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《二元一次不等式(组)与平面区域》教学设计02


课题: §3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
教学分析 本节介绍了用二元一次不等式表示平面区域和简单的线性规划问题, 使学生 会用二元一次不等式表示平面区域,了解线性规划的意义,了解线性约束条件、 线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,了解线性规划问题的图解 法, 并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题,以提高解决实际问题的 能力.
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br />教学目标 1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区 域;能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件; 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、 数形结合的数学思想; 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的 意识,激励学生创新。 教学重点 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画 出来; 教学难点 把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域。 教学过程 1.课题导入 [复习引入] 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某 一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 判断方法: 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y), 把它的坐标 (x,y) 代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特 殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一

侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 。

随堂练习 1
1、画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域.
?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域。 ?x ? 3 ?
y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

2.讲授新课 应用举例

例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后, 他得到了下面的数据表格(以班级为单位) : 学段 初中 高中 班级学生 人数 45 40 配备教 师数 2 3 硬件建 设/万元 26/班 54/班 教师年薪/ 万元 2/人 2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解:设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根据题意,总共招生班数应限制 在 20-30 之间,所以有 20 ? x ? y ? 30 考虑到所投资金的限制,得到 26 x ? 54 y ? 2 ? 2 x ? 2 ? 3 y ? 1200 即
x ? 2y ? 4 0

另外,开设的班数不能为负,则 x ? 0, y ? 0 把上面的四个不等式合在一起,得到:

?20 ? x ? y ? 30 ? x ? 2 y ? 40 ? ? x?0 ? ? y?0 ?
用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分) 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原 料是磷酸盐 18t;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现 库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件

的数学关系式,并画出相应的平面区域。 解:设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足 以下条件:

? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x?0 ? ? y?0 ?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分) 。 [补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域 (1) ( x ? y)(x ? y ? 1) ? 0 ; (2) x ? y ? 2x 分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由 x ? 2 x , 得 x ? 0 ,又用 ? y 代 y ,不等式仍成立,区域关于 x 轴对称。

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 解:(1) ? 矛盾无解,故点 ( x, y ) 在一带 ? 0 ? x ? y ? 1或 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1
形区域内(含边界) 。

?x ? y ? 0 (2) 由 x ? 2 x ,得 x ? 0 ;当 y ? 0 时,有 ? 点 ( x, y ) 在一条形区域内 ?2 x ? y ? 0
(边界);当 y ? 0 ,由对称性得出。 指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 2、利用区域求不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的整数解 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?

分析: 不等式组的实数解集为三条直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 ,l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,

l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所 围 成 的 三 角 形 区 域 内 部 ( 不 含 边 界 ) 。 设 l1 ? l 2 ? A , l1 ? l3 ? B , l 2 ? l3 ? C ,求得区域内点横坐标范围,取出 x 的所有整数值,再代
回原不等式组转化为 y 的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。 解: l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 ,l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 ,l1 ? l 2 ? A , 设

l1 ? l3 ? B , l 2 ? l3 ? C ,∴ A(

15 3 75 12 , ) , B(0,?3) , C ( ,? ) 。于是看出区域内 8 4 19 19

? ? y ? ?1 ? 75 4 ? 点的横坐标在 (0, ) 内, x =1, 3, x =1 时, 取 2, 当 代入原不等式组有 ? y ? 19 3 ? 12 ? ?y ? ? 5 ?
??
12 ? y ? ?1 ,得 y =-2,∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点 5

(2,0),(2,-1),(3,-1)。 指出:求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点,它为线性规划 中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一 种是本题解答中所采用的,先确定区域内点的横坐标的范围,确定 x 的所有整数 值,再代回原不等式组,得出 y 的一元一次不等式组,再确定 y 的所有整数值, 即先固定 x ,再用 x 制约 y 。 3.随堂练习 2 1. (1) y ? x ? 1 ; (2) x ? y ; (3) x ? y . .

?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 ? 2.画出不等式组 ? 表示的平面区域 ?y ? 3 ?x ? 5 ?
3.课本第 97 页的练习 4 4.课时小结 进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。 5.评价设计 1、课本第 105 页习题 3.3[B]组的第 1、2 题 板书设计

授后记


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