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三角函数的图象与性质(1)


湖南师大附中

刘东红

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典例精讲
能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的 图象,了解三角函数的周期性, 理解它们在[0,2? ]的性质.

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解析式
定义域 值域 周期性

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R

y ? sin x

y ? cos x

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y ? tan x

R

? ? ? x | x ? k? ? , 2 ? k ? Z?

??1,1?
2?
奇函数

??1,1?
2?
( k? ?

R

?
奇函数
, k? ? ) 2 2 在______________

奇偶性

偶函数 ? ? ? 在 ? 2 k? ? ? , 2 k? ? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ?
2 2? ? (k ? Z )上是 (k ? Z )上是增函数;

?

?

单调性

? 3? ? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2 ? 在 ? 2 k? , 2 k? ? ? ? ? (k ? Z )上是增函数 (k ? Z )上是

增函数;

(k ? Z )上是增函数;

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注意: 正、余弦函数图象都具有对称轴及 对称中心。 对称中心为图象与平衡位置的交点。 对称轴使得函数取得最值。

熟悉对称轴、对称中心间距离与周期 的关系。

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注意: 正切函数没有对称轴, 对称中心除零点外还有 渐近线与x轴的交点。

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关于三角函数奇偶性的归纳拓展:
y ? sin x为奇函数, y ? cos x为偶函数

( 1 )y ? A sin(?x ? ? )为奇函数? ? ? k? , k ? Z

? (2)y ? A sin(?x ? ? )为偶函数 ? ? ? ? k? , k ? Z 2 ? (3)y ? A cos( ?x ? ? )为奇函数 ? ? ? ? k? , k ? Z 2

(4)y ? A cos(?x ? ? )为偶函数 ? ? ? k? , k ? Z

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第111页第1、2题
候车亭|http://www.houchetin.com

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类型一 利用周期性与对称性解决问题

第106页第2、4、5题

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已知函数f ( x) ? sin(?x ? ? ), 其中? ? 0, | ? |?

?
2

,

(1)若 cos cos? ? sin sin ? ? 0,求?的值; 4 4 (2)在( 1 )的条件下,若函数 f ( x)的图象的 相邻两条对称轴之间的 距离等于 ,求函数f ( x) 3 的解析式;并求最小正 实数m,使得函数f ( x)的

?

?

?

图象向左平移m个单位后所对应的函数 是偶函数。

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类型二 三角函数的值域与最值问题

第107页第6~10题

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已知函数y ? sin x ? cos x ? 2 sin x ? cos x, x ? R, 求其最值.


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