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2016-2017学年高中数学模块综合质量评估北师大版选修2-2讲义


模块综合质量评估
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( A.i∈S C.i ∈S
2 3

)
2

B.i ∈S 2 D. ∈S i
2

解析: ∵i =-1,而集合 S={-1,0,1},∴i ∈S. 答案: B 2.下列求导运算正确的是( 1 ? 1? A.?x+ ?′=1+ 2 ) B.(log2x)′=
2

1

?

x?

x

xln 2

C.(3 )′=3 log3e 1 ? 1? 解析: ∵?x+ ?′=1- 2,

x

x

D.(x cos x)′=2xsin x

?

x?

x

∴A 错. 1 1 1 (log2x)′= · = , x ln 2 xln 2 ∴B 正确.故选 B. 答案: B 3 .观察按下列顺序排列的等式:9×0+ 1=1,9×1+ 2 =11,9×2+ 3=21,9×3+ 4= 31,?,猜想第 n(n∈N+)个等式应为( A.9(n+1)+n=10n+9 B.9(n-1)+n=10n-9 C.9n+(n-1)=10n-9 D.9(n-1)+(n-1)=10n-10 解析: 分别观察乘数规律、加数规律和运算结果的规律,得出猜想结果. 答案: B 4. 由曲线 y= x与 x 轴及 x=2 所围成的图形绕 x 轴旋转一周后形成的几何体的体积为 ( ) A.π C.3π B.2π D. π 2 )

1

2 2 ? xdx=π x2|2 解析: V=? π x d x = π 0=2π (如图所示). ?0 ?0 2

答案: B 1 1 1 5. 在用数学归纳法证明“已知 f(n)=1+ + +?+ , 求证: f(2n)<n+1”的过程中, 2 3 n 由 k 推导 k+1 时,原式增加的项数是( A.1 C.2 -1 1 1 1 k 解析: f(2 )=1+ + +?+ k, 2 3 2
k

) B.k+1 D.2
k

f(2k+1)=1+ + +?+ k+?+
∴f(2
k+1

1 2

1 3

1 2

1

2

k+1



)-f(2 )=2 .

k

k

答案: D 6.设曲线 y= A.2 1 C.- 2 解析: ∵y′=? =

x+1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于( x-1
B. 1 2

)

D.-2

?x+1?′=?x+1?′?x-1?-?x+1??x-1?′ ? 2 ?x-1? ?x-1?

?x-1?-?x+1? 2 =- 2 2, ?x-1? ?x-1?

2 1 ∴在点(3,2)处切线的斜率 k=- 2=- . ?3-1? 2

? 1? ∵?- ?·(-a)=-1,∴a=-2. ? 2?
答案: D 7.曲线 y=x -3x +1 在点(1,-1)处的切线方程为( A.y=3x-4 C.y=-4x+3 解析: y′=3x -6x, ∵(1,-1)在曲线 y=x -3x +1 上,
2
3 2 2 3 2

)

B.y=4x-5 D.y=-3x+2

且 k=y′|x=1=-3. 从而切线方程为 y+1=-3(x-1), 即 y=-3x+2.故选 D. 答案: D 8.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的 解集为( ) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

A.(-1,1) C.(-∞,-1)

解析: 设 m(x)=f(x)-(2x+4), 则 m′(x)=f′(x)-2>0, ∴m(x)在 R 上是增函数. ∵

m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,∴m(x)>0 的解集为{x|x>-1},即 f(x)>2x+4 的解集
为(-1,+∞). 答案: B 3+i 9.已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数,则 z· z =( 2 ?1- 3i? A. 1 4 B. 1 2 )

C.1 解 析 : ∵ z = 3+i

D.2
2

?1- 3i?



3+i -2-2 3i



3+i -2?1+ 3i?



? 3+i??1- 3i? -2?1+ 3i??1- 3i? ∴z· z =?- 答案: A



2 3-2i 3 1 =- + i, -8 4 4

? ?

3 1 ?? 3 1 ? 3 1 1 + i??- - i?= + = .故选 A. 4 4 ?? 4 4 ? 16 16 4

10.已知函数 y=xf′(x)的图像如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数).下面四 个图像中 y=f(x)的图像大致是( )

解析: 当 x<-1 时,xf′(x)<0,∴f′(x)>0,f(x)为增函数; 当-1<x<0 时,xf′(x)>0,∴f′(x)<0,f(x)为减函数;
3

当 0<x<1 时,xf′(x)<0,∴f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x>1 时,xf′(x)>0,f′(x)>0,f(x)为增函数. 答案: C 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把正确答案填在题中的横线 上) π 11.函数 y=asin x+sin 3x 在 x= 处取得极值,则 a=________. 3 解析: y′=acos x+3cos 3x,

? π 由题意知,y′?x= 3 ?

=0,

π 即 acos +3cos π =0,∴a=6. 3 答案: 6
?x +3 ? 12.若 f(x)=? ?-x ?
1 2

?x≥0?, ?x<0?,
0

则? ? f(x)dx=____________.
-1 1 0 2

1

? ? 解析: 因为? ? f(x)dx=? (-x)dx+? (x +3)dx,
-1 -1

? 1 2? ?1 3 ? 2 又因为?- x ?′=-x,? x +3x?′=x +3, ? 2 ? ?3 ?
1 1 2 0 23 ?1x3+3x?|1 所以? ? 0 =6. ?-1f(x)dx=-2x |-1+? ?3 ?

答案:

23 6

1 13.若三角形内切圆半径为 r,三边长为 a、b、c,则三角形的面积 S= r(a+b+c), 2 运用类比思想,对于空间中的四面体的内切球,存在一个类似的结论为_______. 解析: 将三角形内切圆扩展到四面体的内切球,边长扩展为四面体的各面的面积,积 扩展为四面体的体积,于是可得一个类似的结论. 答案: 若四面体的内切球半径为 R,四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,则四面体的 1 体积为 V= R(S1+S2+S3+S4) 3 1-i 2 010 14.复数 +i 对应的点位于复平面的第______象限. 1+i ?1-i? 4 502 2 解析: 原式= +(i ) ·i ?1+i??1-i? = -2i 2 +i =-1-i. 2 1 +1
2

4

其对应的点位于第三象限. 答案: 三 15.如图,内接于抛物线 y=1-x 的矩形 ABCD,其中 A、B 在抛物线上运动,C、D 在 x 轴上运动,则此矩形的面积的最大值是________________.
2

? ? 解析: 设 CD=x,则点 C 坐标为? ,0?. ?2 ?
x
点 B 坐标为? ,1-? ? ?, ?2? ? ?2 ∴矩形 ABCD 的面积

?x

?x?2?

x ? ?x? ? S=f(x)=x·?1-? ?2?=- +x(x∈(0,2)). 4 ? ?2? ?
3 2 由 f′(x)=- x +1=0, 4 得 x1=- 2 3 (舍),x2= 2 , 3

3

∴x∈?0,

? ?

2? ?时,f′(x)>0,f(x)是递增的. 3?

x∈?

? 2 ,2? ?时,f′(x)<0,f(x)是递减的. ? 3 ?
2 4 3 时,f(x)取最大值 . 9 3 4 3 9

当 x=

答案:

三、 解答题(本大题共 6 小题, 满分 75 分, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)已知 z,ω 为复数,(1+3i)z 为纯虚数,ω = ,且|ω |= 2+ i 5 2.求 ω . 解析: 方法一:设 z=a+bi(a,b∈R),则(1+3i)z=a-3b+(3a+b)i. 由题意得 a-3b=0. ∵|ω |=?

z

? z ?=5 2,∴|z|= a2+b2=5 10. ? ?2+i?

将 a=3b 代入,

5

解得?

?a=15 ? ?b=5 ?

,?

?a=-15 ? ?b=-5 ?

15+5i 故 ω =± =±(7-i). 2+i 方法二:由题意,设(1+3i)z=ki,k≠0 且 k∈R,

ki 则ω= . ?2+i??1+3i?
∵|ω |=5 2.∴k=±50.故 ω =±(7-i). 17.(本小题满分 12 分)已知实数 a,b,c,d,满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:

a,b,c,d 中至少有一个是负数.
证明: 假设 a,b,c,d 都是非负实数. ∵a+b=c+d=1,∴a,b,c,d∈[0,1], ∴ac≤ ac≤ ∴ac+bd≤

a+c
2

,bd≤ bd≤ =1,

b+d
2



a+c b+d
2 + 2

这与已知 ac+bd>1 相矛盾,所以原假设不成立,即证得 a,b,c,d 中至少有一个是负 数. 18.(本小题满分 12 分)若函数 f(x)=ax -bx,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- (1)求函数的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围. (3)求曲线 y=f(x)与直线 x+y=0 所围图形的面积. 解析: f′(x)=3ax -b.
2 3

16 . 3

f′?2?=12a-b=0 ? ? (1)由题意可得? 16 f?2?=8a-2b=- ? 3 ?
1 ? ?a= 解得? 3 ? ?b=4



1 3 .故所求的函数解析式为 f(x)= x -4x. 3
2

(2)由(1)可知 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2), 当 x<-2 或 x>2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当-2<x<2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 16 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 ; 3

6

16 当 x=2 时,f(x)有极小值- . 3 所以函数的大致图像如图所示.

16 16 故实数 k 的取值范围是- <k< . 3 3 1 ? ?y= x3-4x (3)由? 3 ? ?x+y=0 ∴所围图形的面积
3 ? 3 ? ? ?? S=? ?-3? x -4x+x?dx+?0?-x- x +4x?dx 0

得交点坐标为(-3,3),(0,0)和(3,-3).

1 ?3

3

?

?

1 3

?

3 ?3x-1x3?dx =2? ?0? 3 ? ? ?

?3 2 1 4? 3 =2? x - x ?|0 12 ? ?2
= 27 . 2

19.(本小题满分 12 分)已知 A、B 两地相距 200 千米,一只船从 A 地逆水而行到 B 地, 水速为 8 千米/小时,船在静水中的速度为 v 千米/小时(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与 其在静水中的速度的平方成正比.当 v=12 千米/小时时,每小时的燃料费为 720 元,为了 使全程燃料费最省,船的静水速度为多少? 解析: 设每小时的燃料费为 y1,比例系数为 k,则 y1=kv .当 v=12 时,y1=720, ∴720=k·12 ,解得 k=5, ∴y1=5v . ∴全程的燃料费
2 200 1 000v y=y1· = (8<v≤v0). v-8 v-8 2 2 2

2 000v?v-8?-1 000v y′= 2 ?v-8? = 1 000v -16 000v . 2 ?v-8?
2

2

7

令 y′=0 得 v=16 或 v=0(舍去). 所以函数在 v=16 时取得极值,并且是极小值. 当 v0≥16 时,v=16 使 y 最小. 即全程燃料费最省. 当 v0<16 时, 1 000v 可得 y= 在(8,v0]上递减, v-8 1 000v0 即当 v=v0 时,ymin= . v0-8 综上,若 v0≥16,则当 v=16 千米/小时时, 全程燃料费最省; 若 8<v0<16,则当 v=v0 时,全程燃料费最省. 1 3 3 20. (本小题满分 12 分)已知 f(x)=-x +ax, 其中 a∈R, g(x)=- x , 且 f(x)<g(x) 2 2 在(0,1]上恒成立.求实数 a 的取值范围. 解析: 令 F(x)=f(x)-g(x) 3 1 =-x +ax+ x2 , 2
3 2 2

即 F(x)<0 在(0,1]上恒成立, 1 1 所以 a<x - x2 在(0,1]上恒成立, 2
2

1 1 2 令 h(x)=x - x2 , 2

h′(x)=2x-

1

4 x



?2 x? -1 4 x

3



?2 x-1??4x+2 x+1? , 4 x

令 h′(x)>0,又 x∈(0,1],

?1 ? 得 x∈? ,1?,令 h′(x)<0, ?4 ? ? 1? 又 x∈(0,1]得 x∈?0, ?. ? 4?
3 ?1? 所以 h(x)最小值=h? ?=- . 16 ?4? 3 即 a<- . 16
8

1 1 1 21.(本小题满分 15 分)设 f(n)=1+ + +?+ ,是否有关于自然数 n 的函数 g(n), 2 3 n 使等式 f(1)+f(2)+?+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对 n≥2 的一切自然数都成立?并证明你 的结论. 解析: 当 n=2 时,f(1)=g(2)[f(2)-1], 得 g(2)= = f?2?-1 ?

f?1?

1 =2. 1? ?1+2?-1 ? ?

当 n=3 时,f(1)+f(2)=g(3)[f(3)-1],

f?1?+f?2? 得 g(3)= = f?3?-1 ?
猜想 g(n)=n(n≥2). 下面用数学归纳法证明:

? 1? 1+?1+ ? ? 2? =3. 1 1? ?1+2+3?-1 ? ?

当 n≥2 时,等式 f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立. ①当 n=2 时,由上面计算知,等式成立. ②假设 n=k 时等式成立, 即 f(1)+f(2)+?+f(k-1) =k[f(k)-1](k≥2), 那么当 n=k+1 时,

f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k)
=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k =(k+1)?f?k+1?-

? ?

k+1? ?

1 ?

-k

=(k+1)[f(k+1)-1], ∴当 n=k+1 时等式也成立. 由①②知,对一切 n≥2 的自然数 n,等式都成立. 故存在函数 g(n)=n 使等式成立.

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