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2015-2016学年人教版必修4第三章三角恒等变换单元测试


2015-2016 学年人教版必修 4 第三章《三角恒等变换》 单元测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,) 1.sin45° · cos15° +cos225° · sin15° 的值为( A.- 3 2 1 B.- 2 1 C. 2 ) C. 3 2 D.- 3 2 ) ) D. 3 2

2.cos215° -sin215° 的值是( 1 A. 2 1 B.- 2

4 π 3.已知 α∈(0,π),cosα=- ,则 sin(α- )等于( 5 4 A. 2 10 7 2 B.- 10 C.- 2 10 7 2 D. 10 ) D. 13 2

π 4.函数 y= 3sin2x+cos2(x+ )的振幅为( 4 A.2 1 B. 3- 2 C. 3+ 1 2

5.对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是( π π A.f(x)在( , )上是递增的 4 2 C.f(x)的最小正周期为 2π α 6.已知 tan =3,则 cosα 为( 2 4 A. 5 4 B.- 5 4 C. 15

)

B.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)的最大值为 2 ) 3 D.- 5 )

π 6π 7.函数 y=cos2xcos -2sinxcosxsin 的递增区间是( 5 5 π 3π A.[kπ+ ;kπ+ ](k∈Z) 10 5 π 3π C.[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z) 10 5

3π 7π B.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 20 20 2π π D.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 5 10

α 1+tan 2 4 8.若 cosα=- ,α 是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 1 B. 2 C.2 D.-2

)

π 9.已知 tanθ 和 tan( -θ)是方程 x2+ax+b=0 的两根,那么 a、b 间的关系是( 4 A.a+b+1=0 B.a+b-1=0 C.a-b+1=0 D.a-b-1=0

)

π cos2x 10.当 0<x< 时,函数 f(x)=sin2x- + 3sin2x 的最大值为( 2 2 A.2 B.2 3 5 C. 2 D.4 3

)

π 11.使 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)为奇函数,且在区间[0, ]上是减函数的 θ 的一 4 个值是( π A.- 3 ) π B. 3 2π C. 3 4π D. 3

12.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN| 的最大值为( A.1 ) B. 2 C. 3 D.2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上.) θ θ 13.若 sin -2cos =0,则 tanθ=________. 2 2 tan12° - 3 14.计算: =________. 2 ?4cos 12° -2?sin12° 15.15.已知 sin ? ? cos ? ?

1 1 , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =__________。 3 2

α-β 4 12 16.已知 α 为钝角,β 为锐角,且 sinα= ,sinβ= ,则 cos 的值为__________. 5 13 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 12 π π 17.(本题满分 10 分)已知 cosθ= ,θ∈(π,2π),求 sin(θ- )以及 tan(θ+ )的值. 13 6 4 1 2cos4x-2cos2x+ 2 18.(本题满分 12 分)化简 . π 2 π 2tan? -x?· sin ? +x? 4 4 19.(本题满分 12 分)已知 sin(α+ -β)的值. 20.(本题满分 12 分)已知向量 a=(cos2x,sin2x),b=( 3,1),函数 f(x)=a· b+m. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最小值为 5,求 m 的值. 2 π 3π 21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=2cos(x- )+2sin( -x). 3 2 (1)求函数 f(x)的单调减区间; (2)求函数 f(x)的最大值并求 f(x)取得最大值时的 x 的取值集合; 3π 5 π 3 π π π 3π )= ,cos( -β)= ,且- <α< , <β< ,求 cos(α 4 13 4 5 4 4 4 4

6 π (3)若 f(x)= ,求 cos(2x- )的值. 5 3 1 1 π 22.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin( +φ)(0<φ<π),其图象 2 2 2 π 1 过点( , ).(1)求 φ 的值; 6 2 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 2 π 的图象,求函数 g(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 4 姓名 _______ 班级 _______ 学号 _______ 分数 _______

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,) 13 ________ 14 ________ 15 ________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17 16 ________

18

19

20

21

22

一、选择题 1.sin45° · cos15° +cos225° · sin15° 的值为( A.- 3 2 1 B.- 2 1 C. 2 D. 3 2 )

[答案] C

1 =sin45° cos15° -cos45° sin15° =sin(45° -15° )=sin30° = . 2 ) D.- 3 2 3 . 2 )

2.cos215° -sin215° 的值是( 1 A. 2 1 B.- 2 C. 3 2

[答案] C

[解析] cos215° -sin215° =cos30° =

4 π 3.已知 α∈(0,π),cosα=- ,则 sin(α- )等于( 5 4 A. 2 10 7 2 B.- 10 C.- 2 10 7 2 D. 10

[答案] D

3 π π π 7 2 [ 解析] 由题意,得 sinα= ,∴sin(α- )=sinαcos -cosαsin = . 5 4 4 4 10 )

π 4.表示振动的函数 y= 3sin2x+cos2(x+ )的振幅为( 4 A.2 1 B. 3- 2 1 C. 3+ 2 D. 13 2

π cos?2x+ ?+1 2 1 1 1 1 1 [答案]B y= 3sin2x+ = 3sin2x- sin2x+ =( 3- )sin2x+ ,振幅 3- 2 2 2 2 2 2 5.对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是( π π A.f(x)在( , )上是递增的 4 2 C.f(x)的最小正周期为 2π [答案] B )

B.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)的最大值为 2

π π [解析] 利用倍角公式化简得 f(x)=2sinxcosx=sin2x,故 f(x)在( , )上是 4 2

递减的,A 错;f(x)的最小正周期为 π,最大值为 1,C,D 错. α 6.已知 tan =3,则 cosα 为( 2 4 A. 5 4 B.- 5 4 C. 15 ) 3 D.- 5

[答案] B

α α α cos2 -sin2 1-tan2 2 2 2 1-9 α α 4 [解析] cosα=cos2 -sin2 = = = =- . 2 2 5 1+9 2α 2α 2α cos +sin 1+tan 2 2 2 )

π 6π 7.函数 y=cos2xcos -2sinxcosxsin 的递增区间是( 5 5

π 3π A.[kπ+ ;kπ+ ](k∈Z) 10 5 π 3π C.[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z) 10 5

3π 7π B.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 20 20 2π π D.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 5 10

π π π [答案] D [解析] y=cos2xcos +sin2xsin =cos(2x- ) 5 5 5 π 4 π 由 2kπ-π≤2x- ≤2kπ,k∈Z,∴2kπ- π≤2x≤2kπ+ ,k∈Z. 5 5 5 2π π ∴kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 5 10 α 1+tan 2 4 8.若 cosα=- ,α 是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 1 B. 2 C.2 D.-2

)

4 3 [答案] A [解析] ∵cosα=- 且 α 是第三象限的角,∴sinα=- , 5 5 α 2 1+ α a α α 2 ?cosα+sinα?2 cos 1+tan cos +sin 2 2 2 2 2? ? 2 1+sinα 5 1 = = = = = =- . α α α α ? α α?? α α? cosα 4 2 1-tan sin cos -sin cos -sin cos +sin - 2 2 2 2 ? 2 2?? 2 2? 5 1- α cos 2 sin π 9.已知 tanθ 和 tan( -θ)是方程 x2+ax+b=0 的两根,那么 a、b 间的关系是( 4 A.a+b+1=0 [答案] C B.a+b-1=0 C.a-b+1=0 D.a-b-1=0 π tanθtan( -θ)=b, 4 )

π [解析] 由条件得,tanθ+tan( -θ)=-a, 4

π tanθ+tan? -θ? 4 -a π π ∴tan =1=tan[θ+( -θ)]= = ,∴-a=1-b 即 a-b+1=0. 4 4 π 1-b 1-tanθtan? -θ? 4 π cos2x 10.当 0<x< 时,函数 f(x)=sin2x- + 3sin2x 的最大值为( 2 2 A.2 [答]C B.2 3 f(x)=sin2x- 5 C. 2 D.4 3 )

1-cos2x cos2x cos2x + 3sin2x= - + 3sin2x=-cos2x+ 3sin2x+ 2 2 2

1 π 1 π π π 5 =2sin(2x- )+ ,∵0<x< ,∴0<2x<π,当 2x- = 时,f(x)取最大值 . 2 6 2 2 6 2 2 π 11.使 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)为奇函数,且在区间[0, ]上是减函数的 θ 的一 4

个值是(

)

π A.- 3

π B. 3

2π C. 3

4π D. 3

[答案] C

π π π [解析] f(x)=2sin(2x+θ+ ),当 θ 取- 时,为奇函数,但在[0, ]上递 3 3 4

π 4 2π 增;θ 取 和 π 时为非奇非偶函数;当 θ 取 时,f(x)=-2sin2x 符合题意. 3 3 3 12.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN| 的最大值为( [答案] B ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

[解析] 依题意得点 M、N 的坐标分别为(a,sina),(a,cosa),

2 2 π ∴|MN|=|sina-cosa|=| 2(sina· -cosa· )|=| 2sin(a- )|≤ 2(a∈R), ∴|MN|max= 2. 2 2 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上.) θ θ 13.若 sin -2cos =0,则 tanθ=________. 2 2 4 [答案] - 3 θ 2tan 2 2×2 θ θ θ 4 [解析] 由 sin -2cos =0 得 tan =2. ∴tanθ= = 2=- . 2 2 2 θ 3 1 - 2 1-tan2 2

tan12° - 3 14.计算: =________. 2 ?4cos 12° -2?sin12° [答案] -4 sin12° - 3cos12° 2sin?12° -60° ? [解析] 原式= = =-4. 2sin12° cos12° cos24° 1 sin48° 2

15.已知 sin ? ? cos ? ?

1 1 , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =__________。 3 2
13 , 36 2sin(? ? ? ) ? ? 59 36

?

59 72

(sin ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ?

α-β 4 12 16.已知 α 为钝角,β 为锐角,且 sinα= ,sinβ= ,则 cos 的值为__________. 5 13 2 [答案] 7 65 65 3 5 33 由已知得 cosα=- ,cosβ= cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= . 5 13 65 α-β π α-β 7 65 又∵0< < ,∴cos = . 2 2 2 65

α-β α-β 33 7 65 ∴2cos2 -1= .∴cos =± . 2 65 2 65

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 12 π π 17.(本题满分 10 分)已知 cosθ= ,θ∈(π,2π),求 sin(θ- )以及 tan(θ+ )的值. 13 6 4 12 5 5 [解] 因为 cosθ= ,θ∈(π,2π), 所以 sinθ=- ,tanθ=- , 13 13 12 5 3+12 π π π 5 3 12 1 所以 sin(θ- )=sinθcos -cosθsin =- × - × =- ; 6 6 6 13 2 13 2 26

π 5 tanθ+tan - +1 4 12 π 7 tan(θ+ )= = = . 4 π 5 17 1-tanθ· tan 1-?- ?×1 4 12 1 2cos4x-2cos2x+ 2 18.(本题满分 12 分)化简 . π π 2tan? -x?· sin2? +x? 4 4 1 ?4cos4x-4cos2x+1? 2 ?2cos2x-1?2 cos22x cos22x 1 = = = = = cos2x. π π π π 2cos2x 2 sin? -x? 4sin? -x?· cos? -x? 2sin? -2x? 4 4 4 2 π 2· · cos2? -x? π 4 cos? -x? 4 3π 5 π 3 π π π 3π 19(12 分)已知 sin(α+ )= ,cos( -β)= ,且- <α< , <β< ,求 cos(α-β)的值. 4 13 4 5 4 4 4 4 π π π 3π 3π [解] ∵- <α< ,∴ <α+ <π,∴cos(α+ )=- 4 4 2 4 4 π 3π π π π ∵ <β< ,∴- < -β<0,∴sin( -β)=- 4 4 2 4 4 3π 12 1-sin2?α+ ?=- . 4 13

π 4 1-cos2? -β?=- . 4 5

3π π 3π π 3π π 16 ∴cos(α-β)=-cos[(α+ )+( -β)]=sin(α+ )sin( -β)-cos(α+ )cos( -β)= . 4 4 4 4 4 4 65 20.(本题满分 12 分)已知向量 a=(cos2x,sin2x),b=( 3,1),函数 f(x)=a· b+m. π (1)求 f(x)的最小正周期;(2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最小值为 5,求 m 的值. 2 π [解] (1)由题意,知 f(x)= 3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+ )+m. 3 ∴f(x)的最小正周期 T=π. π π π π 4π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ )+m,当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ]. 3 2 3 3 3 π 4π ∴当 2x+ = 时,f(x)有最小值为- 3+m. 3 3 又∵f(x)的最小值为 5, ∴- 3+m=5,即 m=5+ 3. π 3π 21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=2cos(x- )+2sin( -x). 3 2 (1)求函数 f(x)的单调减区间; (2)求函数 f(x)的最大值并求 f(x)取得最大值时的 x 的取值集合; 6 π (3)若 f(x)= ,求 cos(2x- )的值. 5 3 π π [解] f(x)=2cosxcos +2sinxsin -2cosx=cosx+ 3sinx-2cosx 3 3

π = 3sinx-cosx=2sin(x- ). 6 π π 3 (1)令 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ π,(k∈Z) 2 6 2 2π 5π ∴2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 3 3 2π 5π ∴单调递减区间为[2kπ+ ,2kπ+ ]k∈Z. 3 3 π π 2π (2)f(x)取最大值 2 时,x- =2kπ+ (k∈Z),则 x=2kπ+ (k∈Z). 6 2 3 2π ∴f(x)的最大值是 2,取得最大值时的 x 的取值集合是{x|x=2kπ+ ,k∈Z}. 3 6 π 6 π 3 (3)f(x)= 即 2sin(x- )= , ∴sin(x- )= . 5 6 5 6 5 π π 3 7 ∴cos(2x- )=1-2sin2(x- )=1-2×( )2= . 3 6 5 25 1 1 π 22.(本题满分 12 分)(2010· 山东高考)已知函数 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin( + 2 2 2 π 1 φ)(0<φ<π),其图象过点( , ).(1)求 φ 的值; 6 2 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 2 π 的图象,求函数 g(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 4 1 1 π [解] (1)因为 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin( +φ)(0<φ<π). 2 2 2 1+cos2x 1 1 1 1 所以 f(x)= sin2xsinφ+ cosφ- cosφ= sin2xsinφ+ cos2xcosφ 2 2 2 2 2 1 1 = (sin2xsinφ+cos2xcosφ)= cos(2x-φ). 2 2 π 1 1 1 π π π 又函数图象过点( , ),所以 = · cos(2× -φ),即 cos( -φ)=1.又 0<φ<π,所以 φ= . 6 2 2 2 6 3 3 1 π 1 (2)由(1)知 f(x)= cos(2x- ),将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵 2 3 2 1 π 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,可知 g(x)=f(2x)= cos(4x- ). 2 3 π π π 2π 1 π 因为 x∈[0, ],所以 4x∈[0,π],因此 4x- ∈[- , ],故- ≤cos(4x- )≤1. 4 3 3 3 2 3 π 1 1 所以 y=g(x)在[0, ]上的最大值和最小值分别为 和- . 4 2 4


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