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江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试卷


江苏省?2012?年普通高校对口单招文化统考

数学试卷
一、 单项选择题(本大题共?12?小题,每小题?4?分,共?48?分.在下列每小题中,选出 一个正确答案,请在答题卡上将所选的字母标号涂黑)? ( D.? {1, 2, 3}? )?

1.若集合?M = {1, 2}?,? N = {2, 3}?,则 M U N?等于 A.? {2}? B.? {1}? C.? {1, 3}?

2.若函数? f ( x ) = cos( x + j )?( 0???j ? p )是?R 上的奇函数,则 j 等于 A. 0? B.?



)?

p?
4

C.?

p?
2

D.

p
( )

3.函数? f ( x)?= x 2? + mx + n 的图象关于直线?x = 1?对称的充要条件是 A.?m = -2? B.?m = 2? C.? n = -2? D.?n =?2?

4.已知向量?a = (1, x )?,?b = ( -1, x)?.若 a ^ b ,则 | a?|?等于 A.? 1? B.? 2? C. 2? D. 4?

r

r

r

r

r



)?

5.若复数 z?满足 (1 + i ) z = 1?- i ,则 z?等于 A. 1?+?i B.1?-?i C. i? D.?-i



)?

6.若直线 l 过点 ( -1, 2) 且与直线 2 x - 3 y + 1 = 0?平行,则 l 的方程是 A. 3 x + 2 y + 8 = 0? C. 2 x - 3 y - 8 = 0?
2?





B. 2 x - 3 y + 8 = 0? D. 3 x + 2 y - 8 =?0? ( D.? [2, + ?? ) )

7.若实数 x 满足?x - 6 x + 8 ? 0?,则?log? x 的取值范围是 2? A.? [1, 2]? B.? (1, 2)? C.? ( -?, 1]

8.设甲将一颗骰子抛掷一次,所得向上的点数为 a ,则方程?x? + ax?+ 1?= 0?有两个不相等 实根的概率为 ( A.? )? B.?

2

2? 3?

1? 3?

C.?

1? 2?

D.?

5 12?

9.设双曲线? 方程为

x 2 y?2? = 1? a > 0, b > 0)?的虚轴长为 2 ,焦距为 2 3 ,则此双曲线的渐近线 (? a 2 b 2?
( B.?y = ±2? x C.?y = ± )

A.?y = ± 2? x

2? x 2?

D.?y = ±? x

1? 2?

10.若偶函数?y = f ( x )?在 ( -?, - 1] 上是增函数,则下列关系式中成立的是 A.? f ( - ) <? f ( -1)? <? f?(2)? C.? f (2)? <? f ( -1)? <? f ( -? )



)?

3? 2?

3? 2?

3? 2? 3? D.? f (2)? <? f ( - ) <? f ( -1)? 2?
B.? f ( -1)? <? f ( - ) <? f?(2)? )

11.若圆锥的表面积为 S?,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径为( A.?

S 3? p

B. 2?

S 3? p

C.?

S 5? p

D. 2?

S 5? p

12.若过点?A? 0)?的直线 l 与圆 C?:?( x - 1) 2 + y 2? = 1?有公共点,则直线 l 斜率的取值范围 (3, 为 A.? ( - 3, 3) B. [ - 3, 3] C.?( ( )

3 3? , )? 3 3

D.? [ -

3 3? , ]? 3 3

二、填空题(本大题共?6 小题,每小题?4 分,共?24 分)? 13. sin150° = .?

14.已知函数? f ( x? = )?

1? ,则? f [ f (1)]?= x + 1?

.?

15.用数字?0,3,5,7,9?可以组成 16.在?DABC 中, a? =?30? b? = 20? sin? A?= ,? ,?

个没有重复数字的五位数(用数字作答) .?

3? ,? 则 cos?2? = B? 2?



17.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线? y 2? =?2?px ( p > 0)?的焦点 F? ,且与? y?轴交于点?A?.若?

DOAF ( O 为坐标原点)的面积为 4 ,则此抛物线的方程为
18.若实数 x 、?y?满足?x + 2 y - 2 = 0?,则 3x + 9?y 的最小值为





三、解答题(本大题?7 小题,共?78 分)? 19. 分)设关于 x 的不等式 | x -?a |?< 1? 的解集为 (b? 3)?,求 a + b 的值.? (6 ,

20. (10 分) 已知函数? f?( x? = (? + 3?tan?x? cos?x?. )? 1? )? (1)求函数? f ( x? 的最小正周期; )? (2)若? f?(a?)? =

1? p p ,?a ? ( - , ) ,求 sin?a? 的值. 2? 6? 3?

21. (10 分)已知数列{?a? }的前 n 项和为?S? = n 2? - n , n ? N + . n? n? (1)求数列{?a? }的通项公式; n? (2)设?bn? =?2? n? +1 ,求数列{?b? }的前 n 项和?T? . n? n?
a?

22. (10 分)对于函数? f ( x? ,若实数?x? 满足? f ( x0 )?= x0? ,则称?x? 是? f ( x? 的一个不动 )? )? 0? 0? 点. 已知? f ( x) = ax 2? + (b + 1) x + (b - 1)?.

(1)当?a = 1?,?b = -2?时,求函数? f ( x? 的不动点; )? (2)假设?a =

1? ,求证:对任意实数 b?,函数? f ( x? 恒有两个相异的不动点. )? 2?

23. (14 分)甲、乙两位选手互不影响地投篮,命中率分别为? 与? p?.假设乙投篮两次,均 未命中的概率为?

1? 3?

4? . 25?

(1)若甲投篮?4?次,求他恰命中 3 次的概率; (2)求乙投篮的命中率? p?; (3)若甲、乙两位选手各投篮?1?次,求两人命中总次数 x 的概率分布与数学期望.?

24. (14 分)如图,在长方体?ABCD - A1 B1C1 D1? 中,?AD = AA1? = 1?,?AB = 2?. (1)证明:当点 E?在棱?AB?上移动时,?D1 E ^ A1?D ; (2)当 E?为?AB?的中点时,求①二面角?D1? - EC - D 的大小(用反三角函数表示) ; ②点 B?到平面?ECB? 的距离.? 1?

D1 A1? D? B1?

C1?

C? A? E? B?

25. (14 分)已知椭圆 C?:?

x 2 y?2? 2? + 2? =?1? (a > b > 0)?的离心率为? ,且该椭圆上的点到右 2 a b 3?

焦点的最大距离为 5 . (1)求椭圆 C?的方程; (2)设椭圆 C?的左、右顶点分别为 A 、 B?,且过点?D (9, m? 的直线 DA 、 DB 与此椭 )? 圆的另一个交点分别为 M? 、 N? ,其中?m ? 0?.求证:直线 MN?必过 x 轴上一定点(其坐标 与 m 无关) .


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