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第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用


明达中学 2016 届高三(文科)数学一轮复习导学案

第 5 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(主备人:梁义东) 考试要求 1.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义,图象的画法,参数 A,ω,φ 对函数图 象变化的影响,A 级要求;2.利用三角函数解决一些简单实际问题,A 级要求. 第一步:预中学 知 识 梳 理 1.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个点,作 图时的一般步骤为: 5.定点:如下表所示. π 3π Ωx+φ 2 2 x y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0

(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到 y=Asin(ωx+φ) 在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径 (1)先平移,后伸缩 (2)先伸缩,后平移 3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞]表示一个振动量时,A 叫做振幅, 2π 1 T= ω 叫做周期,f=T叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中向左或向右平移 的长度一样。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。( ) (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ( ) (3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期。 。 。( ) (4)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的 T 距离为2。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。( ) 2 .为了得到函数 y = sin(x + 1) 的图象,只需把函数 y = sin x 的图象上所有的点向 ________平行移动________个单位长度. 3.已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示,那么 ω=________.

4. 若将函数 f(x)=sin
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2x+cos 2x 的图象向右平移

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φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________. π ?π ? 5.已知简谐运动 f(x)=2sin?3x+φ? (|φ|<2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正 ? ? 周期 T 和初相 φ 分别为__________. 第二步:课堂突破(听中学、看中学、议中学、练中学) 考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

考点二 由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 【例 2】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)的部分图象如图所示, 则函数 f(x) 的解析式为________.

考点三 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质应用
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π π? π ? 【例 3】 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ<2?的图象关于直线 x=3对称, ? ? 且图象上相邻最高点的距离为 π. ?π? (1)求 f ?4?的值; ? ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移12个单位后,得到 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减 区间.

悟中学 [思想方法] 1.由图象确定函数解析式 2.解决三角函数的对称问题, 第三步:课后巩固 一、填空题 ? x π? 1.函数 f(x)= 3sin?2-4?,x∈R 的最小正周期为________. ? ? π 2.将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移4个单位,再向下平移 1 个单位后得到的函数 图象对应的表达式为________. 3. 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象, 可以将函数 y= 2cos 3x 的图象向________ 平移________个单位长度. π π 4.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是 _______.

π 5. 将函数 y=sin x 的图象向左平移2个单位,得到函数 y=f(x)的图 象,给出下列说法:①y=f(x)是奇函数;②y=f(x)的周期为 π;③y
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π ? π ? =f(x)的图象关于直线 x=2对称;④y=f(x)的图象关于点?-2,0?对称.其中上述说法 ? ? 正确的是________(填序号). π π? ? 6.将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ<2?图象上每一点的横坐标缩短为原来的一 ? ? π ?π? 半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到 y=sin x 的图象,则 f ?6?=________. ? ? π π? ? 7.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的两个相邻的最高点和最低 ? ? 1 ? ? 点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数解析式 f(x)=________. ? ? π ?π? 8.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x=3对称,且 f?12?=0,则 ω 的 ? ? 最小值为________. π? π? π ? ? 9 函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇函数,则函数 f(x)在?0,2?上的 ? ? ? ? 最小值为________. 二、解答题 10.已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,再把所得 π 到的图象向左平移 6 个单位长度,得到函数 y = g(x) 的图象,求函数 y = g(x) 在区间 ? π π? ?-6,12?上的值域. ? ?

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