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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 8.7抛物线练习


第七节
基 一、选择题 础

抛物线
必 做

时间:45 分钟 分值:100 分

1.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是( 3 A. 1 2 B. 3 2

2

2

y2

)

C.1 解析 抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0),
2

D. 3

双曲线 x - =1 的渐近线是 y=± 3x,即 3x±y=0. 3 ∴所求距离为 答案 B 2.(2014·辽宁卷)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,记 C 的焦点为 F, 则直线 AF 的斜率为( 4 A.- 3 3 C.- 4 解析 由已知,得准线方程为 x=-2, ∴F 的坐标为(2,0).又 A(-2,3), 3-0 3 ∴直线 AF 的斜率为 k= =- .故选 C. -2-2 4 答案 C 3.已知圆 x +y -6x-7=0 与抛物线 y =2px(p>0)的准线相切,则 p 的值为( A.1 C. 1 2
2 2 2 2 2 2

2

y2

| 3±0| ? 3? +?±1?
2 2



3 .选 B. 2

) B.-1 1 D.- 2

)

B.2 D.4

解析 圆的标准方程为(x-3) +y =16,圆心为(3,0),半径为 4.圆心到准线的距离为 3-?- ?=4,解得 p=2. ? 2? 答案 B 4.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y =x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,
2

? p?

1

5 |AF|= x0,则 x0=( 4 A.1 C.4

) B.2 D.8

p 1 1 2 解析 由抛物线方程 y =x 知,2p=1, = ,即其准线方程为 x=- .因为点 A 在抛物 2 4 4 p 1 5 1 线上,由抛物线的定义知|AF|=x0+ =x0+ ,于是 x0=x0+ ,解得 x0=1. 2 4 4 4
答案 A 5.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一 → → 点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=( A. C. 7 2 5 2 B.3 D.2 )
2

解析 如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离 p=|FM|=4. 过 Q 作 QH⊥l 于 H, 则|QH|=|QF|. 由题意,得△PHQ∽△PMF, |HQ| |PQ| 3 则有 = = , |MF| |PF| 4 ∴|HQ|=3.∴|QF|=3. 答案 B 6.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则
2

y1y2 的值一定等于( x1x2
A.-4 C.p
2

) B.4 D.-p
2

2

解析 ①若焦点弦 AB⊥x 轴,则 x1=x2= ,则 x1x2= ; 2 4 ②若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴,可设 AB:y=k?x- ?, ? 2? 联立 y =2px 得 k x -(k p+2p)x+
2 2 2 2

p

p2

?

p?

p2k2
4

=0,

则 x1x2= .则 y1y2=-p .故 =-4. 4 x1x2 答案 A 二、填空题 7.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是 ________. 解析 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离, 故点 P 的轨迹是 以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x =12y. 答案 x =12y 8.已知抛物线 y =4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|=4,则点 M 的横坐标
2 2 2

p2

2

y1y2

x0=________.
解析 抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1.根据抛物线的定义,点 M 到准 线的距离为 4,则 M 的横坐标为 3. 答案 3 9.抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A,B 两点,若△ 3 3
2 2

x2 y2

ABF 为等边三角形,则 p=________.

解析 如图,在等边三角形 ABF 中,DF=p,BD= 1 2 p p 3 4 B 在双曲线上,故 - =1.解得 p=6. 3 3 答案 6
2

3 p? ? 3 p,∴B 点坐标为? p,- ?.又点 3 2? ?3

3

三、解答题 10.抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x +y =9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程. 解 由题意,抛物线方程为 x =2ay(a≠0).
2 2 2

设公共弦 MN 交 y 轴于 A,则 MA=AN,而 AN= 5. ∵ON=3,∴OA= ∴N( 5,±2). 5 ∵N 点在抛物线上,∴5=2a·(±2),即 2a=± , 2 5 5 2 2 故抛物线的方程为 x = y 或 x =- y. 2 2 5? 5 ? 2 抛物线 x =± y 的焦点坐标为?0,± ?, 8? 2 ? 5 准线方程为 y=? . 8 11.已知抛物线 y =4x 截直线 y=2x+m 所得弦长 AB=3 5, (1)求 m 的值;
2

3 -? 5? =2,

2

2

(2)设 P 是 x 轴上的一点,且△ABP 的面积为 9,求 P 的坐标. 解
? ?y =4x (1)由? ?y=2x+m ?
2

? 4x +4(m-1)x+m =0,

2

2

由根与系数的关系得 x1+x2=1-m,x1·x2= , 4 |AB|= 1+k = 1+2
2 2

m2

?x1+x2? -4x1x2
2

2

?1-m? -4· = 5?1-2m?. 4

m2

由|AB|=3 5,即 5?1-2m?=3 5? m=-4.

4

(2)设 P(a,0),P 到直线 AB 的距离为 d, 则 d= |2a-0-4|
2

2|a-2| = , 2 +?-1? 5
2

1 又 S△ABP= |AB|·d, 2 2·S△ABP 则 d= , |AB| 2|a-2| 2×9 = ? |a-2|=3? a=5 或 a=-1, 5 3 5 故点 P 的坐标为(5,0)或(-1,0). 培 优 演 练
2

1 2 x 2 1.已知抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点与双曲线 C2: -y =1 的右焦点的连线交 C1 于 2p 3 第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( A. C. 3 16 2 3 3 B. D. 3 8 4 3 3 )

解析

由题可知,抛物线开口向上且焦点坐标为?0, ?,双曲线焦点坐标为(2,0),所 ? 2?

?

p?

p 1 3 3 以两个焦点连线的直线方程为 y=- (x-2).设 M(x0,y0),则有 y′= x0= ? x0= p. 4 p 3 3
1 2 p 因为 y0= x0,所以 y0= .又 M 点在抛物线的切线上, 2p 6

p p? 3 4 3 ? 即有 =- ? p-2?? p= ,故选 D. 6 4? 3 3 ?
答案 D

5

2.如图,抛物线 C1:y =2px 和圆 C2:(x- ) +y = ,其中 p>0,直线 l 经过 C1 的焦 2 4 → → 点,依次交 C1,C2 于 A,B,C,D 四点,则AB·CD的值为( A.p C.
2

2

p

2

2

p2

)

B. D.

p2
4

p2
2

p2
3

解析 设抛物线的焦点为 F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x1+ - = 2 2

p p

x1,
同理|CD|=x2.

p → → 又AB·CD=|AB||CD|=x1·x2= . 4
答案 B 3.已知过点 P(4,0)的直线与抛物线 y =4x 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1+
2 2

2

y2 2的最小值是________.
解析 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=4,代入 y =4x,得交点为(4,4),(4, -4), ∴y1+y2=16+16=32; 当直线的斜率存在时,设直线方程为 y=k(x-4), 与 y =4x 联立,消去 x 得 ky -4y-16k=0, 4 由题意,知 k≠0,则 y1+y2= ,y1y2=-16.
2 2 2 2 2

k

16 2 2 2 ∴y1+y2=(y1+y2) -2y1y2= 2 +32>32.

k

综上知,(y1+y2)min=32. 答案 32 4.(2014·陕西卷)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线

2

2

y2 x2 a b

C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为

3 . 2

6

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程. 解 (1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1

的左右顶点. 设 C1 的半焦距为 c,由 =

c a

3 2 2 2 及 a -c =b =1 得 a=2.∴a=2,b=1. 2

(2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x =1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得(k +4)x -2k x+k -4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根, 由求根公式,得 xP=
2 2 2 2 2

y2

2

k2-4 -8k ,从而 yP= 2 , 2 k +4 k +4

∴点 P 的坐标为? 同理,由?

8k ? ?k2-4, - 2 ?. ?k +4 k +4?

? ?y=k?x-1??k≠0?, ?y=-x +1?y≤0? ?
2 2

得 Q 点的坐标为(-k-1,-k -2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 → → ∵AP⊥AQ,∴AP·AQ=0, 即 -2k [k-4(k+2)]=0, k2+4
2

8 ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3

7

8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1), 3 即 8x+3y-8=0.

8


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