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广东高考文科数学07-14试题分类汇编


导数 2007 5分 2008 17 分 2009 19 分 2010 14 分 2011 14 分 2012 14 分 2013 5分 2014 5分

(2007 年高考广东卷第 12 小题)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 .

?1 ? , ?? ? ? ?e ?

(200

8 年高考广东卷第 9 小题)设 a∈ R, 若函数 y ? e x ? ax , x∈ R 有大于零的极值点, 则 (
x



【解析】题意即 e ? a ? 0 有大于 0 的实根,数形结合令 y1 ? ex , y2 ? ?a ,则两曲线交点在第 一象限,结合图像易得 ? a ? 1 ? a ? ?1,选 A. A. a < -1 B. a > -1 C. a < -1/e D. a > -1/e

(2008 年高考广东卷第 17 小题)某单位用 2160 万元购得一块空地, 计划在该地块上建造一栋 至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米 的平均建筑费用为 560 + 48x(单位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼 房应建为多少层? (注: 平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用, 平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积) 。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ?5 6 0 ? 4x8 ?? f ? ? x ? ? 48 ?

2 1 6? 0 10000 10800 ? 5? 60 x? 48 ? x ? 1 0 ,x? Z? ? 2000 x x

10800 x ? 15 , 令 f ? ? x? ? 0 得 x2 当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0
因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 (2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??)

【答案】D 【解析】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x 故选 D (2009 年高考广东卷第 21 小题)

? ?? ? ( x ? 2)e

x

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,

已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处取得最 小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.

【解析】 (1)设 g ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1

?

b ? ? 1 2

b?2

?g ? ? 1? ?a ?b ?c 1 ? 2 ? ? c ? m, 1?
f ? x? ?
2

c ? m;

g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?

?2 2 m2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2
m ? 2 ? 0, x


k x? (2)由 y ? f ? x ? ? k x??1 ? ?

?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?
m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? (2010 年高考广东卷第 21 小题)

k ? 1?

1 , m

1 k ?1

已知曲线 Cn:y ? nx2 ,点 P n ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,…). (1)试写出曲线 Cn 在点 P n 处的切线 l n 的方程,并求出 l n 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (2)若原点 O (0, 0) 到 ln 的距离与线段 P nQn 的长度之比取得最大值,试求试点 P n 的坐标 (3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 P ( xn , yn ); n的

坐标, 证明:

?
n ?1

s

(m ? 1) xn ? (k ? 1) yn ? 2

ms ? ks (s ? 1, 2,…)

解: (1) y ? ? 2nx ,设切线 l n 的斜率为 k ,则 k ? y ? | x ? xn ? 2nxn ∴ 曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? yn ? 2nxn ( x ? xn ) 又∵ 点 Pn 在曲线 C n 上, ∴ yn ? nxn
2

∴ 曲 线 C n 在 点 Pn 处 的 切 线 l n 的 方 程 为 : y ? nxn ? 2nxn ( x ? xn ) 即

2

2nxn x ? y ? nxn ? 0
令 x ? 0 得 y ? ?nxn ,∴ 曲线 C n 在 y 轴上的交点 Qn 的坐标为 (0,?nxn ) (2)原点 O(0,0) 到直线 l n 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比为:
2 2

2

| ?nxn | 4n 2 x n ? 1 x n ? (nxn ? nxn ) 2
2 2 2 2

2

?

nxn 1 ? 4n x n
2 2

?

1 1 ? 4nxn nxn

?

1 4

当且仅当

1 1 1 2 时,取等号。此时, y n ? nx n ? ? 4nxn 即 x n ? 2n 4n nxn

故点 Pn 的坐

标为 (

1 1 , ) 2n 4n

(3)证法一:要证

?|
n ?1

s

(m ? 1)x n ? (k ? 1) y n | ?| ms ? ks | (s ? 1,2,?) 2
s

只要证

m ?1 ? k ?1 ?
n ?1

1 2 n

? s | m ? k | (s ? 1,2,?)

只要证

?2
n ?1

s

1 n
1

? s?

m ?1 ? k ?1 m? k
1 n ? n ?1

(s ? 1,2,?) m ?1 ? k ?1 m? k

?


1 2 n

?

n? n

?

? n ? n ? 1 ,又?


?1


?2
n ?1

s

1 n

? 1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( s ? s ? 1) ? s (s ? 1,2,?) ? s ? m ? 1 ? k ? 1 (s ? 1,2,?)
m? k

(2011 年高考广东卷第 19 小题)

设 a ? 0, 讨论函数 f ( x) ? Inx ? a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x的单调性。 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??).

f ?( x ) ?

2 2a ( 1 ? a )x ? 2? (1 a ? x ) 1 , x

当a ?1 时,方程2a(1-a)x2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 0 的判别式 ① 当0 ? a ?

1? ? ? ?1 2a (? 1 a? ? ?) 3? ?

.

1 时, ? ? 0, f ?( x) 有两个零点, 3

x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

且当 0 ? x ? x1或x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 )与( x2 , ??) 内为增函数; 当 x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , x2 ) 内为减函数;

1 ? a ? 1时, ? ? 0, f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 内为增函数; 3 1 ③ 当 a ? 1时, f ?( x) ? ? 0( x ? 0), f ( x)在(0, ??) 内为增函数; x
② 当 ④ 当a ?1 时, ? ? 0, x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 2a 2a(1 ? a)

x2 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 所以f ?( x) 在定义域内有唯一零点 x1 , 2a 2a(1 ? a)

且 当 0 ? x ? x1时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 ) 内 为 增 函 数 ; 当 x ? x1 时 ,

f ?( x) ?
0?a? 1 3

内为减函数。 0 ,f 在 x ( 1) ? x( ? , )

f ( x) 的单调区间如下表:
1 ? a ?1 3
a ?1

(0, x1 )

( x1 , x2 )

( x2 , ??)

(0, ??)

(0, x1 )

( x1 , ??)

(其中 x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ) ? , x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

(2012 年高考广东卷第 21 小题)(本小题满分 14 分)
2 设 0 ? a ? 1, 集合 A ? x ? R x ? 0 , A ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 ,D ? A

?

?

?

?

B.

(1) 求集合 D (用区间表示) ;

(2) 求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 解: (1) 集合 B 解集:令 2x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0

? ? [?3(1 ? a)]2 ? 4 ? 2 ? 6a
? 3(3a ? 1)(a ? 3)

(1):当

1 ? ? 0 时,即: ? a ? 1时 ,B 的解集为: {x | x ? R} 3

此时 D ? A ? B ? A ? {x ? R | x ? 0) (2)当 ? ? 0时,解得 a ?

1 , (a ? 3舍去) 3

此时,集合 B 的二次不等式为:

2x2 ? 4x ? 2 ? 0 ,

( x ? 1)2 ? 0 ,此时,B 的解集为: {x ? R, 且x ? 1}
故: D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) (3)当 ? ? 0时, 即0 ? a ? 此时方程的两个根分别为:

1 ( a ? 3舍去) 3

x1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 4 ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 4
1 3

x2 ?

很明显, 0 ? a ? 时, x2 ? x1 ? 0 故此时的

D ? A? B ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) ? (0, ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) )?( ,??) 4 4
1 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 时, D ? (0, ( )?( ,??) 3 4 4

综上所述: 当0 ? a ? 当a ?

1 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) 3



1 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) 3

(2) 极值点,即导函数的值为 0 的点。 f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 6x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 0 即 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0
( x ? a)(x ? 1) ? 0
此时方程的两个根为:

x1 ? a x2 ? 1
(ⅰ)当 0 ? a ?

1 时, D ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) 3

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 即:D ? (0, ) ?( ,??) 4 4
x1 ? a 3 ? a ? 3(1 ? 3a )(3 ? a ) 4 将分子做差比较: ? (3 ? a ) 2 ? 3(1 ? 3a )(3 ? a ) ? 8a (3 ? a ) 1 ?0 ? a ? 3 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ? x1 ? a
故当 x ? a,是一个极值点

x1 ? 1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) (3a ? 1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ?1 ? 4 4
分子做差比较:
2

(3a ?1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? 8(3a ?1) ? 0
所以 x1 ? 1
又 x2

?1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ?1 4

?

3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a) 4

分子做差比较法:

3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a)2 ? 8(1 ? 3a) ? 0 ,
故 x2

? 1 ,故此时 x ? 1 时的根取不到,
1 16 1 ) 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) ,此时,极值点取不到 x=1 极值点为( , ? 3 3 27
和a

(ⅱ) 当a

?

(ⅲ) 当

1 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) ,极值点为: 1 3 1 ? a ? 时, f ( x) 有 1 个 极值点a, 3

总上所述: 当0 当

1 ? a ? 1时 , f ( x) 有 2 个极值点分别为1 和 a 3 2 (2013 年高考广东卷第 12 小题)曲线 y ? ax ? ln x 在点 ?1, a ? 处的切线平行于 x 轴,
则 a ? 0.5 (2014 年 高 考 广 东 卷 第 11 小 题 ) 曲 线 y ? ?5e ? 3 在 点 ? 0,? 2 ? 处 的 切 线 方 程 为 ___
x

5 x ? y ? 2 ? 0 _____


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