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2015高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)选修4-4 坐标系与参数方程 (1)


2014 高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教 A 版)选修 4-4 坐标系与参数方程

一、选择题 y′2 1.在平面直角坐标系中,经伸缩变换后曲线方程 x2+y2=4 变换为椭圆方程 x′2+ 4 =1,此伸缩变换公式是 1 ? ?x=2x′ A.? ? ?x=y′
?y=4x′ ? C.? ? ?y=y′ ? ?x=2x′ B.? ? ?y=y′ ?x=2x′ ? D.? ? ?y=4y′

(

)

? ?x′=λx?λ>0? y′2 解析:设此伸缩变换为? ,代入 x′2+ =1 4 ?y′=μy?μ>0? ?

?μy?2 得(λx)2+ =1, 4 即 4λ2x2+μ2y2=4,
2 ? ? ?λ= ?4λ =1?λ>0? 与 x +y =4 比较得? 2 ,故? 2 ?μ =1?μ>0? ? ? 2 2

1

?μ=1

1 ? ?x′=2x, 即所求变换为? ?y′=y. ? 故选 B. 答案:B 2.极坐标方程 2cosθ- 3=0(ρ∈R)表示的图形是 A.两条射线 C.一条直线 解析:由 cosθ= 交直线.故选 B. 答案:B π? 3.过点? ?2,4?平行于极轴的直线的极坐标方程是 A.ρcosθ=4 C.ρsinθ= 2 答案:C
? ?x=-1-t, 4.极坐标方程 ρ=cosθ 和参数方程? (t 为参数)所表示的图形分别是 ?y=2+3t ?

(

)

B.两条相交直线 D.一条直线与一条射线 3 π 11 知 θ= +2kπ 或 θ= π+2kπ(k∈Z,ρ∈R),故所给曲线表示两条相 2 6 6

(

)

B.ρsinθ=4 D.ρcosθ= 2

A.圆、直线 C.圆、圆 解析:∵ρ=cosθ,∴ρ2=ρcosθ, ∴x2+y2=x, 即 x2-x+y2=0 表示圆,
?x=-1-t ? ∵? ,∴消 t 后,得 ? ?y=2+3t

B.直线、圆 D.直线、直线

3x+y+1=0,表示直线. 故选 A. 答案:A 5.(2012 年安徽皖南八校三联)已知曲线 M 与曲线 N:ρ=5 3· cosθ-5sinθ 关于极轴对 称,则曲线 M 的方程为 π θ- ? A.ρ=-10cos? ? 6? π θ+ ? C.ρ=-10cos? ? 6? π θ- ? B.ρ=10cos? ? 6? π θ+ ? D.ρ=10cos? ? 6? ( )

5 3?2 ? 5?2 解析:曲线 N 的直角坐标方程为 x2+y2=5 3x-5y,即?x- + y+ =25,其圆 2 ? ? 2? ? 心为? 5 3 5? ,- ,半径为 5. 2 2? ? 又∵曲线 M 与曲线 N 关于 x 轴对称, ∴曲线 M 仍表示圆且圆心为? 5 3 5? , 半径为 5, ? 2 ,2?

5 3?2 ? 5?2 ∴曲线 M 的方程为?x- + y- =25,即 x2+y2=5 3x+5y,化为极坐标方程为 2 ? ? 2? ? π θ- ?,故 B 正确. ρ=5 3cosθ+5sinθ=10cos? ? 6? 答案:B
?x=t, ? 6.(2012 年北京朝阳二模)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参 ? ?y=4+t

数).以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ= π? 4 2· sin? ?θ+4?,则直线 l 和曲线 C 的公共点有 A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.无数个 ( )

?x=t, ? 解析:直线 l:? (t 为参数)化为普通方程得 x-y+4=0; ?y=4+t ?

π? 曲线 C:ρ=4 2sin? ?θ+4? 化为普通方程得(x-2)2+(y-2)2=8, |2-2+4| ∴圆心 C(2,2)到直线 l 的距离 d= =2 2=r, 2 ∴直线 l 与圆 C 只有一个公共点,故选 B. 答案:B 二、填空题 π 7 . (2012 年安徽 ) 在极坐标系中,圆 ρ = 4sinθ 的圆心到直线 θ = (ρ ∈ R) 的距离是 6 ________. 解析:由题意将极坐标方程转化为普通方程. 圆 C:x2+(y-2)2=4,圆心 C(0,2). |0-2 3| 直线 l:x- 3y=0.故圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 3. 2 答案: 3 8.(2011 年陕西)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
? ?x=3+cosθ 系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB|的最小 ?y=4+sinθ ?

值为________. 解析:C1:(x-3)2+(y-4)2=1 C2:x2+y2=1. 最小值为|C1C2|-2=5-2=3. 答案:3
?x=2pt2, ? 9.(2012 年天津)已知抛物线的参数方程为? (t 为参数),其中 p>0,焦点为 F, ? ?y=2pt

准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p =________.
2 ? ?x=2pt , 解析:将? 消元得 y2=2px,将 x=3 代入 y2=2px 得 y=± 6p. ?y=2pt ?

令 M(3, 6p),

p ? ∴E? ?-2, 6p?. ∵|EF|=|MF|. ∴ =

?p+p?2+? 6p?2 ?2 2? ?p-3?2+? 6p?2, ?2 ?

化简得 p2+4p-12=0, ∵p>0,∴p=2. 答案:2 三、解答题 10.(2012 年福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),? 2 3 π? ,圆 C 的参数方程为 ? 3 ,2?

?x=2+2cosθ, (θ 为参数). ? ?y=- 3+2sinθ
(1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 2 3? 解:(1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, ;又 P 为线段 MN 的中 3 ? ? 点,从而点 P 的平面直角坐标为?1,

?

3 3? ,故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y= x. 3 3?

2 3? (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, ,所以直线 l 的平面 3 ? ? 直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. |2 3-3 3-2 3| 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2,圆心到直线 l 的距离 d= 3+9 3 = <r,故直线 l 与圆 C 相交. 2 11.(2013 年宁夏银川月考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:x2+y2=1,以平 面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 取相同的单位长度建立极坐标系, 已知直线 l:ρ(2cosθ-sinθ)=6. (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3、2 倍后得到曲线 C2, 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 解:(1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0,

曲线 C2 的直角坐标方程为:?

x ?2 ? y ?2 + =1, ? 3? ?2?

?x= 3cosθ 曲线 C2 的参数方程为:? (θ 为参数). ?y=2sinθ
(2)设点 P 的坐标( 3cosθ,2sinθ),则点 P 到直线 l 的距离为: |2 3cosθ-2sinθ-6| |4sin?60° -θ?-6| d= = , 5 5 当 sin(60° -θ)=-1 时,dmax=2 5 此时 60° -θ=-90° +360° k,k∈Z θ=150° -360° k ∴cosθ=- 3 1 ,sinθ= 2 2

3 3 ∴P(- ,1)故所求的点 P 为(- ,1),最大值为 2 5. 2 2 12.(2012 年辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.
?ρ=2, ? π 解? 得 ρ=2,θ=± , 3 ?ρ=4cosθ ?

π? ? π? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? ?2,3?,?2,-3?. 注:极坐标系下点的表示不惟一.
?x=ρcosθ, ? (2)法一:由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ? ?y=ρsinθ ? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (- 3≤t≤ 3). ?y=t ? ?x=1, ? (或参数方程写成? (- 3≤y≤ 3)) ?y=t ? ?x=ρcosθ, ? 法二:将 x=1 代入? ? ?y=ρsinθ,

1 得 ρcosθ=1,从而 ρ= . cosθ
? ?x=1, ? π π - ≤θ≤ ?. 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? 3 3? ? ?y=tanθ ?

[热点预测]

13.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直 π π 角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标为(4, ).若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为 2 3 圆心、4 为半径. (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

?x=1+2t 解:(1)直线 l 的参数方程为? 3 ?y=-5+ 2 t
圆 C 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. π (2)因为 M(4, )对应的直角坐标为(0,4), 2 直线 l 化为普通方程为 3x-y-5- 3=0, 圆心到 l 的距离 |0-4-5- 3| 9+ 3 d= = >4, 2 3+ 1 所以直线 l 与圆 C 相离.

1

,(t 为参数),


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