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2016年高考数学二轮复习 应试高分策略 第1讲 数学思想方法 第2课时 分类讨论思想、转化与化归思想课件 理


第二部分 应试高分策略

第2课时

分类讨论思想、转化与化归 思想

一、分类讨论思想 分类讨论的原则 分类讨论的常见类型

(1)由数学概念而引起的分类讨论 (1)不重不漏 (2)标准 (2)由数学运算要求而引起的分类 要统一,层次要分明 讨论 (3)由性质、定理、公式的 (3)能不分类的要尽量

限制而引起的分类讨论 (4)由图 避免,决不无原则地讨 形的不确定性而引起的分类讨论 论 (5)由参数的变化而引起的分类讨 论 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个 基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题 的策略

? ?3x- b, x<1, 5 ? (2015· 高考山东卷)设函数 f(x)= x 若 f(f( )) 6 ? ?2 ,x≥ 1.

= 4,则 b=( D ) A. 1 3 C. 4
[解析]

7 B. 8 1 D. 2

5 5 5 5 3 5 f( )=3× -b= -b,若 - b<1,即 b> ,则 3×( -b) 6 6 2 2 2 2

15 7 5 - b= - 4b=4,解得 b= ,不符合题意,舍去;若 -b≥1, 2 8 2 3 5 1 即 b≤ ,则 2 - b= 4,解得 b= . 2 2 2

[名师点评 ]

(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵

与外延,合理进行分类. (2)运算引起的分类讨论有很多,如除法运算中除数不为零,偶 次方根为非负,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数 的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域 等.

1. (2015· 威海模拟 )若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+ y2 = 1 的离心率是( D ) m 3 A. 2 3 5 C. 或 2 2 B. 5 3 D. 或 5 2

解析:因为 m 是 2 和 8 的等比中项,所以 m2=2×8=16,所以 m= ± 4. y2 c 3 2 当 m=4 时,圆锥曲线 + x = 1 是椭圆,其离心率 e= = ; 4 a 2
2 y c 5 2 当 m=-4 时, 圆锥曲线 x - = 1 是双曲线, 其离心率 e= = 4 a 1

= 5. 综上知,选项 D 正确.

x 2 y2 设 F1, F2 是椭圆 + =1 的两个焦点, P 为椭圆上一点. 已 9 4 知 P,F1,F2 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 |PF1| 的值. |PF2|
[解 ] 若∠PF2F1= 90°, 则 |PF1|2= |PF2|2+ |F1F2|2, 又由题意可知|PF1|+ |PF2|=6,|F1F2|=2 5, 14 4 |PF1| 7 解得|PF1|= ,|PF2|= ,所以 = . 3 3 |PF2| 2

若∠F1PF2=90°,则 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, 所以|PF1|2+(6-|PF1|)2= 20,解得 |PF1|= 4 或 2, 又 |PF1|>|PF2|, |PF1| 所以|PF1|=4, |PF2|=2,所以 = 2. |PF2| |PF1| 7 综上知, = 或 2. |PF2| 2

[名师点评]

(1)本题中直角顶点的位置不定,影响边长关系,需

按直角顶点不同的位置进行讨论. (2)涉及几何问题时,由于几何元素的形状、位置变化的不确定 性,需要根据图形的特征进行分类讨论.

x≥0, ? ? 2.已知变量 x,y 满足的不等式组?y≥ 2x, 表示的是一个直 ? ?kx-y+1≥0 角三角形围成的平面区域,则实数 k= ( D ) A.- 1 2 B. 1 2

C. 0

1 D.- 或 0 2

x ≥0 , ? ? 解析: 不等式组?y≥ 2x, 表示的可行域如图(阴影部分 )所示, ? ?kx- y+1≥0 x≥0, ? ? 由图可知, 若不等式组?y≥ 2x, 表示的平面区域是直角三角 ? ?kx- y+1≥0 形,只有直线 y= kx+ 1 与直线 x= 0 或 y= 2x 垂直时平面区域才 是直角三角形.

1 结合图形可知斜率 k 的值为 0 或- . 2

(2015· 洛阳市统考, T21)已知 f(x)= xex-ax2-x. (1)若 f(x)在(-∞,- 1]上单调递增,在[-1, 0]上单调递减,求 f(x)的极小值; (2)当 x≥ 0 时,恒有 f(x)≥0,求实数 a 的取值范围.

[解 ]

(1)因为 f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在 [-1,0]上单调

递减,所以 f′(-1)= 0. 1 因为 f′(x)= (x+1)e -2ax-1,所以 2a- 1=0,a= . 2
x

所以 f′(x)= (x+1)ex-x-1=(x+ 1)(ex- 1), 所以 f(x)在(-∞, - 1]上单调递增,在[-1,0]上单调递减,在 [0,+∞)上单调递增,

所以 f(x)的极小值为 f(0)= 0. (2)f(x)= x(ex- ax-1),令 g(x)= ex-ax- 1,则 g′(x)= ex-a. 若 a≤ 1,则 x∈(0,+∞ )时, g′ (x)>0, g(x)为增函数,而 g(0) = 0,所以当 x≥ 0 时,g(x)≥ 0,从而 f(x)≥ 0. 若 a>1,则 x∈ (0, ln a)时, g′ (x)<0, g(x)为减函数, g(0)= 0, 故 x∈ (0, ln a)时, g(x)<0,从而 f(x)<0,不符合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 (-∞,1].

[名师点评 ] 含有参数的问题,主要包括:(1)含有参数的不等式 的求解; (2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的 最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等. 求 解时,要结合参数的意义,对参数的不同取值或不同取值范围进 行分类讨论,分类要合理、要不重不漏、要符合最简原则.

x3 3. (2015· 长沙模拟 )已知函数 f(x)= sin x, g(x)= mx- (m 为实 6 数 ). π π ?? ? ? (1)求曲线 y= f(x)在点 P , f 处的切线方程; ? 4 ? 4 ?? (2)求函数 g(x)的单调递减区间.

π π? 2 ? 解:(1)由题意得所求切线的斜率 k=f′ = cos = . 4 2 4 ? ? 2 2? π ? π 2? ? 切点 P , ,则切线方程为 y- = ,即 x- 2y 2 2 ?x- 4 ? ?4 2 ? π + 1- = 0. 4 1 2 (2)g′(x)= m- x . 2 ①当 m≤ 0 时, g′(x)≤ 0, 则 g(x)的单调递减区间是(-∞, +∞ ); ②当 m>0 时,令 g′(x)<0,解得 x<- 2m或 x> 2m, 则 g(x)的单调递减区间是(-∞,- 2m), ( 2m,+∞).

二、化归与转化思想 化归与转化的原则 常见的化归与转化的方法 (1)直接转化法 (2)换元法 (3) 数形结合法 (4)构造法 (5)坐 标法 (6)类比法 (7)特殊化方 法 (8)等价问题法 (9)加强命 题法 (10)补集法

(1)熟悉化原则 (2)简单 化原则 (3)直观化原则 (4)正难则反原则

转化与化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时,采 用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解 决的一种数学思想方法

(2015· 兖州模拟 )若对? x, y∈ [0,+∞ ),不等式 4ax≤ ex + y- 2 - - + ex y 2+ 2 恒成立,则实数 a 的最大值是( D ) 1 A. B.1 4 1 C. 2 D. 2 -y - x+ y-2 x- y-2 x-2 y [解析] 因为 e +e +2=e (e +e )+2≥2(ex 2+ 1),
x 2 x 2 1 + e 1 + e - 再由 2(ex 2+ 1)≥4ax,可得 2a≤ ,令 g(x)= ,则 x x
- -

ex 2(x-1)-1 g′(x)= , 可得 g′(2)= 0, 且在 (2, +∞ )上 g′(x)>0, x2


在 [0,2)上 g′(x)<0,故 g(x)的最小值为 g(2)=1,于是 2a≤ 1, 1 即 a≤ ,故选 D. 2

[名师点评 ] 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方 程、不等式的问题需要函数的帮助,解决函数的问题需要方程、 不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归 可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问 题,从而求出参变量的范围.

第二部分 应试高分策略

4.若关于 x 的方程 9x+(4+ a)· 3x+ 4= 0 有解,则实数 a 的取值 (-∞,-8] 范围是_____________________ .

解析:设 t=3x,则原命题等价于关于 t 的方程 t2+ (4+ a)t+ 4= 0 有正解. 4? ? t + 分离变量 a,得 a+4=-? t ?. 4? ? 因为 t>0,所以-?t+ t ?≤-4, 所以 a≤- 8,即实数 a 的取值范围是(-∞,- 8].

m 2 ? 若对于任意 t∈[1, 2], 函数 g(x)= x +? 2 + 2? x ? -2x 在区
3

间 (t,3)上总不为单调函数,则实数 m 的取值范围是 ?-37,-5 ? ? 3 ? ____________________ .

[解析]

g′(x)= 3x2+(m+ 4)x-2,

若 g(x)在区间(t, 3)上总为单调函数, 则①g′(x)≥ 0 在 (t,3)上恒成立, 或②g′(x)≤ 0 在 (t,3)上恒成立.

由①得 3x2+ (m+ 4)x- 2≥ 0, 2 即 m+4≥ - 3x 当 x∈(t,3)时恒成立, x 2 所以 m+4≥ - 3t 恒成立, t 则 m+4≥-1,即 m≥- 5; 2 由②得 m+ 4≤ - 3x 当 x∈ (t, 3)时恒成立, x 2 则 m+4≤ - 9, 3 37 即 m≤- .所以函数 g(x)在区间 (t,3)上总不为单调函数的 m 的 3 37 ? 取值范围为 - 3 ,-5?. ? ?

[名师点评] 正难则反,利用补集求其解,这就是补集思想,一 种充分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地,题目若出 现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简 单,因此,间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中.

5.由命题“存在 x0∈ R,使 e|x0-1|- m≤0”是假命题,得 m 的 取值范围是 (-∞, a),则实数 a 的取值是( C ) A. (-∞,1) C. 1 B.(-∞, 2) D. 2

解析:命题“存在 x0∈ R,使 e|x0-1|- m≤0”是假命题,可知它 的否定形式“任意 x∈ R,使 e|x
- 1|

- m>0”是真命题,可得 m 的

取值范围是 (-∞, 1),而(-∞, a)与 (-∞, 1)为同一区间,故 a=1.故选 C.

(2015· 厦门模拟)已知函数 f(x)=x3+3ax- 1,g(x)= f′(x)- ax-5,其中 f′(x)是 f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1 的一切 a 的 ?-2,1 ? ? 3 ? 值,都有 g(x)<0,则实数 x 的取值范围为_______________ .

[解析]

由题意,知 g(x)=3x2- ax+ 3a-5,

令 φ(a)=(3-x)a+3x2-5,- 1≤a≤1. 对-1≤a≤ 1,恒有 g(x)<0,即 φ(a)<0,

? ? ?φ (1) <0, ?3x - x- 2<0, 2 ? ? 所以 即 2 解得- <x<1. 3 ? ?φ (-1)<0, ? ?3x + x- 8<0,

2

2 ? 故当 x∈ -3, 1?时,对满足-1≤ a≤ 1 的一切 a 的值,都有 ? ? g(x)<0.

[名师点评] 在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的 常数(或参数), 将其看作是“主元”, 而把其他变元看作是常量, 从而达到减少变元简化运算的目的. 如本例是把关于 x 的函数转 化为在[-1,1]内关于 a 的一次函数小于 0 恒成立的问题.

第二部分 应试高分策略

6.(2015· 武汉质检)设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数,若 f(1- ax- x2)≤f(2- a)对任意 a∈ [- 1, 1]恒成立,求 x 的取值范围.

解:因为 f(x)是 R 上的单调增函数, 所以 1-ax- x2≤2-a, a∈ [- 1, 1].(*) (*)式可化为 (x-1)a+x2+ 1≥ 0 对 a∈[-1, 1]恒成立. 令 g(a)= (x- 1)a+ x2+1.
? ?g(- 1)= x -x+2≥0, 则? 解得 x≥ 0 或 x≤-1, 2 ? ?g(1)= x +x≥ 0,
2

即实数 x 的取值范围是(-∞,-1]∪ [0,+∞ ).


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