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卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2014)


卓越联盟自主招生真题及答案 (2011-2014 年) 目 录
2011 年卓越联盟 (同济大学等九校 )自主招生数学试题............................................ 2 2011 年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 .......................................................... 5 2012 年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 10 2012 卓越联盟自主招生数学真题答案解析 ............................................................ 14 2013 年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 20 2013 年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 ........................................................ 23 2014 年卓越联盟自主招生数学试题 26

2011 年卓越联盟 (同济大学等九校 )自主招生数学试题

数学试题
分值: 一、选择题, 1.已知向量 为非零向量, 则 夹角为( ) 分 时量: 分钟

A.

B.

C.

D.

2.已知



(

)

A. 3.在正方体

B.

C . 中, 为棱

D. 的中点, 是棱 上的点, 且 ,

则异面直线



所成角的正弦值为(

)

A.

B.

C.

D.

4. 为虚数单位, 设复数 满足 A. B.

,则 C.

的最大值为( D.

)

5.已知抛物线的顶点在原点, 焦点在 轴上, 为抛物线的焦点, 若 A.. 6.在三棱柱 面 的距离为( ) B. 边所在的直线方程为 C.

三个顶点都在抛物线上, 且 ,则抛物线方程为( D. 为 的中点, 则点 )

的重心

中, 底面边长与侧棱长均不等于 2, 且

到平

A.

B.

C.

D.

7.若关于 的方程 A. 8. 如图 , ,交 B. 内接于 在

有四个不同的实数解, 则 C. ,过 中点 ,若 D. 作平行于

的取值范围为(

)

的直线 ,则





,交 )



点处的切线于

的长为(

A. 9.数列 共有 11 项, B. 120 C.

B. 且 ) D. 160

C.

D.

满足这种条件的不同数列的个数为( A. 100 10.设 140

是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为 表示变换的复合, 先做 ,再做 .用

的旋转, 表示坐标平面关于 表示连续 次 的变换, 则

轴的镜

面反射. 用 是( A. 二、解答题 11.设数列 (1)设 (2)若 )

B.

C.

D.

满足 ,证明:若 求 ,则

. 是等比数列; 的值;

12.在 (1)求 (2)若

中, 的取值范围; ,问 为何值时,

是角

的平分线, 且

.

最短?

13.已知椭圆的两个焦点为 (1)求椭圆的方程; (2)过 作两条互相垂直的直线

,且椭圆与直线

相切.

,与椭圆分别交于



,求四边形

面积

的最大值与最小值.

14.一袋中有

个白球和 个黑球. 从中任取一球, 如果取出白球, 则把它放回袋中;如果取出黑

球, 则该黑球不再放回, 另补一个白球放到袋中. 在重复 次这样的操作后, 记袋中白球的个数 为 (1)求 (2)设 . ; ,求

(3)证明:

15.设

.

(1)求

;

(2)设

求常数 ,使得 ,证明 .

取得最小值;

(3)记(2)中的最小值为

2011 年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 一. 选择题 二. 解答题 11.【解】(1)证:由 ,得





,所以

是以

为首项, 以

为公比的等比数列;

(2)由(1) 可知

,

所以由累加法得 也所以有 所以 也

即 时, 也适合该式;





由于

所以

解得

.

12.【解】(1)过

作直线

,交

延长线于

,如图右.

所以, 也所以有 在 即 中, 有 ,即

所以,



所以 (2)因为

.

在 记 当

中, 有 ,则 时,

此时

取最小值, 此时

.

故当

时,

取最小值

.

13.【解】设椭圆方程为

,因为它与直线

只有一个公共点,

所以方程组 所以

只有一解, 整理得 得 .

.

又因为焦点为

,所以

联立上式解得

所以椭圆方程为

.

(2)若 若

斜率不存在(或为 0)时, 则 斜率存在时, 设为 方程为 ,则 .设 为 .

.

所以直线

与椭圆交点坐标为

联立方程

化简得

.



所以 同理可得

所以

因为

(当且仅当

时取等号)

所以,

也所以

所以综上所述,

的面积的最小值为

,最大值为 2.

14.【解】(1)

时, 袋中的白球的个数可能为

个(即取出的是白球), 概率为

;也可能



个(即取出的是黑球), 概率为

,故

.

(2)首先, 种; 第 次袋中有

时, 第

次取出来有

个白球的可能性有两

个白球, 显然每次取出球后, 球的总数保持不变, 即

个白球(故此时

黑球有

个), 第

次取出来的也是白球, 这种情况发生的概率为 个白球, 第 次取出来的是黑球, 由于每次球的总数为 个, 故

第 次袋中有

此时黑球的个数为

.这种情况发生的概率为

.

故 (3)第 次白球的个数的数学期望分为两类: .由于白球和黑球的总个数为 ,第 次取出来

第 次白球个数的数学期望, 即

的是白球, 这种情况发生的概率是

;第

次取出来的是黑球, 这种情况发生的概率是

,此时白球的个数是



15.(1) (2)若 若 故 则 则 当

; 显然, 当 取最小. 取最小;

由(1)知

所以, 记

则令

,得



时,

取最小值.

(3)将

代入

式右边,

等价于

由于

时,

所以下面只须证明

即可.





,



,注意到函数

是单调递增的, 且

所以

.得证.

天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析
对于数理知识测试中数学部分,专家评论道:数学考题考察的是高中数学的基本 知识、基本概念和基本技能,但只是考察的侧重点与高考不同,试题重点考察了学生的 空间想象能力,要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工

科院校的特点出发, 考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的 (最大值或最小值) 优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。 对于数理知识测试中物理部分,专家评论道: 物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁 学、振动、近代物理知识, 体现了能力测试为主导, 特别是考核学生综合运用基础知识, 基本技能解决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对 物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电 学、热学和力学知识的综合应用能力。

2012 年卓越联盟自主招生数学试题

卓越人才培养合作高校 2012 年自主选拔学业能力测试 数 学
本卷共 100 分,考试用时 90 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上,并 在规定位置粘贴考试用条形码。 2.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在试卷上的无 效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2012 卓越联盟自主招生数学真题答案解析

2013 年卓越联盟自主招生数学试题 一、选择题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分.每小题给出的 4 个结论中,只有一项是符 合题目要求 (1)已知 (A) 是定义在实数集上的偶函数,且在 (B) 上递增,则

(C)

(D)

(2)已知函数

的图象经过点

,且



相邻两个零点的距离为

,为得到

的图象,可将

图象上所有点

(A)先向右平移

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的

倍,纵坐标不变

(B) 先向左平移

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的

倍,纵坐标不变

(C) 先向左平移

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的

倍,纵坐标不变

(D) 先向右平移

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 (3)如图,在

倍,纵坐标不变

五个区域中栽种 3 种植物,要求同

一区域中只种 1 种植物,相邻两区域所种植物不同,则不同的 栽种方法的总数为( ) (A)21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数 有 若 (A) (B) ,且在 上 在 上存在导数 . 的取值范围为 (C) (D) ,对任意的 ,

,则实数

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分)

(5)已知抛物线 近线方程为 (6)设点 则 (7)设曲线 与 在 . 的内部,点

的焦点是双曲线

的一个焦点,则双曲线的渐

, 分别为边 .



的中点,且



轴所围成的区域为

,向区域

内随机投一点,则该点落

入区域 (8)如图, 且 是圆

内的概率为 的切线, 是切点, ,则 与

. 垂直, 垂足是 , 割线 交圆 表示). 于 ,

(用

三、解答题(本大题共 4 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (9)(本小题满分 13 分)在 中,三个内角 已知 (1)求角 的大小; (2)求 的最大值. 、 、 所对边分别为 . 、 、 .

(10)(本题满分 13 分)

设椭圆 两点.

的离心率为

,斜率为

的直线 过点

且与椭圆交于

(1)求椭圆方程; (2)若直线 与 (3)设 有 为椭圆的下顶点, . 、

轴相交于点 分别为直线

,且 、

,求

的值; 恒

的斜率,证明对任意的

(11)(本题满分 15 分)设

,(1)证明:



(2)若

,证明: 中,

. , .

(12) (本题满分 15 分)已知数列 (1)若 对

都成立,求

的取值范围;

(2)当

时,证明



(1)A;

(2)B ;

2013 年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (3)C; (4)B.

(5)

; (6)2;

(7)



(8)



2014 年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一(理科)
选择题(每题 5 分,共 20 分) (注:原题是选择题) 1. 不等式

x ? 2x2 ? 1 ? 0 的解集为_____________.

3

2.

在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? 2 ,二面角 P ? BC ? A 的大 小为 60 ? ,三棱锥 P ? ABC 的体积为 4 6 ,则直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为
3

________. 3. 当实数 m 变化时,不在任何直线 2mx ? 形成的图形的面积为_____________.

?1 ? m ? y ? 4m ? 4 ? 0 上的所有点 ? x, y ?
2

4.

? 2x ? 1 1? ? ? x 2 , x ? ? ??, ? 2 ? , ? ? ? 已知函数 f ? x ? ? .g 1 ? ? ?ln ? x ? 1? , x ? ? , ?? ? ? 2 ? ? ? ?

? x ? ? x2 ? 4x ? 4 .设 b 为实数,若存

在实数 a ,使 f ? a ? ? g ? b ? ? 0 ,则 b 的取值范围是___________.

填空题(每题 6 分,共 24 分) 5. 已知 0 ? a ? 1 ,分别在区间 ? 0, a ? 和 ? 0, 4 ? a ? 内任取一个数,且取出的两数之和小于 1 的概率为

3 .则 a 的值为_______________. 16

6.

设 e1 ,e 2 为平面上夹角为 ? ( 0 ? ? ?

? ) 的两个单位向量,O 为平面上的一个固定点, 2

当 OP ? xe1 ? ye2 时, 定义 ? x, y ? 为点 P 的斜坐标. 现有两个点 A , P 为平面上任意一点,

B 的斜坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? .则 A , B 两点的距离为______________.

7.

?? ? ? 若函数 y ? sin ? ? x ? ? 的图象的对称中心与 y 轴距离最小的对称轴为 x ? ,则实数 ? 4 6 ? ?

的值为_____.

8.

已知集合 A , B 满足 A B ? ?1,2,3,

,8? , A

B ? ? .若 A 中元素的个数不是 A 中的

元素, B 中元素的个数不是 B 中的元素,则满足条件的所有不同的集合 A 的个数为 ___________.

解答题(共 56 分) 9. (13 分) 设? ? R , 函数 f ? x ? ? 2 sin 2x cos? ? 2 cos2x sin ? ? 2 cos ? 2x ? ? ? ? cos? ,
? ?? ?? ?? x?R. (1)若 ? ? ? , ? ,求 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的最大值. ? 4? ?4 2?

(2)若 f ? x ? ? 3 ,求 ? 与 x 的值.

10. (13 分)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的两条渐进线的斜率之积为 ?3 ,左 a 2 b2

右两支上分别由动点 A 和 B . (1)设直线 AB 的斜率为 1,经过点 D ? 0,5a ? ,且 AD ? ? DB ,求实数 ? 的值. (2)设点 A 关于 x 轴的对称点为 M .若直线 AB , MB 分别与 x 轴相交于点 P , Q , O 为坐标原点,证明 OP ? OQ ? a2 .

11. (15 分) 已知 f ? x ? 为 R 上的可导函数, 对任意的 x0 ? R , 有 0 ? f ' ? x ? x0 ? ? f ' ? x0 ? ? 4x ,
x?0.

(1)对任意的 x0 ? R ,证明: f ' ? x0 ? ?

f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? x

(x?0) ;

(2)若 f ? x ? ? 1 , x ? R ,证明 f ' ? x ? ? 4 , x ? R .

12. (15 分) 已知实数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an ?1 ? q an , 常数 q ? 1 . 对任意的 n ? N? , n ? N? , 有 ? ak ? 4 an .设 C 为所有满足上述条件的数列 ?an ? 的集合.
k ?1 n ?1

(1)求 q 的值; (2) 设 ?an ? , 且存在 n0 ? m , 使 an0 ?bn ? ? C ,m ? N? ,

? bn0 . 证明: ? ak ? ? bk
k ?1 k ?1

m

m



?m ? A ? (3)设集合 m ?? ak ?an ? ? C ? , m ? N ? ,求 ? k ?1 ?

Am 中所有正数之和.

附录 2:2014 年卓越联盟自主招生数学参考 答案 ..
选择题(注:原题是选择题) ? 1? 5 ? ? 1? 5 ? 2 2 ? ? ? 1 1. 答案:? ? ? ? ? ?1? 2 ? ? .提示: x ? x ,把原式视作 x 的三次多项式分解因 2 ? ? ? ? 式即可. 3 2. 答案: .提示:仔细算算. 3 3. 答案:4? . 提示: 原式视作 m 的二次方程 ym2 ? ? 2 x ? 4? m ? 4 ? y ? 0 , 判别式 ? 0 即可. 4. 答案: ? ?1,5? .提示:仔细算算.

填空题 5. 6. 7. 8.

4 .提示:可转化为“线性规划+几何概型”问题. 5 2 2 答案: ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ?? y1 ? y2 ? cos ? .提示:显然. 3 答案: .提示:仔细算算. 2 答案:44.提示:按 A 中元素个数( A ? ? , 1 , 2 ,…)逐个进行分类讨论.
答案:

解答题

3? 答案: (1) 2 ? cos ? ; ( 2) ? ? 2 k ? , (k?Z ) ; x ? n? ? ,n?Z . 8 ?? ? 提示: f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? ? cos ? . 4? 2 ? 10. 答案: (1) ? ? ; (2)提示: 7 x y ? xB y A xA yB ? xB y A x 2 y 2 ? xB 2 y A 2 ,再带入 OP ? OQ ? xP ? xQ ? A B ? ? A B2 2 y ? y y ? y y ? y 2 2B A A B A B y y x A 2 ? a 2 ? A , xB 2 ? a 2 ? B 即可. 3 3
9.

11. 提示: (1) 即证 f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? f ' ? x0 ? x ? 0 , 构造函数 g ? x ? ? f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? f ' ? x0 ? x , 对 g ? x ? 求导证明 g ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单增即可. (2)由条件知 f ' ? x ? 是 R 上的单增函数,故 f ' ? x ? 不可能恒等于零. f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? 如果存在正实数 ? ? 0 , 及实数 x0 , 使 f ' ? x0 ? ? ? , 则对任意 x ? 0 , ?? . x ? 1 ? f ? x0 ? ? 1 ? f ? x0 ? ? ? 则当 x ? max ?0, ? f ? x0 ? ? 1 ,与条 ? 时, f ? x ? x0 ? ? ? x ? f ? x0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 件矛盾. 如果存在正实数 ? ? 0 , 及实数 x0 , 使 f ' ? x0 ? ? ?? , 则对任意 x ? 0 , 存在 ? ? ? x ? x0 , x0 ? , ? f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? f ? x0 ? ? 1? ? 满足 ? f ' ?? ? ? f ' ? x0 ? .则当 x ? min ?0, ? 时, x ? ? ? ? ? f ? x0 ? ? 1 f ? x ? x0 ? ? ?? x ? f ? x0 ? ? ? ?? ? ? ? f ? x0 ? ? 1 ,与条件也矛盾. ? 总之,题目中的条件永远不成立.故由于前提条件是假命题,从而不论结论是什么,都 是真命题. 12. 提示:
1 1 ? q n ?1 2 ? 4q n ?1 ,可得 n ?1 ? ? q ? 2 ? 对任意正整数 n 成立,左边在 n 无穷大时 q 1? q 是无穷小,所以 q ? 2 .

(1)化简

(2)方法一:假设 l 是 1,2,3,…, m 中满足 an ? bn 中的最大角标.则

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

m

m

k

?

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

l

l

k

? al ? bl ?

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

l ?1

l ?1

k

? 2l ? ? 2k ? 2 .
k ?1

l ?1

方法二:假设 l 是 1,2,3,…, m 中满足 an ? bn 中的最小角标,则

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

m

m

k

l ?1 ? al ?1 ? bl ?1 ? ? al ? bl ? ? ?2l ? 2l ? 2l ? . ? 0 ( mod 2 )

(3)显然 ?an ? 的前 m 项和是正数,当且仅当 am ? 0 ,此时 ai ( i ? 1 , 2 ,…, m ? 1 ) 的符号随意.即 ?an ? : ?1 , ?2 , ?4 ,…, ?2 m ? 2 , 2 m ?1 .这样的数列共有 2 m ?1 个,若 .于是, Am 中所有元素之和为 ai 与 bi 符号相反,则进行配对( i ? 1 , 2 ,…, m ? 1 )
2m ?1 ? 2m ?1 ? 22 m ? 2 .

说明: (1)第 11 题中的条件永远是假命题,这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之. (2)第 12 题第 2 问中,取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零,取角标最 小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路,应注意掌握.实际上,前者 对应于 Z 的欧几里得赋值,后者对应于 Z 的 p ? adic 赋值,这两个赋值数学本身的意义 也很大.


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