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2.2对数和对数函数练习题及答案


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对数与对数函数练习题 2.2 对数与对数函数练习题
一、选择题: 1.

log8 9 的值是( log 2 3
A.



2 3
2

B.1

C.

3 2
5

D.2

2.若 log2 [log 1 (log 2 x )] = log 3 [log 1 (log 3 y )] = log 5 [log 1 (log 5 z )] =0,则 x、y、z 的大小关系
3

是(

) B.x<y<z C.y<z<x D.z<y<x

A.z<x<y

3.已知 x= 2 +1,则 log4(x3-x-6)等于( ) A.

3 2

B.

5 4

C.0

D.

1 2

4.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于( ) lg 15
B.

A.

2a + b 1+ a + b

a + 2b 1+ a + b

C.

2a + b 1? a + b

D.

a + 2b 1? a + b

5.已知 2 lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 ( y A.1 B.4 )

) C.1 或 4 D.4 或

6.函数 y= log 1 ( 2 x ? 1) 的定义域为(
2

A.(

1 ,+∞) 2
2

B. [1,+∞ )

C.(

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1) )

7.已知函数 y=log 1 (ax2+2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是( A.a > 1 B.0≤a< 1 x 8.已知 f(e )=x,则 f(5)等于( ) A.e5 B.5
e

C.0<a<1 C.ln5
1

D.0≤a≤1 D.log5e

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9.若 f ( x) = log a x(a > 0且a ≠ 1), 且f ?1 (2) < 1, 则f ( x) 的图像是( y x B y x O C D y x

) y x

O A

O

O

10.若 y = ? log 2 ( x 2 ? ax ? a ) 在区间 ( ?∞,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. [2 ? 2 3, 2] B. ? 2 ? 2 3, 2



?

)

C. 2 ? 2 3, 2 ?

(

?

D. 2 ? 2 3, 2 )

(

)

11.设集合 A = {x | x 2 ? 1 > 0}, B = {x | log 2 x > 0 |}, 则A ∩ B 等于( A. {x | x > 1} 12.函数 y = ln B. {x | x > 0} C. {x | x < ?1} )

D. {x | x < ?1或x > 1}

x +1 , x ∈ (1,+∞) 的反函数为 ( x ?1

A. y =

ex ?1 , x ∈ (0,+∞) ex +1 ex ?1 , x ∈ (?∞,0) ex +1

B. y =

ex +1 , x ∈ (0,+∞) ex ?1 ex +1 , x ∈ (?∞,0) ex ?1

C. y =

D. y =

二、填空题: 13.计算:log2.56.25+lg

1 1+ log 2 3 +ln e + 2 = 100




14.函数 y=log4(x-1)2(x<1)的反函数为 15.已知 m>1,试比较(lgm)0.9 与(lgm)0.8 的大小

. .

16.函数 y =(log 1 x)2-log 1 x2+5 在 2≤x≤4 时的值域为
4 4

三、解答题: 17.已知 y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

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18.已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

19.已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的值,并求 此时 f(x)的最小值?

20.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.

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21.已知函数 f(x)=loga(a-ax)且 a>1, (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (3)证明函数图象关于 y=x 对称.

22.在对数函数 y=log2x 的图象上(如图),有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 a、a+1、a+ 2,其中 a≥1,求△ABC 面积的最大值.

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2.2 对数与对数函数参考答案
一、选择题: AABCB CDCBA AB 、选择题: 二、填空题:13. 填空题:

25 13 ,14.y=1-2x(x∈R), 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8,16. ≤ y ≤8 2 4

解答题: 三、解答题: 17.解析:先求函数定义域:由 2-ax>0,得 ax<2 又 a 是对数的底数, ∴a>0 且 a≠1,∴x<

2 a 2 >1,∴a<2 a

由递减区间[0,1]应在定义域内可得

又 2-ax 在 x∈[0,1]是减函数 ∴y=loga(2-ax)在区间[0,1]也是减函数,由复合函数单调性可知:a>1 ∴1<a<2 18、解:依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立. 当 a2-1≠0 时,其充要条件是:

? 2 5 ?a ? 1 > 0 解得 a<-1 或 a> ? 2 2 3 ?? = (a + 1) ? 4(a ? 1) < 0 ?
又 a=-1,f(x)=0 满足题意,a=1,不合题意. 所以 a 的取值范围是:(-∞,-1]∪(

5 ,+∞) 3

19、解析:由 f(-1)=-2 ,得:f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2,解之 lga-lgb=1, ∴

a =10,a=10b. b

又由 x∈R,f(x)≥2x 恒成立.知:x2+(lga+2)x+lgb≥2x,即 x2+xlga+lgb≥0,对 x∈R 恒 成立, 由 ?=lg2a-4lgb≤0,整理得(1+lgb)2-4lgb≤0 即(lgb-1)2≤0,只有 lgb=1,不等式成立. 即 b=10,∴a=100. ∴f(x)=x2+4x+1=(2+x)2-3 当 x=-2 时,f(x) min=-3. 20.解法一:作差法

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|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|

lg(1 ? x) lg(1 + x) 1 |-| |= (|lg(1-x)|-|lg(1+x)|) lg a lg a | lg a |

∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x ∴上式=-

1 1 [(lg(1-x)+lg(1+x)]=- ·lg(1-x2) | lg a | | lg a | 1 ·lg(1-x2)>0, | lg a |

由 0<x<1,得,lg(1-x2)<0,∴- ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法二:作商法

| log a (1 + x) | =|log(1-x)(1+x)| | log a (1 ? x) |
∵0<x<1,∴0<1-x<1+x,∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 由 0<x<1,∴1+x>1,0<1-x2<1 ∴0<(1-x)(1+x)<1,∴

1 1+ x

1 >1-x>0 1+ x

∴0<log(1-x)

1 <log(1-x)(1-x)=1 1+ x

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法三:平方后比较大小 ∵loga2(1-x)-loga2(1+x)=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)] =loga(1-x2)·loga

1 1? x 1? x = ·lg(1-x2)·lg 2 1+ x 1 + x | lg a | 1? x <1 1+ x

∵0<x<1,∴0<1-x2<1,0<

∴lg(1-x2)<0,lg

1? x <0 1+ x

∴loga2(1-x)>loga2(1+x),即|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法四:分类讨论去掉绝对值 当 a>1 时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2) ∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x2<1 ∴loga(1-x2)<0,∴-loga(1-x2)>0
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当 0<a<1 时,由 0<x<1,则有 loga(1-x)>0,loga(1+x)<0 ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x2)>0 ∴当 a>0 且 a≠1 时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 21.解析:(1)定义域为(-∞,1),值域为(-∞,1) (2)设 1>x2>x1 ∵a>1,∴ a
x2

> a x1 ,于是 a- a x2 <a- a x1
x

则 loga(a-a a x2 )<loga(a- a 1 ) 即 f(x2)<f(x1) ∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数 (3)证明:令 y=loga(a-ax)(x<1),则 a-ax=ay,x=loga(a-ay) - ∴f 1(x)=loga(a-ax)(x<1) 故 f(x)的反函数是其自身,得函数 f(x)=loga(a-ax)(x<1=图象关于 y=x 对称. 22. 解析:根据已知条件,A、B、C 三点坐标分别为(a,log2a),(a+1,log2(a+1)),(a+2,log2(a +2)),则△ABC 的面积 S=

[log 2 a + log 2 ( a + 1)] [log 2 (a + 1) + log 2 (a + 2)] + ? [log 2 a + log 2 ( a + 2)] 2 2

=

1 a(a + 2)(a + 1) 2 1 (a + 1) 2 log 2 = log 2 2 [a(a + 2)]2 2 a ( a + 2)

1 a 2 + 2a + 1 1 1 = log 2 2 = log 2 (1 + 2 ) 2 a + 2a 2 a + 2a
因为 a ≥ 1 ,所以 S max =

1 1 1 4 log 2 (1 + ) = log 2 2 3 2 3

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