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浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估考试数学试题 Word版含答案


台州市 2016 学年第一学期高三年级期末质量评估试题
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4,5,6?,集合 P ? ? 1,2,3?, Q ? ? 1,2,4?,则 ?CU P? ? Q ? ( A. ? 1? 2.已知复数 z ? A. 1 B. ?2,4? C. ?2,4,6? D. ? 1,2,4,6? ) )

1 ? ai ?a ? R ? 的虚部 1,则 a ? ( 1? i
B. ? 1 C. ? 2 D. 2 )

3.已知随机变量 ? ∽ B? 3, ? ,则 E ?? ? ? ( A. 3 B. 2

? 1? ? 2?

C.

3 2
)

D.

1 2

4.已知 cos ? ? 1 ,则 sin ? ? ?

? ?

??

?? ( 6?
C. ?

A.

1 2

B.

3 2

1 2

D. ?

3 2

?x ? 1 ? 5.已知实数 x , y 满足 ? y ? 1 ,则 x ? y 的取值范围为( ?2 x ? y ? 6 ?
A. ?2,5? B. ?2, ? 2

)

? 7? ? ?

C. ? ,5? ?2 ?

?7 ?

D. ?5,???

2 6.已知 m, n ? R ,则“ mn ? 0 ”是“抛物线 mx ? ny ? 0 的焦点在 y 轴正半轴上”的(

)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 7.已知函数 f ? x ? ? ( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 3 1 2 ax ? ax ? x?a ? R ? ,下列选项中不可能是函数 f ?x ? 图象的是 3 2

1

A



B



C.

D. 8.袋子里装有编号分别为“ 1,2,2,3,4,5 ”的 6 个大小、质量相同的小球,某人从袋子中一次 任取 3 个球,若每个球被取到的机会均等,则取出的 3 个球编号之和大于 7 的概率为( A. )

17 20

B.

7 10

C.

5 8

D.

4 5

9.已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ?? ( A. 1 ) B. 2

? ?0,0 ? x ? 1 ,则方程 f ?x? ? g ?x? ? 2 的实根个数为 2 x ? 4 ? 2 , x ? 1 ? ?

C. 3

D. 4

10.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 6, 四边形 AEFG 为边长为 2 的正方形,现将矩 形 ABCD 沿过点 F 的动直线 l 翻折,使翻折后的点 C 在平面 AEFG 上的射影 C1 落在直线

AB 上,若点 C 在折痕 l 上射影为 C2 ,则

C1C 2 的最小值为( CC 2



A. 6 5 ? 13

B. 5 ? 2

C.

1 2

D.

2 3

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,将答案填
2

在答题纸上)
11.已知函数 f ? x ? ? ?

?2 x , x ? 1 ?log3 x, x ? 1

,则 f ?0? ?

, f ? f ?0?? ?



12.以坐标原点 O 为圆心,且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆方程是

,圆 O 与圆

x 2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 的位置关系是



13.已知公差不为 0 的等差数列 ?an ?,若 a2 ? a4 ? 10 且 a1 , a2 , a5 成等比数列,则

a1 ?
an ?

. .

14.某空间几何体的三视图如图所示,其中正视图是长方形,侧视图是一个等腰梯形,则该 几何体的体积是 ,表面积是 .

15.已知在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且

b ? 2a, 3 cos B ? 2 cos A, c ? 3 ? 1 ,则 ?ABC 的面积为



16.已知不共线的平面向量 a, b 满足 a ? 3, b ? 2, 若向量 c ? ? a ? ?b??, ? ? R? ,且

? ? ? ? c ?b c ?a ? ? ? ? 1 , ? ? ? ,则 ? ? b a
17.已知函数 f ?x ? ? x ?



1 ?1 ? ? ax ? b ?a, b ? R ? ,当 x ? ? ,2? 时,设 f ?x ? 的最大值为 x ?2 ?


M ?a, b? ,则 M ?a, b? 的最小值为

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)

3

18.已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 像的一条对称轴. (Ⅰ)求 ? 和 ? 的值; (Ⅱ)设函数 g ?x ? ? f ?x ? ? f ? x ?

? ?

??

? 且x ? 为 f ?x ? 图 ? 的最小正周期为 ? , 12 2?

? ?

??

? ,求 g ?x ? 的单调递减区间. 6?

19.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 600 , O 为 AC 的中点,点 P 为平面 ABCD 外一点,且平面 PAC ? 平面 ABCD, PO ? 1, PA ? 2.

(Ⅰ)求证: PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值. 20.已知函数 f ?x? ? x ? x ? a ?a ? R? .
3

(Ⅰ) 当 a ? 1 时,求 f ?x ? 在 ?0, f ?0?? 处的切线方程; (Ⅱ) 当 a ? ?0,1? 时,求 f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上的最小值(用 a 表示). 21.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2

(Ⅰ) 若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为 2 的正三角形,求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 过右焦点 F ?c,0? 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,过点 F 作 l 的垂线,交直线 x ?

a2 c

于 P 点,若

PF AB

的最小值为

b ,试求椭圆 C 离心率 e 的取值范围. a

4

2 an 1 ? an ? n ? N * ? . 22.已知数列 ?an ?满足: a1 ? , an ?1 ? 2 2016

(Ⅰ) 求证: an?1 ? an ; (Ⅱ)求证: a2017 ? 1 ; (Ⅲ)若 an ? 1, 求正整数 k 的最小值.

试卷答案 一、选择题
1-5: BACCA 6-10: CDBDA

二、填空题
11. 1,0 14. 6,15 ? 4 5 12. x ? y ? 2, 相交
2 2

13. 1,2n ? 1

15.

3 ?1 2

16.

2 5

17.

1 4

三、解答题
18.解: (Ⅰ)因为 f ?x ? ? sin ?? ? ? ?? ? ? 0, ? ? 由T ?

? ?

??

? 的最小正周期为 ? , 2?

2?

?

? ? , 所以 ? ? 2,

由 2 x ? ? ? k? ?

?
2

,k ?Z , k? ? ? ? ? ,k ?Z , 2 4 2

所以 f ?x ? 的图像的对称轴为 x ? 由

?
12

?

k? ? ? ? ? ? ,得 ? ? k? ? 2 4 2 3

5

(Ⅱ)函数 g ?x ? ? f ?x ? ? f ? x ?

? ?

??

?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 x 6? 3? ?

1 3 ?? ? ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x ? 3 sin? 2 x ? ? . 2 2 6? ?
所以 g ?x ? 的单调递减区间 ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k ?Z . 3 ? ?

19.(Ⅰ) 证明:在边长 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 600 , AO ? 3, 又因为 PO ? 1, PA ? 2 , 所以 PO2 ? AO2 ? 4 ? PA2 , 所以 AO ? PO . 因为平面 PAC ? 平面 ABCD .平面 PAC ? 平面 ABCD ? AC , 又因为 PO ? 平面 PAC, 所以 PO ? 平面 ABCD . (Ⅱ)解:以 O 为原点,OB, OC, OP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,如图建立空间直角坐标系, 由已知 得 A 0, ? 3, 0 , B ?1, 0, 0 ? , C 0, 3, 0 , P ? 0, 0,1? . 设平面 PBC 的法向量 n ? ?x, y, z ? , 因为 PB ? ?1,0,?1?, BC ? ? 1, 3,0 ,

?

?

?

?

?

?

??? ? ? ? PB ? n ? 0 ? 由 ? ??? ,得 ? ? BC ? n ? 0 ? ?
设 x ? 3 ,所以 y ? 1, z ? 3 , 所以 n ? 又因为

?x ? z ? 0 ? ?? x ? 3 y ? 0

? 3,1, 3?. AP ? ?0, 3,1? ,

??? ? ? ??? ? ? PA ? n 2 3 21 ? 所以 sin ? ? cos PA, n ? ??? . ? ? ? 7 7 ?2 PA n

6

所以直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

21 . 7

20.解: (Ⅰ) 当 a ? 1, x ? 1 时, f ?x ? ? x3 ? 1 ? x, f ??x? ? 3x 2 ?1, 所以 f ?0? ? 1, f ??0? ? ?1 , 所以 f ?x ? 在 ?0, f ?0?? 处的切线方程 y ? ? x ? 1 . (Ⅱ) 当 ? ? ?0,1? 时,由已知得 f ? x ? ? ?
3 ? ? x ? x ? a, a ? x ? 1, ? x 3 ? x ? a,?1 ? x ? a. ?

当 a ? x ? 1 时,由 f ??x? ? 3x 2 ? 1 ? 0 ,知 f ?x ? 在 ?a,1? 是上单调递增.
2 当 ? 1 ? x ? a 时,由 f ??x? ? 3x ?1,

(1)当 a ? ? 增,

? 3 ? ? ? ? 3 ? 3? 3 3? ? 时, f ?x ? 在 ? ? 1,? ? 上递增,在 ? ? ? 上递减,在 ? ? , 1 , ? 3 ? ? ? ? 3 3 ? ? 3 ,1? 上递 3 ? ? ? ? ? ? ? ?

所以 f ?x ?min ? min? f ?? 1?, f ?

? ? ? ?

? ? 3 ?? ? 2 3? 2 3 ? ? min?a, a ? . ??a? ? 3 ?? 9 9 ? ?? ? ? ?

(2)当 a ? ? 0,

? ? ?

? ? 3? 3? 3 ? ? 时, f ?x ? 在 ? ? 1,? ? 上递增,在 ? ? ? ? ? ? 3 , a ? 上递增,在 ?a,1? 上递增, 3 ? 3 ? ? ? ? ?

所以 f ?x?min ? min? f ??1?, f ?a?? ? min a, a3 ? a3.

? ?

综上所述, f ? x ?min

? ? 3 ? 2 3 ? ,a ?? ?a ? ? 3 ,1?, 9 ? ? ? ?? ? 3? ? 3 ? ?a , a ? ? 0, 3 ?. ? ? ?
7

21.(Ⅰ) 依条件知 2c ? 2,2a ? 4, 即 c ? 1, a ? 2. 而 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3,

故所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) 设焦点 F ?c, o ? ,则直线 l : x ? m y ? c, 且 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?.

? x ? m y ? c, ? 联立 ? x 2 y 2 得 b2 m2 ? a 2 y 2 ? 2mcb2 y ? b4 ? 0, ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

?

?

22.(Ⅰ)证明:由 an ?1 ? an ?

2 an ? 0, 得 an?1 ? an , 2016

1 , 2 1 所以 a n ? , 2
因为 a1 ? 因此 an ?1 ? an ? 所以 an?1 ? an . (Ⅱ)证明:由已知得
2 an ? 0, 2016

1 2016 1 1 ? ? ? , an ?1 an ?an ? 2016? an an ? 2016

所以

1 1 1 ? ? , an ? 2016 an an ?1



1 1 1 ? ? , a1 ? 2016 a1 a2

1 1 1 ? ? , a2 ? 2016 a2 a3
???

1 1 1 ? ? , an?1 ? 2016 an ?1 a n
累加可得

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? . a1 an a1 ? 2016 a2 ? 2016 an?1 ? 2016
8

当 k ? 2017 时,由(Ⅰ)得 所以

1 ? a1 ?a 2 ? a3 ? ? ? a2016 , 2

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? a1 a2017 a1?2016 a2 ? 2016 a 2016 ?2016
1 ? 1. a1 ? 2016

? 2016?

所以 a2017 ? 1. (Ⅲ) 解:由(Ⅱ)得

1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2017 ? 1 2

所以

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? a1 a2018 a1?2016 a2 ? 2016 a2017 ? 2016
1 ? 1. 1 ? 2016

? 2017 ?
所以

a2017 ? 1 ? a2018 , 又因为 an?1 ? an , 所以 k 的最小值为 2018 .

9


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