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3-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


第4课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三 角函数模型的简单应用

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第三章

三角函数、解三角形

栏目导引

1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要

找五个特殊点.
如下表所示.
π 2 -φ ω π 2

x
ωx+φ y=Asin (ωx+φ)
工具

0-φ ω

π -φ ω

0

π

3π -φ 2 ω 3π 2

2π -φ ω



0
第三章

A

0

-A

0
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三角函数、解三角形

2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步 骤如下: 方法一

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第三章

三角函数、解三角形

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方法二

以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方法二先伸 缩再平移.特别注意方法二中的平移量.
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三角函数、解三角形

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3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0,x∈[0,+∞)) 表示一个振动时,A 叫做 振幅 ,T= 2π 叫做 周期 ,f ω

1 = 叫做 频率 ,ω x+φ 叫做 相位 ,φ 叫做 初相 . T

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第三章

三角函数、解三角形

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1 1.把 y=sin2x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得 到 y=sin ω x 的图象,则 ω 的值为( A.1 1 C.4 B.4 D.2 )

1 横坐标变为原来的2倍 1?1 ? 解析: y=sin 2x ――→ y=sin2?2x?=sin ? ? 1 1 4x.∴ω=4.
答案:
工具

C
第三章 三角函数、解三角形
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2. 已知简谐运动

?π f(x)=2sin? ?3 ?

x+φ

?? ?? ??|φ ??

π? ? |< ?的图象经过 2?

点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为 ( ) π A.T=6,φ = 6 π C.T=6π ,φ = 6 π B.T=6,φ = 3 π D.T=6π ,φ = 3

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三角函数、解三角形

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π π 解析: 依题意 2sin φ=1,结合|φ|< 2 ,可得 φ= 6 , 易得 T=6.

答案: A

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三角函数、解三角形

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3.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π )个单位 后,得到函数 π A. 6 7π C. 6
? π ? y=sin?x- 6 ? ? ? ?的图象,则 ?

φ 等于(

)

11π B. 6 5π D. 6

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三角函数、解三角形

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解析:

依题意得

? ? ? π? π ? ? ? y = sin ?x- ? = sin ?x- +2π? ?= 6 6 ? ? ? ?

? 11π? ? ? sin?x+ ,故将 ? 6 ? ?

11π y=sin x 图象向左平移 个单位后得到 6

? ? 11π? π? ? ? ? ? y=sin?x+ = sin x- ?的图象. ? ? 6 ? 6? ? ?

答案: B

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三角函数、解三角形

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4.要得到函数

? π ? y=sin?x+ 3 ?

? ? ?的图象,只需将函数 ?

y=sin

x 的图象向________平移________个单位.

π 答案: 左 3

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三角函数、解三角形

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5.图中的曲线是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(A>0,ω π >0,|φ|< 2 ),则 ω=________,φ =________.

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解析: 设周期为 T, π 3 3 5 则 T= π- = π, 4 6 12 4 π π π ∴T=π,∴ω=2.∴2× +φ= ,∴φ= . 12 2 3

π 答案: 2 3

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已知函数

? π ? y=2sin?2x+ 3 ?

? ? ?, ?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明
? π ? y=2sin?2x+ 3 ? ? ? ?的图象可由 ?

y=sin x 的图象经过

怎样的变换而得到.
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三角函数、解三角形

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解析:

? π? ? (1)y=2sin?2x+ ? ?的振幅 3 ? ?

2π A=2, 周期 T= 2 =

π π,初相 φ= . 3
? π π? ? (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+ ? ?=2sin X. 3 3 ? ?

列表如下:
x X y=sin X
? π? ? y=2sin?2x+ ? 3? ? ?

π π π 7π 5π - 6 12 3 12 6 π 3π 0 π 2π 2 2 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0
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三角函数、解三角形

描点画出图象,如图所示:

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三角函数、解三角形

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π (3)把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 3 个单位,得 到
? π? ? y=sin?x+ ? ?的图象,再把 3 ? ? ? π? ? y=sin?x+ ? ?的图象上的点的 3 ? ?

? π? 1 ? 横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+ ? 3? ? ?

的图象, 最后把

? π? ? y=sin?2x+ ? ?上所有点的纵坐标伸长到原来 3 ? ? ? π? ? y=2sin?2x+ ? ?的图象. 3 ? ?

的 2 倍(横坐标不变),即可得到

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三角函数、解三角形

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1.作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在 作出一个周期上的简图后,应向两端伸展一下,以示整个定 义域上的图象; 2.变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还 是先伸缩后平移,对于后者可利用 平移单位.
? φ? ? ωx+φ=ω?x+ ? 来确定 ? ω? ?

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三角函数、解三角形

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1. 设函数 周期为π ,且

? π ? f(x) = cos(ωx + φ) ?ω>0,- 2 ? ?π f? ?4 ? ? ? ?= ?



? ? <0? 的最小正 ?

3 2.

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象; 2 (3)若 f(x)> 2 ,求 x 的取值范围.
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2π 解析: (1)周期 T= =π,∴ω=2,

ω

?π? ? ? π ? ? ? ∵f? ?=cos?2× +φ? ? 4 ?4? ? ? ?π ? ? =cos? +φ? ?=-sin 2 ? ?

3 φ= 2 ,

π π ∵- <φ<0,∴φ=- . 2 3

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? π? ? (2)∵f(x)=cos?2x- ? ?, 3 ? ?

列表如下:
π 2x- 3 x f(x) π - 3 0 1 2 0 π 6 1 3 5 π π π π 2 3 2 5 2 11 π 12π 3π 12π 1 0 0 -1 2

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图象如图:

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三角函数、解三角形

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? π? ? (3)cos?2x- ? > 3? ? ?

2 2,

π π π ∴2kπ- <2x- <2kπ+ 4 3 4 π 7 2kπ+12<2x<2kπ+12π, π 7 kπ+24<x<kπ+24π,k∈Z, ∴x
? ? ? ? π ? 7 ? ? 的取值范围是 x?kπ+ <x<kπ+ π,k∈Z?. ? ? 24 24 ? ? ?

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(2011· 江苏卷 ) 函数 f(x) = Asin(ωx + φ)(A , ω , φ 为 常 数 , A > 0 , ω > 0) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则 f(0) 的 值 是 ________.

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T 7π π π 解析: 由题图知 A= 2,4 = 12 - 3 = 4 ,∴T=π, 2π ω= =2. π π ∴2× +φ=2kπ+π, 3 π π ∴φ=2kπ+ 3 .令 k=0,得 φ= 3 . ∴函数解析式为 f(x)= π 6 ∴f(0)= 2sin 3 = 2 . 6 答案: 2
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? π? ? 2sin?2x+ ? ?, 3 ? ?

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三角函数、解三角形

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根据三角函数图象求函数的解析式,主要解决两个问题, 一个是ω,一个是φ.ω由三角函数的周期确定,φ由函数图象的位 置确定,解决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期 确定ω的值.对于φ值的确定,若能求出距离原点最近的右侧图 象上升( 或下降 )的零点 x0,令ωx0 +φ =0( 或ωx0 +φ = π),即可求

出φ ,也可以用最高点或最低点的坐标来求,如果对 φ 有范围要
求,则可用诱导公式转化.

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三角函数、解三角形

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π 2.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,|φ |< )的图象如图 2 所示, 为了得到 g(x)=sin 3x 的图象, 则只要将 f(x)的图象( π A.向右平移 4 个单位长度 π B.向右平移 个单位长度 12 π C.向左平移 个单位长度 4 π D.向左平移12个单位长度
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)

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解析: 由题知,函数 f(x)的周期

?5π π? 2π ? T=4? - ? 12 ?= 3 , 4 ? ?

2π 2π 所以 T= 3 = ,解得 ω=3,易知 A=1,∴f(x)=sin(3x ω + φ) . 又 f(x) = sin(3x + φ) 过 点
? ? 5π ? ? sin?3× 所以 +φ?=-1, 12 ? ? ?5π ? ? ? ,- 1 ? 12 ? ? ?

,所以

5π 3 3× +φ=2kπ+ π, k∈Z, 12 2

π π 所以 φ=2kπ+ 4 ,k∈Z,又|φ|< 2 ,

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? ? ? ? π π? π? ? ? ? ? ?? 所以 φ= , 所以 f(x)=sin?3x+ ?=sin?3?x+ ??, 所以 4 4 12 ? ? ? ? ??

π 将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 g(x) 12 =sin 3x 的图象,故选 B.

答案: B

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已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω >0,0 π <φ < 2 )的图象与 x 轴的交点中, 相邻两个交点之间的距离
?2π ? π ? ? 为 2 ,且图象上一个最低点为 M? ,- 2 ?. 3 ? ?

(1)求 f(x)的解析式; (2)当
?π π ? x∈? , 2 ?12 ? ? ?时,求 ?

f(x)的值域.

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三角函数、解三角形

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解析: (1)由最低点为

?2π ? ? ? M? 得,A=2. ,- 2 ? ? 3 ?

π T π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 2 得,2= 2 , 2π 2π 即 T=π,所以 ω= = =2. T π 由点
?2π ? ? ? M? ,- 2 ?在函数 3 ? ?

f(x)的图象上得,

? ? 2π ? 2sin?2× +φ? ?=-2, 3 ? ?



?4π ? ? ? sin? +φ?=-1. ? 3 ?

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4π π 11π 故 + φ = 2k π- (k∈Z) , 所以 φ = 2k π- 3 2 6 (k∈Z). 又
? π? ? φ∈?0, ? ,所以 ? 2? ?

π φ= , 6

故 f(x)的解析式为

? π? ? f(x)=2sin?2x+ ? . ? 6? ?

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(2)因为

?π π? ? x∈? ,所以 , ?12 2? ? ?

? π ? ?π 7π? 2x+ ∈? , ?, 6 ?3 6 ?

π π π 当 2x+ 6 = 2 ,即 x= 6 时,f(x)取得最大值 2; π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1, 6 6 2 故函数 f(x)的值域为[-1,2].

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三角函数、解三角形

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认识并理解三角函数的图象与性质是解决此题的关键.图

象与x轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期.在求函数值域
时,由定义域转化成ωx+φ的范围.即把ωx+φ看作一个整体.

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三角函数、解三角形

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1 1 3. 已知函数 f(x) = 2 sin 2xsin φ + 2 cos 2xcos φ (0<φ< π
?π ),其图象过点? ?6 ?

1? ? ,2?. ?

(1)求 φ 的值; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 ,纵坐标不变,得到函数 y= g(x)的图象,求函数 g(x)在 2
? π ? ?0, 4 ? ? ? ?上的最大值和最小值. ?

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1 1 解析: (1)f(x)=2sin 2xsin φ+2cos 2xcos φ 1 =2(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ) 1 =2cos(2x-φ)
?π 1? ? 又函数图象过点? , ?6 ?, 2 ? ? ? π 1 1 ? ? 所以2=2cos?2× -φ? , ? 6 ? ?



?π ? ? cos? -φ? ?=1, 3 ? ?

π 又 0<φ<π,所以 φ= 3 .
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三角函数、解三角形

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π? 1 ? ? (2)由(1)知 f(x)=2cos?2x- ? ,将函数 y=f(x)的图象上 3? ? ? 1 各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 2 π? 1 ? 的图象,可知 g(x)=f(2x)=2cos?4x-3?, ? ? 因为
? π? ? x∈?0, ? ,所以 ? 4? ?

4x∈[0,π],

? π ? ? π 2π? 因此 4x- 3 ∈?- , , ? 3 3 ? ?

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? π? 1 ? 故-2≤cos?4x- ? ?≤1. 3 ? ?

所以 1 -4.

? π? 1 ? ? y=g(x)在?0, ?上的最大值和最小值分别为 和 2 4? ?

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1. 用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象, 关键是点的 π 3 选取,通常令 ωx+φ 分别等于 0, 2 ,π ,2π ,2π ,求出 对应的 x,y,即可得到所画图象上关键点的坐标.

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2.确定 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的步骤: (1)根据图象的最高点、 最低点或与 y 轴的交点确定振幅 A; 2π (2)根据图象确定函数的周期 T,再由 T= ,求得 ω ω 的值; (3)确定 φ 值时, 往往寻找“五点法”作图象时的第一零
? φ ? ? 点?- ,0? ?作为突破口. ω ? ?

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3.函数 y=Asin(ωx+φ)图象的对称问题: (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=x0 对称,则 π ωx0+φ =kπ + 2 ,k∈Z,即过函数图象最高点或最低点且 与 x 轴垂直的直线为其对称轴. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(x0, 0)成中心对称, 则 ωx0+φ =kπ ,k∈Z,即函数图象与 x 轴的交点是其对称 中心.

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从近两年的高考试题来看,函数 y = Asin(ωx + φ) 的图象
的平移和伸缩变换以及根据图象确定A、ω、φ问题是高考的 热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中低 档,主要考查识图、用图能力,同时考查了利用三角公式进 行三角恒等变换的能力.

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图象变换时判断不准致误·名师点拨增分
(2011· 大纲全国卷)设函数 f(x)=cos ω x(ω>0),将 y π =f(x)的图象向右平移 3 个单位长度后, 所得的图象与原图象 重合,则 ω 的最小值等于( 1 A.3 C.6 B.3 D.9 )

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π 解析: 由题意可知,nT= 3 (n∈N*), 2π π ∴n· = (n∈N*), ω 3 ∴ω=6n(n∈N*), ∴当 n=1 时,ω取得最小值 6.

答案:

C

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错因 分析

备考 建议

π (1)把 理解为函数 y=f(x)半个周期直接 3 计算. (2)平移后解析式为 f(x)=cosω ? ? π? π? ? ? ? ? ,而不是 f ( x ) = cos x - ω x - ? ? ? ?,其 3 3 ? ? ? ? 改变量为 x 而不是 ωx. 建议在学习图象的变换时,要明确认识 到平移变换、周期变换的对象均为 x, 对平移的方向、单位及伸缩的大小等问 题也要有清晰的认识.

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π 将函数 y=sin ω x(ω>0)的图象向左平移 6 个单位长度,平移 后的图象如图所示, 则平移后的图象所对应函数的解析式是(
? π ? A.y=sin?x+ 6 ? ? π ? B.y=sin?x- 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

)

? π ? C.y=sin?2x+ 3 ? ? π ? D.y=sin?2x- 3 ?

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π 解析: 将函数 y=sin ωx(ω>0)的图象向左平移 6 个单 位长度,平移后的图象所对应的解析式为 y=sin 由图象,知
?7π π? 3π ? ω? = ,所以 + ? 12 2 6? ? ? ? π? ? ω?x+ ? , ? 6? ?

ω=2.

答案: C

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