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20173-2-2 函数模型的应用实例.doc


课时作业(三十六)
1.某林场计划第一年造林 10 000 亩,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林( A.14 400 亩 C.17 280 亩 答案 C ) B.172 800 亩 D.20 736 亩

解析 设第 x 年造林 y 亩,则 y=10 000(1+20%)x-1, ∴x=4 时,y=10 000×1.23=17 280(亩). 2.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品,由于市场销售发生变 化,甲产品连续两次提价 20%,同时乙产品连续两次降价 20%,结果 都以 23.04 元售出.此时厂家同时出售甲、乙产品各一件,盈亏情况 是( ) A.不亏不赚 C.赚 5.92 元 答案 B B.亏 5.92 元 D.赚 28.96 元

解析 设甲、 乙两种产品原价分别为 a, b, 则 a(1+20%)2=23.04, b(1-20%)2=23.04.∴a=16 元,b=36 元. 若出售甲、乙产品各一件,甲产品盈利 23.04-16=7.04 元,乙产 品亏 36-23.04=12.96 元, ∴共亏 12.96-7.04=5.92 元. 3.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次, 其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元, 普通车存车费是每辆 一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系式是( )

A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000)

B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 答案 D

4.乙从 A 地到 B 地,途中前一半时间的行驶速度是 v1,后一半 时间的行驶速度是 v2(v1<v2),则乙从 A 地到 B 地所走过的路程 s 与时 间 t 的关系图示为( )

答案

A

5. 如果在今后若干年内, 我国国民经济生产总值都控制在平均每 年增长 9%的水平,那么要达到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的 年份大约是(lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,lg109=2.037 4,lg0.09=- 2.954 3)( ) B.2011 年 D.2008 年

A.2015 年 C.2010 年 答案 B

解析 设 1995 年总值为 a,经过 x 年翻两番.则 a· (1+9%)x=4a. 2lg2 ∴x=lg1.09≈16. 6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别 为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公 司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为( A.45.606 万元 C.45.56 万元 B.45.6 万元 D.45.51 万元 )

答案

B

解析 依题意可设甲销售 x 辆,则乙销售(15-x)辆,所以总利润 S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(x≥0),所以当 x= 10 时,S 有最大值为 45.6(万元). 7.一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所 示,某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水 口)

给出以下 3 个论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; ②3 点到 4 点不 进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水.则一定正确的论断序号是 ________. 答案 ①

8.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以每秒 a 米的速度从地面垂直向上射箭时, t 秒后的高度 x 米可由 x=at-5t2 确 定.已知射出 2 秒后箭离地面高 100 米,求弓箭能达到的最大高度. 解析 由 x=at-5t2 且 t=2 时,x=100,解得 a=60. ∴x=60t-5t2. 由 x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180, 知当 t=6 时,x 取得最大值为 180, 即弓箭能达到的最大高度为 180 米. 9. 某租赁公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的月租金为 3 000 元时,

可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加 一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需 要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最 大月收益是多少? 答案 元 10.国际视力表值(又叫小数视力值,用 V 表示,范围是[0.1,1.5]) 和我国现行视力表值(又叫对数视力值,由缪天容创立,用 L 表示,范 围是[4.0,5.2 ]) 的换算关系式为 L=5.0+lgV. (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整; V L 1.5 ① ② 5.0 0.4 ③ ④ 4.0 (1)88 辆 (2)月租金定为 4 050 时 最大月收益是 307 050

(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为 4.5,乙的 小数视力值是甲的 2 倍,求乙的对数视力 值. (所求值均精确到小数点后面一位数字,参考数据:lg2=0.301 0, lg3=0.477 1) 解析 15 3 (1) ∵ 5.0 + lg1.5 = 5.0 + lg 10 = 5.0 + lg 2 = 5.0 + lg3 - lg2 =

5.0+0.477 1-0.301 0≈5.2, ∴①应填 5.2; ∵5.0=5.0+lgV,∴V=1,②处应填 1.0; 4 ∵ 5.0 + lg0.4 = 5.0 + lg 10 = 5.0 + lg4 - 1 = 5.0 + 2lg2 - 1 = 5.0 + 2×0.301 0-1≈4.6,∴③处应填 4.6;

∵4.0=5.0+lgV,∴lgV=-1.∴V=0.1. ∴④处应填 0.1. 对照表补充完整如下: V L 1.5 5.2 1.0 5.0 0.4 4.6 0.1 4.0

(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值, 则有 4.5=5.0+lgV 甲, ∴V 甲=10-0.5,则 V 乙=2×10-0.5. ∴乙的对数视力值 L 乙=5.0+lg(2×10-0.5)=5.0+lg2-0.5 =5.0+ 0.301 0-0.5≈4.8. 1 11.某种商品生产 x 吨时,所需费用为(10x2+5x+100)元,而出 x 售 x 吨时,每吨售价为 p 元,这里 p=a+b(a,b 是常数). (1)写出出售这种商品所获得的利润 y 元与售出这种商品的吨数 x 之间的函数关系式; (2)如果生产出来的这种商品都能卖完,那么当产品是 150 吨时, 所获利润最大,并且这时每吨价格是 40 元,求 a,b. 解析 x 1 (1)y=(a+b)x-(10x2+5x+100)

1 1 =(b-10)x2+(a-5)x-100. a-5 - 1 1 =150, ? ? 2?b-10? (2)由题意,得? 150 ? ?40=a+ b ,

?a=45, ? 解得? ?b=-30. ?

?0.1+15 lna-x,x≤6, 1.有时可用函数 f(x)=? x-4.4 ? x-4 ,x>6,
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某科学知识的学习 次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知 识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2)根据经验, 学科甲、 乙、 丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121], (121,127],(127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%, 请确定相应的学科. (1)【证明】 当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= 0.4 . ?x-3??x-4?

a

而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0, 故 f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. a (2)解析 由题意可知 0.1+15 ln =0.85, a-6 a e0.05 0.05 整理得 =e ,解得 a= 0.05 · 6=20.50×6=123.0,123.0∈ a-6 e -1 (121,127].由此知,该学科是乙学科.

1.(2013· 重庆)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)· (x-b)+(x-b)(x- c)+(x-c)· (x-a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 C .(b,c)和(c,+∞)内 答案 A )

B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

解析 令 y1=(x-a)(x-b )+(x-b)(x-c)=(x-b)[2x-(a+c)],y2 =-(x-c)(x-a),由 a<b<c 作函数 y1,y2 的图像(图略),由图可知两 函数图像的两个交点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,即函数 f(x)的两 个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 2. (2013· 湖南)函数 f(x)=2lnx 的图像与函数 g(x)=x2-4x+5 的图 像的交点个数为( A.3 C.1 答案 B ) B.2 D.0

解析 由已知 g(x)=(x-2)2+1, 所以其顶点为(2,1). 又 f(2)=2ln2 ∈(1,2), 可知点(2,1)位于函数 f(x)=2lnx 图像的下方, 故函数 f(x)=2lnx 的图像与函数 f(x)=x2-4x+5 的图像有 2 个交点. 3.(2013· 天津)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 C.3 答案 B B.2 D.4 )

解析 函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数即为函数 y=|log0.5x|与 y 1 =2x图像的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数 y=|log0.5x|与 y= 1 2x的图像,易知有 2 个交点. 4.(2010· 安徽)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能 是( )

答案

D

解析 由 abc>0 知 a,b,c 均为正或两负一正. b 对 A,由图像知 a<0,f(0)=c<0,故 b>0,函数对称轴为-2a>0, 不满足题意. b 对 B,由图像知 a<0,f(0)=c>0,故 b<0,函数对称轴为-2a<0, 不满足题意. b 对 C,由图像知 a>0,f(0)=c<0,故 b<0,函数对称轴为-2a>0, 不满足题意. 故只能选 D. b 5.(2010· 湖南)函数 y=ax2+bx 与 y=log|a|x(ab≠0,|a|≠ |b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( )
[

答案

D

b 解析 函数 y=ax2+bx 的两个零点是 0,-a. b b 对于 A,B,由抛物线知,-a∈(0,1),∴|a|∈(0,1). b y=log|a|x 不为增函数,错误; b 对于 C,由抛物线知 a<0 且-a<-1, b ∴b<0 且a>1. b b ∴|a|>1.∴y=log|a|x 应为增函数,错误; b 对于 D,由抛物线知 a>0,-a∈(-1,0), b b ∴|a|∈(0,1),满足 y=log|a|x 为减函数.
2 ? ?x +2x-3,x≤0, 6 . (2010· 福建 ) 函数 f(x) = ? 的零点个数为 ?-2+ln x,x>0 ?

(

) A.3 C.1 答案 B B.2 D.0

解析 令 x2+2x-3=0,解得 x1=1 或 x2=-3. ∵x1=1>0,故舍去. 令-2+lnx=0,即 lnx=2,则 x=e2. 综上可得,当 x=-3 或 x=e2 时,原函数的函数值为 0. 故选 B. 7.(2012· 北京)函数 f(x)=x
1 2

1 -(2)x 的零点个数为(

)

A.0 C.2 答案 B
1 2

B.1 D.3

解析 令 f(x)=x

1 -(2)x=0,得 x

1 2

1 =(2)x,求零点个数可转化

为求两个函数图像的交点个数.如图所示.

有 1 个交点,故选 B. 8.(2009· 湖南)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经测算,一个桥 墩的工程费用为 256 万元; 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面 工程费 用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不 考虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元.试写出 y 关于 x 的函数 关系式. m 解析 设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m,即 n= x -1, m m 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x=256( x -1)+ x (2+ x)x= 256m x +m x+2m-256.


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