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绝对值型不等式和三角不等式类型


绝对值型不等式和三角不等式
定理 1 如果 a, b 是实数,则 |a+b|≤|a|+|b|(当且仅当 ab≥0 时,等号成立) 。 绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b . (a,b 为实数) 定理 2 如果 a, b, c 是实数,那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|(当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等 号成立) 。 证明:根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)| ≤ |a-b|+|b-c| (当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立) 。 绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。 题型一 解绝对值不等式 【例 1】设函数 f(x)=|x-1|+|x-2|. (1)解不等式 f(x)>3; (2)若 f(x)>a 对 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)所以不等式 f(x)>3 的解集为(-∞,0)∪(3,+∞). ?3 ? 2 x, x<1, ? (2)因为 f(x)= ?1,1 ≤x ≤2, 所以 f(x)min=1. ?2 x - 3, x>2. ? 因为 f(x)>a 恒成立,所以 a<1,即实数 a 的取值范围是(-∞,1). 【变式训练 1】设函数 f(x)= |x+1|+|x-2|+a. (1)当 a=-5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x+1|+|x-2|-5≥0,如图,在同一坐标系中作出函数

y=|x+1|+|x-2|和 y=5 的图象,知定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞). (2)由题设知,当 x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|+a≥0,即|x+1|+|x- 2|≥-a,又由(1)知|x+1|+|x-2|≥3,所以-a≤3,即 a≥-3.
题型二 绝对值三角不等式的应用 [例 2] (1)求函数 y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. (2)设 a∈R,函数 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1).若|a|≤1,求|f(x)|的最大值. [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解. [解] (1)法一:||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4.∴ymax=4,ymin=-4. 法二:把函数看作分段函数. 4,x<-1, ? ? y=|x-3|-|x+1|=?2-2x,-1≤x≤3, ? ?-4,x>3. (2)|x|≤1,|a|≤1, ∴|f(x)|=|a(x -1)+x|≤|a(x -1)|+|x| =|a||x -1|+|x|≤|x -1|+|x| =1-|x |+|x|=-|x| +|x|+1 1 2 5 5 1 5 =-(|x|- ) + ≤ . ∴|x|= 时,|f(x)|取得最大值 . 2 4 4 2 4
2 2 2 2 2 2

∴-4≤y≤4.∴ymax=4,ymin=-4.

规律:(1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对值的性质进行转化,构造绝对值 不等式的形式.(2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的关键. 3.若 a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2 则|a+b|的最大值是________,最小值是________. 解析:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,∴1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.答案:5 1 4.求函数 f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值. 解:∵|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2, 当且仅当(1-x)(1+x)≥0,即-1≤x≤1 时取等号. ∴当-1≤x≤1 时,函数 f(x)=|x-1|+|x+1| 取得最小值 2. 5.若对任意实数,不等式|x+1|-|x-2|>a 恒成立,求 a 的取值范围. 解:a<|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立,∴a<[|x+1|-|x-2|]min. ∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3. ∴[|x+1|-|x-2|]min=-3.∴a<-3.即 a 的取值范围为(-∞,-3). 题型三 解绝对值三角不等式 【例 2】已知函数 f(x)=|x-1|+|x-2|,若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)对 a≠0,a、

b∈R 恒成立,求实数 x 的范围.
|a+b|+|a-b| 【解析】由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)且 a≠0 得 ≥f(x). |a| |a+b|+|a-b| |a+b+a-b| 又因为 ≥ =2,则有 2≥f(x). |a| |a| 1 5 解不等式|x-1|+|x-2|≤2 得 ≤x≤ . 2 2 4 【变式训练 2】 (2010 深圳)若不等式|x+1|+|x-3|≥a+ 对任意的实数 x 恒成立, 则实数

a

a 的取值范围是

.【解析】(-∞,0)∪{2}.

题型四 利用绝对值不等式求参数范围 【例 3】(2009 辽宁)设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=-1 时,f(x)=|x-1|+|x+1|.由 f(x)≥3 得|x-1|+|x+1|≥3, 3 3 综上得 f(x)≥3 的解集为(-∞,- ]∪[ ,+∞). 2 2 (2)综上可知 a 的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞). 1 1 2 2 2 【变式训练 3】 关于实数 x 的不等式|x- (a+1) |≤ (a-1) 与 x -3(a+1)x+2(3a+1)≤0 2 2 (a∈R)的解集分别为 A,B.求使 A?B 的 a 的取值范围. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 【解析】由不等式|x- (a+1) |≤ (a-1) ?- (a-1) ≤x- (a+1) ≤ (a-1) , 2 2 2 2 2 解得 2a≤x≤a +1,于是 A={x|2a≤x≤a +1}. 由不等式 x -3(a+1)x+2(3a+1)≤0?(x-2)[x-(3a+1)]≤0, 1 ①当 3a+1≥2,即 a≥ 时,B={x|2≤x≤3a+1}, 3 2a, ?2 ≤ 因为 A?B,所以必有 ? 2 解得 1≤a≤3; 3a ? 1, ?a ? 1 ≤ 1 ②当 3a+1<2,即 a< 时, B={x|3a+1≤x≤2}, 3
2 2 2

2a, ?3a ? 1 ≤ 因为 A?B,所以 ? 2 解得 a=-1. 2, ?a ? 1 ≤
综上使 A?B 的 a 的取值范围是 a=-1 或 1≤a≤3.

总结提高
1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状, 运用时注意等号成立的条 件. 2.绝对值不等式的解法中,|x|<a 的解集是(-a,a);|x|>a 的解集是(-∞,-a) ∪(a,+∞),它可以推广到复合型绝对值不等式|ax+b|≤c,|ax+b|≥c 的解法,还可以 推广到右边含未知数 x 的不等式,如|3x+1|≤x-1?1-x≤3x+1≤x-1. 3.含有两个绝对值符号的不等式,如|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不 等式的解法有三种, 几何解法和代数解法以及构造函数的解法, 其中代数解法主要是分类讨 论的思想方法, 这也是函数解法的基础, 这两种解法都适宜于 x 前面系数不为 1 类型的上述 不等式,使用范围更广.

类型一:含一个绝对值符号的不等式的解法
含一个绝对值符号的不等式的一般形式为 f ? x ? ? g ? x ? 或
f ? x? ? g ? x? ,

解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法,有时也可用分类讨论法. 绝对值不等式的两类同解变形: 不等式 f ( x) ? g ( x) f ( x) ? g ( x) 同解变形

f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ? g ( x)

? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

例 1.解不等式 | x2 ? 5x ? 5 |? 1 . [分析]利用|f(x)|<a(a>0) ? -a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟 悉的一元二次不等式组. 解:原不等式等价于 ?1 ? x2 ? 5x ? 5 ? 1 ,
2 ? ? x ? 5x ? 5 ? 1 即? 2 ? ? x ? 5 x ? 5 ? ?1

(1) (2)

由(1)得:1 ? x ? 4 ;由(2)得: x ? 2 或 x ? 3 , 所以,原不等式的解集为
{x |1 ? x ? 2 或 3 ? x ? 4} .

[注]本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数
y ? x 2 ? 5 x ? 5 与y ? 1 的图象,解方程 x 2 ? 5 x ? 5 ? 1 ,再对照图形写出此不等式

的解集. 例 2. 解不等式 4x ? 3 ? 2x ?1 . [ 分 析 ] 利 用 | f(x) | <g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x) 和 | f(x) | >g(x) ? f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二 次不等式组来处理或用分类讨论法解之. 方法一: 原不等式转化为 4 x ? 3 ? 2 x ? 1 或 4 x ? 3 ? ?(2 x ? 1) , 解之得原不等式 1? ? 的解集为 ? x x ? 2或x ? ? . 3? ? 3 ? ?4 x ? 3 ? 0 ?4 x ? 3 ? 0 ?x ? 方法二:原不等式等价于 ? 或? .解之得 ? 4 ?4 x ? 3 ? 2 x ? 1 ??(4 x ? 3) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ? x? ? 1 1? ? ? 4 或? ,即 x ? 2 或 x ? .所以原不等式的解集为 ? x x ? 2或x ? ? . 3 3? ? ?x ? 1 ? 3 ? [注]⑴.通过例 2 可以发现:形如 f ( x) ? g ( x) , f ( x) ? g ( x) 型不等式,这 类不等式如果用分类讨论的方法求解,显得比较繁琐,用同解变形法则更为简 洁. ⑵.分类讨论法也可讨论 g ( x) 0或g ( x) ? 0 而解之,这实际上是同解变形

法的推导依据.

类型二:含两个绝对值符号的不等式的解法
含两个绝对值符号的不等式,我们常见的形式为: a1x ? b1 ? a2 x ? b2 ? c 或

a1x ? b1 ? a2 x ? b2 ? c ? c ? 0? ,我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构
造函数的方法,有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法. 例 3.解不等式 | x ? 1| ?|2 x ? 3| [分析]两边都含绝对值符号,所以都是非负,故可两边平方,通过移项, 使其转化为: “两式和”与“两式差”的积的方法进行,即: | f ( x) |<| g ( x) | ? f 2 ( x) ? g 2 ( x) ? [ f ( x) ? g ( x)][ f ( x) ? g ( x)] <0 解:原不等式

?| x ? 1 |2 ?| 2x ? 3 |2 ? ( x ? 1) 2 ? (2x ? 3) 2 ? (2x ? 3) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 0
4 4 解得 x ? ?2 或x ? ? ,故原不等式的解集为 {x| x ? ?2 或x ? ? } 3 3

例 4.解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 7 . [分析]解法一 利用绝对值的几何意义(体现了数形结合的思想) . 不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 7 的几何意义是表示数轴上与 A ? ?1? 、 B ? 2 ? 两点距离之 和大于等于 7 的点,而 A 、 B 的距离之和为 3,因此线段 AB 上每一点到 A 、 B 的距离之和都等于 3, A 左侧的点到 A 、 B 的距离之和等于这点到 A 点距 离的 2 倍加 3, B 右侧的点到 A 、 B 的距离之和等于这点到 B 点距离的 2 倍 加 3.

-3

A

B

4

x

图1 由图 1 可知:原不等式的解集为 ? x x ? ?3 或 x ? 4? . 解法二 利用 x ? 1 ? 0, 把数轴分为三段, 然后分段考虑. 把 x ? 2 ? 0 的零点, 原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解(零点分段讨论法) .

? x ? ?1, (1)当 x ? ?1 时,原不等式同解于 ? ? x ? ?3 ; ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7, ??1 ? x ? 2, (2)当 ?1 ? x ? 2 时,原不等式同解于 ? ? 无解; ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7,

? x ? 2, (3)当 x ? 2 时,原不等式同解于 ? ? x?4. ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7,
综上知,原不等式的解集为 ? x x ? ?3或x ? 4? . 解法三 通过构造函数,利用函数图像(体现了函数与方程的思想) . 原不等式可化为 x ?1 ? x ? 2 ? 7 ? 0 .令 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? 7 ,则
??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? f ( x) ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? ( x ? ?1) (?1 ? x ? 2) ( x ? 2)

??2 x ? 6 ( x ? ?1), ? (?1 ? x ? 2), ? f ( x) ? ??4 ?2 x ? 8 ( x ? 2), ?

可解得原不等式的解集为 ? x x ? ?3 或 x ? 4? . 例 5 解关于 x 的不等式 |log a ax 2 | ?|log a x|?2 [分析]原不等式可化为 |1 ? 2 log a x| ?|log a x|?2 ,一般会分类讨论去绝对值
1 1 号解题,即:通常分 log a x ? ? , ? ? log a x ? 0 , log a x ? 0 三种情况去绝对 2 2

值符号,再分 a ? 1或0 ? a ? 1 进行讨论,这样做过程冗长,极易出错根据此题特 点,不妨改变一下操作程序,即原不等式两边平方,再由定义去绝对值号,则分 析将十分清晰,过程也简洁得多. 解:原不等式可化为 |1 ? 2 log a x| ?|log a x|?2 ,将两边平方可得:

4(log a x) 2 ? 4 log a x ? 1 ? (log a x) 2 ? 4|log a x|?4 ,则有:

?log a x ? 0, (1) ? ? 0 ? log a x ? 1 ; 2 ?(log a x) ? 1
?log a x ? 0, ? ?3 ? log a x ? 0 . (2) ? 2 3 log x ? 8 log x ? 3 ? 0 a a ?

综上知 ?3 ? log a x ? 1 ,故当 a ? 1时,解为 a ?3 ? x ? a ;当 0 ? a ? 1时,解为
a ? x ? a ?3

[注]形如 ax ? b1 ? ax ? b2 ? c

?c ? 0? 和 ax ? b1 ? ax ? b2

?c

?c ? 0? 的含两

个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦, 可以通过两次平方去掉绝对值化 为一般的不等式,所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解. 例 6 解不等式 x 2 ? 3 x ? 3 ? 1 [分析] 解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝 对值,使不等式化为不含绝对值的一般不等式.常用的方法有等价转化法、零点 分段法和平方法, 当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方 法,但这种方法比较抽象,一般不容易想到.但本题不可以采用零点分段法,也 不能采用平方法,因为平方后既含有 x 的项,又含有 x 的项,所以我们先把不等 式进行等价转化,然后把它看成有关 x 的一元二次不等式组进行求解.
2 ? ? x ? 3 x ? 2 ? 0, 解: x ? 3 x ? 3 ? 1 ? ?1 ? x ? 3 x ? 3 ? 1 ? ? 2 ? ? x ? 3 x ? 4 ? 0,
2

2

2 ? ? x ? 3 x ? 2 ? 0, ? ? 2 ? x ? 3 x ? 4 ? 0 , ? ?

? 3 ? 17 , ?x ? ? 2 ? ? x ? 4, ?

? 3 ? 17 3 ? 17 或x? , ?x ? ? ? 2 2 ??4 ? x ? 4, ?

? 3 ? 17 ? ? ∴原不等式的解集为 ? ?4, ? 2 ? ?

? 3 ? 17 ? , 4? . ? ? 2 ?

类型三:含参数的绝对值不等式的解法
解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论, 然后分别在各种情况下对不等式进行求解, 最后把各种结果综合在一起就可以得 到原不等式的解.另外,有一些题也可通过转化,不进行讨论就可以轻松的解答 出来. 例7 解关于 x 的不等式

x 2 ? 4mx ? 4m2 ? m ? 3

[分析] 本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解, 运算理 较大.若化简成 | x ? 2m |? m ? 3 ,则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值 定义对 m ? 3 的正负进行讨论. 解:原不等式等价于 | x ? 2m |? m ? 3 当
m?3? 0



m ? ?3





x ? 2m ? m ? 3或x ? 2m ? ?(m ? 3)



x ? 3m ? 3或x ? m ? 3

当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时, 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时,

| x ? 6 |? 0

∴x??6

x?R

[注]形如| f ( x) |< a ,| f ( x) |> a ( a ? R )型不等式,简捷解法是等价命题

法,即:

f ( x) ? a
a?0

f ( x) ? a或f ( x) ? ?a
f ( x) ? 0
R

f ( x) ? a f ( x) ? a f ( x) ? a或f ( x) ? ?a ?a ? f ( x) ? a ?a ? f ( x) ? a
f ( x) ? R
R

f ( x) ? a

a?0 a?0

? ?

f ( x) ? 0
?

例 8 (2004 年海南卷)解关于 x 的不等式

x x ?1? a ? ?1? a x ?1 x ?1

[分析]利用 f ( x) ? f ( x) ,无解或 f ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 ,即利用绝对值 的定义法求解. 解
1 1 x x x ?a?0? ? ?a ?1? a ? ?1? a ? ?1? a ? 0 ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 1 ? 0 ? x ?1 x ?1 1 1 (2) 当 a ? 0 时,原不等式等价于: ? ? x ? 1 ? 0 ? 1 ? ? x ? 1 a a 1 (3) 当 a ? 0 时 , 原 不 等 式 等 价 于 : x ? 1 ? 0 或 x ? 1 ? ? ? x ? 1 或 a 1 x ? 1? a 综上所述:



(1) 当 a ? 0 时,原不等式等价于:

(1) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为: ?x x ? 1?
1 ? ? (2) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为: ? x 1 ? ? x ? 1? a ? ? 1? ? (3) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为: ? x x ? 1或x ? 1 ? ? a? ?

类型四:含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
例 9 (2010 高考安徽卷)不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3a 对任意的实数恒成立,则 实数 a 的取值范围是( A. ?? ?,?1? ? ?4,??? C. ?1,2? ) B. ?? ?,?2? ? ?5,??? D. ?? ?,?1? ? ?2,???

[分析] 要使 x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立, 只要| x +3|-| x - 1|的最大值小于或等于 a2 ? 3a . 方法一:形如使 x ? m ? x ? n ? c, x ? m ? x ? n ? c 恒成立型不等式 .可利用 绝对值三角不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b ,结合极端性原理即可解得,即:
c ? x?m ? x?n ? c ?? x?m ? x?n ?
max

? ? x ? m? ? ? x ? n? ? n ? m ;

c ? x ? m ? x ? n ? c ? ? x ? m ? x ? n ?min ? ?x ? m? ? ?x ? n? ? n ? m ;
解:设函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 1 ? ?x ? 3? ? ?x ? 1? ? 4 ,所以 f ( x) max ? 4 而不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3a 对任意的实数 x 恒成立. 故 a 2 ? 3a ? 4 ? a ? ?1或a ? 4 ,故选择 A 方法二:因| x +3|的几何意义为数轴上点 x 到-3 的距离,| x -1|的几何意 义为数轴上点 x 到 1 的距离,| x +3|-| x -1|的几何意义为数轴上点 x 到- 3 与 1 的距离的差,其最大值可求. 解:根据绝对值的几何意义,设数 x ,-3,1 在数轴上对应的点分别为 P、A、 B,则原不等式即求|PA|-|PB| ? a2 ? 3a 成立 ∵|AB|=4,即| x +3|-| x -1| ? 4 故当 a2 ? 3a ? 4 时,即 a 2 ? 3a ? 4 ? a ? ?1或a ? 4 原不等式恒成立 [注] ⑴. 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数,通 过画出图象,观察 k 的取值范围,但过程较繁. ⑵. 转化思想在解中有很重要的作用,比如:恒成立问题、定义域为 R、有 解或解集为空等问题都可转化为求最大、最小值问题. [变式] (2012 陕西文理)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是___________. [解析]: a ?1 ?| x ? a | ? | x ?1|? 3 ,解得: ?2 ? a ? 4 例 10(2012 课标文理)已知函数 f ( x) = | x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ≥3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x) ≤ | x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围. [分析] 本题(Ⅱ)有些同学可能会去解 f ( x) ≤ | x ? 4 | 这个不等式, 再分析该 不等式的解集与 [1, 2] 的集合关系,结果将问题复杂化.这个问题实际上可转化为

不等式 f ( x) ≤ | x ? 4 | 在 [1, 2] 恒成立的问题而解之. 解:(1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4

(2) 原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立 ? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上 恒成立 ? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0 例 11(2010 全国卷)设函数 f ( x) = 2 x ? 4 + 1. (Ⅰ)画出函数 y= f ( x) 的图像: (Ⅱ)若不等式 f ( x) ≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围

??2 x ? 5, x 2 解: (Ⅰ)由于 f ( x) ? ? 则函 ?2 x ? 3, x ? 2
数 y ? f ( x) 的图像如图所示. (Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图 像可知, 当且仅当 a ?
1 或a 2
?2 时, 函数

y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交点.故不

等式 f ( x) ≤a 的解集非空时, a 的取值范
?1 ? 围为 ? ??, ?2 ? ? ? , ? ? ?2 ?

[注]㈠.此题巧用构造函数法利用数形结合法解第二问,比参变分离法转化 为最值问题求解更为简洁,避免了分类讨论的麻烦. ㈡.含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题的等价转换(函数法) : ⑴. f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x?min ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?min ;这两者 互补. f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?max . ⑵. f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x?min ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?min ;这两者 互补. f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?max .

⑶. f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x ?max ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?max ;这两者 互补. f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?min . ⑷. f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x ?max ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?max ;这两者 互补. f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?min .

类型五
例 12

绝对值三角不等式问题

已知 f ( x) ? x 2 ? x ? 13 , x ? a ? 1 ,求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1)

[分析]本题中给定函数 f ( x) 和条件 x ? a ? 1 ,注意到要证的式子右边不含
x ,因此对条件 x ? a ? 1 的使用可有几种选择: (1) 直接用; (2) 打开绝对值用
a ? 1 ? x ? a ? 1 ,替出 x ;(3)用绝对值的性质 x ? a ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 进行替换.

证明:∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 13 ,∴ f (a) ? a 2 ? a ? 13 , ∵ x ? a ? 1 ,∴ x ? a ? x ? a ? 1 .∴ x ? a ? 1 , ∴
f ( x) ? f (a) ? x 2 ? a 2 ? a ? x

? ( x ? a)( x ? a) ? ( x ? a)

? ( x ? a)( x ? a ? 1)

? x ? a ? x ? a ?1 ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ? a ? 1 ? a ? 1 ? 2( a ? 1) ,

即 f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) . [注]这是绝对值和函数的综合题,这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等 式的性质等综合知识的运用.分析中对条件 x ? a ? 1 使用时出现的三种可能是经 常碰到的,要结合求证,灵活选用. 例 13 已知函数 f(x)= 1 ? x 2 ,a,b ? R,且 a ? b ,求证|f(a)-f(b)|<|a-b|.

[分析]要证 | 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 |?| a ? b | ,考察左边,是否能产生|a-b|. 证明:|f(a)-f(b)|= | 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 |?
? |a|?|b| ? | a ? b |?| a ? b | |a|?|b|

| a2 ? b2 | 1 ? a2 ? 1 ? b2

?

| a ? b |?| a ? b | |a|?|b|

(其中 1 ? a 2 ? a 2 ?| a | ,同理 1 ? b 2 ?| b |,∴

1 1? a ? 1? b
2 2

?

1 ) |a|?|b|

[注]⑴.证题时,应注意式子两边代数式的联系,找出它们的共同点是证 题成功的第一步.此外,综合运用不等式的性质是证题成功的关键.如在本例中, 用到了不等式的传递性,倒数性质,以及“三角形不等式”等等. ⑵.本题的背景知识与解析几何有关.函数 y ? 1 ? x 2 是双曲线, y 2 ? x 2 ? 1 的上支,而 |
y1 ? y 2 f (a) ? f (b) | (即 | ,则表示该图象上任意两点连线的斜率的 |) x1 ? x 2 a ?b

绝对值,很显然这一斜率的范围是在(-1,1)之间.

类型六 含有绝对值的不等式的应用
含绝对值的不等式常用来解决一些有关集合、函数、数列、平面向量、解析 几何的问题, 也用来解决一些实际问题,通常解决这些问题就是根据题意列出含 有绝对值符号的不等式, 然后解出这个不等式就可以得到问题的答案,解这些不 等式的常用的方法就是我们上面所总结的方法. 例 14
q:
2

( 2004 届湖北省黄冈中学综合测试题)已知条件 p :| 5 x ? 1 |? a 和条件

1 ? 0 ,请选取适当的实数 a 的值,分别利用所给的两个条件作为 A、 2 x ? 3x ? 1

B 构造命题: “若 A 则 B” , 并使得构造的原命题为真命题, 而其逆命题为假命题. 则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题. [分析]本题为一开放性命题,由于能得到的答案不唯一,使得本题的求解 没有固定的模式,考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的 a ,也能先猜 1? a 1 1? a ? ,且 ? 1 即可.这种新颖的命题形式 后证,所找到的实数 a 只需满足 5 2 5 有较强的综合性, 同时也是对于四个命题考查的一种新尝试,如此命题可以考查 学生探究问题、解决问题的能力,符合当今倡导研究性学习的教学方向. 解:已知条件 p 即 5 x ? 1 ? ? a ,或 5 x ? 1 ? a ,∴ x ? 已知条件 q 即 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,∴ x ? ,或 x ? 1 ; 令 a ? 4 ,则 p 即 x ? ? ,或 x ? 1 ,此时必有 p ? q 成立,反之不然. 故可以选取的一个实数是 a ? 4 ,A 为 p ,B 为 q ,对应的命题是若 p 则 q , 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题. 例 15 已知数列通项公式 an ?
sin a sin 2a sin 3a sin na ? ? ??? 对于正整数 m 、 n , 2 3 2 2 2 2n

1? a 1? a ,或 x ? , 5 5

1 2

3 5

当 m ? n 时,求证: am ? an ?

1 . 2n

[分析]已知数列的通项公式是数列的前 n 项和,它的任意两项差还是某个 数列的和,再利用不等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ,问题便可解决. 证明:∵ m ? n ∴ am ? an ?
sin(n ? 1)a sin(n ? 2)a sin ma ? ??? n ?1 n?2 2 2 2m

1 1 (1 ? m ? n ) n ?1 1 1 1 sin(n ? 1)a sin(n ? 2)a sin ma 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? m ? 2 ? ? ??? 1 2 2 2 2 n ?1 2n?2 2m 1? 2
1 1 1 1 (1 ? m ? n ) ? n (0 ? 1 ? m ? n ? 1) . n 2 2 2 2 1 1 [注]⑴.以 n ?1 为首项,以 为公比,共有 m ? n 项的等比数列的和,误认为 2 2 共有 m ? n ? 1 项是常见错误. ?

⑵.弦函数的值域,即 sin ? ? 1 , cos ? ? 1 ,是解本题的关键. ⑶.把不等式、三角函数、数列、 n 个变量的绝对值不等式问题连在一起, 是一个较为典型的综合题目.如果将本题中的正弦改为余弦,不等式同样成立.

[高考试题精选] 2011 年试题: 一、选择题: 1. (2011 年高考山东卷理科 4)不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集为 (A)[-5.7] (C) (??, ?5] ? [7, ??) (B)[-4,6] (D) (??, ?4] ? [6, ??) 【答案】D

【解析】由不等式的几何意义知,式子 | x ? 5 | ? | x ? 3 | 表示数轴的点 ( x ) 与点(5)的距离 和与点(-3)的距离之和,其距离之和的最小值为 8,结合数轴,选项 D 正确 二、填空题 1. (2011 年高考天津卷理科 13) 已 知 集 合 A ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9 , B ? ? x ? R | x ? 4t ? , t ? (0, ??) ? , 则 集 合

?

?

A ? B =________.

? ?

1 t

? ?

【答案】 ?x ? R | ?2 ? x ? 5? 【解析】∵ A ? ?x ? R || x ? 3 | ? | x ? 4 |? 9? ? ?x ? R | ?4 ? x ? 5? ,

? 1 1 ? ? ? B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? ?0,???? ? ? x ? R | x ? 2 4t ? ? 6, t ? ?0,???? t t ? ? ? ?

? ?x ? R | x ? ?2?,
∴ A ? B ? ?x ? R | ?4 ? x ? 5?? ?x ? R | x ? ?2? ? ?x ? R | ?2 ? x ? 5?. 对于实数 x,y,若 x ? 1 ? 1 , y ? 2 ? 1 ,则 x ? 2 y ? 1 的最大值为 5 .【答案】

3. (2011 年高考广东卷理科 9)不等式 x ?1 ? x ? 3 ? 0 的解集是______. 【解析】{x | x ? 1} 。由题得 | x ? 1 |?| x ? 3 | ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 的解集为 {x | x ? 1} 。 4.(2011 年高考陕西卷理科 15)(不等式选做题)若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存 在实数解,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (??, ?3] [3, ??) 【解析】 :因为 x ?1 ? x ? 2 ?| x ? 1 ? x ? 2 |? 3 所以 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,有

? x ? 1 所以不等式

a ? 3 a ? ?3 或 a ? 3

三、解答题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (I)证明:-3≤f(x)≤3; (II)求不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集.
2

x ? 2, ??3, ? 解: (I) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15 的解集为空集; 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? x ? 6} . 综上,不等式 f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6}. 2. (2011 年高考全国新课标卷理科 24)(本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x, a ? 0 (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集;(2)如果 不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x x ? ?1 ,求 a 的值。 分析:解含有绝对值得不等式,一般采用零点分段法,去掉绝对值求解;已知不等式的解集 要求字母的值,先用字母表示解集,再与原解集对比可得字母的值; 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 3x ? 2 ,可化为, x ? 1 ? 2

?

?

? x ? ?1, x ? 3 ,所以不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 x x ? ?1, 或x ? 3
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 0 ,所以, x ? a ? 3x ? 0 ,可化为,

?

?

?x ? a ?x ? a ?x ? a ?x ? a ? ? 即? 或? ? a 或? a x? x?? ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3x ? 0 ? ? 4 ? 2 ?
因为, a ? 0 所以,该不等式的解集是 ? x x ? ? ? ,再由题设条件得 ?

? ?

a? 2?

a ? ?1,? a ? 2 2

点评:本题考查含有绝对值不等式的解法,以及解法的应用,注意过程的完整性与正确性。 3.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 解不等式: x? | 2 x ? 1|? 3 解析:考察绝对值不等式的求解,容易题。

原不等式等价于: x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3 ? x,??2 ? x ?

4 4 ,解集为 ( ?2, ) 3 3

4.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2x - 1< 1的解集为 M. (I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 解析: 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想, 满分 7 分。 解: (I)由 | 2 x ?1|? 1得 ?1 ? 2 x ?1 ? 1, 解得0 ? x ? 1. 所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}. (II) 由 (I) 和 ab 所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0. , ? M 可知0<a<1,0<b<1 , 故 ab ? 1 ? a ? b. 2010 年试题: 一、填空题: 1. (2010 年高考陕西卷理科 15) (不等式选做题)不等式 【答案】 【解析】(方法一)当 然不可能, ∴ 当 适合. 当 适合. 故综上知,不等式的解集为 ,即 . 时,∵原不等式即为 ,这显然恒成立,∴ 不适合. 时,∵原不等式即为 ,又 ,∴ 时,∵原不等式即为 ,这显 的解集为 .

(方法二)设函数 的图象,如图所示,并作直线 又令 ,则

,则∵ 与之交于点 ,即点 .

∴作函数

的横坐标为 .

故结合图形知,不等式的解集为

.

二、解答题: 1.(2010 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (Ⅰ)若不等式 。 的解集为 ,求实数 的值; 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若

范围。 【命题意图】 本小题主要考查绝对值的意义、 绝对值不等式等基础知识, 考查运算求解能力。 【解析】(Ⅰ)由 得 ,解得 ,

又已知不等式 (Ⅱ)当 时,

的解集为 ,设

,所以

,解得 ,于是



= 当 时, ;当

,所以 时, ;当 时, 。

2.(2010 年高考江苏卷试题 21)选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: 。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分 10 分。 (方法一)证明:

因为实数 a、b≥0, 所以上式≥0。即有 。

(方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得

当 当 所以

时, 时,

,从而 ,从而 。

,得 ,得

; ;

3. (2010 年全国高考宁夏卷 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选讲 设函数 (Ⅰ)画出函数 的图像 (Ⅱ)若不等式 ≤ 的解集非空, 求 a 的取值范围。

(24) 解:

(Ⅰ)由于

则函数

的图像如图所示。

(Ⅱ)由函数 与函数

与函数

的图像可知,当且仅当



时,函数

的图像有交点。故不等式

的解集非空时, 的取值范围





4.(2010 年高考辽宁卷理科 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知

均为正数, 证明:

, 并确定

为何值时,

等号成立。

2009 年试题: 1. (2009 福建卷理)解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

解:当 x<0 时,原不等式可化为 又 不存在;



时,原不等式可化为



当 综上,原不等式的解集为 2.(2009 辽宁卷理)设函数 (1) 若 解不等式 ;(2)如果 。 , ,求 的取值范围。

解: (Ⅰ)当 a=-1 时, f(x)=︱x-1︳+︱x+1 ︳. 由 f(x)≥3 得 ︱x-1︳+︱x+1|≥3 (ⅰ)x≤-1 时, 不等式化为 1-x-1 -x≥3 即-2x≥3

3.(2009 宁夏海南卷理)选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原 点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

解: (Ⅰ) (Ⅱ)依题意,x 满足

{ 解不等式组,其解集为【9,23】 所以


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