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求函数值域的常见方法


求函数值域的常见方法总结
【观察法】有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。 例题:求函数 y ?

1 2 ? x2

【配方法】配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题, 均可使用配方法,解题过程中,要特别关注自变量的取值范围。 例题:确定函数(1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 的值域; (2) y ?

5x ? 2 的值域。 x

【分离常数法】此方法适合与分式函数的值域问题,思路是用分母表示分子,分离出常数,使分子不含 变量,再借助基本函数的值域求解。 例题:确定下列函数的值域 (1) y ?

3x ? 1 x?2

(2) y ?

x2 ? x x2 ? x ? 1

【判别式法】把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ,通过方程有实根,判别式 ? ? 0 ,从而求得

a1 x 2 ? b1 x ? c1 原函数的值域。形如 y ? ( a1 , a2 不同时为 0 )的函数的值域常用此法求得。前提是定义 a2 x 2 ? b2 x ? c2
域为 R 且分子、分母没有公因式。 例题:求下列函数的值域 (1) y ?

2 x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1

(2) y ?

x 2 ? 3x ? 2 x2 ?1

【反解 x 法】将 y 视为变量,利用数式的性质或已知函数的值域求 y ,体现了方程思想。 例题:求下列函数的值域

2x (1) y ? x 2 ?1

(2) y ?

2 ? sin x 2 ? sin x

【换元法】 运用代数或者三角代换, 将所给函数化成值域容易确定的另一函数, 从而求得原函数的值域。 形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a, b, c, d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求解。令 t ?

cx ? d ,

x?

t3 ? d 且 t ? 0 ,使之变为二次函数,再利用配方法;对于含有 a 2 ? x2 的结构的函数,可利用三 c

角代换,令 x ? a cos ? , ? ?[0, ? ] ,或令 x ? a sin ? , ? ? [ ?

? ?

, ]。 2 2

例题:求下列函数的值域 (1) y ? 2x ? 1 ? 2x (2) y ? x ? 1 ? x 2

【不等式法】利用基本不等式 a ? b ? 2 ab ,用此法求值域时,要注意条件“一正二定三相等”即①

a ? 0 , b ? 0 ;② a ? b ( ab )为定值;③取等号条件 a ? b 。
例题:求下列函数的值域 (1) y ? (2) y ?

3x (x ?0) ; x ? x ?1
2

x2 ? x ? 1 ; x2 ? x ? 1

5 x2 ? 4 x ? 5 (3) y ? (x? ) 2 2x ? 4
【单调性法】先确定函数的定义域(或定义域的某个子集上)的单调性,再求出函数的值域的方法为单 调性法。考虑用单调性法求值域常见的有 y ? ax ? b ? cx ? d ( a, b, c, d 均为常数,且 ac ? 0 )看 a 与

d 是否同号, 若同号用单调性求值域, 若异号则用换元法求值域; 还有在利用重要不等式求值域失效 (等
号不满足)的情况下,可采用单调性求值域,但须熟悉下述结论。 函数 y ? x ?

k ( x ? 0, k ? 0 ) , x ?0 , ( ] k ,函数递减; x ?[ k , ??) ,函数递增。 x

例题:求下列函数的值域 (1) y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

(2) y ? 4x ?1 ? 2x ? 3

【求导法】当一个函数在定义域上可导时,可根据其导数求最值。 例题:设 y ? x ? 6 x ? 15x ? 8 ,试求 y 在 [0,3] 上的最大值和最小值。
3 2

【课堂练习】 1.求下列函数的值域 (1) y ? (3) y ? (5) y ? (7) y ?

1 3
2? x

?1

(2) y ? sin x ? 4cos x ? 1
2

1? x 2x ? 5

(4) y ?

x2 ? 9 x 2 ? 7 x ? 12

3x x ?4
2

(6) y ? 6x ? 1 ? 2 3x ?1 (8) y ?

x2 x?2

1 x ?x (e ? e ) 2

确定函数解析式的常见方法
【配凑法】根据具体解析式凑出复合变量的形式,从而求出解析式。 例题:已知 f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 ? 1 ,求 f ( x) 的表达式 x2

【换元法】换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法,它的基本功能是 化难为易、化繁为简,以快速实现从未知向已知的转换,从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多 种多样的,诸如:局部换元、整体换元、三角换元、分母换元、平均换元等等,它的应用及其广泛。 例题:已知函数 f ( x ) 满足 f (log a x) ?

a 1 ( x ? ) (其中 a ? 0 , a ? 1 , x ? 1 ) ,求 f ( x ) 的表达式 a ?1 x
2

【待定系数法】已知函数的特征,求函数解析式,可用待定系数法,设出待定系数,根据已知条件建立 方程组求出待定系数的值。 例题:设 f ( x ) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x ) 。

【消元法】此方法的实质是解函数方程。 例题:已知 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) 的解析式。

1 x

【赋值法】 赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式, 赋予恰当的数值或代数式后, 通过运算推理, 最后得出结论的一种解题方法。 例题:已知 f (0) ? 1 , f (a ? b) ? f (a) ? b(2a ? b ? 1) ,求 f ( x ) 。

【典型例题】 例题 1:已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2) ? ?1 , f (?1) ? ?1 ,且 f ( x ) 的最大值是 8 ,试确定此二次函数。

例题 2:已知 f ( x) ? x2 ?1 , g ( x) ? ?

? x ? 1 ( x ? 0) ,求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] 的表达式。 ?2 ? x ( x ? 0)

例题 3:已知 f ( x ) 是定义在 [?6, 6] 上的奇函数,它在 [0,3] 上式一次函数,在 [3, 6] 上是二次函数,且 当 x ? [3, 6] 时, f ( x) ? f (5) ? 3 , f (6) ? 2 ,求 f ( x ) 的解析式。

【课后练习】 1、设二次函数 y ? f ( x) 的最小值为 4 ,且 f (0) ? f (2) ? 6 ,求 f ( x ) 的解析式。

? x2 , x ? 0 g ( x ) ? 2、已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , ,求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] 的表达式。 ? ? ?1, x ? 0

2 3、 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x ? 2 对称,且当 x ? (?2, 2) 时, f ( x) ? ? x ? 1,

求当 x ? (?6, ?2) 时的表达式。

判断函数奇偶性的方法
【定义法】基本步骤如下: (1)确定函数的定义域,看定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数为非奇非偶函数; (2)若函数的定义域关于原点对称,函数表达式能化简的,则对函数进行适当化简,以便进行判断; (3)若函数较复杂,可利用变形式子,用求和(或差)法,即看 f (? x) ? f ( x) 与 0 的关系,或用求商

法,即看

f ( x) 与 ?1 的关系; f (? x)

(4)分段函数应分段讨论,要注意根据 x 的范围取相应的函数表达式判断。 例题:判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

4 ? x2 ; | x ? 3 | ?3
x 2 ? 1) ;

(2) f ( x) ?

x2 ? 2 ? x?3 ? x ? ?x | ? 0? ; x ? x ?3 ?

(3) f ( x) ? log 0.5 ( x ?

(4) f ( x) ? ?

? x ? 2, ( x ? 0) ; ?? x ? 2,( x ? 0)

【图像法】可借助图像的对称性来判定函数的奇偶性: ① f ( x ) 为奇函数 ? 其图像关于原点成中心对称图形; ② f ( x ) 为偶函数 ? 其图像关于 y 轴成轴对称图形; 例题:求函数 f ( x) ? ?

? x ? 2, ( x ? 0) ?? x ? 2,( x ? 0)

【性质法】 (1)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; (2)在定义域的公共部分内, 两奇函数的积(或商)为偶函数;一奇一偶函数之积(或商)为奇函数,两奇函数(或两偶函数)的和、 差为奇函数(偶函数) 。

函数单调区间的几种确定方法
【数形结合法】数形结合法是确定函数单调区间的方法,函数的单调区间形象直观地反映在函数的图像 中。 例题:函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上式增函数,那么 A 的区间是( )

A. (?? , 0 )

1 B. [0, ] 2

C. [0, ??)

1 D. ( , ??) 2

【复合函数法】复合函数 F ( x) ? f [ g ( x)] 的单调性一般由函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的单调性来确定: (1)当 g ( x) 和 f (u ) 的单调性相同时,函数 F ( x) 为单调递增函数; (2)当 g ( x) 和 f (u ) 的单调性相反时,函数 F ( x) 为单调递减函数; 例题:求函数 y ? loga (? x2 ? 2x ? 8) ( a ? 0 且 a ? 1 )的单调区间。 【定义探索法】判断函数的单调性,可根据单调函数的定义,即在 f ( x ) 的定义域内任取 x1 ? x2 ,来考 查 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号,这是常用的方法。 例题:若 f (loga x) ? x ? x?1 ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,求函数 f ( x ) 的单调区间。 【导数法】基本步骤: (1)求出函数 f ( x ) 的导数 f ' ( x) ; (2)如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 单调递增,如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 单调递减,求出其相应的解集就分 别是单调递增和递减区间。 例题:已知函数 f ( x) ?

4x2 ? 7 , x ? [0,1] ,求 f ( x ) 的单调区间。 2? x


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