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北师大版必修1 2.1.1.生活中的变量关系


第二章
§1

函数

生活中的变量关系

回忆巩固
初中学习过的函数描述了两个变量:因变量y与 自变量x之间什么样的依赖关系?

函数关系
设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x
的每一个值, y都有唯一的值与它对应, 那么就说y是x 的函数.

x叫做自变量. 思考:确定两个变量之间是函数关系的方法

当且仅当变量x每取一个值,另一个变量y都有唯一确
定的值与之对应时,x,y之间才具有函数关系,且y是 x的函数

想一想
请同学们举一些生活中的函数关系.

在高速公路的情境下,你能发现哪些函数关系?

例如:
1、一辆汽车行驶的路程与时间的函数关系;

2、一辆汽车行驶的路程与速度的 函数关系。 3、道路两旁所种的树的数量与树的 间距的函数关系。

实例分析
我国的道路交通网,近十几年的发展非常迅速. 1.我国自1988年开始建设高速公路以来,全国高速公 路总里程,于1998年底,位居世界第八;1999年底,位 居世界第四;2000年底,位居世界第三;2001年底,超 过了加拿大,跃居世界第二位.

1988---2001年全国高速公路总里程 (单位:km)
年份 1988 1989 271 1990 522 1997 4771 1991 574 1998 8733 1992 652 1999 1993 1145 2000 1994 1603 2001

总里程 147 年份

1995 1996

总里程 2141 3422

11605 16514 19453

根据表内数据作图(如图2-1)

1988-2001年全国高速公路总里程
25000 20000 15000 10000 5000 0 1145 1603 2141 147 271 522 574 652 1 1988 2 1990 3 4 1992 5 3422 4771 8733 19453 16514 11605

6 1994 8 1996 10 1998 12 2000 14 7 9 11 13 2001

图2-1

高速公路里程数随年份的变化而变

化.所以,高速公路里程数可以看成因
变量,年份看成自变量,并且,对于年 份的每一个值, 里程数都有唯一的值与

它对应,

从而高速公路里程数是年份的函数.

2.一辆汽车在高速公路上行驶的

过程中,每个时刻都有唯一的行驶路
程与它对应.行驶路程(因变量)随时 间(自变量)的变化而变化,

所以行驶路程是时间的函数.

同样,汽车的速度也是时间的函数.
耗油量也是时间的函数.

3.高速公路旁的加油站.加油站常用圆柱 体储油罐存汽油.储油罐的长度d,截面半径 r是常量;油面高度h,油面宽度w,储油量v

是变量.

储油量v与油面高度h存在着依赖关 系,储油量v与油面宽度w也存在着依 赖关系. 请问:有依赖关系的两个变量都有函数

关系吗?

我们看,储油量v是油面高度h的函数吗?

对于油面高度h的每一个取值,都有唯一的储油

量v与之对应,所以,储油量v是油面高度h的函数.
再看:储油量v是油面宽度w的函数吗? 对于油面宽度w的一个值可以有两种油面高度和它对应,

于是可以有两种储油量v和它对应,

所以,储油量v不是油面宽度w的函数.

综上所述:并非有依赖关系的两个
变量都有函数关系. 只有满足对于其中一个变量的每一个 值,另一个变量都有唯一确定的值与

之对应时,才称它们之间有函数关系.

4、 给出下列情境与关系
(1)某护士从上午8:00到下午2:00每小时量一次病人的体温,结果如下表: 时间 8:00 9:00 10:0 0 11:0 0 12:0 0 13:0 0 14:00

体温 37.2 37.3 37.4 37.6 38.0 38.1 38.4 (2)班上45位同学,每人都有一个不同的学号,某次数学测验共有36个不同的 判断一些变量间的依赖 分数.关系为:学生的分数与学号的关系;

关系是否为函数关系, (3)某电视台广告价格表(2001年1月份报价,单位:元)
其关键是看对于每一个 30s 40s 45s 50s 60s 时段 变量的值,是否惟一确 19:30~22:00 600 650 700 800 900 950 1000 1100 定因变量的值.若是惟一 22:00~23:00 500 550 600 700 800 850 900 1000 的,则是函数关系,否 23:00~结束 400 450 500 600 700 750 800 900 则,不是函数关系. 关系:广告价格播出时间长短的关系.
播出时间

10s 15s

20s

(1)(2) 属于函数关系的有____________.

思考交流
1.进一步分析上述储油罐问题,讨论: (1)还有哪些常量? 哪些变量? (2)哪些变量之间存在依赖关系? (3)哪些依赖关系是函数关系?哪些依赖关系不 是函数关系?

2.请列举一些与公路交通有关的函数关系. 3.请思考在其他情境下存在的函数关系,例 如:邮局,机场等.

课堂练习:P25练习1、2、3

1.某电器商店以2000元一台的价格进了一批电
视机,然后以2100元一台的价格售出,随着售出

台数的变化商店获得的收入是怎样变化的?其收
入和售出的台数之间存在函数关系吗?

解:如果不考虑税收等因素,设售出的台数为x
台,收入为y元,则y=(2100-2000)x.

显然,收入y和售出的台数x之间存在函数关系.

2.坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间 存在怎样的依赖关系? 解:坐电梯时,电梯距地面的高度与时间 之间存在函数关系.因为,对于任意给定

的时间,电梯都有唯一的高度.

3.在一定量的水中加入蔗糖,在达到饱和之 前糖水的浓度与所加蔗糖的质量之间存在

怎样的依赖关系?如果是函数关系,指出自
变量和因变量.
解:在一定量的水中加入蔗糖,在未达到饱 和之前糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之 间存在函数关系.其中,所加蔗糖的质量为自 变量,糖水浓度为因变量。

1.充分感受现实世界中大量存在着的变量

与变量之间的依赖关系.
2.函数是一类特殊的依赖关系,它同样普 遍存在着.
量与量之 间的关系 依赖关系 每一个自变量有唯 一确定因变量的值 函数关系

教材P25 A组 T1,2. B组 T2


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