线,获得导数的几何意义,学生通过观察、思考、 发现、归纳、运用形成完整概念,有利于学生对知识的理解和

掌握。通过本节的学习, 可以帮助学生进一步理解导数的定义,并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解 函数的极值和最值,探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 【学情分析】 选修 1 是文科学生学习的内容,学生学习兴趣较高,但独立探索,解决问题的能 力稍差,数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有不足.通过前 两节对函数平均变化率和导数定义的学习,学生对有关导数的问题已经有了初步的认 识,但是由于导数定义的抽象性,学生理解起来仍具有一定的困难。 【教学目标】 1.知识与技能 通过实验探求导数的几何意义,理解曲线在一点的切线的概念,会求简单函数在 某点的切线方程。 2.过程与方法 1)经历切线定义的形成过程,培养学生分析、抽象、概括等思维能力;体会导数 的思想及其含义,完善对切线的认识和理解。 2)通过逼近、数形结合思想的具体运用,使学生达到思维方式的迁移,了解科学 的思维方法。 3.情感、态度与价值观 渗透逼近、数形结合、以直代曲等数学思想,激发学生学习兴趣,引导学生特殊 到一般、有限与无限、量变与质变的辩证关系,感受数学的统一美,意识到数学的应 用价值 【重点和难点】 教学重点:导数的几何意义、切线方程的求法以及“逼近、数形结合”的思想方 法 教学难点:了解导数的几何意义的本质内涵 (1)从割线到切线的过程中采用的逼近方法 (2)理解导数的概念,将多方面的意义联系起来,例如,导数反映了函数 f ( x) 在 点 x 附近的变化快慢,导数是曲线上某点切线的斜率等 【教法与学法】 教法:从圆的切线的定义引入本节课,再引导学生讨论一般曲线的切线的定义, 通过几何画板的动画演示,得出曲线的切线的定义。同样通过几何画板的实验观察得
1

到导数的几何意义和直观感知“趋近”的数学思想 学法:采用自主、合作、探究的学习方法 【教学过程】 直线的斜率:1. 创设情境 学生活动——问题系列 问题 1 平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线呢?(如图)

问题 2

画图,判断直线 l 是曲线 C 的切线吗?(如图)
2

(1) l : x ? 0 与 C:y ? x ; (2)

l : y ? 1 与 C:y ? sin x
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

y
1 0

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

–5

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

6

7

8

问题 3 那么对于一般的曲线,切线该如何让定义呢? 学生活动——复习回顾 (1)导数的定义 f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ' ( x0 ) ? l i m 0 ?lim ?x ?0 ? x ? 0 ?x ?x (2) ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) k ?t an ?? ? ?x ?x
(3)已知直线上点的坐标为 ,并且斜率为 k ,则直线的方程 (x0 , y0)



y ? y0 ? k ( x ? x0 )

2. 探索求知 学生活动——实验探究 问一:求导数 f ' ( x0 ) 的步骤是怎样的?
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 第二步:当 ?x 趋于 0 时,平均变化率 无限趋近于的常数就是 ?x

第一步:求平均变化率

f ' ( x0 )
2

问二:你能借助图像说说平均变化率

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 表示什么吗?请在图像中 ?x

画出来 问三: 在 ?x ? 0 的过程中, 你能描述一下割线 AB 的变化情况吗?请在图中画出来 探究一:学生通过几何画板的演示观察割线的变化趋势,教师引导给出一般曲线 的切线定义。

问四: 你能从上述过程中概括出函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义吗?

AB 的斜率→切线 AT 的斜率,因此 f ' ( x0 ) ? lim
率。

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是切线 AT 的斜 ?x

探究二:解决“问题 2” 结论:圆是一种特殊的曲线,圆的切线的定义并不能适用于一般曲线的切线,有 的直线虽然与曲线 C 有唯一的公共点,但我们不能认为它与曲线 C 相切,而有的直线 虽然与曲线 C 有且不止有一个公共点,我们还是认为它是曲线 C 的切线,通过逼近的 方法将割线趋于的确定位置的直线定义为切线,适用于各种曲线,所以这种定义才是 真正反映了切线的直观本质。 问五: 研究导数的几何意义有什么作用?

观察三个图, 直观的放大函 数曲线在一点附近发热图像, 直 观观察到图像放的越大,这一段曲线越像直线 结论:以直代曲是微积分中重要的数学思想方法,即以简单的对象(切线)刻画 复杂的对象(曲线) 3 知识运用 【例题讲解】 例 求函数 y ? f ( x) ? 2x3 在 x ? 1 处切线方程。 解 先求 y ? 2 x 2 在 x ? 1 处的导数

3

f (1 ? ?x) ? f (1) 2(1 ? ?x)3 ? 2 ?13 ? ?x ?x 2 2[1 ? 3?x ? 3(?x) ? (?x)3 ] ? 2 ? ?x ? 6 ? 6?x ? 2(?x) 2
令 ?x 趋于零,可知 y ? 2 x 2 在 x ? 1 处的导数为 f ' (1) ? 6. 这样,函数 y ? 2 x 2 在点 (1, f (1)) ? (1,2) 处的切线斜率为 6。即该切线经过点 (1,2) , 斜率为 6. 因此切线方程为 y ? 2 ? 6( x ? 1). 即 y ? 6 x ? 4. 切线如图所示。 小结:函数 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数,是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0, f ( x0 )) 处的切线的斜 率。函数 y ? f ( x) 在 x 0 处的切线的斜率反映了导数的几何意义。 4. 课堂小结 (1)本节课你学到了什么? (2)本节课你理解了哪些数学方法? 【板书设计】
导数的几何意义 一、旧知复习 二、探究过程

【作业布置】 (1)必做:课本 P64 练习 1、2 题 (2)选作:课本习题 3-2 B 组 2 题

4


相关文章:
导数的几何意义以及应用
导数的几何意义以及应用_数学_高中教育_教育专区。高考数学复习 http://www.ms2004.com 考点 9 导数的几何意义以及应用热点一 导数的几何意义 4 2 1.【2013 ...
导数的几何意义教学设计
近的方法得到切线 推广到一般曲线, 并由此得出割线的 变化趋势,为研究 几何意义做好铺垫 2.数形结合,探究导数的几何意义 结合【动画 2】的变化过程,学生思考下面...
2015年高三第一轮复习.导数的几何意义
1.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的___,即 k=f′(x0).函数 y=f(x)在...
导数的几何意义与计算
导数的几何意义与计算_数学_高中教育_教育专区。(四)导数的计算与几何意义【知识精讲】 一、导数的概念 函数y ? f ( x)在x0点的瞬时变化率,叫函数y ? f...
导数的几何意义
1? ? 0 ? f ' ? x ? ? e x ? ln x ? 考点:1.导数的几何意义;2.直线方程 2.D 【解析】 试题分析 ? ? 1? ' ? ? f ?1? ? e ,所以切线...
导数的几何意义教案
导数的几何意义教案_数学_高中教育_教育专区。导数的几何意义教案教学目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观...
3导数的几何意义练习题
3导数的几何意义练习题_数学_高中教育_教育专区。3、导数的几何意义一、选择题 3? 1 2 ? 1.已知曲线 y= x -2 上一点 P?1,- ?,则过点 P 的切线的...
导数的几何意义练习题
导数的几何意义练习题_数学_高中教育_教育专区。导数的几何意义练习题技能演练 [ 来源:zzs tep.com] 基础强化 1.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,...
导数的概念及导数的几何意义
<<高等数学>>教案 课型:讲授 章节 第二章 导数与微分 第一节 导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义 教学目的:1、理解导数定义,能够运用定义求解简单...
导数的几何意义教案及说明
切线的定义 分钟) 至此用时约 8 分钟) 2.数形结合, 2.数形结合,探究导数的几何意义 结合【动画 2】的变化过程,学生思考下面的问题,探究导数的几 何意义。分...
更多相关标签:
导数 | 导数的几何意义ppt | 导数的应用 | 导数的几何意义练习题 | 导数的几何意义教案 | 导数的概念 | 导数几何意义 | 二阶导数的几何意义 |