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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含详解


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页.第 II 卷 3 至 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷,答题卡规定的地方填写自己的姓名,座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形

码中姓名,座位号与本人姓名,座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位. 2.答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动,用橡皮檫干净后,在选涂其他答案标号. 3.答第 II 卷时,必须用直径 0.5 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整,笔迹 清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后在用 0.5 毫米的黑色墨色签字笔 清楚.必须在标号所指示的答题区域作答,超出答题卡区域书写的答案无效,在试题卷,草 稿纸上答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式: S 表示底面积,h 表示底面的高 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P (B) 棱柱体积 棱锥体积

V = Sh

1 V = Sh 3

第 I 卷(选择题 共 50 分)

选择题: 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 选择题 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位, A. 1 + 2i

学 学 学 学

5i = 2i
B. 1 2i C. 1 2i D. 1 + 2i

x + y ≥ 3 2.设变量 x,y 满足约束条件 x y ≥ 1 ,则目标函数 z = 2 x + 3 y 的最小值为 2 x y ≤ 3
A. 6 B. 7 C.8 D.23

3.设 x ∈ R, 则 " x = 1" 是 " x = x " 的
3

A.充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设双曲线

x2 y2 = ( a > b > 0 ) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为 a2 b2
B. y = ±2 x C.
0.3

A. y = ± 2 x

y=±

2 x 2

D. y = ±

1 x 2

5.设 a = log 1 2, b = log 1
3 2

1 1 , c = ,则 3 2
B. a < c < b D. b < a < c

A. a < b < c C. b < c < a

6.阅读右面的程序框图,则输出的 S = A. 14 C.30 7. 已 知 函数 f ( x ) = sin ω x + B.20 D.55



π

( x ∈ R, ω > 0 ) 的 最 小 正 周期 为 π , 将 4

y = f ( x ) 的图像向左平移 个单位长度, 所得图像关于 y 轴对称, 的 则
一个值是 A. C.

π
2

B. D.

π
4

π

3π 8 8
,则不等式 f ( x ) > f (1) 的解集是 B. D.

8.设函数 f ( x ) =

x 2 4 x + 6, x ≥ 0 x + 6, x < 0

A. ( 3,1) ∪ ( 3, +∞ ) C.

( 3,1) ∪ ( 2, +∞ ) ( ∞, 3) ∪ (1,3)
1 1 + 的最大值为 x y
D.

( 1,1) ∪ ( 3, +∞ )

9.设 x, y ∈ R, a > 1, b > 1 ,若 a x = b y = 3, a + b = 2 3 ,则

A.2

B.

3 2

C. 1

1 2

10.设函数 f ( x ) 在 R 上的导函数为 f ' ( x ) ,且 2 f ( x ) + xf ' ( x ) > x ,下面的不等式在 R 上恒
2

成立的是 A. f ( x ) > 0 B. f ( x ) < 0 C. f ( x ) > x 第二卷 小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案填在答题卡的相应位置. 填空题: 11.如图, AA1 与 BB1 相交于点 O , AB // A1 B1 且 AB = 1,则 A1OB1 的外接圆的直径为______________ D. f ( x ) < x

1 A1 B1 ,若 AOB 的外接圆的直径为 2

12.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a = __________

13.设全集 U = A ∪ B = x ∈ N lg x < 1 , A ∩ ( Cu B ) = m m = 2n + 1, n = 0,1, 2, 3, 4 , 若 则
*

{

}

{

}

集合 B = ___________ 14. 若 圆 x 2 + y 2 = 4 与 圆 x + y + 2ay 6 = 0 ( a > 0 ) 的 公 共 弦 的 长 为 2 3 , 则
2 2

a = __________
15. 若 等 边 ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM =

1 2 CB + CA , 则 6 3

MA MB = _________
16.若关于 x 的不等式 ( 2 x 1) < ax 的解集中的整数恰有 3 个,则实数 a 的取值范围是
2 2

________ 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题;本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答 解答题 本大题共 小题, 17. (本小题满分 12 分) 在 ABC 中, BC = (1)求 AB 的值

5, AC = 3,sin C = 2sin A

(2)求 sin 2 A



π

的值 4

18. (本小题满分 12 分) 为了了解某市开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A, B, C 三个区中抽取 7 个 工厂进行调查,已知 A, B, C 区中分别有 18,27,18 个工厂 (1)求从 A, B, C 区中应分别抽取的工厂个数 (2)若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个工厂 中至少有一个来自 A 区的概率

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中, PD ⊥ 平面 ABCD , AD ⊥ CD , DB 平分 ∠ADC , E 为 的 PC 中点, AD = CD = 1, DB = 2 2 (1)证明: PA // 平面 BDE (2)证明: AC

⊥ 平面 PBD

(3)求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正切值

20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差不为 0.设 S n = a1 + a2 q + + an q
n 1

,

Tn = a1 a2 q + + ( 1)

n 1

an q n 1

(1)若 q = 1, a1 = 1, S3 = 15 ,求数列 {an } 的通项公式 (2)若 a1 = d ,且 S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值 (3)若 q ≠ ±1 ,证明 (1 q ) S 2 n (1 q ) T2 n =

2dq (1 q 2 n ) 1 q2

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) =

1 3 x + x 2 + ( m 2 1) x ( x ∈ R ) ,其中 m > 0 3

(1)当 m = 1 时,求曲线 y = f ( x ) 在点 1, f (1) 处的切线的斜率 (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值 ( 3 ) 已 知 函 数 f ( x ) 有 三 个 互 不 相 同 的 零 点 0, x1 , x2 , 且 x1 < x2 , 若 对 任 意 的

(

)

x ∈ [ x1 , x2 ] , f ( x ) > f (1) 恒成立,求 m 的取值范围

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

a2 x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 的两个焦点分别为 F1 ( c, 0 ) 和 F2 ( c, 0 ) ,过点 E , 0 的 a2 b c

直线与椭圆相交于 A, B 两点,且 F1 A // F2 B, F1 A = 2 F2 B (1)求椭圆的离心率 (2)求直线 AB 的斜率 (3)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H ( m, n )( m ≠ 0 ) 在 AF1C 的外 接圆上,求

n 的值 m

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类) 参考公式: .如果事件 A,B 互相排斥,那么 P(AUB)=P(A)+P(B). .棱柱的体积公式 V=sh.其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高

5i 1. i 是虚数单位, 2 i =
A

1 + 2i B

1 2i

C

1 2i D 1 + 2i

【答案】D

5i 5i (2 + i ) = = 2i 1 【解析】由已知, 2 i ( 2 i )( 2 + i )
【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算.

2.设变量 x,y 满足约束条件

x + y ≥ 3 x y ≥ 1 2 x y ≤ 3

,则目标函数 z = 2 x + y 的最小值为

A 6 B 7 C8 D 23 【答案】B 【解析】由已知,先作出线性规划区域为一个三角形区域,得到三个交点(2,1) (1,2) (4, 5) ,那么作一系列平行于直线 2 x + 3 y = 0 的平行直线,当过其中点(2,1)时,目标函数 最小.

【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力.

"是"x = x" 3.设 x ∈ R, 则"x = 1 的
3

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 【答案】A
3

D 既不充分也不必要条件

【解析】 因为 x = x, 解得x = 0,1,1 ,显然条件的集合小,结论表示的集合大,由集合的 包含关系,我们不难得到结论. 【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题.考查逻辑推理能 力.

x2 y2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 b 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 4.设双曲线 a
为( ) A y = ± 2x 【答案】C 【解析】由已知得到 b = 1, c = B y = ±2 x

y=±
C

2 x 2

1 y=± x 2 D

3 , a = c 2 b 2 = 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐

近线方程为

y=±

b 2 x=± x a 2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用.考察了同学们的运算能力和推理 能力.

5.设

1 a = log 1 2, b = log 1 3, c = ( ) 0.3 2 3 2
C b<c<a

,则

A a<b<c B a<c<b 【答案】B

D b<a<c

【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a < 0,0 < c < 1 ,而 b = log 2 3 > 1 , 因此选 B. 【考点定位】 本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用, 考查了基本的 运算能力. 6.阅读右面的程序框图,则输出的 S= A 14 B 20 C 30 D 55

【答案】C 【解析】当 i = 1 时, S=1;当 i=2 时, S=5;循环下去,当 i=3 时, S=14;当 i=4 时,S=30; 【考点定位】本试题考查了程序框图的运用.

7. 已知函数

f ( x) = sin( wx +

π
4

)( x ∈ R, w > 0)

的最小正周期为 π ,将 y = f (x ) 的图像向左

平移 | | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 的一个值是( )

π
A

2

B

3π 8

π
C 4

π
D8

【答案】D

【解析】由已知,周期为

π=

2π ,w = 2 w ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数,

sin[2( x + ) +

π
4

] = ± cos 2 x

,故选 D

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运 用.

x 2 4 x + 6, x ≥ 0 f ( x) = x + 6, x < 0 8. 设函数 则不等式 f ( x ) > f (1) 的解集是( )
A

(3,1) ∪ (3,+∞)

B ( 3,1) ∪ ( 2,+∞) D (∞,3) ∪ (1,3)

C (1,1) ∪ (3,+∞)

【答案】A 【解析】由已知,函数先增后减再增 当 x ≥ 0 , f ( x ) ≥ 2 f (1) = 3 令 f ( x ) = 3, 解得 x = 1, x = 3 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 x < 0 , x + 6 = 3, x = 3 故 f ( x ) > f (1) = 3 ,解得 3 < x < 1或x > 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用.以及一元二次不等式的求解.

1 1 x, y ∈ R, a > 1, b > 1, 若a x = b y = 3, a + b = 2 3 , 则 + x y 的最大值为 9. 设 3 2 1 D 2

A 2 【答案】C

B

C

1

1 1 a+b 2 + = log 3 ab ≤ log 3 ( ) =1 a = b = 3, x = log a 3, y = log b 3 x y 2 , 【解析】因为
x y

【考点定位】本试题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变 通能力. 10. 设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f'(x),且 2f(x)+xf'(x)>x ,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是 A
2

f ( x) > 0 B f ( x) < 0

C

f ( x) > x

D f ( x) < x

【答案】A 【解析】由已知,首先令 x = 0 ,排除 B,D.然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用.通过分析解析式的特点,考查了 分析问题和解决问题的能力. 二,填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填写在题中的横线上. ) 11. 如图, AA1与BB1 相交与点 O, AB // A1 B1 且 则 A1OB1 的外接圆直径为_________. 【答案】2

AB =

1 A1 B1 2 ,若 AOB 得外接圆直径为 1,

AB AB = 2r = 1, 1 1 = 2 R, A1 B1 = 2 AB sin O ,所以 A1OB1 的 【解析】 由正弦定理可以知道,sin O
外接圆半径是 AOB 外接圆半径的二倍. 【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用.以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用. 考察了同学们对于新问题的转化化归思想.

12. 如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=________. 【答案】 3 【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱,两个底面是等腰的三角 形,且底边为 2,等腰三角形的高位 a,侧棱长为 3,结合面积公式可以得到

V = sh =

1 × 2× a×3 = 3 3 2 ,解得 a= 3

【考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用.培养同学们的空间想象能力和基本 的运算能力.

* A ∩ CU B = {m | m = 2n + 1, n = 0,1,2,3,4} 13. 设全集 U = A ∪ B = x ∈ N | lg x < 1 ,若 ,

{

}

则集合 B=__________. 【答案】{2,4,6,8} 【 解 析 】 U = A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力. 14. 若圆 x + y = 4 与圆 x + y + 2ay 6 = 0( a > 0) 的公共弦长为 2 3 ,则 a=________.
2 2 2 2

A ∩ CU B = {1,3,5,7,9} B = {2,4,6,8}

【答案】1

【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为

y=

1 a ,利用圆心(0,

1 | a = 2 2 1 为 2 3 = 1 ,解得 a=1 0)到直线的距离 d |
【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用.考察了同 学们的运算能力和推理能力. 15. 若 等 边 ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足

CM =



1 → 2 → CB + CA 6 3 ,则

MA MB = ________.
【答案】-2 【解析】合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C (0,0), A( 2 3 ,0), B ( 3 ,3)
→ 3 3 1 3 1 → 3 5 , ) MA = ( , ), MB = ( , ) 2 2 2 2 ,运 这样利用向量关系式,求得 M 2 2 ,然后求得





(

用数量积公式解得为-2. 【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用.也体现了向量的代数化手段的重 要性.考查了基本知识的综合运用能力.
2 2 16. 若关于 x 的不等式 ( 2 x 1) < ax 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 a 的取值范围是

_______.

25 49 , ) 【答案】 9 16 (
2 2 【 解 析 】 因 为 不 等 式 等 价 于 ( a + 4) x 4 x + 1 < 0 , 其 中 ( a + 4) x 4 x + 1 = 0 中 的

1

= 4a > 0 , 且 有 4 a > 0 , 故 0 < a < 4 , 不 等 式 的 解 集 为 2 + a

<x<

1 2 a ,

1 1 1 1 < < 3< <4 4 2 + a 2 则一定有 1,2,3 为所求的整数解集.所以 2 a ,解得 a 的范围
25 49 , ) 为 9 16 (
【考点定位】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用.考查了分类讨论思 想以及逆向思维的能力. 三,解答题 17. (本小题满分 12 分) 在 ABC 中, BC = (Ⅰ)求 AB 的值.

5 , AC = 3, sin C = 2 sin A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)求

sin(2 A

π

) 4 的值.

2 【答案】 10
【 解 析 】( 1 ) 解 : 在 ABC

AB BC = 中 , 根 据 正 弦 定 理 , sin C sin A , 于 是

AB = sin C

BC = 2 BC = 2 5 sin A

AB 2 + AC 2 BC 2 cos A = 2 AB AC (2)解:在 ABC 中,根据余弦定理,得

5 于是 sin A = 1 cos A = 5 ,
2

从而

sin 2 A = 2 sin A cos A =

4 3 , cos 2 A = cos 2 A sin 2 A = 5 5

sin(2 A

π
4

) = sin 2 A cos

π
4

cos 2 A sin

π
4

=

2 10

【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和 余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力. 18. (本小题满分 12 分) 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查,已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂 (Ⅰ)求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数; (Ⅱ)若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个工厂

中至少有 1 个来自 A 区的概率.

11 【答案】(1) 2,3,2(2) 21 7 1 = 【解析】 (1)解: 工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为 63 9 ,所
以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2. (2) A1 , A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂, 设

B1 , B2 , B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1 ,C 2 为
C 72
种,随机

在 C 区中抽得的 2 个工厂,这 7 个工厂中随机的抽取 2 个,全部的可能结果有: 的 抽 取 的 2 个 工 厂 至 少 有 一 个 来 自 A

区 的 结 果 有 ( A1 , A2 ) ,

( A1 , B2 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B3 ) ( A1 , C 2 ) ( A1 , C1 ) ,同理 A2 还能组合 5 种,一共有 11 种.所以所求
11 11 = C 72 21 的概率为
【考点定位】本小题主要考查分层抽样,用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发 生的概率等基础知识,考查运用统计,概率知识解决实际问题的能力. 19.如图,在四棱锥 P ABCD 中, PD ⊥ 平面ABCD , AD ⊥ CD ,且 DB 平分 ∠ADC ,E 为 PC 的 中 点 ,

AD = CD = 1

,

DB = 2 2

(Ⅰ)证明 PA // 平面BDE (Ⅱ)证明 AC ⊥ 平面PBD

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅲ)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值

1 【答案】 (1)略(2)略(3) 3
连结 EH, ADC 中, 在 因为 AD=CD, DB 平分 ∠ADC , 且 【解析】 证明: AC ∩ BD = H , 设

所以 H 为 AC 的中点,又有题设,E 为 PC 的中点,故 EH // PA ,又

HE 平面BDE , PA 平面BDE ,所以 PA // 平面BDE
(2)证明:因为 PD ⊥ 平面ABCD , AC 平面ABCD ,所以 PD ⊥ AC 由(1)知, BD ⊥ AC , PD ∩ BD = D, 故 AC ⊥ 平面PBD (3)解:由 AC ⊥ 平面PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,所以 ∠CBH 为直线与平面 PBD 所成的角. 由 AD ⊥ CD ,

AD = CD = 1, DB = 2 2 , 可得DH = CH =
tan ∠CBH =

2 3 2 , BH = 2 2

在 RtBHC 中,

CH 1 1 = BH 3 ,所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 3 .

【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行.直线和平面垂直.直线和平面所成的角等基 础知识,考察空间想象能力,运算能力和推理能力. 20.(本小题满分 12 分) 已知等差数列

{a n } 的公差 d 不为 0,设 S n = a1 + a 2 q + + a n q n 1

Tn = a1 a 2 q + + (1) n 1 a n q n1 , q ≠ 0, n ∈ N *
(Ⅰ)若 (Ⅱ)若

q = 1, a1 = 1, S 3 = 15 a1 = d , 且S1 , S 2 , S 3

,求数列

{a n }

的通项公式;

成等比数列,求 q 的值.

q ≠ ±1, 证明(1 q)S 2 n (1 + q )T2 n =
(Ⅲ)若 【答案】 (1)

2dq (1 q 2 n ) ,n ∈ N* 1 q2

a n = 4n 3

(2) q = 2 (3)略

【解析】 (1)解:由题设,

S 3 = a1 + (a1 + d )q + (a1 + 2d )q 2 , 将q = 1, a1 = 1, S 3 = 15

a = 4n 3 n ∈ N * 代入解得 d = 4 ,所以 n
(2)解:当
2

a1 = d , S1 = d , S 2 = d + 2dq, S 3 = d + 2dq + 3dq 2 ,∵ S1 , S 2 , S 3

成等比数列,所



2 S 2 = S1 S 3 ,即 d + 2dq) = d(d + 2dq + 3dq 2 ) ,注意到 d ≠ 0 ,整理得 q = 2 (

(3)证明:由题设,可得

bn = q n 1

,则 ①w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

S 2 n = a1 + a 2 q + a 3 q 2 + a 2 n q 2 n 1

T2 n = a1 a 2 q + a 3 q 2 a 2 n q 2 n 1
①-②得,



S 2 n T2 n = 2(a 2 q + a 4 q 3 + + a 2 n q 2 n 1 )
①+②得,

S 2 n + T2 n = 2(a1 q + a 3 q 2 + + a 2 n 1 q 2 n 2 )
③式两边同乘以 q,得



q ( S 2 n + T2 n ) = 2(a1q + a3 q 2 + + a 2 n 1 q 2 n 2 )
3 2 n 1

(1 q ) S 2 n (1 + q )T2 n = 2d (q + q + + q
所以 (3)证明: =

2dq (1 q 2 n ) )= 1 q2

c1 c 2 = (a k1 a l1 )b1 + (a k 21 al2 )b2 + (a k n a ln )bn

(k1 l1 )db1 + (k 2 l 2 )db1 q + + (k n l n )db1 q n 1

因为 d ≠ 0, b1 ≠ 0 ,所以

c1 c 2 = (k1 l1 ) + (k 2 l 2 )q + + (k n l n )q n 1 db1
若 若

k n ≠ l n ,取 i=n, k n = l n ,取 i 满足 k i ≠ l i ,且 k j = l j , i + 1 ≤ j ≤ n

由(1) (2)及题设知, 1 < i ≤ n ,且

c1 c 2 = (k1 l1 ) + (k 2 l 2 )q + + (k n l n )q n 1 db1


k i < li

时,

k i l i ≤ 1

k l i ≤ q 1, i = 1,2 , i 1 ,由 q ≥ n , i
i 2

(k l ) q 即 k1 l1 ≤ q 1 , ( k 2 l 2 ) q ≤ q ( q 1), i 1 i 1

≤ q (q 1) i 2

c1 c 2 1 q i 1 ≤ (q 1) + (q 1)q + + (q 1)q i 2 q i 1 = (q 1) q i 1 = 1 db1 1 q 所以
因此 c1 c 2 ≠ 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

c1 c 2 ≤ 1, k > li db1 当 i 时,同理可得 因此 c1 c 2 ≠ 0
综上, c1 ≠ c 2

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和等基本 知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力. 21. (本小题满分 12 分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 f ( x) = x 3 + x 2 + (m 2 1) x, ( x ∈ R, )其中m > 0 3 设函数

1 1 处的切线斜率 (Ⅰ)当 m = 1时, 曲线 y = f ( x)在点( ,f( ))
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ) 已知函数 f (x ) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 ,且 x1 < x 2 .若对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] ,

f ( x) > f (1) 恒成立,求 m 的取值范围.
【答案】 (1)1(2) f (x ) 在 ( ∞,1 m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数,在 (1 m,1 + m) 内增函数.

2 3 1 m + m2 3 函数 f (x ) 在 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ,且 f (1 + m) = 3 2 3 1 m + m2 3 函数 f (x ) 在 x = 1 m 处取得极小值 f (1 m) ,且 f (1 m) = 3 m = 1时,f ( x) = 1 3 x + x 2 , f / ( x) = x 2 + 2 x, 故f ' (1) = 1 3

【解析】解:当

1 1 处的切线斜率为 1. 所以曲线 y = f ( x)在点( ,f( ))
' 2 2 ' (2)解: f ( x) = x + 2 x + m 1 ,令 f ( x) = 0 ,得到 x = 1 m, x = 1 + m

因为 m > 0, 所以1 + m > 1 m
' 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f (x)

(∞,1 m

1 m
0

(1 m,1 +

1+ m
0

(1 + m,+∞

+

-

+

极小值

极大值

f (x) 在 (∞,1 m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数,在 (1 m,1 + m) 内增函数.

2 3 1 m + m2 3 函数 f (x ) 在 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ,且 f (1 + m) = 3 2 1 m3 + m2 f (x) 在 x = 1 m 处取得极小值 f (1 m) ,且 f (1 m) = 3 3 函数 1 1 f ( x) = x( x 2 + x + m 2 1) = x( x x1 )( x x 2 ) 3 3 (3)解:由题设, 1 x2 + x + m2 1 所以方程 3 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 + x 2 = 3 , 且 4 1 1 = 1 + (m 2 1) > 0 m < (舍),m > 3 2 2 ,解得 x1 < x 2 , 所以2 x 2 > x1 + x 2 = 3, 故x 2 > 3 >1 2

因为

1 x1 ≤ 1 < x 2 , 则f (1) = (1 x1 )(1 x 2 ) ≥ 0 3 若 ,而 f ( x1 ) = 0 ,不合题意
若 1 < x1 < x2 , 则对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] 有 x x1 ≥ 0, x x 2 ≤ 0,

1 f ( x) == x( x x1 )( x x 2 ) ≥ 0 3 则 又 f ( x1 ) = 0 , 所以函数 f (x ) 在 x ∈ [ x1 , x 2 ] 的最小值为
0,于是对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] , f ( x ) > f (1) 恒成立的充要条件是

f (1) = m 2

1 <0 3 ,解得



3 3 <m< 3 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 3 ( , ) 综上,m 的取值范围是 2 3
【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的关系解 不等式等基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力. 22. (本小题满分 14 分)

x2 y2 + 2 =1 2 b 已知椭圆 a ( a > b > 0 ) 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 ( c,0), F2 (c,0)(c > 0) , 过 点 E( a2 ,0 ) c 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点, F1 A // F2 B, | F1 A |= 2 | F2 B | w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 且

(Ⅰ求椭圆的离心率 (Ⅱ)直线 AB 的斜率; (Ⅲ)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ≠ 0 )在 AF1C 的外接

n 圆上,求 m 的值.

【答案】 (1)

e=

c 3 2 n 2 2 = k=± = a 3 (2) 3 (3) m 5

| EF2 | | F2 B | 1 = = | EF1 | | F1 A | 2 ,从而 【解析】 (1)解:由 F1 A // F2 B, | F1 A |=| F2 B | ,得
a2 c 1 c = 2 2 c 3 a e= = +c 2 2 a 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m c ,整理得 a = 3c ,故离心率
2 2 2 2 2 2 2 (2)解:由(1)知, b = a c = 2c ,所以椭圆的方程可以写为 2 x + 3 y = 6c

设直线 AB 的方程为

y = k(x

a2 ) c 即 y = k ( x 3c)

y = k ( x 3c) 2 2 x + 3 y 2 = 6c 2 由已知设 A( x1 , y1 ) B ( x 2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组
2 2 2 2 2 2 消去 y 整理,得 ( 2 + 3k ) x 18k cx + 27 k c 6c = 0

依题意,

= 48c 2 (1 3k 2 ) > 0,

3 3 <k< 3 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m



x1 + x 2 =

18k 2 27 k 2 c 2 6c 2 , x1 x 2 = 2 + 3k 2 2 + 3k 2 ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以

x1 + 3c = 2 x 2
9 k 2 c 2c 9 k 2 c 2 + 2c 2 2 x1 = , x2 = k=± 2 2 3 2 + 3k 2 + 3k 联立三式,解得 ,将结果代入韦达定理中解得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

x1 = 0, x 2 =
(3)由(2)知,

3c 2 k= 2 ,当 3 时,得 A (0, 2c) 由已知得 C (0, 2c)

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为

y

2c 2 c c = ( x + ), ( ,0 ) 2 2 2 直线 l 与 x 轴的交点 2 是
c c ( x ) 2 + y 2 = ( + c) 2 2 2

AF1C 的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为

直线 F2 B 的方程为 y =

2 ( x c) ,于是点 H (m, n) 满足方程组

9c 2 c 2 2 (m ) + n = 2 4 n = 2 ( m c )



m ≠ 0 ,解得 k=

m=

5c 2 2c n 2 2 ,n = = 3 2 ,故 m 5



2 n 2 2 = 3 时,同理可得 m 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.

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