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【高考精品复习】选修4-2 矩阵与变换 矩阵与变换


【高考会这样考】 1.本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算,考题中多考 查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形,进而研究新图形的性质. 2.本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵,主要考查行列式的计算、逆矩阵的 性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题. 【复习指导】 1.认真理解矩阵相等的概念,知道矩阵与矩阵的乘法的意义,并能熟练进行矩 阵的乘法

运算. 2.掌握几种常见的变换,了解其特点及矩阵表示,注意结合图形去理解和把握 矩阵的几种变换. 3.熟练进行行列式的求值运算,会求矩阵的逆矩阵,并能利用逆矩阵解二元一 次方程组. 基础梳理 1.乘法规则 (1)行矩阵[a11 [a11 21 b11? a12]与列矩阵? ?b ?的乘法规则: 21 b11? a12]? ?b ?=[a11×b11+a12×b21]. 21 a11 (2)二阶矩阵? ?a a12? ?x0? a22?与列向量?y0?的乘法规则: ?a11 a12? ?x0?=?a11×x0+a12×y0?. ?a21 a22? ?y0? ?a21×x0+a22×y0? (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下: ?a11 a12? ?b11 b12?= ?a21 a22? ?b21 b22? ?a11×b11+a12×b21 a11×b12+a12×b22? ?a21×b11+a22×b21 a21×b12+a22×b22? (4) 两个二阶矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律.即 (AB)C = A(BC),AB≠BA,由 AB=AC 不一定能推出 B=C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行 乘法运算. 2.常见的平面变换 恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换. 3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩 阵; (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB) 1=B 1A 1. - - - 4.特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量 α,使 Aα=λα,那 么 λ 称为 A 的一个特征值,而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量. 双基自测 1 1.(2011· 南通调研测试)曲线 C1:x2+2y2=1 在矩阵 M=? ?0 曲线 C2,求 C2 的方程. 解 设 P(x,y)为曲线 C2 上任意一点,P′(x′,y′)为曲线 x2+2y2=1 上与 P 对应的点, 1 则? ?0 ?x=x′+2y′, ?x′=x-2y, 2??x′? ?x? ? ? = ,即 ? 1??y′? ?y? ?y=y′ ?y′=y. 2? 1?的作用下变换为 因为 P′是曲线 C1 上的点, 所以 C2 的方程为(x-2y)2+2y2=1. 1? 2.已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值 3 的一个特征向量是? ?1?,求 矩阵 A. a 解 设 A=? ?c a 由? ?c a=2, b? ?a b? ?1?=?2?,得? ? ,由 d? ?c d? ?0? ?3? ?c=3. a+b=3, ?b=1, b??1? ?1?=?3?,得? ? ? = 3 所以 d??1? ?1? ?3? ?c+d=3. ?d=0. 1? 0?. 2 所以 A=? ?3 a 3.(2011· 苏州调研测试)

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