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高中数学 2.2.2-2标准差2课件 新人教A版必修3


2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征 目标导学
1、通过实例理解样本数据标准差的意义,会 计算样本平均数和标准差。 2、体会用样本估计总体的思想,会用样本的 基本数字特征(平均数、标准差)估计总体 的基本数字特征。

主体自学

看书: P76~77

平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断.因 为这个平均数掩盖了一些极端的情况,而这些极 端情况显然是不能忽的.因此,只有平均数还难 以概括样本数据的实际状态. 如:有两位射击运动员在一次射击测试中各 射靶10次,每次命中的环数如下:
甲:7 乙:9 8 5 7 7 9 8 5 7 4 6 9 8 10 6 7 7 4 7

2.标准差

如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? ? ? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于x甲 ? 7,x乙 ? 7 两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的 水平就没有什么差异吗?

频率

0.3 0.2 0.1 频率 4 5 6 7 8 9 10

环数

(甲) 0.4 0.3 0.2

0.1
4 5 6 7 8 (乙) 9 10 环数

直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩 相对集中(如图示).因此,我们还需要从另外的角度来 考察这两组数据.例如:在作统计图,表时提到过的极 差. 甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4.

它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度, 与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息. 显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可 以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的 统计策略.
考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差. 标准差是样本平均数的一种平均距离,一般用s表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:
假设样本数据是 1 , x2 ,...xn , x 表示这组数据的平均数 i到 x 的距离是: x 。x
xi ? x (i ? 1 2, ?, n). ,
?

?

?

于是, 样本数据x1 , x2 ,? xn到 x 的“平均距离”是:
S? x1 ? x ? x2 ? x ? ? xn ? x n .
? ? ?

?

由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常 改用如下公式来计算标准差.
? ? ? 1? ? 2 2 s? ( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) 2 ? . n? ? ?

一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图 表示: 考虑一个容量为2的样本:
x1 ? x2 , 其样本的标准差为 x2 ? x1 x ?x , 记a ? 2 1 . 2 2

a

x1

x1 ? x2 2

x2

显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据 的离散程度越小. 用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差

s甲 ? 2,s



? 1? 095

由 s甲 ? s乙 可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散 程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定. 上面两组数据的离散程度与标准差之间的关系可用 图直观地表示出来.

s甲

s乙

4

5

6

7

8

9

10

例题1:画出下列四组样本数据的直方图,说明它们的异同点. (1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7; (4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ; 解:四组样本数据的直方图是: 频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
?

x?5
S=0.00

1 2 3 45 (1)

6 7 8

频率
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o

频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o 频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
?
?

x?5
S=0.82

?

x?5
S=1.49

1 2 3 45 (2)

6 7 8

1 2 3 45

6 7 8

x?5
S=2.83

1 2 3 4 5 6 7 8

四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是0.00,0.82, 1.49,2.83.虽然它们有相同的平均数,但是它们有不 同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的. 标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如, ? x ? 1.973 在关于居民月均用水量的例子中,平均数 标准差s=0.868 ,所以
x ? s ? 2.841 x ? 2 s ? 3.709 , x ? s ? 1.105, x ? 2 s ? 0.237.
? ?? ? 这100个数据中, 在区间? x? 2s, x? 2s ? ? ?0.237,3.709?外的只有4个。 ? ?

? ?

?

?

? ?? ? 也就是说, x? 2s, x? 2s ?几乎包含了所有样本数 。 据 ? ? ? 从数学的角度考虑 人们有时用标准差的平 s 2 ? ?方差来代替标准作为 , 方

测量样本数据分散程度 的工具:
? ? ? 1? ? 2 2 s ? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) 2 ?. n? ? 2

例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件. 为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件 中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48

从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?

分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体,
由于零件的生产标准已经给出(内径25.40mm),生产质量可 以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数 与内径标准尺寸25.00mm的差异在时质量低,差异小时质 量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差 小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样比较两人的 生产质量只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两 个总体的平均数与标准差的大小即可.但是这两个总体的平 均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想, 我们可以通过抽样分别获得相应的样体数据,然后比较这两 个样本的平均数,标准差,以此作为两个总体之间的估计值. 解:用计算器计算可得:

x甲 ? 25.4005 x乙 ? 25,4008 , ; s甲 ? 0.038, s乙 ? 0.074

?

?

从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接 近内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看, 由于

s甲 ? s乙, 因此甲生产的零件内径 比乙的稳定程度高得多 。 于是可以作出判断 甲生产的零件的质量比 , 乙的高一些。
从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质 量判断,与我们抽取的内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这 名工人生产的零件中获取许多样本(为什么?).这样,尽管总体是同 一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数,标准差等都 会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的的代 表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时, 对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随 机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误 的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键 还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.


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