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广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟考试数学(文)试题


肇庆市中小学教学质量评估 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题 卡上. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其

它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式: 柱体的体积公式 V=Sh, 其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. 锥体的体积公式 V ? 其中 S 为锥体底面积, h 为锥体 高. 一组数据 x1 , x 2 ,…, x n 的方差

1 Sh , 3

1 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 表示这组数据的平均数. n
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 M ? {1,3,5} , N ? {3, 4,5} ,则 CU ( M ? N ) ? A.{2} 2.函数 f ( x) ? A. (1, 2] B.{1,2} C.{1,2,4}
[来源:学科网]

D.{1,3,4,5}

4 ? x 2 ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是
B. [1, 2] C. (1, ??) D. [2, ??)

3.设 i 为虚数单位,则复数 z ?

3 ? 4i 在复平面内所对应的点位于 i

A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 4.下列函数中,在区间 (??,0) 上为减函数的是 A. f ( x ) ? 2
x

B. f ( x) ?| x ? 1| D. f ( x) ? x ?

C. f ( x) ? cos x

1 x

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 4, 则输出 s 的值是 A. 2 B. 6 C. 24 D. 120 6.某几何体的三视图如图 2 所示(单位:cm),

则该几何体的体积是

50 cm3 3 25 3 C. cm 3
A.

B. 50 cm

3

D. 25 cm

3

7.已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,则圆 C 的方程是 A. ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

B. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

C. ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

D. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

8.在锐角 ?ABC 中,AB=3,AC=4,其面积 S ?ABC ? 3 3 ,则 BC= A. 5 B. 13 或 37
x

C. 37

D. 13

9.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? xe ,则 A. 1 是 f ( x) 的极小值点 C. 1 是 f ( x) 的极大值点 10 . 设 向 量 B. ?1 是 f ( x) 的极小值点 D. ?1 是 f ( x) 的极大值点 ,

a ? (a1 , a 2 )

b ? (b1 , b2 )



















1 ? a ? b ? (a1 , a 2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a 2 b2 ) . 已知向量 m ? ( ,4) ,n ? ( ,0) , 点 P 在 y ? cos x 2 6
的图象上运动,点 Q 在 y ? f ( x) 的图象上运动,且满足 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原 点),则 y ? f ( x) 在区间 [ A. 2 2 B. 2 3

? ?

, ] 上的最大值是 6 3
C. 2 D. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已 知 {an } 是 递 增 的 等 差 数 列 , a1 ? 2 , S n 为 其 前 n 项 和 , 若 a1 , a2 , a6 成 等 比 数 列 , 则 S5 ? ▲ .

12.若曲线 y ?

3 2 1 x ? x ? 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,则切线方程为 ▲ . 2 2

? x ? y ? 1, ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 ,若 z ? kx ? y 的最大值为 5 ,则实数 k ? ?x ? y ? 1 ?



.

( ) ▲ 14.(坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos t (其中 t 为参数,且 0 ? t ? 2? ),则曲线 C 的 ? y ? 2(1 ? sin t )

极坐标方程为 ▲ . 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,在 ?ABC 中, ?BAC ? 90? , AD ? BC , DE ? AE , D 、 E 为垂足,若 AE=4,BE=1, 则 AC= ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A、B 都是锐角,a=6,b=5 ,sin B ? (1) 求 sin A 和 cos C 的值; (2) 设函数 f ( x) ? sin(x ? 2 A) ,求 f ( ) 的值.

1 . 2

?

2

17.(本小题满分 13 分) 已知某山区小学有 100 名四年级学生,将全体四年级学生随机按 00~99 编号,并且按编号顺 序平均分成 10 组.现要从中抽取 10 名学生,各组内抽取的编号按依次增加 10 进行系统抽样. (1)若抽出的一个号码为 22,则此号码所在的组数是多少? 据此写出所有被抽出学生的号码; (2)分别统计这 10 名学生的数学成绩,获得成绩数据的 茎叶图如图 4 所示,求该样本的方差; (3)在(2)的条件下,从这 10 名学生中随机抽取两名 成绩不低于 73 分的学生,求被抽取到的两名学生的成绩之和 不小于 154 分的概率.
[来源:Z#xx#k.Com]

18.(本小题满分 13 分) 如图 5,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点, 点 V 是圆 O 所在平面外一点, 已知 AB ? 2 , D 是 AC 的中点,

VA ? VB ? VC ? 2 .
(1)求证:OD//平面 VBC; (2)求证:AC⊥平面 VOD; (3)求棱锥 C ? ABV 的体积. 19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,对一切正整数 n ,点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的
2

图象上. (1)求 a1 , a 2 ; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)若 bn ?

1 a n a n ?1 a n ? 2

,求证数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

1 . 60

20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两圆 C1 与 C2 的圆心的距离之和等于 4,其中 C1:

x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 2 ? 0 ,C2: x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 3 ? 0 . 设点 P 的轨迹为 C .
(1)求 C 的方程; (2) 设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点. 问 k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多少? 21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) . 3 2

(1)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求函数 f ( x) 在区间[t,t+3]上的最大值.

肇庆市 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题 题 1 号 答 C 案 A B B C D A D B D 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题 11.70

[来源:学&科&网]

12. y ? 4 x ? 2

13. k ? ?1 或 k ? 15.10

1 (对 1 个得 3 分,对 2 个得 5 分) 2

14. ? ? 4 sin ?

三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由正弦定理
[来源:学§科§网 Z§ X§ X§ K]

a b a sin B 3 ,得 sin A ? ? ? . sin A sin B b 5 4 2 ∵A、B 是锐角,∴ cos A ? 1 ? sin A ? , 5
cos B ? 1 ? sin 2 B ? 3 , 2

(3 分) (4 分)

(5 分) (6 分) (7 分) (8 分)

由 C ? ? ? ( A ? B) ,得 cos C ? cos[? ? ( A ? B)] ? ?cos( A ? B)

? ? cos A cos B ? sin Asin B
4 3 3 1 3?4 3 ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
(2)由(1)知 cos A ?

4 , 5

∴f?

?? ? ?? ? 2 ? ? sin ? ? 2 A ? ? cos 2 A ? 2 cos A ? 1 2 2 ? ? ? ?
7 ?4? ? 2 ? ? ? ?1 ? 25 ?5?
2

(11 分)

(12 分)

17.(本小题满分 13 分) 解:(1)由题意,得抽出号码为 22 的组数为 3. (2 分)

因为 2+10× (3-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 02,抽出的 10 名学生的号码依次分别为: 02, 12, 22, 32, 42,52,62,72,82,92. (2)这 10 名学生的平均成绩为: (4 分)

x?

1 × (81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71, 10
2

(6 分)

故样本方差为: s ?

1 ? (102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52. (8 分) 10

(3)从这 10 名学生中随机抽取两名成绩不低于 73 分的学生,共有如下 10 种不同的取法: (73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78, 79),(78,81),(79,81). (10 分)

其中成绩之和不小于 154 分的有如下 7 种:(73,81),(76,78),(76,79),(76,8 1), (78,79),(78,81),(79,81). 故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于 154 分的概率为: p ? (12 分)

7 10

(13 分)

18.(本小题满分 13 分) 证明:(1)∵ O、D 分别是 AB 和 AC 的中点,∴OD//BC . 又 OD ? 面 VBC, BC ? 面 VBC,∴OD//平面 VBC. (2)∵VA=VB,O 为 AB 中点,∴ VO ? AB . 连接 OC ,在 ?VOA 和 ?VOC 中, OA ? OC,VO ? VO,VA ? VC , ∴ ?VOA ≌?VOC ,∴ ?VOA =?VOC=90?, ∴ VO ? OC . (5 分) (1 分) (3 分) (4 分)

∵ AB ? OC ? O , AB ? 平面 ABC, OC ? 平面 ABC, ∴VO⊥平面 ABC. (6 分) ∵ AC ? 平面 ABC,∴ AC ? VO . 又∵ VA ? VC , D 是 AC 的中点,∴ AC ? VD . ∵VO?平面 VOD,VD?平面 VOD, VO ? VD ? V ,∴ AC ? 平面 DOV.
2 2

(7 分) (8 分) (9 分)

(3)由(2)知 VO 是棱锥 V ? ABC 的高,且 VO ? VA ? AO ? 3 . (10 分)

又∵点 C 是弧的中点,∴ CO ? AB ,且 CO ? 1, AB ? 2 , ∴三角形 ABC 的 面积 S?ABC ?

1 1 AB ? CO ? ? 2 ?1 ? 1 , 2 2
1 1 3 S?ABC ?VO ? ?1? 3 ? , 3 3 3

(11 分)

∴棱锥 V ? ABC 的体积为 VV ? ABC ?

(12 分)

故棱锥 C ? ABV 的体积为

3 . 3

(13 分)

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)∵点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图象上,
2

∴ S n ? n 2 ? 2n( n ? N * ) , ∴ a1 ? S1 ? 3 , 又 a1 ? a2 ? S2 ? 22 ? 2 ? 2 ? 8 ,∴ a2 ? 5 . (2)由(1)知, Sn ? n 2 ? 2n(n ? N * ) , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1. 由(1)知, a1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 满足上式, 所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (3)由(2)得 bn ?

(1 分) (2 分) (4 分)

(6 分) (7 分) (8 分)

1 1 1 1 ? [ ? ] (2n ? 1)( 2n ? 3)( 2n ? 5) 4 (2n ? 1)( 2n ? 3) (2n ? 3)( 2n ? 5)
(11 分)

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ? ? ??? ? ] (12 分) 4 3? 5 5? 7 5? 7 7 ? 9 (2n ? 1)( 2n ? 3) (2n ? 3)( 2n ? 5) 1 1 1 ? [ ? ] 4 3 ? 5 (2n ? 3)( 2n ? 5) ? 1 1 1 ? ? . 60 4(2n ? 3)( 2n ? 5) 60
(13 分)

(14 分)

20.(本小题满分 14 分) 解:(1)由已知得两圆的圆心坐标分别为 C1 (0, 3), C2 (0, ? 3) . (1 分)

? 3),, (0 3) 为焦点,长半轴长为 2 的椭 设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0,
圆. 它的短半轴长 b ? (2 分)

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,
2

(3 分)

故曲线 C 的方程为 x ?

y2 ? 1. 4

(4 分)

? 2 y2 ? 1, ?x ? (2)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

(5 分)
2

2 ∵ k ? 4 ? 0 , ? ? 4k ? 12(k ? 4) ? 16(k ? 3) ? 0 ,∴ x1,2 ?
2 2

?2k ? ? , 2(k 2 ? 4)
(6 分) (7 分)

故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 . ,x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2

又 y1 y 2 ? (kx1 ? 1)( kx2 ? 1) ? k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
2

于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ? 1 ? . k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

(8 分)



? 4k 2 ? 1 1 ? 0 ,得 k ? ? . 2 2 k ?4

(9 分)

因为 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ,

1 时,有 OA ? OB ? 0 ,即 OA ? OB . 2 1 4 12 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17 ???? ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
所以当 k ? ? 而 ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ?
2 2

(10 分) (11 分 ) (12 分)

42 12 43 ?13 ? 4 ? ? , 17 2 17 17 2

(13 分)

所以 AB ?

???? ?

4 65 . 17

(14 分)

21.(本小题满分 14 分) 解:(1)∵ f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) 3 2
(1 分) (2 分)

2 ∴ f ?( x) ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) ,

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

?1

(?1, a)

a

(a, ??)

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


f ( x)

故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间为(-1,a);(4 分) 因此 f ( x) 在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数 f ( x) 在区间 (?2, 0)

? f ( ?2) ? 0 ? 内恰有两个零点,当且仅当 ? f ( ?1) ? 0 , ? f ( 0) ? 0 ?
解得 0 ? a ?

(5 分)

1 1 , 所以 a 的取值范围是(0, ). (6 分) 3 3 1 3 (2)当 a=1 时, f ( x) ? x ? x ? 1 . 由(1)可知,函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1),(1, 3 1 +∞);单调递减区间为(-1,1); f ( x) 极大值 ? f (?1) ? ? . (7 分) 3
①当 t+3<-1,即 t<-4 时, 因 为 f ( x) 在 区 间 [t , t+3] 上 单 调 递 增 , 所 以 f ( x) 在 区 间 [t , t+3] 上 的 最 大 值 为

1 1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? (t ? 3) 3 ? (t ? 3) ? 1 ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 ; 3 3
②当 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1时,

(9 分)

因为 f ( x) 在区间 ?? ?,?1? 上单调递增,在区 间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,且

1 1 f (2) ? f (?1) ? ? ,所以 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f (2) ? f (?1) ? ? . 3 3
(10 分) 由 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1时,有[t,t+3]? ?? ?,2? ,-1?[t,t+3],所以 f ( x) 在 [t , t ? 3] 上

的最大值为 f ( x) max ? f (?1) ? ? ③ 当 t+3>2,即 t>-1 时,

1 ; 3

(11 分)

由②得 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值 为 f (2) ? f (?1) ? ? 递 增 , 所 以

1 . 因为 f ( x) 在区间(1,+∞)上单调 3

f (t ? 3) ? f (2)

, 故

f ( x)



? t , t ? 3?

上 的 最 大 值 为 (13 分)

1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 . 3
综上所述,当 a=1 时,

f ( x) 在[t,t+3]上的最大值 f ( x) max

?1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5(t ? ?4或t ? ?1) ? ?3 ?? . (14 分) ?? 1 (?4 ? t ? ?1) ? ? 3


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