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新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案(105页)


课题:1.1.1 集合的含义与表示(1)
一、三维目标: 知识与技能:了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;掌握常用数集及其记法、集合中 元素的三个特征。 过程与方法:通过实例了解,体会元素与集合的属于关系。 情感态度与价值观:培养学生的应用意识。 二、学习重、难点: 重点:掌握集合的基本概念。 难点:元素与集合的关系。 三、学法指导:认真阅读教材 P1-P3,对照学习目标,完成导学案,适当总结。 四、知识链接: 军训前学校通知:8 月 13 日 8 点,高一年级在操场集合进行军训动员;试问这个通知的 对象是全体的高一学生还是个别学生?

初中时你听说过 “集合” 这一词吗?你在学习那些知识点中提到了 “集合” 这一词? (试 举几例) 五、学习过程: 1、阅读教材 P2 页 8 个例子 问题 1:总结出集合与元素的概念: 问题 2:集合中元素的三个特征: 问题 3:集合相等: 问题 4:课本 P3 的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子。

2、集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母 A,B,C?表示,集合的元素用小写 的拉丁字母 a,b,c,?表示。 问题 5:元素与集合之间的关系? A 例 1:设 A 表示“1----20 以内的所有质数”组成的集合,则 3、4 与 A 的关系? 关 系 属 于 不属于 问题 6:常用数集及其记法: 数集名称 符号名称 B 例 2:若 x ? N ? ,则 x ? N ,对吗? 六、达标检测:
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文字语言

符号语言

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

A1.判断以下元素的全体是否组成集合: (1)大于 3 小于 11 的偶数; ( ) (2)我国的小河流; (3)非负奇数; ( ) (4)本校 2009 级新生; (5)血压很高的人; ( ) (6)著名的数学家; (7)平面直角坐标系内所有第三象限的点 ( ) A2.用“∈”或“ ? ”符号填空: (1)8 N; (2)0 N; (3)-3 Z; (4) 2

( ( (

) ) )

Q;

(5)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英国 A; b? N , B3.下面有四个语句:①集合 N 中最小的数是 1;②若 ? a ? N , 则 a ? N ;③若 a ? N , 则 a ? b 的最小值是 2;④ x ? 4 ? 4 x 的解集中含有 2 个元素;
2

其中正确语句的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 B4.已知集合 S 中的三个元素 a,b,c 是 ? ABC 的三边长,那么 ? ABC 一定不是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 B5. 已知集合 A 含有三个元素 2,4,6,且当 a ? A ,有 6-a∈A,那么 a 为 A.2 B.2 或 4 C.4 D.0 2 B6. 设双元素集合 A 是方程 x -4x+m=0 的解集,求实数 m 的取值范围。

( (

) )

C7. 已知集合 A 由 1,x,x 三个元素构成,集合 B 由 1,2,x 三个元素构成,若集合 A 与集合 B 相 等,求 x 的值。

2

七、学习小结: 1.集合的概念 2.集合元素的三个特征:其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为:对于 一个给定的集合,它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为:对于 给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号。 八、课后反思:

-2-

课题:1.1.1 集合的含义与表示(2)
一、三维目标: 知识与技能: 掌握表示集合的两种表示方法, 能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合。 过程与方法:通过集合表示方法的学习,体会集合的表示方法的区别与联系。 情感态度与价值观:提高学生分析问题和解决问题的能力。 二、学习重、难点: 重点:集合的两种表示方法。 难点:对描述法的理解。 三、学法指导: 学生通过阅读教材, 自主学习、 思考、 交流、 讨论和概括, 从而更好地完成本节课的教学目标。 四、知识链接: 1.集合中元素的特征是: 2.常用数集及其记法:

五、学习过程: 1、阅读教材 P3 页,回答问题: 问题 1.列举法的定义:

问题 2. {1,2,3}与{3,2,1}表示的集合的关系? 例 1.请用列举法表示下列集合: (1)小于 5 的正奇数。 (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数。 (3)方程 x ? 9 ? 0 的解的集合。
2

问题 3.用列举法能表示元素个数无限个的集合吗?举例说明?

问题 4. 什么样的集合适合用列举法表示?

2、阅读教材 P4 页,回答问题: 问题 5.描述法的定义:

B 例 2.试分别用列举法和描述法表示下列集合: 2 (1)方程 x -3=0 的所有实数根组成的集合。 (2)由大于 10 小于 30 的所有整数组成的集合。

-3-

问题 6.什么样的集合适合用描述法表示?一个集合是否既能用列举法表示,又能用描述法表 示?并举例说明。

问题 7.集合 {x | x >3 } 与集合 {t | t >3 } 是否表示同一个集合?

六、达标检测: A1.教材 12 页 A 组 3,4 题

B2.方程组 ?

?x ? y ? 2 的解集用列举法表示为________;用描述法表示为 ?x ? y ? 5
。 A (2)—7 A



B3. {( x, y) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N} 用列举法表示为 B4.已知 A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z }, 用 ? 或 ? 符号填空: (1)5

B5.集合 M={(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}是指 A 第一象限内的点集 B 第三象限内的点集 C 第一、三象限内的点集 D 第二、四象限内的点集 B6.用列举法将集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}可以表示为 A.{{1,1},{1,2},{2,1},{2,2}} B.{1,2} C.{(1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,2)} D.{(1,2)} B7.已知集合 A={-2,-1,0,1},集合 B={y|y=|x|, x∈A},则 B= B8.已知集合 A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A 且 a∈B 则 a 为 C9.试选择适当的方法表示下列集合: (1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; (2)不等式 x-3>2 的解的集合; 2 (3)二次函数 y=x -10 图像上的所有的点组成的集合; 七、学习小结: 本节课介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。 八、课后反思:

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课题:1.1.2 集合间的基本关系
一、三维目标: 知识与目标: (1)了解集合之间的包含、相等关系的含义; (2)理解子集、真子集的概念; (3) 能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解空集的含义。 过程与方法:理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的 关系,掌握并能使用 Venn 图表达集合间的关系。 情感态度与价值观:通过学习,提高利用类比发现新结论的能力,加强从具体到抽象的思维能 力,树立数形结合的思想。 二、学习重、难点: 重点:子集与空集的概念;能利用 Venn 图表达集合间的关系。 难点:弄清属于与包含的关系。 三、学法指导: 研读学习目标,了解本章重难点,精读教材,独立完成学案,通过小组学习解决部分疑难 问题,再通过课堂各小组展示及质疑对抗,共同提高,完成学习任务。 四、知识链接: 1.集合的表示方法有哪些? 各举一例。

2.用适当的方法表示下列集合? (1)10 以内 3 的倍数;

(2)1000 以内 3 的倍数

3.用适当的符号填空: 0 N; 2 Q; -1.5 R。 思考:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢? 五、学习过程 想一想:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2,3} , B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2) C ? {汝城一中高一二班全体女生} , D ? {汝城一中高一二班全体学生} ; (3) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形} 1. 子集的定义: 对于两个集合 A,B, ,我们说这两个 A ? B ( 或 B ? A ) 集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集。 记作: 。 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A。 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A B。 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: B(A) 如: (1)中 A ? B , B A 注:Venn 图是解决复杂的关于集合问题的有力工具。 2. 集合相等定义: 如果 , 则集合 A 与集合 B 中的元素是 一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 。 如(3)中的两集合 E ? F 。 3. 真子集定义: 若集合 A ? B ,但存在 ,则称集合 A 是集合 B 的真子集, 记作: 。
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读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 。 如: (1)和(2)中 A B,C D。 4. 空集定义: 称为空集,记作: ? 。 用适当的符号填空:

?

?0? ;

0

?; ?

??? ; ?0?

???

5. 几个重要的结论: (1) 空集是任何集合的子集; (2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集; (4) 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 说明: 1. 注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的 关系; 2. 在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 六、达标训练:(A 表示基础题,B 表示简单应用,C 表示知识点运用,D 表示能力提高) A1.填空: (1) .2 N;

{2}
2

N;

?

A;

(2) .已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C B2.判断题 (1)空集没有子集。 (2)空集是任何集合的子集。 (3)任一集合必有两个或两个以上的子集。 (4)若 B ? A ? ? ,那么凡不属于集合 A 的元素,则必不属于 B。 B3.以下五个式子中错误的个数是

( ( ( ( (

) ) ) ) )

①{1} ? {1,2,3} ②{1,-3}={-3,1} ③{1,2,0} ? {1,0, 2} ④ ? ? {0,1, 2}⑤ ? ? {0} B4.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3, m
2

}.若 B ? A,则实数 m=_______.

B5.写出集合 {a, b, c} 的所有子集,并指出哪些是它的真子集。 思考:集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有多少个子集?多少个真子集?

-6-

C6.集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 , B
2

?

?

?

?

A,求 m 的值。

D7.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?

七、学习小结: 本节课从实例入手,非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号;并 用 Venn 图直观地把这种关系表示出来;注意包含与属于符号的运用。 八、课后反思

-7-

课题:1.1.3 集合的基本运算(一)
一、三维目标: 知识与目标: (1)理解交集与并集的概念; (2)掌握交集与并集的区别与联系; (3)会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 过程与方法:通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算。体会直观图示对理解抽象 概 念的作用,培养数形结合的思想。 情感态度与价值观: 通过使用集合的语言, 感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义, 学会用数学的思维方式去认识世界、解决问题,养成事实求是、扎实严谨的科学 态度。 二、学习重、难点: 重点:交集与并集的概念,数形结合的思想。 难点:理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。 三、学法指导: 研读学习目标,了解本章重难点,精读教材,独立完成学案,通过小组学习解决部分疑难 问题,再通过课堂各小组展示及质疑对抗,共同提高,完成学习任务。 四、知识链接: 1. 子集的定义、及子集的符号语言和 Venn 图表示?

2. 真子集的概念及真子集的符号语言和 Venn 图表示?

3.适当符号填空: 0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x +1=0,x∈R}
2

{0} {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5} ; {x|x>-3} {x>2} 4.已知集合 A={1,2,3,},B={2,3,4},写出由集合 A,B 中的所有元素组成的集合 C。

五、学习过程: 交集、并集概念及性质: 思考 1.考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数}, 6. 并集的定义: 一般地, 集。记作: 用 Venn 图表示:

C ? ?x x 是实数? ;
, 叫做集合 A 与集合 B 的并

A ? B ? ? x x ? A, 或x ? B?

(读作: “A 并 B” ) ,即

这样,在思考 1 中,集合 A,B 的并集是 C,即 A? B = C
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说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B B∪A A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习: ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 7. 交集的定义: 一般地, 记作 (读“A 交 B” )即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

;

叫作集合 A、 B 的交集,

常见的五种交集的情况:

BA (5)

A(B)

A

B

A B

A

B

讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩Ф =

A∩B

B∩A

A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习: ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 六、达标训练:(A 表示基础题,B 表示简单应用,C 表示知识点运用,D 表示能力提高) A1.教材 12 页 A 组 5---8 题。

A2.已知集合 A={x|-3<x<1},B={x|x≤-3} ,则 A∪B= 。 A3.集合 A={x|x>0},B={x|x<3},则 A∩B= ( A.{x|x<0} B.{x|0<x<3} C. {x|x>3} D.R A4.设集合 A={m∈Z|-3<m<2},B={n∈Z|-1≤n≤3} ,则 A∩B= ( A.0 B.1 C. 2 D.3 B5. 若集合 A={x|x≤4},B={x|x≥a} ,满足 A∩B={4},则实数 a= B6.已知 M ? {1}, N ? {1,2} ,设 A ? {( x, y) | x ? M , y ? N} , B ? {( x, y) | x ? N , y ? M } , 求 A∩B,A∪B.

) ) 。

-9-

C7.设集合 A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3} ,求 A∩B.

C8.设 A={-4,2,a-1, a }, B={9,a-5,1-a} ,已知 A∩B={9},求 a.

2

D9.已知集合 A ? x x ? mx ? m ? 19 ? 0 ,
2 2

C ? z z 2 ? 2 z ? 8 ? 0 是否存在实数 m,同时满足 A ? B ? ?, A ? C ? ? ?

?

?

?

?

B ? y y2 ? 5 y ? 6 ? 0

?

?

七、学习小结: 1.理解两个集合并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集和并集。 2.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算, 体会数形结合的数学思在求解问题过程中, 充分利 用数轴、Venn 图。 八、课后反思:

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课题:1.1.3 集合的基本运算(二)
一、三维目标: 知识与目标: (1)掌握交集与并集的区别,了解全集、补集的意义; (2)正确理解补集的概念,正确理解符号“ CU A ”的含义; (3)会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具体问题。 过程与方法:通过观察和类比,借助图理解集合补集的含义和集合的基本运算。 情感态度与价值观:体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想。 二、学习重、难点: 重点:补集的有关运算及数轴的应用。 难点:对补集概念的理解。 三、学法指导: 研读学习目标,了解本章重难点,精读教材,独立完成学案,通过小组学习解决部分疑难 问题,再通过课堂各小组展示及质疑对抗,共同提高,完成学习任务。 四、知识链接: 1.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎样的? 2.什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3.已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B 与 R 有何关系? 五、学习过程: 思考 1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系?

全集、补集概念及性质 1.全集的定义: 一般地, 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集, 记作 U,全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 2.补集的定义: 对于一个集合 A, ,叫作集合 A 相对于全集 U 的补集,记作: 读作: “A 在 U 中的补集” ,即 CU A ? x x ?U , 且x ? A 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

?

?

讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析。

A ? CU A ? ? CUU ? ?,

A ? CU A ? U , CU ? ? U

CU (CU A) ? A

巩固练习 ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A =

, CU B =

; ;

②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A =
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③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A =



六、达标训练:(A 表示基础题,B 表示简单应用,C 表示知识点运用,D 表示能力提高) A1 、 已知U为全集, M、 N ? U, 且M ∩N = N, 则 ( )

A、 C U M ?C U N C、 C U N ?M

B 、 C U M ?C U N D、 M ?C U N

A2.全集与补集有什么关系呢? C A M 与 CB M 相等吗? A2.若 S={1,2,4,8},A= ? ,则 CSA= . .

B3.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则 CU(A∩B)= B4.若 U={1,3,a +2a+1},A={1,3},CUA={5},则 a= B5.设 U=R,A={x|x>0}, B={x|x>1},则 A∩CUB= .
2

.

B6.设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={5,3,4},C={3,4},则 (A∪B)∩(CUC)=
2

.

B7.设全集 U={2,3,m +2m-3},A={|m+1|,2},CUA={5},求 m 的值。

B8.已知全集 U={1,2,3,4},A={x|x -5x+m=0,x∈U},求 CUA、m.

2

C9.设全集 U ? x x ? 4 , 集合A ? x ?2 ? x ? 3 , B ? x ?3 ? x ? 3 ,求 CU A ,

?

?

?

?

?

?

A ? B , A ? B, CU ( A ? B),(CU A) ? (CU B),(CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) .
通过本题,你能得出什么结论?

C10.设全集 U 为 R, A ? x x ? px ? 12 ? 0 ,
2

?

?

B ? x x 2 ? 5x ? q ? 0 ,若

?

?

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(CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B .

D11.已知集合 A={x|x<a }, B={x|1<x<2}且 A∪ CR B =R,求实数 a 的取值范围。

七、归纳小结: 1.能熟练求解一个给定集合的补集。 2.注重一些特殊结论在以后解题中应用。 八、课后反思:

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课题:1.2.1 函数的概念(1)
一、三维目标: 知识与技能:正确理解函数的概念,能用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的三个 要素。 过程与方法:通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养学生的抽象概括能力。在此基 础上再用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作 用。 情感态度与价值观:培养学生的应用意识,激发学生的学习兴趣。 二、学习重、难点: 重点:体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念; 难点:对函数概念及符号 y=f(x)的理解。 三、学法指导:认真阅读教材 P15-P19,对照学习目标,完成导学案,适当总结。 四、知识链接: A 问题 1:回顾初中所学过的几种函数? 一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 反比例函数 y ?

k (k ? 0) x

A 问题 2:初中所学函数的定义是什么?(设在某变化过程中有两个变量 x 和 y, ,如果给定了 一个 x 的值,相应地确定唯一的一个 y 值,那么就称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因 变量) 。 五、学习过程: A 问题 3: 对教科书中的实例(1), 你能得出炮弹飞行 1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗?其中时 间 t 的变化范围是多少?(点拨:用解析式刻画变量之间的对应关系,关注 t 和 h 的 范围) 解:h(1)= h(5)= h(10)= h(20)= 炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A ? {x 0 ? x ? 26} ,炮弹距地面的高度 h 的变化范围 是数集 B ? {h 0 ? h ? 845} ,对应关系 h ? 130t ? 5t
2

(*) 。从问题的实际意义可知,对于数

集 A 中的任意一个时间 t,按照对应关系(*) ,在数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应。 A(展示)问题 4:对教科书中的实例(2),你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大?哪些 年的臭氧空洞面积大约为 2000 万平方千米?其中 t 的取值范围是什么?(点拨:用图 像刻画变量之间的对应关系) 例子(2)中数集 A ? {t 1979 ? t ? 2001} , B ? {S 0 ? S ? 26} ,并且对于数集 A 中的任意 一个时间 t,按图中曲线,在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积 S 和它对应。 A 问题 5:在教科书中的实例 3 中,恩格尔系数与时间的关系是否和前两例中的两个变量之间 的关系相似?请你仿照例 1 和例 2, 用集合与对应的语言来描述表 1—1 中恩格尔系数 与时间的关系?(点拨:用表格刻画变量之间的对应关系)

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B 问题 6:以上三个实例的共同特点是什么? (归纳以上三例,三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集 A、B 间的一种对应 关系:对数集 A 中的每一个 x,按照某个对应关系,在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应, 记作 f : A ? B 。 ) B 问题 7:概括函数的定义。 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数(function) .记作:y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域(domain) ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数 的值域(range) 。 1 “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” 注意:○ ; 2 ○ 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. ③ 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域。

? 讨论: y ? f ( x)的含义? f ( x)与f (a)的含义有什么不同

A 问题 8:初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对应法则分别是什么? 答:一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 定义域 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 定义域
2

、值域 、值域

、对应法则

对应法则

k (k ? 0) 定义域 、值域 x 1 B 例.已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? , (教材第 17 页例 1) x?2
反比例函数 y ? (1)求函数的定义域; (2)求 f ( ?3), f ( ) 的值; (3)当 a>0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。

、对应法则

2 3

分析:函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如前述的三个实例。如果只给出解析式

y ? f ( x) ,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的
集合。 A 练习 3 已知函数 f ( x) ? 3x ? 2x
3

(1)求 f (2), f (?2), f (2) ? f (?2) 的值。

(2)求 f (a), f (?a), f (a) ? f (?a) 的值。

六、 达标检测: A1.下列说法正确的是 (A)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应。
-15-





(B)函数的定义域和值域可以是空集。 (C) 函数的定义域和值域一定是非空数集。 (D) 函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了。 A2.已知函数 f ( x) ?

x ?1 则f (2) ? x ?1





(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 B3:下列函数图像中不能作为函数 y=f(x)的图像的是





B4:依函数的定义,平行于 y 轴的直线与函数图像最多有_____个交点。 C5: “函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型”构成函数的要素有哪些?你能举 出生活中一些函数的例子吗?并用集合与对应的语言来描述函数,同时说出函数的定义 域、值域和对应关系。 A6、做课本 24 页习题 1.2A 组 1、3、4、5、6、7

七、学习小结: 从具体实例引入了函数的的概念,用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概 念。重视研究问题的方法和过程。 八、课后反思:

-16-

课题:§1.2.1 函数的概念(2)
一、三维目标: 知识与技能:进一步体会函数概念;了解构成函数的要素;能够正确使用“区间”的符号表示 某些集合。 过程与方法:了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域。掌握判别两个函数 是否相等的方法。 情感态度与价值观:激发学习兴趣,培养审美情趣。 二、学习重、难点: 重点:用区间符号正确表示数的集合,求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。 难点:求函数定义域和值域。 三、学法指导:阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。 四、知识链接: 1. 写出函数的定义:

注: (1)对应法则 f(x)是一个函数符号,表示为“y 是 x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于 f 与 x 的乘积” ,在不同的函数中,f 的具体含义不一样;y=f(x)不一定是解析式,在不少问题中, 对应法则 f 可能不便使用或不能使用解析式,这时就必须采用其它方式,如数表和图象,在研 究函数时,除用符号 f(x)表示外,还常用 g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示;f(a)是常量,f(x) 是变量,f(a)是函数 f(x)中当自变量 x=a 时的函数值。 (2)定义域是自变量 x 的取值范围; (3)值域是全体函数值所组成的集合,在大多数情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数 的值域也随之确定。 2.集合的表示方法有: 。 五、学习过程: A 问题 1. 区间的概念 设 a、b 是两个实数,且 a<b,规定: (1)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 (2)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 (3)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 (4)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 ,表示为 ,表示为 ,表示为 ,表示为 ; ; ; ;

在数轴上,这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示,在图中,用 表示 包括在区间内的端点,用 表示不包括在区间内的端点; 实数集 R 也可以用区间表示为 , “∞”读作“ ” , “-∞”读作“ ” , “+∞”读作“ ” ,还可以把满足 x ? a, x>a, x ? b, x<b 的实数 x 的集合分别表示 为 。 B(展示)例 1.求下列函数的定义域。 (1) f ( x) ?

1 1 ;(2) f ( x) ? x ? 4 ? x ? 2 ;(3) f ( x) ? x ? 1 ? 2 ? x (1 ? 2 x)( x ? 1)
-17-

A 练习 1: 求下列函数的定义域(用区间表示) 1 ① f(x)= 9 ? x + x?4

②f(x)=

x?2 ? ?3x ? 4 x ?3

A 问题 2、从上例可以看出,当确定用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下情况: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是 ; (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是 ; (3)如果 f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是 ; ( 4 ) 如 果 f(x) 是 由 几 个 部 分 的 数 学 式 子 构 成 的 , 那 么 函 数 的 定 义 域 是 ; (5)如果 f(x)是由实际问题列出的, 函数的定义域由 数学式子本身的意义和问题的 实际意义决定。 B 例 2.下列函数中,哪个与函数 y=x 是同一函数? (1) y=( x ) ;
2

(2) y=

x2 ; x

(3) y= 3 x 3 ;

(4)y= x 2 .

B 练习 2:判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? A. f ( x ) = (x -1) ;g ( x ) = 1 ; C.f ( x ) = x ;f ( x ) = (x + 1) 结论:判断两个函数是否相同,要看 函数才算相同。 B 练习 3:课本 P19 练习 3。
2 2 、 0

( )

B. f ( x ) = x; g ( x ) =

x2
x2 这两个

D. f ( x ) = | x | ;g ( x ) =

C 例 3. 求 下 列 函 数 的 值 域 ( 点 拨 : 注 意 函 数 的 定 义 域 和 对 应 法 则 决 定 值 域 )

(1) y ? 2 x ? 1, x ? ? 1,2,3,4,5 ?; (2) y ? x ? 1 (5) y ? ? x 2 ? 2 x ? 3(?5 ? x ? ?2)


-18-

六、达标检测: A 练习:1、用区间表示下列数集。

(1)?x | x ? 1 ? ? (2)?x | 2 ? x ? 3 ? ? (3)?x | x ? 1且x ? 2 ? ?
B2 练习 p24.2.

B3、求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 2(0 ? x ? 3) 的值域。

C4、P25 B 组题 1.

七、学习小结:

-19-

本节课我们学习了求函数定义域的方法。 函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形 应该予以重视。能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

八、课后反思:你还有什么困惑吗?写出来。

-20-

课题:1.2.2 函数的表示方法(1)
一、三维目标: 知识与技能:进一步理解函数的概念;使学生掌握函数的三种表示方法。 过程与方法: 通过实例, 使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关 系,并初步感知处理函数问题的方法。 情感态度与价值观:通过学习,让学生体会到生活离不开数学,激发学习兴趣,培养学生学数 学用数学的意识。 二、学习重、难点: 重点:函数的表示方法,根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。 难点:函数三种表示方法的选择。 三、学法指导:在回顾初中所学函数的有关知识的基础上,认真阅读教材,通过对教材中的例 题的研究,完成学习目标 。 四、知识链接: 1. 回忆函数的两种定义; (设在某变化过程中有两个变量 x 和 y, ,如果给定了一个 x 的值,相应地确定唯一的一 个 y 值,那么就称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量) 。 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数(function) 。记作:y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素分别是什么? 3.作出下列函数的图象; (1) y ? 1 ? x( x ? Z ) , (2) y ? x ? 2 x ? 2(0 ? x ? 3)
2

五、学习过程: 1、函数的三种表示方法 (1)解析法: (将两个变量的函数关系,用一个等式表示) 。 举例:如 y ? 3x2 ? 2x ? 1, S ? ? r 2 , C ? 2? r, S ? 6t 2 等。 优点: ?

量间的关系; ?简明,全面地概括了变 意一个自变量所对应的 函数值; ?可以通过解析式求出任

(2)列表法: (列出表格表示两个变量的函数关系) : 举例: 如:平方表,三角函数表,利息表,列车时刻表,国民生产总值表等。 优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 (3)图象法: (用图象来表示两个变量的函数关系) 。

举例:

-21-

优点:直观形象地表示自变量的变化。 2、例题: A 例 1:某种笔记本的单价是 5 元,买 x( x ?{1, 2,3, 4,5} 个笔记本需要 y 元,试用函数的 三种表示法表示函数 y ? f ( x) 。 解: 这个函数的定义域是数集 {1, 2,3, 4,5} , 用解析法可以将函数 y ? f ( x) 表示为 y ? 5 x ,

x ?{1, 2,3, 4,5} 。
用列表法可以将函数 y ? f ( x) 表示为 笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

图象法略。 说明: 函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线, 但有时也可以由一些孤立点或几段线段 组成。 A 练习 1:作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y(元). 试用三种方法表示此实例中的 函数。

点拨: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个 ○ 图形是否是函数图象的依据; 2 解析法:必须注明函数的定义域; ○ 3 图象法:是否连线; ○ 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征。 ○ C 思考:函数图象有何特征?所有的函数都可用解析法表示吗?

B 例 2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。 第一次 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2 第二次 87 76 65 78.3 第三次 91 88 73 85.4 第四次 92 75 72 80.3 第五次 88 86 75 75.7 第六次 95 80 82 82.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。 分析:画出“成绩”与“测试时间”的函数图象,可以直观地看出:王伟同学的数学学习 成绩始终高于班级平均水平,学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定, 总是在班级平均水平上下波动, 而且波动幅度较大。 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水 平,但他的成绩曲线呈上升趋势,表明他的数学成绩在稳步提高。 B 问题 2:离散的点为什么用虚线连接起来?此例能用解析法表示表示吗? 主要是为了区分这三个函数,并且让这三个函数具有整体情况.图中的虚线不是函数图像
-22-

的组成部分。 六、达标检测: A1 课本 P23 练习 1、2。

A2.已知 f ( x) 与 g ( x) 分别由下表给出 x 1 4 2 3 3 2 4 1

f ( x)

x

1 3

2 1

3 4

4 2

g ( x)
那么 f ( g (3)) ?

B3.在一定范围内,某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系。如果购买 1000 吨,每吨 800 元,购买 2000 吨,每吨 700 元,若一客户购买 400 吨,单价应该是 ( ) (A)820 (B)840 (C)860 (D)880 B4.设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2( x ? 2) ? 2 x( x ? 2)

,则 f (?4) ?

,若 f ( x0 ) ? 8 ,则 x0 =



A5.课本 P24 习题 1.2

8、9 题 。

七、学习小结: 本节课我们学习了函数的表示方法:解析法,列表法,图像法。理解函数的三种表示方法, 在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数。 八、课后反思:

-23-

课题:1.2.2 函数的表示方法(2)
一、三维目标: 知识与技能:进一步理解函数的概念;使学生掌握分段函数及其简单应用。 过程与方法: 通过实例, 使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关 系,并初步感知处理函数问题的方法。 情感态度与价值观:激发学习兴趣,培养学生合作学习的能力。 二、学习重点、难点:分段函数的理解,分段函数的图象及简单应用。 三、学法指导: 对于例 1 例 2 自学完成,对于例 3 例 4 可以小组合作探究,然后独立完成达标检测。 四、知识链接: A1.函数的三种表示方法:解析法 图像法 图表法 A2.作出函数 y ? x 的图象?

五、学习过程: B 例 1.作出函数 y ? x ?1 的图象,并分别求出函数的值域。 提示:分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。

B 例 2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算) 。 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出 函数的图像。 2 y= 3

0? x?5 5 ? x ? 10

4 5

10 ? x ? 15 15 ? x ? 20

说明:表示函数的式子也可以不止一个(如例 1 与例 2) ,对于这类分几个式子表示的函 数称为分段函数。注意它是一个函数,不要把它误认为是“几个函数” 。 C 例 3.作出下列各函数的图象:

?1 ? (0 ? x ? 1) (1) f ( x) ? ? x ; ? ? x( x ? 1)

(2) f ( x ) ? ?

? x 2 ? 2 x ( x ? 0)
2 ? ? x ? 2 x ( x ? 0)

-24-

D 讨论:对第(2)小题的函数,试根据 a 的取值讨论方程 f ( x) ? a 的根的个数问题。

六、达标检测:

? x ? 1( x ? 0) ? A1.已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} = ? 0( x ? 0) ?



? x ? 2( x ? ?1) ? 2 A2 在函数 f ( x ) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) 中,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值为 ? 2 x( x ? 2) ?



B3.国内投寄信函(外埠) ,假设每封信函不超过 20g 时付邮资 80 分;超过 20g 不超过 40g 时 付邮资 160 分;依次类推,写出每封 xg( 0 ? x ? 100 )的信与所付邮资 y 之间的函数解析式, 并画出这个函数的图象。

B4 如图所示,在边长为 4 的正方形 ABCD 边上有一点 P,自点 B(起点)沿着折线 BCDA 向点 A (终点)运动。设点 P 运动的路程为 x,△APB 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数解析式。并 画出这个函数的图象。

D

C

-25-

A

B

七、学习小结:

八、课后反思:

-26-

课题:1.2.2 函数的表示方法(第 3 课时)
一、三维目标: 知识与技能:使学生了解映射的概念、表示方法;会判断一个对应是否是映射。 过程与方法:通过一些对应的例子引入映射,再比较函数与映射的关系,培养学生从一般到特 殊的思想方法。 情感态度与价值观:使学生认识到事物间是有联系的,对应、映射是一种联系方式。 二、学习重、难点: 重点:映射的概念;函数与映射的关系。 难点:对映射的概念的理解。 三、学法指导:学习中体会从特殊到一般的认知规律,注重知识间的联系。 巩固旧知: (函数基础习题练习) 1 求出下列函数的定义域: y ?

8 ; 3x ? 5

y?

1 ; x ? 4x ? 3
2

y ? x2 ? 4 x ? 3

2. 已知 f ( x) ?

1 ,求 f ( 2) , f ( f (3)) , f ( f ( x)) . x ?1

? 0 ( x ? 0) ? 3. 已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) ,作出 f ( x) 的图象,求 f (1), f (?1), f (0), f { f [ f (?1)]} 的值。 ? x ? 1( x ? 0) ?

4 课本 P25

B 组 第 3 题。

四、知识链接 1 背写出函数的定义:

-27-

2 在初中学过一些对应的例子:如数轴上的点与实数对应;生活中也有一些对应的例子: 如 某个班级每个学生的学号与每个学生对应 等等。 五、学习过程 1 映射的概念 阅读课本 P22 页,理解映射的概念: 一般地,设 A、B 是两个非空集合,如果按照某一个 确定的对应关系?,使对于集合 A 中的任何一个元素 X,在集合 B 中都有唯一的元素 Y 和它对 应,那么就称对应 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个映射(记住)。 点拨: (1)映射有三个要素:两个集合,一种对应关系,缺一不可; (2)A,B 可以是数集,也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序:符号“f: A→B”表示 A 到 B 的映射,符号“f:B→A”表示 B 到 A 的映射,两者是不同的; (3)集合 A 中的元素在集合 B 中一定有元素和它对应,并且是唯一的;但集合 B 中的元 素在 A 中可以没有元素和它对应,即使有也可以不唯一。 举例:下列对应,哪些是集合 A 到集合 B 的一个映射(为简明起见,这里的 A、B 都是有限集 合)

注:对每个对应都要强调对应法则,集合顺序。 答:由映射定义,上述四图中 对应是 A 到 B 的映射, 的映射。对应法则分别是 思考:函数与映射的关系?

对应不是 A 到 B 。

2.例题分析 A 例题 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则,哪些是映射? ①A={P | P 是数轴上的点},B=R,对应法则 f: 数轴上的点与它代表的实数对应; ②A={三角形},B={圆},对应法则 f: 每一个三角形都对应它的内切圆; ③A={ P | P 是平面直角坐标系中的点}, B ? ( x, y) x ? R, y ? R

?

? ,对应法则 f:平面直

角坐标系中的点与它的坐标对应 ; ④A={友好三中的班级}, B={友好三中的学生} , 对应法则 f : 每一班级都对应班里的学生。

-28-

六、达标检测: A1 判断下面的对应是否为集合 A 到集合 B 的映射,并说明理由。 (1)设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}。f: x ? 2x ? 1 ; (2)设 A=N ,B={0,1},f: x ? x除以2得的余数;
*

(3)设 A=R,

B=R,

f: x ? x取倒数;

B2.在映射 f:A

? B 中,A=B={(x,y) x, y ? R }且, f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) 则与 A 中的元

素(-1,2)对应的 B 中的元是 。 B3.课本 P24 习题 1.2A 组题第 10 题 。

七、学习小结:

八、课后反思:

-29-

课题:1.2 函数及其表示 (习题课)
一、三维目标: 知识与技能:对函数 f ( x) 记号的理解与运用,会根据条件求函数的解析式,理解函数的三种 表 示法及其简单应用,掌握函数的图像及其简单应用。 过程与方法:通过本节内容的学习,使学生加深对函数及其应用的理解、初步体会学习函数的 方法。 情感态度与价值观:激发学习兴趣,培养学生合作探究学习的能力。 二、学习重、难点: 重点:函数 f ( x) 记号的理解与运用,会根据条件求函数的解析式,掌握函数的图像及应 用。 难点:函数的图像及其应用。 三、知识链接:1、函数的概念 : 2、函数的三种表示方法: 四、学法指导:回顾前几节函数知识的内容,认真学习导学案中的例题,灵活运用函数知识解 决问题,并注意方法规律总结。 五、学习过程: A1. 函数 f ( x) 记号的理解与运用: 已知函数 f ( x) =4x+3,g(x)=x ,求 f[4] g[6].,f[g(x)],g[f(x)]。
2

B2.解析式法及应用:例 1 求函数的解析式: 2 (1)已知 f(2x+1)=x +1,求 f(x); t-1 t-1 2 解:(1)设 t=2x+1,则 x= , ∴f(t)=( ) +1. 2 2 x-1 2 从而 f(x)=( ) +1. 2 1 x (2)已知 f( )= ,求 f(x). x 1-x2 1 1 1 x 解法一:设 t= , 则 x= (t≠0),代入 f( )= , x t x 1-x2 1 得 f(t)=

t t

1 2 1-( )



, t -1
2

t

故 f(x)=

x
2

x -1

(x≠0).

1

x 1 x 解法二:∵f( )= , 2= x 1-x 1 2 ( ) -1 x

∴f(x)=

x (x≠0). x2-1

-30-

(3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x); 解:设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7. (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) . 1 解:2f(x)+f( )=3x①,

1 x

x

1 1 3 把①中的 x 换成 ,得 2f( )+f(x)= ②,

x

x

x

3 1 ①×2-②得 3f(x)=6x- ,∴f(x)=2x- .

x

x

方法总结:第(1)题用代入法;第(2)题用配凑法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数 法;第(4)题用方程组法。 A3 列表法及应用 【例 2】 某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位:百公斤)如表所示: 月份 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 零售量 y 81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123 则零售量是否为月份的函数?为什么?

B4 图象法及应用 【例 3】 作出下列函数的图象:(1)y=1+x(x∈Z);

(2)y=x2-2x(x∈[0,3))

【例 4】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行 驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )

解析:因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速,s 随 t 的变化是先慢、再快、到匀速、 最后慢,故 A 图比较适合题意,故答案选 A. C5. 函数应用问题: C【例 5】例. 中山移动公司开展了两种通讯业务: “全球通” ,月租 50 元,每通话 1 分钟,付 费 0.4 元; “神州行”不缴月租,每通话 1 分钟,付费 0.6 元. 若一个月内通话 x 分钟,两种 通讯方式的费用分别为 y1 , y2 (元). Ⅰ.写出 y1 , y2 与 x 之间的函数关系式? Ⅱ.一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同? Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选择哪种通讯方式?
-31-

六、达标检测: 一、选择题 1-x 1 A1.若 f(1-2x)= 2 (x≠0),那么 f( )等于 x 2 A.1 B.3 C.15 D.30 B2.已知 f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则 f(x)= A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 |x| B3.函数 y=x+ 的图象为 ( )
2

(

)

(

)

x

C4.如下图所示的四个容器高度都相同.将水 从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中, 注满为止. 用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系, 其中不正确的 有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

C5.水池有 2 个进水口,1 个出水口,每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)。

给出以下三个诊断: ①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水不出水.其中一定正确的论断是 A.① B.①② C.①③ D.①②③ 二、填空题 A6.已知函数 f(x)=x+b,若 f(2)=8,则 f(0)=________. B7.已知一次函数 f(x),且 f[f(x)]=16x-25,则 f(x)=________. B8.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出 则 f[g(1)]的值为__________;当 g[f(x)]=2 时,x=__________. 三、解答题
-32-

(

)

x f(x) x g(x)

1 2 1 3

2 1 2 2

3 1 3 1

B9 (1)已知 f(x+1)= x 2 +x-1,求 f(2)和 f(x). (2) 若 f ( x ? 1 ) ? x ? 2 x ,求 f ( x)
王新敞
奎屯 新疆

B10.作出下列函数的图象: 1 (1)y= ,x>1;

x

(2)y=x -4x+3,x∈[1,3].

2

创新题型 C11. 设 f(x)是定义在 R 上的函数, 且满足 f(0)=1, 并且对任意实数 x, y, 有 f(x-y)=f(x) -y(2x-y+1),求 f(x)的解析式。

七、学习小结: 八、课后反思:

-33-

课题:1.3.1 函数的基本性质----单调性
一、三维目标: 知识与技能: (1)理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征; (2)能利用函数图象划分函数的单调区间,并能利用定义进行证明。 过程与方法:由一元一次函数、一元二次函数的图象,让学生从图象获得“上升” “下降”的 整体认识;利用函数对应的表格,用自然语言描述图象特征“上升” “下降”最 后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义, 从而构造函数单调性的 概念。 情感态度与价值观:在形与数的结合中感知数学的内在美,在图形语言、自然语言、数学语言 的转化中感知数学的严谨美。 二、学习重、难点: 重点:理解增函数、减函数的概念。 难点:单调性概念的形成与应用。 三、学法指导: 在老师的引导下,学生在回顾旧知,细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑 与析疑,合作与交流,归纳与总结的过程中获得新知,从而形成概念,掌握方法。 四、知识链接: 1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ 。 2.f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________。 2 3.f(x) = x 1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ 。 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ 。

y 1 -1 -1 1 x

y 1 -1 -1 1 x

y 1

-34-

-1 -1

1

x

五、学习过程: (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义: (学生活动) ____________________________________________________________________________ __ ____________________________________________________________________________ __ 2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。 注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2 ;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) ( 或 ○

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ).
3 反映在图象上,若 f ( x) 是区间 D 上的增(减)函数,则图象在 D 上的部分从左到右是上 ○ 升(下降)的。 (二)典型例题 A1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一 单调区间上,它是增函数还是减函数?

A2. 求证:函数 y=

1 在区间(1,+∞)上为单调减函数。 x- 1

-35-

六 达标训练: A1.证明函数 f(x)=-3x+2 在 R 上是减函数。

B2. 写出 f(x)=x -4x+5 的单调递增区间,并证明。

2

C3. 讨论函数 y=x -2(2a+1)x+3 在[-2,2]上的单调性。

2

七、学习小结: 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 八、课后反思:

-36-

课题:1.3.1 函数的最大(小)值
一、三维目标: 知识与技能:(1)理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义; (2)理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数,体会求函数最值是函 数单调性的应用之一。 过程与方法:借助函数的单调性,结合函数图象,形成函数最值的概念,培养应用函数的单调 性求解函数最值问题。 情感态度与价值观: 在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想, 感知数学问题求解途 径与方法,探究的基本技巧,享受成功的快乐。 二、学习重、难点: 重点:应用函数单调性求函数最值。 难点:理解函数最值可取性的意义。 三、学法指导: 通过师生合作、讨论,在示例分析、探究的过程中,获得最值的概念, 从而掌握应用单 调性求函数最值这一基本方法。 四、知识链接: 1.增函数的定义?减函数的定义?函数单调性的定义?

2. 判断函数单调性的方法步骤:

五、学习过程: 1.画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题: 1 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; ○ 2 指出图象的最高点或最低点。 ○ (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (2) f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ?[?1,2]

(3) f ( x) ? x

2

(4) f ( x) ? ? x

2

2.函数最大(小)值定义 (1).最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) 。

-37-

思考:仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value)的定义。 (2). 最小值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)_______________________________________________; (2)________________________________________________ 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value) 。 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ○ ≤M(f(x)≥M) 。 六、达标训练: 2 A1. (1) .函数 f(x)=2x-x 的最大值是 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 (2).已知函数 f(x)= 3x-2+x,则它的最小值是 ( A.0 B.1 2 C. D.无最小值 3 2 (3).函数 f(x)=x -2ax+a+2 在[0,a]上的最大值为 3,最小值为 2,则 a 的值为 ( A.0 C.1 B2.已知函数 y = B.1 或 2 D.2
2 (x ? [2,6]),求函数的最大值和最小值。 x ?1

)

)

)

C3. 已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[-5,5], (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值与最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使函数 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数。

2

1 2 D4. 已知函数 f(x)=- x +x,是否存在实数 m、n,m<n,使当 x∈[m,n]时,函数的值域恰 2 为[2m,2n],若存在,求出 m、n 的值;若不存在,说明理由。

-38-

七、学习小结: 1. 概念:最大值与最小值; 2. 求最大值与最小值的方法: 1)图象法 2)配方法(二次函数) 3)判别公式法 (二次函数) 3. 数形结合是研究函数性质的常用方法。

八、课后反思:

-39-

课题:1.3.2 函数的奇偶性
一、三维目标: 知识与技能:使学生理解奇函数、偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶性。 过程与方法:通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。 情感态度与价值观: 通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨 论, 培养学生主动交流的合作精神, 使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间 的关系,培养学生善于探索的思维品质。 二、学习重、难点: 重点:函数的奇偶性的概念。 难点:函数奇偶性的判断。 三、学法指导: 学生在独立思考的基础上进行合作交流, 在思考、 探索和交流的过程中获得对函数奇偶性 的全面的体验和理解。对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及 时巩固。 四、知识链接: 1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义:

2.分别画出函数 f (x) =x 与 g (x) = x 的图象,并说出图象的对称性。

3

2

五、学习过程: 函数的奇偶性: (1)对于函数 f ( x) ,其定义域关于原点对称 : ......... 如果______________________________________,那么函数 f ( x) 为奇函数; 如果______________________________________,那么函数 f ( x) 为偶函数。 (2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称。 (3)奇函数在对称区间的增减性 ;偶函数在对称区间的增减性 六、达标训练: A1、判断下列函数的奇偶性。 4 5 (1)f(x)=x ; (2)f(x)=x ;



(3)f(x)=x+

1 x

(4)f(x)=

1 x2

2 A2、二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )是偶函数,则 b=___________ . 7 5 3 B3、已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 ,则

-40-

f (7) ? _______ .
B4、若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于 ( (A) x 轴对称 (B) y 轴对称 (C)原点对称 (D)以上均不对 B5、如果定义在区间 [3 ? a,5] 上的函数 f ( x) 为奇函数,则 a =_____ . C6、若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =_______ . D7、设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 )

f (47.5) 等于
(A)0.5 (B) ? 0.5 (C)1.5
2

( (D) ? 1.5



D8、定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?

x?m ,则常数 m ? ____ , n ? _____ . x ? nx ? 1

七、学习小结: 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法, 用定义法判断函数的奇偶性时, 必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。 单调性与 奇偶性的综合应用是本节的一个难点, 需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这 两个性质。

八、课后反思:

-41-

课题:2.1.1 指数与指数幂的运算
一、三维目标: 知识与技能:1.理解 n 次方根及根式的概念; 2.正确运用根式运算性质进行运算变换。 过程与方法:由简单的根式运算推广到一般的根式运算。 情感态度与价值观:提高学生的分析问题的能力,体会数学的魅力。 二、学习重、难点: 重点:利用根式的运算性质进行化简。 难点:条件求值问题。 三、学法指导:联系初中学习的幂值运算知识,认真阅读教材 P48---P50,对照学习目标,完成 导学案,适当总结。 四、知识链接: 1.4 的平方根是 ,4 的算术平方根是 , 4 的值是 。 个。

2.0 的平方根是 ,正数的平方根是 3. 实常数 a 的平方根、立方根是什么概念?

个,负数的平方根是

五、学习过程: 阅读教材 P48——P50 页,回答下列问题: 问题 1:-8 的立方根 ,16 的 4 次方根 ,32 的 5 次方根 -32 的 5 次方根 问题 2:n 次方根的概念: ,0 的 7 次方根 , a 的立方根
6

, .

问题 3:负数没有 n 次方根这种说法正确吗? 问题 4:设 a 为实常数, (1)则关于 x 的方程 x =a, x =a 分别有解吗?有几个解?(2)则关 4 6 于 x 的方程 x =a, x =a 分别有解吗?有几个解?
3 5

问题 5: 当 n 是奇数时,a 的 n 次方根有几个?该如何表示?当 n 是偶数时呢?

问题 6: 4 16 ? ?2 是否正确?教材对于负数和零的 n 次方根有何说明?

A 例 1、 (1) 64 的 6 次方根是

, (2) 若 ( x ? 2) 有意义, 则 x 的取值范围是
0

。 。

问题 6: 我们把式子 n a (n ? N , n ? 1) 叫做 问题 7: ( 3 2)3 ?

, 其中 n 叫做

, a 叫做

( 5 ?2)5 ?

( 4 2)4 ?

根据以上例子试总结归纳,一般地 (n a ) n 等于什么?

-42-

问题 8:

3

(?2)3 ?
(?2) 4 ?

5

25 ?
4

4

24 ?

根据以上例子试总结归纳,一般地 n a n 等于什么?

A 例 2、求值: (1)
3

(?8) 3

(2)

( ?10 ) 2

(3)

4

(3 ? ? ) 4

(4)

8

( a ? b) 8

A 例 3、化简:
?1 2 B(1) (? ? ? ) ? 4

C(2) 5 ? 2 6

六、达标检测: A1.

(?5) 2 ?

2 2 ; ( (?5) ) ?

; (3 ? ? ) =
2

7 ; 7 ( x ? 7) =



4 0 B2. a-2+(a-4) 有意义,则 a 的取值范围是 ( A.a≥2 C.a≠2 1 4 2 B3.若 a< ,则化简 (2a-1) 的结果是 2 ( A. 2a-1 C. 1-2a B.- 2a-1 D.- 1-2a ) B.2≤a<4 或 a>4 D.a≠4 )

B4.若 x -2x+1+ y +6y+9=0,则 y =________.

2

2

x

A5.化简: 6

1 3 3 3 ? 3 ? 0.125 . 4 8

-43-

B6.(1) 设-3<x<1,求 x 2 ? 2x ? 1 ? x 2 ? 6x ? 9 的值。

2 2 3 (2)化简: ( a ? 1) ? (1 ? a ) ? 3 (1 ? a ) .

2 4 (3)若代数式 2 x ?1 ? 2 ? x 有意义,化简 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 4 ( x ? 2) .

七、学习小结: 总结一下通过本节课你都学到了什么?还有那些地方有疑问? 八、课后反思:

-44-

课题:2.1.2 指数函数及其性质(第一课时)
一:学习目标: 知识与技能:初步理解指数函数的定义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图 象。 过程与方法:引入,剖析、定义指数函数的过程,启动观察、分析、归纳、总结、抽象 概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的学习方法。 情感态度与价值观:通过本节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方法,提高学生的 学习能力养成积极主动。 二、学习重点、难点: 重点:指数函数的定义、图象、性质。 难点:指数函数的定义理解,指数函数的图象特征及指数函数的性质。 三、学法指导:动手作简单的指数函数的图象对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用, 在借助图象研究指数函数的性质时会遇到分类讨论、 数形结合等基本数学思想方法, 这些方法 将会贯穿整个高中的数学学习。 四、知识链接: 1 .计算并完成以下表格 n -3 -2 -1 0 1 2 3

2n

3n

?1? ? ? ?2? ?1? ? ? ?3?

n

n

2 函数的三要素是什么?函数的单调性反映了函数哪方面的特征?

五、学习过程: 问题 1:据国务院发展研究中心 2000 年发表的《未来 20 年我国发展前景分析》判断,未 来 20 年我国 GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到 7.3﹪.那么,在 2001~2020 年,各 年的 GDP 可望为 2000 年的多少倍? 如果我国 2000 年的 GDP 看成是 1 个单位,2001 年为第一年,那么:
-45-

1 年后(即 2001)年我国的 GDP 可望为 2000 年的 2 年后(即 2002)年我国的 GDP 可望为 2000 年的 3 年后(即 2003)年我国的 GDP 可望为 2000 年的 4 年后(即 2004)年我国的 GDP 可望为 2000 年的

倍; 倍; 倍; 倍;

设 x 年后我国的 GDP 为 2000 年的 y 倍,那么 y 与 x 的函数关系式是什么? 即从 2000 年起,x 年后我国的 GDP 为 2000 年的 倍。

问题 2:当生物死后,它机体内原有的碳 14 会按照确定的规律衰减,大约每经过 5730 年 衰减为原来的一半,这个时间成为“半衰期” 。根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系为
t

? 1 ? 5730 P?? ? ?2?
1

如果以字母 a 代替

? 1 ? 5730 和 1.073 那么以上两个函数解析式都表示为 ? ? ?2?
底数 a 是一个 的常量。

的形式,其中自变量 x 是 总结指数函数的概念:

1 指数函数的定义是一个形式定义; 注意:○ 2 注意指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、和零。 ○ A 例 1.判断下列函数是否为指数函数?
x (1) y ? 4

(2) y ? x 4

(3) y ? ?4 x

(4) y ? 4 x?1

问题 3:在同一坐标系内画出下列四个指数函数的图像。 (1)y=2
x

(2)y =3

x

(3)y=(1/2)

x

(4)y=(1/3)

x

思考:问题 3 中图象有何共同特征?当底数 0 ? a ? 1 和 a ? 1 时图象有何区别?

-46-

问题 4:指数函数性质 根据指数函数的图象特征,由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质,完成下表: a>1 0<a<1





(1)定义域: 性 (2)值 域: (3)过定点: 质 (4)单调性:

A 例 2.已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图像经过点(3, ? ) ,求 f(0),f(1),f(-3) 的值。

六、达标检测: A1、某种细胞分列时,由一个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个??以此类推,写出一个这样的细 胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数解析式。

-47-

B2 说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2x 的图象的关系,并画出它们的示意图。 ⑴ y ? 2x?1 ; ⑵ y ? 2x ?2

B3 从问题 3 画出的图象中你能发现函数 y ? 2 x 的图象和函数 y ? ( ) 的图象有什么关
x

1 2

系?可否利用 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) 的图象?
x

1 2

七、学习小结: 1.利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法, 记忆指数函数性质时可以联想它的图 像。 2.指数函数的性质: (1)定义域(-∞,+∞) ,值域(0,+∞) ; (2)函数的特殊值(0,1) ; (3) 函数的单调性:a>1,单调增; 0<a<1,单调减。 八、课后反思:

-48-

课题:2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)
一、学习目标: 知识与技能:进一步掌握指数函数的图象和性质并能简单应用。 过程与方法:通过探究体会“数形结合”的思想;感受知识之间的关联性。 情感态度与价值观:通过本节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方法,提高学生的 学 习能力养成积极主动。 二、学习重、难点: 初步学会应用指数函数的性质进行比较大小和求函数的定义域与值域。 三、学法指导: 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程,培养学生探究、归纳分析问题的能力。通 过探究体会“数形结合”的思想;感受知识之间的关联性;体会研究函数由特殊到一般再到特 殊的研究学习过程;体验研究函数的一般思维方法。 四、知识链接: 1、 回顾指数函数的概念;

2、指数函数 y ? a 的图象和性质:
x

0<a<1 图像

a>1

定义域 值域 性质

五、学习过程: A 例 1、 比较下列各题中两个值的大小。 (1) 1.7
2.5

与 1.7 ;

3

(2) 0.8

?0.1

与 0.8

?0.2



(3) 1.7

0.3

与 0 .9

3 .1

.

-49-

ax ?1 B 例 2、当 a ? 1 时,证明函数 y ? x 是奇函数。 a ?1

六、达标检测: A1、教材 60 页习题 1(解题过程) 。

2、求下列函数的定义域、值域:
1 2 x ?1

B(1) y ? 8

B (2) y ? 1 ? ( )

1 2

x

C(3) y ? 3

?x

C(4) y ?

a x ?1 (a ? 0, a ? 1) ax ?1

B3 设 y1 ? 4

0.9

1 , y 2 ? 8 0.44 , y 3 ? ( ) ?1.5 ,则 2
B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2





A.y3>y1>y2

B4 若集合 M ? {y | y ? 2 x }, P ? {y | y ? x ? 1} ,则 M∩P= A. { y | y ? 1} B5 不等式 6
x 2 ? x ?2

( D. { y | y ? 0}



B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0} ___。

? 1 的解集是_

C6 函数 y=

1 的值域是_ 2 ?1
x

_______。

七:学习小结:
-50-

本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的应用。 会利用指数函数的性质判断两个指数幂的大小。

八、课后反思:

-51-

课题:2.2.1 对数与对数运算(1)
一、三维目标: 知识与技能: 1.理解对数的概念,能说明对数与指数的关系; 2.掌握对数式与指数式的互化。 过程与方法: 通过与指数式的比较,引出对数定义。 情感态度与价值观: 学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力。 二、学习重、难点: 重点:对数的概念,对数式与指数式的互化。 难点:对数概念的理解。 三、学法指导:与指数式的比较,学习对数定义。 四、知识链接: 思考: 在 2.1.2 的例 8 中,得到函数关系式 y ? 13?1.01 ,如果问“哪一年的人口数要
x

达到 18 亿、20 亿、30 亿??” ,该如何解决? 即:

18 20 30 ? 1.01x , ? 1.01x , ? 1.01x , 在这些式子中, x 分别等于多少? 13 13 13
问题。

像上面的式子,已知 和 的值,求 ,这就是我们这节课所要学习的 五、学习过程: A 问题 1、把上述问题一般化,你能概括出对数的定义吗? 1. 对数的定义: 一般地, 若 a ? N (a ? 0, 且a ? 1) , 那么数
x

叫做以 a 为底 N 的

, 记作



其中, a 叫做对数的 ,N 叫做 。 特别地,将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 =2.71828 ?为底数的对数称为自然对数,并把 ,记作

, 记作 。

. 以无理数 e

你能将上述人口问题中的时间用对数表示吗?

B 问题 2、 在指数式a x ? N与对数式loga N ? x中,a, x, N的名称

与位置有什么变化?

对数与指数的关系:

当a ? 0, 且a ? 1时

?
B 例 1. 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)5 =625
4

(2) 2

?6

?

1 64

(3) ( ) ? 5.73
m

1 3

-52-

(4) log 1 16 ? ?4
2

(5) lg 0.01 ? ?2

(6) ln10 ? 2.303

B问题3.

(1)是不是所有的实数都有对数?

(2) log a 1 ?
(3)loga a ?
C 例 2.求下列各式中 x 的值:

1 (1) log 64 x ? ? ; 3

(2)log x 2 ? 6

(3) lg1000 ? x

(4) ? ln e3 ? x

六、达标检测: A1.把下列指数式写成对数式:
3 ⑴ 2 =8

⑵ 2 =32

5

⑶2 =

?1

1 2

⑷ 27

?

1 3

?

1 3

解:

B2.把下列对数式写成指数式: (1) log3 9=2 ⑶ log2 解: ⑵ log5 125=3 ⑷ log3

1 =-2 4

1 =-4 81

-53-

B3.求下列各式的值。 (1) log5 25 ⑷ lg 0.01 解: ⑵ log2

1 16

⑶ lg 100 ⑹ lg 0.0001

⑸ lg 10000

C4.求下列各式的值。 (1) log15 15 ⑷ 解 ⑵ log0.4 1 ⑸ log7 343 ⑶ log9 81 ⑹ log3 243

log2.5 6.25

七、学习小结: 本节课学习了以下内容: ⑴对数的定义 ⑵指数式与对数式互换 八、课后反思:

⑶求对数式的值

-54-

课题:2.2.1 对数与对数运算(2)
一、三维目标: 知识与技能: 1.理解和掌握对数运算的性质; 2.掌握对数式与指数式的关系。 过程与方法: 通过对具体实例的学习,使学生了解知识源于生活,服务于生活。 情感态度与价值观: 1.通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质; 2.在学习过程中培养学生探究的意识,体会数学的应用价值。 二、学习重、难点: 重点:对数运算的性质与对数知识的应用。 难点:正确使用对数的运算性质。 三、学法指导:学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标。 四、知识链接: B㈠ ⑴、 1.082 ? 2 , x 的值可以表示为___________。
x

⑵、 4 ? 64 ,对数形式记作_______________。
3

⑶、 8 ? 4 ,对数形式记作____________________。 ⑷、 10
?2

2 3

? 0.01 ,对数形式记作__________________。

A㈡对数的定义及对数恒等式:

loga N ? b ?
A㈢指数的运算性质:

( a >0,且 a ≠1,N>0).

am ? an ? _______;

am ? an ? _______ ;
m

(a m )n ? ________;

an ? __________ 。

五、学习过程: A 问题 1:我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数 运算性质,得出相应的对数运算性质吗? 例如: a ? a ? a
m n m? n

, 设M ? am , N ? an ,于是 MN ? am?n , 由对数的定义得到

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N MN ? am?n ? m ? n ? loga MN
?loga M ? loga N ? loga MN
即:同底对数相加,底数不变,真数相乘。 B 问题 2:请根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质。 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N
-55-

(2) log a

M ? log a M ? log a N N

(3) loga M n ? n loga M

(n ? R)

C 问题 3: 1. 在上面的式子中,为什么要规定 a >0,且 a ≠1,M>0,N>0 呢?

2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗?

B 例 1.计算: ① lg 0.01; ⑤ log2 ②

log 2 (24 ? 3 4) ;

③ lg 2 ? lg 5 ;
2

④lg100

1/5

7 1 ? log2 12 ? log2 42 ? 1 ; 48 2

⑥ (lg 2) ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ;

2 5 ⑦㏒ ( 3 9 ? 3) ;

⑧ log3

27 2 6 ? log3 ? log3 . 5 3 5

-56-

C 例 2. 用 ㏒a x , ㏒a y , ㏒a z 表示下列各式: (5) (loga x) ? n loga x
n
2 ( 1 ) ㏒( a x yz)

( ( ( ; lg

) ) )

1 (6) log a x ? ? log a x 1 (7) n log a x ? log a x n
B2. lg5+lg2= ; log 35-log 315=

( 2 ) ㏒a

x2 yz

1 -lg25= 4

(3) ㏒ a ;

x y z
2

log 2(log 216)= . B3.用 lg x,lg y,lg z 表示下列各式:

C 例 3.必修一 66 页例 5、例 6 请同学们认真阅读例题内容及解法,要求每个人都可以在课堂 上展示。 (要求展示)

六、达标检测: A1、判断下列式子是否正确, a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ,则有 (1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (3) log a ( ( ) )

x ? log a x ? log a y y





(4) loga xy ? loga x ? loga y





-57-

(1) lg (x y z)

xy ⑵ lg z

2

⑶ lg

xy

3

z

⑷ lg

x 2 yz

七、学习小结:

八、课后反思:

-58-

课题:2.2.1 对数与对数运算(3)
一、三维目标: 知识与技能: (1)在对数运算性质的基础上,利用指数式与对数式之间的关系探索发现换底公式; (2)能够利用换底公式进行对数的化简和运算。 过程与方法: (1)先从特殊的常用对数和自然对数入手,利用计算器进行对数的运算,从中发现对于底 数不是 10 或 e 为底的对数需要寻求办法把对数进行转换为常用对数或自然对数; (2)学会把未知的问题转化为已知的问题去思考解决。 情感态度与价值观:了解对数的运算过程中出现的问题,体会数学运算的处理。 二、学习重、难点: 重点:对数的换底公式、利用对数的运算性质和换底公式进行化简计算。 难点:对数的换底公式。 三、学法指导:观察、思考、探究。 四、知识链接: B 如何求解 1.06 ? 2 中的 x ?
x

分析: 1.06 ? 2 ? x ? log1.06 2 ;
x

1.06x ? 2 ? log10 1.06x ? log10 2

?

x ? log10 1.06 ? log10 2

?x?

log10 2 ; log10 1.06
log10 2 log10 1.06
( a ? 0 且 a ? 1, b ? 0 且 b ? 1, N ? 0 )

? log1.06 2 ?
猜测: logb N ? 五、学习过程:

loga N loga b

B 问题 1、模仿上面证明过程证明换底公式 logb N ?

loga N . loga b

特例: N ? a 时, logb a ?

loga a 1 ; ? loga b loga b
; [ 来

log a α bβ =

β log a b α

a loga b = b
B 例 1、计算下列各式的值:
-59-

① log4 3 ? log9 32 ; ③

② log16 27? log81 32 ; ④

1 1 ; ? log2 3 log13.5 3
log3 4

lg 2 lg 5 ; ? log50 10 log5 10
log9 4

⑤3

? 7log7

2



⑥3

? 5log5 2 .

C 例 2、已知 log3 2 ? a , log3 7 ? b ,试用 a 、 b 表示 log 4 7 .

1 α 1 β 2 C 例 3、已知方程 x +xlog26+log23=0 的两根为 α 和 β ,求( ) ·( ) 的值。 4 4

六、达标检测: A1.求值: ?log3 2 ? log9 2? ? ?log4 3 ? log8 3? =_________.
a A2. logc a ? logc =

.

A3. log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? log5 2 =

.

B4.已知 log8 a ? log4 b 2 ? 5 ,且 log8 b ? log4 a ? 7 ,那么 log4
2

ab =______.

-60-

B5.若 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,则 log5 45 ? ________(用 a 、 b 表示)。
b

B6.设 log

x

1 3 = ,求 x. 8 2

B7.已知 x +y -4x-2y+5=0,求 logx y 的值。

2

2

x

C8.若 a 、 b 是方程 2 lg 2 x ? lg x 4 ? 1 ? 0 的两个实根,求 lg(ab) ? ?loga b ? logb a ? 的值。

七、学习小结: 1 .对数的换底公式;2.不同底数的对数式之间的互相转化。 八、课后反思:

-61-

课题:2.2.2 对数函数及其性质(1)
一、三维目标: 知识与技能: 掌握对数函数的概念,图象。 过程与方法:用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学习,渗透数形结合的数学思想。 情感态度与价值观: ① 通过对对数函数图像的学习,加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识,使学生 体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣。 ② 通过学生的相互交流来加深理解对数函数图像的理解,增强学生数学交流能力,培养 学生倾听,接受别人建议的优良品质。 二、学习重、难点: 重点:准确描绘出对数函数的图像。 难点:依据图像来进行对相关问题的处理。 三、学法指导:对比指数函数相关性质。 四、知识链接: B1. 在同一直角坐标系中画出 y ? 2x 、 y ? ( ) x 的图像,并以这两个函数为例,说说指数函数 的性质。

1 2

五、学习过程: 材料 1: 回忆学习指数函数时用的实例。某种细胞分裂时,一个分裂成为原来的两个。 细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数:y= 2 。如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以 得到 1 万个,10 万个??细胞,根据下表: y x 2 1 4 2 ?? ?? 约 10000 个 ?? 约 10000 个 约 log2 100000 ?? ?? y
x

约 log2 10000??

log2 y

A 问题 1、分裂次数 x 就是分裂后要得到的细胞个数 y 的函数吗?为什么? 材料 2 :考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物,利用

t ? log
5730

1 2

P 估算出土文物或古遗迹的年代。根据下表:

-62-

碳 14 的含 量P 生物死亡年 数t

0.5 5730

0.3 9953

0.25 11797

0.1 19035

0.625 22920

0.125 17910

0.01 38069

0.001 57104

B 问题 2、t 是其体内碳 14 含量 P 的函数吗?为什么?

根据材料 1、2,可以得到生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数。 (一) 对数函数的概念 对数函数的定义:一般地,形如 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的函数叫做对数函数,其中 x 是 自变量,函数的定义域为 ?0,??? . B 例 1、判断下列函数是否是对数函数:[ ① y ? log x 3 ; ③ y ? 2log3 ( ( ( ) ) ) ② y ? log 1 2 x ;
2

( ( (

) ) )

x;

④ y ? log x x ; ⑥ y ? log 1 x ;
2

⑤ y ? 2log2 x ;

1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? log 5 注意:○ 是对数函数,而只能称其为对数型函数。 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 ○ B 例 2、求下列函数的定义域: (1) y ? loga x3 (2) y ? loga (3 ? x)

x 不 5

a ? 1) 。

-63-

C 例 3、(1)在同一直角坐标系画出函数 y ? log 2 x 和 y ? log 1 x 的图像。
2

利用换底公式,可以得到: y ? log 1 x ? ? log 2 x ,又点 ( x, y)和点(x, ? y) 关于 x 轴对称,
2

所以 , y ? log 2 x和y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称,因此 ,我们可以根据 y ? log2 x 的图象得
2

到函数 y ? log 1 x 的图象。
2

对比指数函数相关性质猜想对数函数的相关性质,并填写下表

0<a<1


a>1



定义域 值域 性质 (1)经过定点 (2) ,即 x= 时,y= (2)

C 例 4、比较下列各组数中两个值的大小: (1) log2 3.4 ,log2 8.5 (2) log0.2 1.4 ,log0.2 2.5 (3) loga 5.4 ,loga 5.5(a ? 0, 且a ? 1) 六、达标检测: B1、在同一直角坐标系中用描点法画出函数 y ? log 1 x , y ? log 1 x , y ? log 2 x ,
2 3

y ? log3 x 的图像。

-64-

C2、 试归纳、猜想底数同样大于 1 的函数图象的规律,底数同样在 ? 0,1? 的函数图象的规律。 B3、求下列函数的定义域: (1) y ? log5 (1 ? x) ; (2) y ?

1 ; log 2 x

(3) y ? log 7 (

1 ); 1 ? 3x

B4、比较下列各题中两个值的大小: (1) log10 6 , log10 8 ; (2) log 0.5 6 , log 0.5 4 ; (3) log 2 0.5 , log 2 0.6 ;
3 3

(4) log1.5 1.6 ,0;

(5) log 2 0.5 ,1
3



(6) log 3 2 , log 2 2 .
2 3

七、学习小结: 八、课后反思:

-65-

课题:2.2.2 对数函数及其性质(2)
一、三维目标: 知识与技能: 1.能够准确描绘出对数函数的图像,并可以利用图像来解决相关问题; 2.能够利用对数函数的相性质解决相关问题。 过程与方法: 1.通过师生之间,学生与学生之间的合作交流,使学生学会与别人共同学习; 2.通过探究对数函数的图像,感受数形结合思想,培养学生数学的分析问题的意识。 情感态度与价值观: 1.通过对对数函数图像的学习, 加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识, 使学生体 会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣; 2.通过学生的相互交流来加深理解对数函数图像的理解, 增强学生数学交流能力, 培养学 生倾听,接受别人建议的优良品质。 二、学习重、难点: 重点:准确描绘出对数函数的图像。 难点:依据对数的函数性质进行对相关问题的处理。 三、学法指导:对比指数函数相关性质。 四、知识链接: B1、求下列函数的定义域: (1) y ? log3 x ; (2) y ? 3 log 2 x ; (3) y ? log 0.5 (4 x ? 3) .

五、学习过程: B 例 1、如图所示曲线是对数函数 y ? log a x 的图像,已

y

4 3 1 知 a 值取 3, , , ,则相应于 C1 , C2 , C3 , C4 的 a 3 5 10
值依次为

C1
C2

0 B 变式训练 1:已知 a ? 0.3 , b ? 3 , c ? log3 0.3, d ? log0.3 3
3 0.3

1

x
C3 C4

将 a,b,c,d 四数从小到大排列 B 问题 1、说明函数 y ? log3 ( x ? 2) 与函数 y ? log3 x 的图像关系。

C 问题 2、将函数 y ? log a x 的图像沿 x 轴向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,所得到
-66-

函数图像的解析式:

C 例 2、(1)若 (log a

2 2 ) ? 1 ,求 a 的取值范围; 3

(2)解不等式: 2loga ( x ? 4) ? loga ( x ? 2) .

D 例 3、已知函数 f(x)=lg[(a -1)x +(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取 值范围。

2

2

D 例 4、已知 f ( x) ? ?

? ?(6 ? a) x ? 4a, ( x ? 1) 是 R 上的增函数,求 a 的取值范围。 , ( x ? 1) ? ?log a x

D 例 5、必修一 72 页例 9,认真阅读,理解题意,在课堂上展示。

六、达标检测: A1、函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1(a ? 0, a ? 1) 恒过定点 B2、为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有点向 10
个单位长度

平移 个单位长度,再向 平移 B3、已知下列不等式,比较 m,n 的大小: (1) log3 m ? log3 n ;

(2) log0.3 m ? log0.3 n;

-67-

(3) loga m ? loga n(0 ? a ? 1) ;

(4) loga m ? loga n(a ? 1) ;

B4、已知 log a

2 ? 1 ,则 a 的取值范围 3

B5、已知函数 y ? log2 ( x ? a) 的图象经过点(1,3) ,则函数 y ? loga (2x ? a) 的取值大于 0 时,x 的取值范围为 B6、函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1) 在 ?0,1? 上的最大值与最小值之和为 a ,求实数 a 的值。

B7、解不等式 log 1 ( x2 ? x ? 2) ? log 1 ( x ?1) ?1 .
2 2

七、学习小结: 八、课后反思:

-68-

课题:2.2.2 对数函数及其性质(3)
一、三维目标: 知识与技能: 能够解决对数函数形式的复合函数单调性及最值问题,并可以利用图像来解决相关问题。 过程与方法: ③ 通过师生之间,学生与学生之间的合作交流,使学生学会与别人共同学习。 ④ 通过探究对数函数形式的复合函数单调性,感受复合思想,培养学生数学的分析问题 的意识。 情感态度与价值观: 通过学生的相互交流来加深理解对数函数形式的复合函数的理解,增强学生数学交流能 力,培养学生倾听,接受别人建议的优良品质。 二、学习重、难点: 重点:准确描绘出对数函数形式的复合函数单调性。 难点:依据图像来进行对相关问题的处理。 三、学法指导:对比指数函数相关性质。 四、知识链接: B1.函数 y ? lg( x ? 4) 的定义域为 B2.若 logm 2 ? logn 2 ? 0 时,则 m,n 的大小关系是 五、学习过程: B 例 1、讨论函数 f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 的单调性。 思路分析:本题为复合函数,要注意求解定义域和对 a 进行讨论。 解:由 3x ? 2 x ? 1 ? 0 得函数的定义域为 ? x x ? 1或x<- ?
2

? ?

1? 3?

则当 a>1 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数,
2

∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。

若 x< ?

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3
2

当 1>a>0 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数, 若 x< ? ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。 (3) y ? log 1 (x 2 ? x)
2

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3
2

B 变式训练 1:求以下函数的单调区间: (1) y ? log2 (x ? 2x ? 3) (2) y ? log3 x 2

-69-

C 总结 y ? loga f (x) 单调区间的求法:

C 例 2、已知 f ( x) ? 2 ? log3 x, x ??1,9?, 求 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? 的最大值,及此时 x 的值
2

思路分析: 要求 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? 的最大值,要做两件事,一是求表达式,二是求定义域。
2
2 3

解:∵ f ( x) ? 2 ? log3 x, x ??1,9?, ∴y?? ? f ? x ?? ? ?f x
2 2

? ? = ? 2 ? log x ?
2

? 2 ? log 3 x 2 = ? 2 ? log 3 x ? ? 2 ? 2 log 3 x
2 2

∵函数 f ( x)的定义域为?1,9? ,

= log32 x ? 6log3 x ? 6 = ? log 3 x ? 3? ? 3

∴要使函数 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x

? ? 有意义,
2

?1 ? x 2 ? 9 2 就需要 ? ∴ 1 ? x ? 3, ?0 ? log3 x ? 1 ,∴ 6 ? y ? ? log 3 x ? 3? ? 3 ? 13 ?1 ? x ? 9 当 log3 x ? 1 时即 x ? 3 时 y ? 13
∴ x ? 3 时,函数取 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? 最大值 13
2

B 变式训练 2: 求函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x2 ) 的值域。
2

C 例 3、已知函数 f ( x) ? log 2

1? x , x ? ? ?1,1? , 1? x

⑴判断 f ( x ) 的奇偶性; ⑵讨论 f ( x ) 的单调性并证明。

C 问题 3:在指数函数 y ? 2

x

中,x 是自变量,y 为因变量。如果把 y 当成自变量,x 当成因

变量,那么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由。

结论:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把 这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数。 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数函数互为反函数。
-70-

如:函数 y ? 2x 与对数函数 y ? log2 x 互为反函数。 C 问题 4:以 y ? 2 x 与 y ? log2 x 为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的 联系? C 问题 5:与点 ? a, b ? 关于直线 y ? x 对称的点坐标是什么? B 例 4、求下列函数的反函数: (1) y ? 3 x ; (2) y ? log6 x

六、达标检测: x B1、已知a>0,且a≠1,则在同一坐标系内函数y=a 与y=loga(-x)的图象可能是_____

y 1 -1 x 1

y

y 1 1 x -1 x -1

y 1

0
(1)

0
(2)

0
(3)

0
(4)

x

B2、已知函数 f ( x ) 的图像过点(1,2)则其反函数的图像过点 C3、函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) 的大致图像是 (填序号)

y

y

y

y

-1

0 (1)

x

0

1 x

0

x

0 (4)

x

(3) (2) 1 1 C4、已知 f ( x) ?| lg x | ,则 f ( ), f ( ), f (2) 的大小关系 4 3

C5、已知函数 f ( x) ? loga | x ? 1| 在区间 (?1, 0) 上有 f ( x) ? 0 ,那么下面结论正确的 是 (填序号) ② f ( x ) 在 (??, 0) 上是减函数 ④ f ( x ) 在 (??, ?1) 上是减函数

① f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数 ③ f ( x ) 在 (??, ?1) 上是增函数

C6、已知函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? ax ? a) 在区间 ??, 2 上是增函数,求实数 a 的取值范围。
2

?

?

-71-

七、学习小结:

八、课后反思:

-72-

课题:2.3 幂函数
一、三维目标: 知识与技能:
2 3 ?1 2 (1)理解幂函数概念,会画幂函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图象;

1

(2)结合常见的幂函数图象,理解幂函数图象的变化情况和性质,并能进行简单的应用。 过程与方法: (1)通过观察、总结幂函数的性质,培养学生的识图能力和概括能力; (2)使学生进一步体会数形结合的思想方法。 情感态度与价值观: (1)通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生 的学习兴趣; (2)了解幂函数图象的变化规律使学生认识到数学美,从而激发学生的学习欲望。 二、学习重、难点: 重点:从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。 难点:画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律。 三、学法指导: 认真阅读教材,体会幂函数与指数函数的不同,在比较过程中进一步掌握指数函数,学习 幂函数,认识和掌握五个具体幂函数的图像和性质。 四、知识链接: 1.指数函数定义: 2.对数函数定义: 五、学习过程: (一) 、问题: (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克, 则她需要付款 p (元)与 w (千克)的函数关系 式为 ; (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 s 与 a 的函数关系式为 ; (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 v 与 a 的函数关系式为 ; (4) 如 果 正 方 形 场 地 的 面 积 为 s , 那 么 这 个 正 方 形 的 边 长 a 与 s 的 函 数 关 系 式 为 ; (5)如果某人 t s 内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均速度 v (km/s)与 t(s)的函数关系式 为 。 思考: 若这些函数的自变量用 x 来表示,函数值用 y 来表示,则函数关系式是怎样的?它们有怎 样的特点? (二) 、幂函数的定义:一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 为常数。
?

例 1:判断下列函数是否为幂函数?

(1) y ? x 4

(2) y ? 2 x 2

(3) y ? ? x 3

(4) y ?

1 x2

(5) y ? 2.3x

探究 1:怎么判断一个函数是幂函数还是指数函数?

2 3 ?1 (三) 、请在同一坐标系内作出幂函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 2 , y ? x 的图象。

1

x

? ?

-3

-2

-1

0

1

2

3

? ?

y?x

-73-

y ? x2 y ? x3
y?x
1 2

? ? ? ?

? ? ? ?

y ? x ?1

(四) 、请结合图像总结函数 y ? x ; y ? x ; y ? x ; y ? x ; y ? x ?1 的性质。
2 3

1 2

y?x
定义域 值 域 奇偶性 单调性 定 点

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

(五) 、 根据上表的内容并结合图象, 试总结函数 y ? x ; y ? x 2 ; y ? x 3 ;y ? x ?1 ; y ? x 2 的共同性质。 (1)函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x 2 和y ? x ?1 的图象都通过点 (2)函数 y ? x, y ? x , y ? x 是
3 ?1
1

1

; ; (奇函数、偶函数)

,函数 y ? x 是
2
2 3 1 2

(0,+?) (3)在区间 上,函数 y ? x, y ? x ,y ? x 和y ? x 都是
函数 y ? x 是
?1 ?1

, 无限接近。
?

; (增函数、减函数) 无限接近,向右与

(4)在第一象限内,函数 y ? x 的图象向上与

探究 2: 通过对以上五个函数图象的观察和填表, 你能类比出一般的幂函数 y ? x 的性质和图 象的变化规律吗? (1)所有的幂函数在 上都有定义, 并且函数图象都经过定点 。
? (2)如果 ? ? 0 ,则幂函数 y ? x 在(0,+∞)上为 ? 如果 ? ? 0 ,则幂函数 y ? x 在(0,+∞)上为 ?

。 。

探究 3:幂函数 y ? x ,当 x∈[0,+∞)时,α >1 与 0<α <1 的图象有何不同?

-74-

例 2:比较大小:

(1)1.51.5 ,1.71.5

(2) 1.1

?

1 2

, 0 .9

?

1 2

六、达标检测: A1.在下列函数中,定义域为 R 的是

(

)

A. y ? x

3 2

B. y ? x

1 ? 3

C. y ? 2x

D. y ? x ?1
( )

1 2 1 2 1 1 3 3 B2. 若T1 ? ( ) , T2 ? ( ) , T3 ? ( ) 3 ,则 2 5 2 A. T1 ? T2 ? T3 B. T3 ? T1 ? T2
A3. 幂函数 y ? x 5 在[?1,1]上是 A.增函数且是奇函数 C. 减函数且是奇函数
3

C. T2 ? T3 ? T1

D. T2 ? T1 ? T3
( )

B. 增函数且是偶函数 D. 减函数且是偶函数

B4. 如图所示, 曲线 C1、 C2、 C3、 C4 为幂函数

y ? x ? 在第一象限内的图象, 已知 ?
C1

1, ?2 取 ,,
( C2 )

四个值,则相应于曲线 C1、C2、C3、C4 的解析式中的指数 ? 依次可取

4 3 3 4

A. C.

4 3 , 1 ,, ?2 3 4 3 4 ? 2, 1 ,, 4 3

B.

4 3 ? 2, 1 ,, 3 4 4 3 D. ,, 1 , ?2 3 4

C3 C4

B5.比较大小
1 1

(1) 3.142 , ? 2

(2) (?0.38) 3 , ?? 0.39?

3

(3) 1.25 , 1.22

?1

?1

(4) ( )

1 3

? 0.25

,( )

1 3

? 0.27

B6.函数 y ? (m2 ? m ? 1) x m
1

2

?2m?1

是幂函数,实数 m 的值为

A7.函数 y ? x 2 ? x B8.已知 (a ? 3)
? 3 5

?

3 5

? ( x ? 2) 0 的定义域为
? 3

? (1 ? 2a) 5 ,求实数 a 的取值范围。

B9.(1)已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2 ) ,试求出这个函数的解析式。 (2) 若幂函数y ? f ( x)的图象经过点(9, ), 求f (25)的值 。

1 3

B10.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方成正比: (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 3 400cm /s,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流量速率 R 的表达式; (3)已知(3)中的气
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体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量速率。

七、学习小结: 1.一般地,
?

叫做幂函数,其中 。

是自变量,

是常数。

2.幂函数 y ? x 图象过定点

3.幂函数 y ? x? ,当 ? ? 0 时,图象在第一象限单调递 ;当 ? ? 0 时,图象在第一象限单 调递 ,向上与 轴无限接近,向右与 轴无限接近。

八、课后反思:

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课题:3.1.1 方程的根与函数的零点
一、三维目标: 知识与技能: 结合二次函数的图象, 理解函数的零点概念, 领会函数零点与相应方程根的关系; 过程与方法:掌握判定函数零点存在的条件,并能简单应用; 情感态度与价值观:通过学习,体会数形结合的思想从特殊到一般的思考问题的方法。 二、学习重、难点: 函数的零点的概念以及零点存在的判定方法。 三、 学法指导: 认真阅读教材, 在熟练掌握二次函数的有关知识的基础上, 结合二次函数图象, 由特殊到一般逐渐理解零点的概念,并会判断零点的存在。 四、知识链接: 五、学习过程: (一) 、认真阅读教材 P86---P87 页内容,思考: 1.通过书中三个具体一元二次方程的根与相应的二次函数的图像与 x 轴的交点的关系归 纳一元二次方 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根与相应的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图
2

象有什么关系?

2.函数的零点的概念: 对于函数 y=f(x),把 叫做函数 y=f(x)的零点。 注: 函数的零点是一个实数,而不是一个点。 3.方程、函数、图象之间的关系: 方程 f(x)=0 ?函数 y=f(x)的图象 ?函数 y=f(x) 。 练习: Al.函数 y=x-1 的零点是 ( A.(1,0) B.(0,1) C.0 D.1 A2.函数 f(x)=x2-3x-4 的零点是________

)

-77-

B3.若函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 C4.已知函数 f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.不能确定 (二) 、 认真阅读教材 P87---P88 页内容, 探究: 函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点? 1 观察二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象 我们发现函数 y ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [?2,1] 上有零 点。 计算 f (?2) 和 f (1) 的乘积, 你能发现这个乘积有什么特点?在区间 [2,4] 上是否也具有这 种特点呢?

2 猜想:若函数在区间[a,b]上图象是连续的,如果有 成立,那么函数在 区间(a,b)上有零点。 3.函数零点存在定理:如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在 c∈(a, b),使 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x) = 0 的根。 思考:若函数 y=f(x) 在区间(a, b)内有零点,一定能得出 f(a)·f(b)<0 的结论吗?

A 例 1、求证:函数 f(x)=2x -3x-2 有两个零点。



A 例 2 、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数。

六、达标检测: 2 A1.函数 f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是

x

( D.(e,+∞)

)

A.(1,2)

B.(2,3)

1 C.(1, )和(3,4)

e

B2.函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,求函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点。

C3.讨论函数 y=(ax-1)(x-2)(a∈R)的零点。
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D4 若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________。

x

七、学习小结: 1.函数零点的定义。 2.等价关系。 3.函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断。

八、课后反思:

-79-

课题:3.1.2 用二分法求方程的近似解
一、三维目标: 知识与技能: 能够借助计算器用二分法求方程的近似解,了解二分法是求方程近似解的常 用 方法;理解二分法的步骤与思想。 过程与方法:了解用二分法求方程的近似解的特点,学会用计算器或计算机求方程的近似 解, 初步了解算法思想。 情感态度与价值观: 回忆解方程的历史,了解人类解方程的进步历史,激发学习的热情和 学 习的兴趣。 二、学习重、难点:用二分法求方程的近似解。 三、学法指导:认真阅读教材 P89—90,了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。 四、知识链接: 1 函数零点的概念: 2.等价关系:方程 f(x)=0 ?函数 y=f(x)的图象 ?函数 y=f(x) 3.函数零点存在定理:

4.30 枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币,用天平最少需几次称量才能将假币区分出来?(请 写出具体过程)

五、学习过程: 今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程. 请学生们思考下面的问题: 能否求解 2 3 下列方程: (1)x ?2x?1=0; (2)lgx=3?x; (3)x ?3x?1=0。 实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值, 学完本节课, 你将对如何求一元方程的近 似解有新的收获。认真阅读 P89—90 页,回答下面问题: 1、 什么叫做二分法:

2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗?利用二分法求函数零点必须满足什么条件?

A 例 1、下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是

(

)

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注:(1)准确理解“二分法”的含义:二分就是平均分成两部分;二分法就是通过不断地将所 选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度, 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。 (2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在 该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。 3.给定精确度ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定 ,验证 ,给定 ; (2)求区间 ;(3)计算 ; ①若 ,则 c 就是函数的零点; ②若 ,则令 (此时零点 x0∈(a,c)); ③若 ,则令 (此时零点 x0∈(c,b))。 (4)判断是否达到精确度ε : 即若 , 则得到零点近似值 a(或 b); 否则重复(2)~(4). 4.求函数零点的近似值时,所要求的 精确度 不同,得到的结果也不相同,精确度ε 是指 在计算过程中得到某个区间(a,b)后,若 |a-b|<ε ,即认为已达到所要求的精确度,否则 应继续计算,直到达到精确度为止。 5.用二分法求函数零点的近似值时,最好是将计算过程中所得到的各个中点坐标、 计算中点 的函数值、所取区间等列在一个表格中,这样可以更清楚地发现零点所在区间。 B例2、用二分法求方程lgx=3?x的近似解(精确度为0.1) 。 如何判断根所属的区间: 可先把方程转化为 lgx+x?3=0,再设 f(x)=lgx+x?3,由 f(2.5)<0,f(3)>0,可判断根 在区间(2.5,3)内.解决了这个困难,顺利进入了不断二分区间的环节,建议可用表格形式 来完成求解过程,即: 根所在区间 (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) 区间端点函数值符号 中点值 2.5 2.75 2.625 2.5625 中点函数值符号

f (2) <0, f (3) >0
f(2.5)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(2.75)>0 f(2.5)<0,f(2.625)>0

f (2.5) <0

f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0

(2.5625,2.625) f(2.5625)<0,f(2.625)>0 由于 2.5625 ? 2.625 ? 0.0635 ? 0.1,所以原方程的近似解为 x1≈2.5625 注:(1)若方程的根可以转化为两个函数图象交点的横坐标,也可以通过两个函数图象的 交点,确定原方程的根所在的大致区间,再用二分法求解。 (2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值。用二分法求解时要注意给定函数的符号、 二分法求解的条件及要求的精确度。 六、达标检测: A1 下 列 函 数 中 能 用 二 分 法 求 零 点 的 是 ( )

-81-

A2.设 f(x)=3x+2x-8,用二分法求方程 3x+2x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根在区间 ( ) A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定 B3.求函数 f(x)=x3+2x2-3x-6 的一个为正数的零点(精确度 0.1)。

C4.中央电视台有一档娱乐节目“幸运 52” ,主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的 售价的机会,如果猜中,就把物品奖励给选手,同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机, 手机价格在 500~1000 元之间。选手开始报价:1000 元,主持人回答:高了;紧接着报价 900 元,高了;700 元,低了;800 元,低了;880 元,高了;850 元,低了;851 元,恭喜你,你 猜中了。表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际中,游戏报价过程体现了“逼近”的 数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?

七、学习小结: 八、课后反思:

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课题:3.1 函数与方程习题课
一、三维目标:巩固函数零点与用二分法求方程的近似解的应用等有关知识。 二、知识链接: 1.函数的零点的概念: 2.方程、函数、图象之间的关系: 方程 f(x)=0 ?函数 y=f(x)的图象 ?函数 y=f(x) 3.函数零点存在定理:

4.利用二分法求函数零点必须满足什么条件?

5.给定精确度ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下:

三、巩固训练 (一) 、选择题 2 1.函数 f(x)=-x +5x-6 的零点是 ( A.-2,3 B.2,3 C.2,-3 D.-2,-3 2.函数 f(x)=x- 没有零点,则 a 的取值范围是 ( A.a<0 B.a≤0 C.a>0 3 3.用二分法求函数 f(x)=x +5 的零点可以取的初始区间是 D.a≥0 ( A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] x 4.根据表中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个根所在的区间为 ) ) )

a x

x
e x+2
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

(

)

A.(-1,0) C.(1,2)
2

B.(0,1) D.(2,3)

? ?x +2x-3,x≤0 5.函数 f(x)=? ?-2+lnx,x>0 ?

的零点个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 2 6.若方程 2ax -x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是 A.a<-1 B.a>1 C.-1<a<1

D.3 ( )

D.0≤a<1

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7 .已知函数 f(x) 的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 ( )

A.4,4 B.3,4 x 8 函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是

C.5,4

D.4,3

( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 3 9.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经过计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得 其中一个零点 x0∈________;第二次应计算________,以上横线上应填的内容为 ( ) A.(0,0.5),f(0.25) B. (0,1), f(0.25) C. (0.5,1), f(0.75) D. (0,0.5), f(0.125) (二) 、填空: 10.在用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0, f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度为 0.1)。 2 11.若函数 f(x)=ax-b 有一个零点是 3,那么函数 g(x)=bx +3ax 的零点是________。 2 12.已知方程 2x +(m+1)x+m=0 有一正根一负根,则实数 m 的取值范围是________。 13.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这 个零点(精确度为 0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次。 x 14.(2009·山东卷)若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是________。 2 15.已知 m∈R 时,函数 f(x)=m(x -1)+x-a 恒有零点,求 a 的范围。

16.若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=lnx+2x-6,试判断函数 f(x) 的零点个数。

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17.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,m,n 是方程 f(x)=0 的两根,且 a<b,m<n,则实数 a,b, m,n 的大小关系应该是怎样?为什么?

总结:自己归纳一下此部分的题型和处理方法。

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课题:3.2 函数模型
一、三维目标 知识与技能:进一步学习和掌握基本初等函数性质并能熟练应用。 过程与方法:运用所学的函数知识和方法解决实际问题.培养学生用数学的意识分析问题解决 问题的能力。 情感态度与价值观:根据已知条件建立函数关系式,培养数学建模意识。 二、学习重、难点:用数学的意识分析问题解决问题 的能力。 三、学法指导:解决应用题的一般程序是: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义。 四、知识链接: 指数函数定义: 对数函数定义: 幂函数定义: 五、学习过程: ※ 典型例题 函数模型的应用实例 题型一:几类不同增长的函数模型 A1.假设你是一个投资家,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每年比前一年多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案?

题型二:分段函数模型 A 例二: 学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间:开始时学生的兴趣激增, 中间有一段不太长的时间学生的兴趣保持较理想的状态 ,随后学生的注意力开始分散.分析结 果和实验表明,用 f ( x ) 表示学生的接受能力与时间 x 有如下的关系:

??0.1x 2 ? 2.6 x ? 43 (0 ? x ? 10) ? f ( x) ? ?59 (10 ? x ? 16) ? ??3x ? 107 (16 ? x ? 30)
(1)开讲后多长时间学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,要 55 的接受能力及 13 分钟时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能 力的状态下讲完这个难题?

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题型三:指(对)数函数模型 B 例三:人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律,可以为有效控 制人口增长提供依据。早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长 模型: y ? y0ert 其中 t 表示经过的时间, 表示 t =0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长 率。下面是 1950~1959 年我国的人口数据资料: 年份 人数/ 万人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001), 用马尔 萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型, 并检验所得模型与实际人口数据 是否相符; (2)如果按表中数据的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿?

题型四:幂函数模型 B 例四:在固定电压下,当电流通过圆柱体电线时,其电流强度 I 与电线半径 r 的三次方成正 比.(1)写出 I 与 r 之间的函数关系式。 (2)如电流通过半径为 4 mm 的电线时,电流强度为 320A,求电流通过半径为 r mm 的电线 时,电流强度的表达式。 (3)如(2)中电流通过的电线半径为 5 mm ,求此时的电流强度。

六、达标检测: A1.某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续 5 年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测: (1)如 果不采取任何措施,那么到 2010 年底,该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如 果从 2000 年底后采取植树造林等措施,每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到哪一年年底该地 区沙漠面积减少到 90 万公顷? 观测时间 该地区沙漠比原有面 积增加数(万公顷) 1996 年底 0.2000 1997 年底 0.4000 1998 年底 0.6001 1999 年底 0.7999 2000 年底 1.0001

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A2.某公司为实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利 润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万元) 的 增 加 而 增 加 但 奖 金 不 超 过 5 万 元 , 同 时 奖 金 不 超 过 利 润 的 25% . 现 有 三 个 奖 励 模 型: y ? 0.25x, y ? log7 x ? 1, y ? 1.002x ,问:其中哪个模型能符合公司的要求?

B3.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图:(见课本 102 页) (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义。 (2)假设这辆汽车的里程表在行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立汽车行驶这段路程时 汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式,并作出相应的图像。

B4.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售 单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

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七、学习小结:

八、课后反思:

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参考答案
1.1(1)集合的含义与表示 参考答案 例 1:3 ? A,4 ? A 例 2:对 六、达标检测: 1.(1)是(2)否(3)是(4)是(5)否(6)否(7)是 2.(1) ? (2) ? (3) ? (4) ? (5) ? , ? , ? , ? 3.A 4.D 5.B 6.解:由题意得,该方程有两个不等的实根,即 ? ? 16 ? 4m ? 0 解得, m ? 4 实数 m 的取值范围为 m ? 4 7.解:由题意得, x ? 2 ,解得, x ? ? 2
2

当x? 意;

2 时,集合 A 中的元素为:1 2 ,2,集合 B 中的元素为:1,2, 2 ,符合题

当 x ? ? 2 时,集合 A 中的元素为:1, ? 2 ,2,集合 B 中的元素为:1,2, ? 2 , 符合题意; 所以 x 的值为 ? 2 1.1(2)集合的含义与表示 参考答案 例 2.(1)列举法: { 3, ? 3} ,描述法: {x

x2 ? 3 ? 0, x ? R}

(2)列举法: {11,12,13,14?? 29} ,描述法: {x ? Z 10 ? x ? 30} 达标检测: 1.课后习题 3.(1) {2,3, 4,5} 课后习题 4.(1) {x 2. {( , ? )} , {( x, y) (2) {1, ?2} (3) {0,1, 2}

4 y ? x2 ? 4, x ? R} (2) {x x ? 0} (3) {x x ? } 5

7 2

3 2

x ? y ? 2且x ? y ? 5}

3. {(0,6),(1,5),(2, 4),(3,3),(4, 2),(5,1),(6, 0)} 4. ? , ? 5.C 6.C 7. {2,1, 0} 8. (2,5) 9.(1) {3,5,7} (2) {x

x ? 5}(3) {( x, y) y ? x2 ?10, x ? R}
-90-

1.1.2 集合间的基本关系 参考答案 达标检测 1.(1) ?

? (2) =

?

2. 错 对 错 对 3.3 个 4.m=1 {a}、 {b}、 {c}、 {a, b}、 {a, c}、 {b, c}、 {a, b, c} 5.解: (1) ?、 (2)n 个元素,子集 2 个 真子集 ( 2 -1) 个 6.解: A ? {2,3} , B ? {x mx ? 1} 分情况讨论(1) B ? ? 时,m=0 (2)B 非空时,若 x=2,则 2m+1=0,m= ?
n n

1 2 1 若 x=3,则-3m+1=0,m= ? 3 1 1 所以,m=0,m= ? ,m= ? 2 3

7.m ? 3 1.1.3 集合的基本运算(一)参考答案 学习过程 3.适当符号填空: 0 ? {0}; 0 ? Φ ; Φ ={x|x +1=0,x∈R}
2

{0} ? {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6} ? {x|x<-2 或 x>5} ;

{x|x>-3} ? {x>2}

4.已知集合 A={1,2,3,},B={2,3,4},写出由集合 A,B 中的所有元素组成的集合 C。 解:C={1,2,3,4} 达标检测 1. 略 2. x x ? 1 3. B 4. D 5. 4 6. A ? B=?(1,1)? ,A ? B= ?(1,1),(1,2),(2,1)? 7. 分情况讨论 (1) a ? 1 时, A ? B=? (2)1<a<3 时, A ? B= x 1<x<a ? (3) a ? 3 时, A ? B= x 1<x <3? 8. a=10 9.m=-2 1.1.3 集合的基本运算(二)参考答案 巩固练习

?

?

?

?

-91-

①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A = ?2? , CU B =U; ②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ?0,1,3,6,7? ; ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = 非直角三角形 。 达标检测 1. A 2. 补集是全集的一个相对概念,不一定相等。 3. ?1,4,5? 4. 5. x 0 ? x ? 1 6. 2,5? 7. m=2 或 m= - 4 8. 当 m=4 时 CUA= 2,3? ,当 m=6 时 CUA= 1, 4? 9. 略 10. A ? B ? 2,3, 4? 11. a ? 2 §1.2.1 函数的概念(1) 参考答案 五、学习过程: 问题 3、125,525,800,600;问题 4、1991,1979≤t≤2001; 问题 5 、时间 t 的变化范围是数集 A={1979 ≤ t ≤ 2001} ,恩格尔系数的变化范围是数集 B={53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9},并且,对于数集 A 中的每一个 时间 t,按照表格,在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。 问题 8、一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 定义域 R、值域 R、对应关系: y ? kx ? b(k ? 0) ;二次 函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 定义域 R 、值域 : 当 a>0 时, ? f ? ?
2

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? b ? ? ?,??? ;当 a ? 0 时, ? ? 2a ? ?

k ? ? b ?? 2 ?? ?, f ? ? 2a ?? 对应关系: y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;反比例函数 y ? x (k ? 0) 定义域{x∣ ? ?? ?
x≠0}、值域{y∣y≠0}、对应关系: y ?

k (k ? 0) . x
;( 2 ) f ?? 3? ? ?1 , f ? ? ?



1 、( 1 )

?x x ? ?3且x ? ?2 ?

? 2? ?3?

3 33 ; ? 8 8

(3) f ?a ? ?

a?3 ?

1 1 , f ?a ? 1? ? a ? 2 ? . a?2 a ?1
3

练习 3、 ( 1 ) f ?2? ? 28 ; f ?? 2? ? ?28 ; f ?2? ? f ?? 2? ? 0 ; ( 2 ) f ?a ? ? 3a ? 2a ;

-92-

f ?? a ? ? ?3a 3 ? 2a ; f ?a ? ? f ?? a ? ? 0 。
达标检测: 1、C;2、A;3、D;4、1 ;5、略;6、略

§1.2.1 函数的概念(2) 参考答案 知识链接:2、自然语言法、列举法、描述法、韦恩图。 例 1、? x x ?

? ?

1 4? ? (1)?4,9? ;? ? ?, ? 。 且x ? ?1 ?;?x x ? 4 ?;?x x ? ?1且x ? 2 ? 。练习 1、 2 3? ?

例 2、 (3) 是与函数 y=x 是同一函数, y=x 的定义域是 x x ? R (2)的定义域是 x x ? 0

?

?,而(1)定义域是 ?x x ? 0 ?,

?

(4)的定义域是 ?x x ? R ?,但是其对应关系是 y ? x 。 ?,

?; 练习 2:D。例 3、 (1) ? (2) ?1,??? ; (3) ? ?12,3? 3,5,7,9,11
达标检测:1、 (1) ?1,??? ; (2) ?2,3? ; (3) ?1,2? ? ?2,??? ;2、 (1)不是, (2)不是, (3) 是;3、值域是 ?1,5? ;4、 (1) ?? 5,0? ? ?2,6? ; (2) ?0,??? ; (3) r ? ?0,2? ? ?5,??? 。 §1.2.2 函数的表示方法(1) 参考答案 达标检测:1、 (1) y ? x ? 502 ? x 2 (0 ? x ? 50) ; (2)D,A,B,略;2、1;3、C;4、18;4 或 ? 6 ;5、略 §1.2.2 函数的表示方法(2)的答案

?80 ? 0 ? x ? 20 ? ? ?160 ? 20 ? x ? 40 ? ? 达标检测:1、 ? ? 1 ;2、 3 ; 3、3、 y ? ?240 ? 40 ? x ? 60 ? ? ?320 ? 60 ? x ? 80 ? ?400 ? 80 ? x ? 100 ? ?

4、

§1.2.2 函数的表示方法(3) 参考答案 达标检测:1、 (1)是; (2)是; (3)不是,0 没有倒数;2、 ?? 3,1? ;3、8 个。 §1.2 函数及其表示习题课的答案
-93-

例 2、解:是函数,因为对于集合{1,2,?,12}中任一个值,由表可知 y 都有唯一确定的值 与它对应,所以由它可确定为 y 是 t 的函数。 例 3、解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线 y=1+x 上,如下图(1); (2)因为 0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线 y=x2-2x 介于 0≤x<3 之间的一部分,如图 (2);

达标检测: 一、选择题: 1-t 1、C 解法一:令 1-2x=t, 则 x= (t≠1), 2 4 1 ∴f(t)= ∴f( )=16-1=15. 2-1, (1-t) 2 1 2 1-( ) 4 1 1 1 解法二:令 1-2x= ,得 x= , ∴f( )= =15. 2 4 2 1 2 ( ) 4 2、B 解析:设 f(x)=kx+b(k≠0), ∵2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1, ? ? ?k-b=5 ?k=3 ∴? ,∴? , ∴f(x)=3x-2. ?k+b=1 ?b=-2 ? ?
?x+1 |x| ? 3、C,y=x+ =? x ? ?x-1

(x>0) (x<0)

4、A 解析:对于一个选择题而言,求出每一幅图中水面的高度 h 和时间 t 之间的函数解析式 既无必要也不可能,因此可结合相应的两幅图作定性分析,即充分利用数形结合思想. 对于第一幅图,不难得知水面高度的增加应是均匀的,因此不正确; 对于第二幅图,随着时间的增加,越往上,增加同一个高度,需要的水越多,因此趋势愈 加平缓,因此正确;同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的. 故只有第一幅图不正确,因此选 A. 5、A 解析:由图甲、乙可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口 1 速度的一半, 即 v 进水= v 出水.由图丙可看出在 0 点到 3 点之间蓄水量以速度 2 匀速增加,所以 2 在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确;在 3 点到 4 点之间蓄水量以 速度 1 匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确;在 4 点到 6 点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,故③不正 确. 综上所述,论断仅有①正确. 二、填空题: 6、6;解析:∵f(2)=8,∴2+b=8,∴b=6. ∴f(x)=x+6.∴f(0)=6. 25 7、4x-5 或-4x+ ;解析:(待定系数法)设 y=kx+b(k≠0) 3
? ?k =16 由 f[f(x)]=k(kx+b)+b=k x+kb+b=16x-25 得? ?kb+b=-25 ?
2 2

-94-

25 解得 k=4,b=-5,或 k=-4,b= 3 8、1,1。 三、解答题: 2 9、 (1)令 x=1,得 f(2)=1 +1-1=1,令 x+1=t,则 x=t-1, 2 2 ∴f(t)=(t-1) +(t-1)-1=t -t-1, 2 从而 f(x)=x -x-1. (2) 10、解:(1)当 x=1 时,y=1,所画函数图象如图 1 所示; 2 2 (2)y=x -4x+3=(x-2) -1, 且 x=1,3 时,y=0; 当 x=2 时,y=-1, 所画函数图象如图 2 所示.

11、解:因为对任意实数 x,y,有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 所以令 y=x, 有 f(0)=f(x)-x(2x-x+1), 即 f(0)=f(x)-x(x+1). 又 f(0)=1, 2 ∴f(x)=x(x+1)+1=x +x+1. 1.3.1(1)函数的基本性质----单调性 参考答案 1、函数 y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,因此[-5,-2],[1,3]是函数 y=f(x)的单调减区间;在区间[-2,1],[3,5]上是增函数,因此[-2,1],[3,5]是函数 y=f(x)的单调增区间. 2、证明:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,则 1 1 x2-x1 f(x1)-f(x2)= - = , x1-1 x2-1 (x1-1)(x2-1) 因为 1<x1<x2, 所以(x1-1)(x2-1)>0,x2-x1>0, 故 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 所以函数 y= 在区间(1,+∞)上为单调减函数. x-1 达标训练 1、证明:设 x1,, x2 是 R 上的任意两个实数,且 x1,< x2, f(x1,)-f(x2)=(-3 x1, +2)-(-3 x2+2)= 3(x2- x1,) 由 x1,< x2 ,得 x2- x1,>0 于是 f(x1,)-f(x2)>0 即 f(x1,)>f(x2) 所以,函数 f(x)=-3x+2 在 R 上是减函数。 2 2 2、解:由 f(x)=x -4x+5=(x-2) +1 2 可知 f(x)=x -4x+5 的单调递增区间为[2, +∞)

2 ? x1 ? x2时有: 证明: 设x1 , x2 ? [2,??)上的任意两个实数,当
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? 4x1 ? 5 ? ( x2 ? 4x2 ? 5) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ? 4)

-95-

由 2 ? x1 ? x2 得 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 4

于是( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ? 4) ? 0
所以 f(x)=x2-4x+5 的单调递增区间为[2, +∞) 3 3、解:∵函数图象的对称轴 x=2a+1,当 2a+1≤-2,即 a≤- 时,函数在[-2,2]上为 2 3 1 增函数;当-2<2a+1<2,即- <a< 时,函数在[-2,2a+1]上是减函数,在[2a+1,2]上是增 2 2 1 函数;当 2a+1≥2,即 a≥ 时,函数在[-2,2]上是减函数. 2 1.3.1(2)函数的最大(小)值 参考答案 达标训练: 1、(1)C (2)C (3) C 2、解:设 x1、x2 是区间[2,6]上的任意两个数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

2( x2 ? x1 ) 2 2 = ? x1 ? 1 x 2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

则 2<x1<x2<6 得: x2 ? x1 ? 0 , ( x1 ? 1)(x2 ? 1) >0 所以,f(x1)>f(x2),因此,函数 y ?

2 在区间[2,6]上是减函数。 x ?1

当 x=2 时,函数取得最大值为 2; 当 x=6 时,函数取得最小值为 0.4。 2 3、解:(1)当 a=-1 时,f(x)=x -2x+2 的图象的对称轴为直线 x=1. ∴f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(-5)=37. 2 (2)∵函数 f(x)=x +2ax+2 在[-5,5]上是单调函数, ∴区间[-5,5]一定都在抛物线的 对称轴 x=-a 的同一侧. ∴-a≤-5 或-a≥5,即 a≥5 或 a≤-5. ∴所求实数 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 4、解:假设存在 m、n 使当 x∈[m,n]时,y∈[2m,2n].则在[m,n]上函数的最大值为 2n. 1 而 f(x)在 x∈R 上的最大值为 , 2 1 1 ∴2n≤ ,∴n≤ . 2 4 而 f(x)在(-∞,1)上是增函数, ∴f(x)在[m,n]上是增函数.
? ?f(m)=2m, ∴? ? ?f(n)=2n,

1 - m +m=2m, ? ? 2 即? 1 ? ?-2n +n=2n.
2 2

∴?

? ?m=0,或m=-2, ?n=0,或n=-2. ?

∵m<n,∴m=-2,n=0. ∴存在实数 m=-2,n=0,使当 x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0]. 1.3.2 函数的奇偶性 参考答案
-96-

1、 (1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 (4)偶函数 2、0 3、17 4、B 5、8 6、 x(1 ? 3 x ) 7、B 8、0;0 2.1.1 指数与指数幂的运算 参考答案 例 1: (1) ?2 , (2) x ? 2 例 2.(1)-8 (2)10 (3) ? ? 3 (4) a ? b 例 3.(1) ? ?

1

?

(2) 3 ? 2

达标检测: 1.5,25, ? ? 3 ,x-7 2.B 3.C 4.-3 5.

3 2
(2)3

6.(1) a ? 1

2.1.2 指数函数及其性质(第一课时)参考答案 例1 1 是 2、3、4、不是 例2 达标检测 1 2 、y=2 (x∈N ? )
x

f(0)=1 ,f(1) = ∏

1/ 3

,f(-3)= ∏

?1

、 y ? 2x 的图象向左平移 1 个单位得到 y ? 2x?1 的图象。

y ? 2x 的图象向右平移 2 个单位得到 y ? 2x?2 的图象。
3
x 、函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) 的图象关于 y 轴对称。
x

1 2

可以

课题:2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)参考答案 例1 例2 < < >

-97-

达标训练 1、略 2(1)定义域{x︳x≠

1 } 2

值域{y︳y>0 且 y≠1}

(2)定义域

{x︳x≥0}

值域{y︳ 0 ≤y<1}

(3)定义域 R 值域{y︳ 0 <y<1} (4) 定义域 R 值域{y︳-1 <y<1} 3 、D 4、C

5 、(-1,2) 6、 {y︳ 0 <y<1} 课题:2.2.1 对数与对数运算(1) 参考答案 例 1. (1) log5 625 ? 4 (4) ( 1 ) ?4 ? 16 (2) log 2

1 ? ?6 64

(3) log 1 5.73 ? m
3

2

(5) 10?2 ? 0.01

(6) e2.303 ? 10

例 2.求下列各式中 x 的值:

(1) x ? 64

1 ? ; 3

(2) x ? 6 2

(3) x ? 3

(4) x ? ?3
1

达标检测: 1. (1) 2 =8
3

(2) 2 =32 (3) 2 =

5

?1

? 1 1 (4) 27 3 ? 2 3

2.把下列对数式写成指数式 (1)

32 ? 9 (2) 53 ? 125 (3) 2?2 ?

1 4

(4) 3

?4

? 81

3.求下列各式的值 (2) 2 (2) ?4 (3) 2 (4) ?2 (5) 4 (6) ?4 4.求下列各式的值 (1) 1 (2) 0 (3) 2 (4) 2 (5) 3 (6) 5 课题:2.2.1 对数与对数运算(2)参考答案 例 1.计算:
-98-

① ?2 ; ②

2 4 ; 3

③ 1; ④

2 5

⑤ ?

3 ;⑥ 2 2

⑦9

⑧1 ;

例 2. 用㏒ ax, ㏒ ay ㏒ az 表示下列各式: (1) 2loga x ? loga y ? loga z (3) (2) 2loga x ? loga y ? loga z

1 log a x ? 2 log a y ? log a z 2

六、达标检测: 1、 (1)× (2)×(3)× (4)×(5)×(6)√(7)× -2, 2 2、 1 ,- 1 , 3、 (1) lg x ? lg y ? lg z ⑶ lg x ? 3lg y ? ⑵ lg x ? 2lg y ? lg z ⑷

1 lg z 2

1 lg x ? 2 lg y ? lg z 2

课题:2.2.1 对数与对数运算(3)参考答案 例 1:计算下列各式的值: ①

5 ; 4



15 ;③ 3 ; 16

④ 1;

⑤4?

2

⑥ 18

例 2: log 4 7 ?

1 1 log3 7 b log 2 7 ? ? 2 2 log3 2 2a

例 3:解:?? ? ? ? ? log2 6

?1? ?1? ?1? ?? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 4? ? 4?
六、达标检测: 1.

?

?

? ??

?1? ?? ? ? 4?

? log2 6

? 4log2 6 ? 2log2 36 ? 36

5 4 a b

2. 1

3. 1

4.

9 4

5. 1 ?

6. x ?

1 4

7. 0

8.12

课题:2.2.2 对数函数及其性质(1) 参考答案 例 1、 ① 不是 ② 不是源:③ 是 ④ 不是 ⑤ 是 ⑥ 不是源:

例 2、 (1) 定义域为 x x ? 0

?

?

(2) 定义域为 x x ? 3

?

?
-99-

例 3、略 例 4、 (1) log2 3.4 ? log2 8.5 (2) log0.2 1.4 ? log0.2 2.5 (3) a ? 1,loga 5.4 ? loga 5.5 六、达标检测: 3、(1) 定义域为 x x ? 1 ; (2) 定义域为 x x ? 0且x ? 1 ;; (3) 定义域为 ? x x ? ? ;;

1 ? a ? 0,loga 5.4 ? loga 5.5

?

?

?

?

? ?

1? 3?

4、(1) log10 6 < log10 8 ; (4) log1.5 1.6 >0;

(2) log 0.5 6 < log 0.5 4 ; (5) log 2 0.5 >1 ;
3

(3) log 2 0.5 > log 2 0.6 ;
3 3

(6) log 3 2 > log 2 2 ;
2 3

课题:2.2.2 对数函数及其性质(2) 参考答案 例 1、

4 1 3 , 3, , 3 10 5

变式训练 1: c ? d ? a ? b 例 2、(1) ?a a ?

? ?

3 2 ? 或 ? a ? o? 2 3 ?

(2)当 a ? 1 时, x x ? 6 , 例 3、 ?a a ?

?

?

当 0 ? a ? 1 时, x 6 ? x ? 4

?

?

? ?

5 ? 或a ? ?1? 3 ? 6? ? 5?

例 4、 ?a 6 ? a ?

? ?

六、达标检测: 1、 ? ?1,1? 2、左 3 下 1 3、 (1) m ? n ; 4、 a ? 1或 5、 x ? ?3 6、 a ? (2) m ? n (3) m ? n; (4) m ? n;

2 ?a?0 3

1 2
-100-

7、 x 3 ? x ? 2

?

?
? ? 1? 3?

课题:2.2.2 对数函数及其性质(3)参考答案 例 1、解:由 3x ? 2 x ? 1 ? 0 得函数的定义域为 ? x x ? 1或x<- ?
2

则当 a>1 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数,
2

∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。

若 x< ?

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3
2

当 1>a>0 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数, 若 x< ? ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3

变式训练 1:求以下函数的单调区间 (1) y ? log2 (x 2 ? 2x ? 3) 在 ?1, ?? ? 单调递增;在 ? ??,1? 单调递减. (2) y ? log3 x 2 在 ? 0, ??? 单调递增;在 ? ??,0? 单调递减.

(3) y ? log 1 (x 2 ? x) 在 ?1, ?? ? 单调递减;在 ? ??,0? 单调递增.
2

例 2、解:∵ f ( x) ? 2 ? log3 x, x ??1,9?, ∴y?? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? = ? 2 ? log x ?
2
3

2

? 2 ? log 3 x 2 = ? 2 ? log 3 x ? ? 2 ? 2 log 3 x
2
2

∵函数 f ( x)的定义域为?1,9? ,
2

= log32 x ? 6log3 x ? 6 = ? log 3 x ? 3? ? 3

∴要使函数 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x 就需要 ?

? ? 有意义,
2
2

?1 ? x 2 ? 9

?1 ? x ? 9 当 log3 x ? 1 时即 x ? 3 时 y ? 13
2

∴ 1 ? x ? 3, ?0 ? log3 x ? 1 ,∴ 6 ? y ? ? log 3 x ? 3? ? 3 ? 13

∴ x ? 3 时,函数取 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

变式训练 2: 求函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x2 ) 的值域是 ? ?2, ?? ? 。 例 3、求下列函数的反函数: (1) y ? log3 x ; 六、达标检测: 1、⑶、⑷ 5、③ 2、 ? 2,1? 3、⑷ 4、 f ( ) ? f ( ) ? f (2) (2) y ? 6
x

? ? 最大值 13
2

1 4

1 3

6、 2 2 ? a ? 2 ? 2 2
-101-

2.3 幂函数 参考答案 例 1:(1)(4)是幂函数;(2) (3) (5)不是幂函数 例 2: (1)1.5 ? 1.7 达标检测 1-4 C D A A
1.5
1 1

1.5

(2) 1.1

?

1 2

? 0 .9

?

1 2

5.

(1) 3.142 < ? 2 (3) 1.25 < 1.22
?1 ?1

(2) (?0.38) 3 > ?? 0.39? (4) ( )

3

6. 2 或-1
1

7.

?x x ? 0且x ? 2?
(2) f (25) ?

1 3

? 0.25

<( )

1 3

? 0.27

8. a< - 4

9.

(1) y=x 2 ,( x ? 0)

1 5

10. (1)

v? v? v?

81 ? 54 ? 3086(cm3 / s), ( k ? 0) v ? k ? r 4 ,(k ? 0) 400

(2)

81 ? r4 400 81 ? 54 ? 3086(cm3 / s ) 400

(3)

3.1.1 方程的根与函数的零点 参考答案 练习:1 D 2 4、-1 3 B 4 A 2 达标检测:1、B.2、解:由题意知方程 f(x)=x -ax-b 的两个根是 2 和 3,所以 a=5,b=-6, 2 故 g(x)=-6x -5x-1=0,解得两根为 -1/2,-1/3.因此零点为-1/2,-1/3. 3、解:(1)当 a=0 时,函数为 y=-x+2,则其零点为 x=2; 1 1 (2)当 a= 时,则由( x-1)(x-2)=0,解得 x=2,则其零点为 x=2; 2 2 1 1 1 (3)当 a≠0 且 a≠ 时,则由(ax-1)(x-2)=0,解得 x= 或 x=2,则其零点为 , 2. 2 a a x x 4、解析:由 f(x)=a -x-a=0,可得 a =x+a, x 设 y1=a ,y2=x+a,由题意可知,两函数的图象有两个不同的交点,分两种情况: ①当 0<a<1 时,如下图: ②当 a>1 时,如下图:

不合题意; 综述,a 的取值范围为(1,+∞).

符合题意.

3.1.2 用二分法求方程的近似解 参考答案 达标检测: 1C 2A
-102-

3、解:由于 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算,列表如下:

由上表的计算可知, 区间[1.6875,1.75]的长度 1.75-1.6875=0.0625<0.1, 所以 x4=1.6875 就是函数的一个正数零点的近似值. 4 解:取价格区间[500,1000]的中点 750,如果主持人说低了,就再取[750,1000]的中点 875; 否则取另一个区间(500,750)的中点;若遇到小数取整数.照这样的方案,游戏过程猜测价如 下:750,875,812,843,859,851,经过 6 次可猜中价

3.1 函数与方程习题课 参考答案 达标检测: 2 一选择题:1、B 解析:令-x +5x-6=0,得 x1=2,x2=3. 2 a x -a 2、B 解析:f(x)=x- = 其定义域为{x|x∈R 且 x≠0}故 a≤0 即可. x x 3、A 解析:∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,故 可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算. x 4、C 解析:设 f(x)=e -(x+2),则由题设知 f(1)=-0.28<0,f(2)=3.39>0,故有一个根 在区间(1,2)内.
?x +2x-3=0 ? 5、C 解析:由? ? ?x≤0
2 2

?-2+lnx=0 ? 得 x=-3,由? ? ?x>0

得 x=e ,故有两个零点.

2

6、 B 解析: 令 f(x)=2ax -x-1, ∴f(x)=0 在(0,1)内恰有一解, ∴f(0)·f(1)<0, 即-1·(2a -2)<0,∴a>1. -2 -1 0 7、D 8、C 解析:∵f(-2)=e -4<0,f(-1)=e -3<0,f(0)=e -2<0,f(1)=e-1>0. x ∴f(x)=e +x-2 的零点所在区间是(0,1).故选 C. 9、A 二、填空题 10、解析:因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以 0.75 或 0.6875 都可作为方程的近似解. 答案:0.75 或 0.6875 2 11、 解析:函数 f(x)=ax-b 的零点是 3,所以 3a-b=0,即 b=3a,于是函数 g(x)=bx 2 +3ax=bx +bx=bx(x+1),令 g(x)=0,得 x=0,或 x=-1. 答案:0,-1 ?x1x2<0, ? 12、解析:由韦达定理得? 即 ?Δ >0, ?

-103-

m ? ? <0 ?2 ? ?(m+1)2-8m>0

?m<0 ? ?? 2 ? ?m -6m+1>0

?m<0 ?? ?m<3-2 2,或m>3+2 2

?m<0.

∴m 的取值范围是(-∞,0). 答案:(-∞,0) 0.1 n 13、解析:由 n <0.01,得 2 >10, 2 ∴n 的最小值为 4. 答案:4 x x 14、解析:由 f(x)=a -x-a=0,可得 a =x+a, x 设 y1=a ,y2=x+a,由题意可知,两函数的图象有两个不同的交点,分两种情况: ①当 0<a<1 时,如下图:

不合题意; ②当 a>1 时,如下图:

符合题意. 综述,a 的取值范围为(1,+∞). 2 15、解:∵f(x)=mx +x-a-m,当 m=0 时, f(x)=x-a, a∈R 时,f(x)有零点,当 m≠0 时, 2 2 Δ =1 -4m(-a-m)=4m +4am+1≥0,恒成立, 2 则有 16a -16≤0,∴-1≤a≤1. 16、解法一:∵函数 f(x)为奇函数,且 x>0 时, f(x)=lnx+2x-6. ∴当 x<0 时,-x>0, f(-x)=ln(-x)-2x-6 即-f(x)=ln(-x)-2x-6, ∴f(x)=-ln(-x)+2x+6, ∴函数 f(x)的解析式为: lnx+2x-6 (x>0) ? ? (x=0) f(x)=?0 ? ?-ln(-x)+2x+6 (x<0) .

易得函数 f(x)有 3 个零点. 解法二:当 x>0 时,在同一坐标系中作出函数 y=lnx 和 y=6-2x 的图象,由图象的对称性以 及奇函数性质可知,函数 f(x)在 R 上有 3 个零点. 17、解:据题意有 f(m)=0,f(n)=0,且 f(a)=-2,f(b)=-2,画出 f(x)的草图如右图:

-104-

观察图象可知,a 与 b 一定在区间(m,n)上,因此实数 a,b,m,n 的大小关系应为 m<a<b<n. 3.2 函数模型 参考答案 1.解析: (1)由表观察知,沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次函数

y=kx+b 的图象
将 x=1,y=0.2 与 x=2,y=0.4,代入 y=kx+b, 求得 k=0.2,b=0, 所以 y=0.2x(x∈N) 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷,则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98(万公顷) 。 (2)设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷,由题意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得 x=20(年) 。 故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 2.教材 P97 例 2 3.教材 P102 例 3 4.教材 P104 例 5

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