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江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:圆锥曲线


江苏省 12 市 2015 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 圆锥曲线
一、填空题 1、 (常州市 2015 届高三)已知双曲线 ax2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为 3 ,则实数 a 的值为 ▲

2、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A , B1 , B2 , F 依次 a2 b2

为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线 AB2 与直线 B1 F 的交点恰在该椭圆的右准线上,则该椭圆的离心 率为 ▲ 3、 (南京市、盐城市 2015 届高三)若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,则 a ?
2 2 2 2



.

4、 (南通市 2015 届高三)在平面直角坐标系 xOy 中,以直线 y ? ?2 x 为渐近线,且经过抛物 线 y ? 4 x 焦点的双曲线的方程是
2

5、 (苏州市 2015 届高三上期末)以抛物线 y ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线标准方程
2

为 6、 (泰州市 2015 届高三上期末)双曲线 曲线的离心率 e ? ▲

x2 y2 ? ? 1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双 a2 b2

7、 (无锡市 2015 届高三上期末)已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y = 为 8、 (扬州市 2015 届高三上期末)已知双曲线 C:

1 x ,则该双曲线的离心率 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 l: x ? 3 y =0 a 2 b2

垂直,且 C 的一个焦点到 l 的距离为 2,则 C 的标准方程为____

第1页

二、解答题 1、 (常州市 2015 届高三)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,直线 2 2 a b

过椭圆 C 的右焦点 F ,且交椭圆 C 于 A , B 两点. l : x ? my ? 1 ? 0(m ? R ( ) 21世纪教育网) (1)求椭圆 C 的标准方程;

5 (2)已知点 D( ,0) ,连结 BD ,过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1 ,设直线 l1 与直线 BD 交于点 P ,试探索当 m 2
变化时,是否存在一条定直线 l2 ,使得点 P 恒在直线 l2 上?若存在,请求出直线 l2 的方程;若不存在, 请说明理由.

2、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的

1 ,过点 M (0, - 2) 作抛物线的切线 MA ,切点为 A (异于点 O ),直线过点 M 与抛物线交于两 4 点 B , C ,与直线 OA 交于点 N .
准线方程为 x = (1)求抛物线的方程; (2)试问:

MN MN ? 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由. MB MC
y C l

O M B

N A

x

x2 y 2 3、 (南京市、盐城市 2015 届高三)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右 a b 准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的直线经过点 A ,且点 F 到直线的距离 2 5 为 . 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点共线时,试确定直线的斜率.

(第 23 题)

第2页

4、 (南通市 2015 届高三)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右 a 2 b2

2 焦点,顶点 B 的坐标为 ? 0, b ? ,且? BF 1F 2 是边长为 的等边三角形.

?1? 求椭圆的方程;
? 2 ? 过右焦点 F2 的直线与椭圆交于 A, C 两点,记? ABF2 ,? BCF2 的面积分别为 S1 , S2 .若 S1 ? 2S2 ,求直
线的斜率.

5、 (苏州市 2015 届高三上期末)如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,点 B 是其下顶点,过点 B 的直线交椭圆 C 于 12 4

另一点 A(A 点在 x 轴下方) ,且线段 AB 的中点 E 在直线 y ? x 上. (1)求直线 AB 的方程; (2)若点 P 为椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且直线 AP,BP 分别交直线 y ? x 于点 M、N,证明:OMON 为定值. y P N A E O B x
第3页

M

x2 y 2 2 6、 (泰州市 2015 届高三上期末) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 离心率为 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 2
的左顶点为 A , 过原点 O 的直线 (与坐标轴不重合) 与椭圆 C 交于 P, Q 两点, 直线 PA, QA 分别与 y 轴交于 M , N

两点.若直线 PQ 斜率为

2 时, PQ ? 2 3 . 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.
y P M A O x

Q N

7、 (无锡市 2015 届高三上期末)已知椭圆 C :

x2 y2 + = 1 的上顶点为 A ,直线 l : y = kx + m 交椭圆于 4 2

P , Q 两点,设直线 AP , AQ 的斜率分别为 k1, k2 .
(1)若 m = 0 时,求 k1 ×k2 的值; (2)若 k1 ?k2

- 1 时,证明直线 l : y = kx + m 过定点.

第4页

8、 (扬州市 2015 届高三上期末)如图,A,B,C 是椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 是椭圆 a 2 b2

的右顶点,BC 过椭圆 M 的中心,且满足 AC⊥BC,BC=2AC。 (1)求椭圆的离心率; (2)若 y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为 9,求椭圆方程。

参考答案
一、填空题 1、8 2、
1 2

3、

2 2
y2 ?1 3

4、

5、 x 2 ?

5 6、 3

10 7、 3

x2 y 2 ? ?1 8、 4 12

二、解答题

第5页

? c ? 1, ? c ? 1, ? 1、解: (1)由题设,得 ? c 1 解得 ? 从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , ? , ?a ? 2, ? ?a 2

x2 y 2 ………………………4 分 ? ?1. 4 3 3 3 3 3 (2)令 m ? 0 ,则 A(1, ) , B(1,? ) 或者 A(1,? ) , B(1, ) . 2 2 2 2
所以椭圆 C 的标准方程为

3 3 3 3 3 3 当 A(1, ) , B(1,? ) 时, P(4, ) ;当 A(1,? ) , B(1, ) 时, P(4,? ) , 2 2 2 2 2 2
所以,满足题意的定直线 l2 只能是 x ? 4 . 下面证明点 P 恒在直线 x ? 4 上. 设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,由于 PA 垂直于 y 轴,所以点 P 的纵坐标为 y1 ,从而只要证明 P(4 ,y1 ) 在直线 BD 上. ………………………8 分 ………………………6 分

? x ? my ? 1 ? 0 , ? 由 ? x2 y 2 得 (4 ? 3m2 ) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , ? ? 1 , ? 3 ?4

D ? 144(1 ? m2 ) ? 0 ,

? y1 ? y2 ?

?6m ?9 , y1 y2 ? .① 2 4 ? 3m 4 ? 3m2

………………………10 分

∵ kDB ? kDP

3 3 y ? y1 (my2 ? ) y2 ? 0 y1 ? 0 y2 y1 2 2 2 ? ? ? ? ? 5 5 5 3 3 3 x2 ? 4? my2 ? 1 ? (my2 ? ) 2 2 2 2 2 2

2 y1 +y2 ? my1 y2 3 , ? 3 my2 ? 2
①式代入上式,得 kDB ? kDP ? 0 , 所以 kDB =kDP .

………………………13 分

………………………15 分

∴点 P(4 ,y1 ) 恒在直线 BD 上,从而直线 l1 、直线 BD 与直线 l2 : x ? 4 三线恒过同一点

P , 所以存在一条定直线 l2 : x ? 4 使得点 P 恒在直线 l2 上.
2、 (1)由题设知, ?

………………16 分

p 1 1 ? ? , p ? ,所以抛物线的方程为 y 2 ? x .………2 分 2 2 4

(2)因为函数 y = -

x 的导函数为 y ?= -

1 2 x

,设 A( x0 , y0 ) ,

第6页

则直线 MA 的方程为 y - y0 = -

1 ( x - x0 ) ,………………………………4 分 2 x0 1 1 ? ( x0 ) . 2 x0
1 x .… 6 分 4

因为点 M (0, - 2) 在直线 MA 上,所以 - 2 - y0 = -

ì 1 ? ? ? y0 = - 2 - 2 联立 í ? 2 ? ? ? y0 = x0 .

x0 ,

解得 A(16, - 4) .所以直线 OA 的方程为 y = -

ì ? y 2 = x, ? 设直线 BC 方程为 y = kx - 2 ,由 í ,得 k 2 x2 - (4k + 1) x + 4 = 0 , ? y = kx 2 ? ?
ì 1 ? ? y = - x, 8 4k + 1 4 ? , xB xC = 2 .由 í 所以 xB + xC = .……… 8 分 4 ,得 xN = 2 ? 4k + 1 k k ? y = kx 2 ? ?
x + xC MN MN xN xN + = + = xN ? B 所以 MB MC xB xC xB xC


8 ? 4k + 1

4k + 1 k2 4 k2

8 4k + 1 ? 4k + 1 4

2,

MN MN + 为定值 2.……………………………………………………………10 分 MB MC 3、解: (1)由题意知,直线的方程为 y ? 2( x ? a) ,即 2 x ? y ? 2a ? 0 , ………2 分

2 5 ,? a ? c ? 1 , ……………4 分 5 5 a2 a2 2 ? 4 ,所以 c ? 又椭圆 C 的右准线为 x ? 4 ,即 ,将此代入上式解得 a ? 2, c ? 1 ,? b ? 3 , c 4 x2 y 2 ? 1; ……………6 分 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3 (2)由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) , ……………8 分 8 ? ? y ? ? 3( x ? 1) x? ? ? 8 3 3 5 ? ?x ? 0 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ,解得 ? 或? (舍) ,即 P ( , ? ) , ………… 12 5 5 y ? 3 3 3 ? ? 1 ? ? ? ?y ? 3 ?4 ? 5 ?

? 右焦点 F 到直线的距离为

2c ? 2a

?



? 直线的斜率 k ?
其他方法:

0 ? (?

3 3 ) 5 ?3 3. 8 2 2? 5

……………14 分

方法二: 由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) ,由题 A(2, 0) ,显

第7页

? 2k ? 3 ?x ? ? y ? ? 3( x ? 1) k? 3 ? ? 然直线的斜率存在,设直线的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立方程组 ? ,解得 ? ,代入椭 ? ? 3 k ? y ? k ( x ? 2) ?y ? ? k? 3 ?
圆解得: k ?

3 3 3 3 3 ? 3k 或k ? ? ,又由题意知, y ? . ? 0 得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? 2 2 2 k? 3 方 法 三 : 由 题 A(2, 0) , 显 然 直 线 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 的 方 程 为 y ? k( x? 2) , 联 立 方 程 组 ? y ? k ( x ? 2) 16k 2 ? 2 2 2 2 2 2 4 k ? 3 x ? 16 k x ? 16 k ? 12 ? 0 x ? x ? ,得 , , ? ? ?x y A P 4k 2 ? 3 ?1 ? ? ?4 3 ?12k 16k 2 8k 2 ? 6 ? 2 ? 所以 xP ? , yP ? ,当 B, F , P 三点共线时有, kBP ? kBF , 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?12k ? 3 2 3 3 3 ? 3 ? 3k 即 4k ?23 ,解得 k ? 或k ?? ,又由题意知, y ? ? ?0得k ?0或 8k ? 6 2 2 1 k? 3 4k 2 ? 3 3 3 . k ? ? 3 ,所以 k ? 2

4、

第8页

5、解: (1)设点 E(m,m) ,由 B(0,-2)得 A(2m,2m+2) . 代入椭圆方程得 解得 m ? ?
4m 2 (2m ? 2) 2 m2 ? ? 1 ,即 ? ( m ? 1) 2 ? 1 , 12 4 3

3 或 m ? 0 (舍) . 2 所以 A( ?3 , ?1 ) ,
故直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 . (2)设 P( x0 , y0 ) ,则

………………………………………………3 分

…………………………………………………6 分

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? 4 ? 0 . 3 12 4

设 M ( xM , yM ) ,由 A,P,M 三点共线,即 AP P AM , ∴ ( x0 ? 3)( yM ? 1) ? ( y0 ? 1)( xM ? 3) , 又点 M 在直线 y=x 上,解得 M 点的横坐标 xM ?

uu u r

uuur

3 y0 ? x0 ,……………………………9 分 x0 ? y0 ? 2

设 N ( xN , yN ) ,由 B,P,N 三点共线,即 BP P BN ,

uur

uuu r

第9页

∴ x0 ( yN ? 2) ? ( y0 ? 2) xN , 点 N 在直线 y=x 上, ,解得 N 点的横坐标 xN ?

?2 x0 . x0 ? y0 ? 2

…………………………12 分

所以 OM·ON= 2 | xM ? 0 | ? 2 | xN ? 0 | = 2 | xM | ? | xN | =2 |

3 y0 ? x0 ?2 x0 | ?| | x0 ? y0 ? 2 x0 ? y0 ? 2

2 x0 2 ? 6 x0 y0 x0 2 ? 3x0 y0 2 x0 2 ? 6 x0 y0 2 | | 2 | | |= =2| = 6 .…………………… 16 分 x0 2 = x0 2 2 2 x0 ? 2 x0 y0 ? ? x0 y0 ( x0 ? y0 ) ? 4 3 3
6、解: (1)设 P( x0 ,

2 x0 ) , 2

∵直线 PQ 斜率为

2 2 2 时, PQ ? 2 3 ,∴ x0 ? ( x0 ) 2 ? 3 ,∴ x02 ? 2 …………3分 2 2

2 1 c a 2 ? b2 2 ∴ 2 ? 2 ? 1 ,∵ e ? ? ,∴ a2 ? 4, b2 ? 2 . ? a b a a 2
∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

………………6分

(2)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) .
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且 ? 2 y0 ? 4, 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) , x0 ? 2 x0 ? 2
………………9分

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ), x0 ? 2 x0 ? 2 2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

即x ?y ?
2 2

4 x0 y0 4 y0 2 y ? ?0, x02 ? 4 x02 ? 4

………………12 分

第 10 页

2 2 ∵ x0 ,∴ x ? y ? ? 4 ? ?2 y0
2 2

2 x0 y?2? 0, y0

令 y ? 0 , x2 ? y 2 ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 , ∴以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 7、 ………………16 分

第 11 页

8、解⑴因为 BC 过椭圆 M 的中心,所以 BC ? 2OC ? 2OB , 又 AC ? BC, BC ? 2 AC ,所以 ?OAC 是以角 C 为直角的等腰直角三角形, ……3 分

a a ( ) 2 (? ) 2 a a a a 10 则 A(a, 0), C ( , ? ), B(? , ), AB ? a ,所以 22 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? 3b2 , 2 2 2 2 2 2 a b
所以 c ? 2b , e ?
2 2

6 ; 3
a a 4 4

……7 分

⑵ ?ABC 的外接圆圆心为 AB 中点 P ( , ) ,半径为 则 ?ABC 的外接圆为: ( x ? ) ? ( y ? ) ?

10 a, 4

a 2 a 2 5 2 a ……10 分 4 4 8 5a a 5a a ? (? ) ? 9 ,得 a ? 6 , 令x ? 0, y ? 或 y ? ? ,所以 4 4 4 4
(也可以由垂径定理得 (

10 2 a 2 9 a) ? ( ) ? 得 a ? 6 ) 4 4 2
……15 分

所以所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 36 12

第 12 页

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