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2.2.4平面与平面平行的性质


第二章

2.2.4

平面与平面平行的性质

1、预习课本P60 2、时间8分钟

平面与平面平行的性质定理

文字语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 ________ 平行

图形语言

符号语言 作用

a∥b α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?________

证明两直线平行

1.平面 α 与圆台的上、下底面分别相交于直线 m、n,则 m、n 的位置关系 是 ( ) A.相交 C.平行

C
B.异面 D.平行或异面

[解析]

∵圆台的上、下底面互相平行,∴平面α与圆台的上、下底面分别

相交,所得交线m与n平行.

2.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是 ( ) A.平行 C.异面

A
B.相交 D.以上都不对

[解析] 根据两个平面平行的性质可知,这两个平面平行.

3.如右图所示,已知平面 α∥平面 β,A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC. 求证:AD=BC.

[解析] ∵AD∥BC,∴AD与BC确定一个平面γ. ∵α∥β,α∩γ=AB,β∩γ=DC,∴AB∥DC. ∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC.

命题方向1 ?对面面平行性质的理解
(1)平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,下面四种情形: ①a∥b; ②a⊥b; ③a 与 b 异面; ④a 与 b 相交, 其中可能出现的情形有( C ) A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 (2)给出三种说法: ①若平面 α∥平面 β,平面 β∥平面 γ,则平面 α∥平面 γ; ②若平面 α∥平面 β,直线 a 与 α 相交,则 a 与 β 相交; ③若平面 α∥平面 β,P∈α,PQ∥β,则 PQ?α. 其中正确说法的序号是__________. ①②③

[解析] 公共点.

(1)因为平面α∥平面β,直线a?α,直线b?β,所以直线a与直线b无

当直线a与直线b共面时,a∥b; 当直线a与直线b异面时,a与b所成的角大小可以是90°.

综上知,①②③都有可能出现,共有3种情形.故选C.

(2)①正确.证明如下:如图,在平面α内取两条相交直线a、b,分别过a、b

作平面 φ , δ ,使它们分别与平面 β 交于两相交直线 a′ 、 b′ ,因为 α∥β ,所以
a∥a′ , b∥b′. 又 因 为 β∥γ , 同 理 在 平 面 γ 内 存 在 两 相 交 直 线 a″ , b″ , 使 得 a′∥a″,b′∥b″,所以a∥a″,b∥b″,所以α∥γ.

②正确.若直线 a与平面 β 平行或直线 a?β ,则由平面 α∥平面 β 知a 与α 无公

共点或a?α,这与直线a与α相交矛盾,所以a与β相交.
③正确.如图,过直线 PQ 作平面 γ , γ∩α = a , γ∩β = b ,由 α∥β 得 a∥b. 因 为PQ∥β,PQ?γ,所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行,所以直线a与直线PQ重合.因为a?α,所以PQ?α.

『规律方法』 常用的面面平行的其他几个性质:

(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.

〔跟踪练习 1〕已知直线 a∥平面 α,平面 α∥平面 β,则 a 与 β 的位置关系 为______________. a?β或a∥β

[解析]

若a?β,则显然满足题目条件.若a?β,过直线a作平面γ,γ∩α=

b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a?β, c?β,所以a∥β.

命题方向2 ?平面与平面平行性质定理的应用
已知平面 α∥平面 β,P 是 α、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于 A、C,过点 P 的直线 n 与 α、β 分别交于 B、D.若 PA=6,AC=9,PD =8,求 BD 的长.

[ 解析]

因为 AC∩BD=P,

所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. 因为 α∥β,α∩平面 PCD=AB,β∩平面 PCD=CD, PA PB 所以 AB∥CD,所以AC=BD, 6 8-BD 即9= BD . 24 所以 BD= 5 .

『规律方法』 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

〔跟踪练习 2〕已知三个平面 α、β、γ 满足 α∥β∥γ,直线 a 与这三个平面 依次交于点 A、B、C,直线 b 与这三个平面依次交于点 E、F、G. AB EF 求证: = . BC FG

[ 解析]

连接 AG 交 β 于 H,连 BH、FH、AE、CG.

∵β∥γ,平面 ACG∩β=BH.平面 ACG∩γ=CG, ∴BH∥CG.同理 AE∥HF, AB AH EF ∴BC=HG=FG.

对平面与平面平行的性质定理理解不正确,忽 略“第三个平面”这一条件
如图,α∥β,AB,CD 是夹在平面 α 和平面 β 间的两条线段,则 AC 所在的直线与 BD 所在的直线平行,这个说法正确吗?

[错解] 这个说法正确. [错因分析] [ 思路分析 ] 忽略了AB,CD可能异面的情况.当 AB , CD 共面时, AC∥BD ; AB , AB,CD异面时,AC与BD不平行. CD 异 面 时 , AC∥β , 但 AC 与 BD 不 平 行 . 同 理 BD∥α,但BD与AC不平行.

[正解] 这个说法错误.

转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中 的应用
线线平行? ? ? ? 线面平行? ? ? ? 面面平行
性质 性质 判定 判定

如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,且 CM=DN.求证:MN∥平面 AA1B1B.

[思路分析]
[ 证明]

直接用判定定理证明较困难,可通过证明过MN的平面与平面

AA1B1B平行,得到MN∥平面AA1B1B.
如图,作 MP∥BB1 交 BC 于点 P,连接 NP, CM CP ∵MP∥BB1,∴MB = PB. 1 ∵BD=B1C,DN=CM, ∴B1M=BN, CM DN CP DN ∴MB = NB ,∴PB = NB , 1 ∴NP∥CD∥AB.

∵NP?平面AA1B1B,AB?平面AA1B1B,
∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1,MP?平面AA1B1B,BB1?平面AA1B1B, ∴MP∥平面AA1B1B. 又MP?平面MNP,NP?平面MNP,MP∩NP=P,

∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN?平面MNP,∴MN∥平面AA1B1B.

『规律方法』 (1)证明线面平行的方法主要有三种: ①应用线面平行的定义; ②应用线面平行的判定定理; ③应用面面平行的性质,即“两个平面平行时,其中一个平面内的任意一 条直线都平行于另一个平面.”

(2)应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的
平面并给予证明,这时注意线线平行,线面平行和面面平行之间的相互转化.

〔跟踪练习 3〕如下图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、P、Q 分别 是 BC、C1D1、AD1、BD 的中点.

(1)求证:PQ∥平面 DCC1D1; (2)求证:EF∥平面 BB1D1D.

[ 解析]

(1)解法一:如下图,连接 AC、CD1.

∵P、Q 分别是 AD1、AC 的中点,∴PQ∥CD1. 又 PQ?平面 DCC1D1,CD1?平面 DCC1D1, ∴PQ∥平面 DCC1D1. 解法二:取 AD 的中点 G,连接 PG、GQ, 则有 PG∥DD1,GQ∥DC,且 PG∩GQ=G, ∴平面 PGQ∥平面 DCC1D1. 又 PQ?平面 PGQ,∴PQ∥平面 DCC1D1.

(2)解法一:连接 B1D1,取 B1D1 的中点 O1, 连接 FO1,则有 FO1 1 2B1C1.

1 又 BE 2B1C1,∴BE FO1. ∴四边形 BEFO1 为平行四边形,∴EF∥BO1, 又 EF?平面 BB1D1D,BO1?平面 BB1D1D, ∴EF∥平面 BB1D1D.

解法二:取 B1C1 的中点 E1,连接 EE1、FE1, 则有 FE1∥B1D1,EE1∥BB1. ∴平面 EE1F∥平面 BB1D1D. 又 EF?平面 EE1F, ∴EF∥平面 BB1D1D.

1.已知 a 是一条直线,过 a 作平面 β,使 β∥平面 α,这样的 β (

)

D A.只能作一个
C.不存在

B.至少有一个 D.至多有一个

[解析] 选D.

本题考查线面平行的性质.∵a是一条直线,∴a∥α或a与α相交或

在平面α内.当a∥α时,β只有一个;当a与α相交或在平面α内时,β不存在,故

2.如果平面 α∥平面 β,夹在 α 和 β 间的两条线段相等,那么这两条线段所 在直线的位置关系是 ( A.平行 C.异面 )

D
B.相交 D.平行、相交或异面

[解析]

分别在平面α与β上取点A,B,以A为顶点AB为母线作圆锥,在此圆

锥底面圆周上取一点C,则AB与AC相交,AB=AC,平移AC到EF,则AC=EF, 且AC∥EF,AB与EF异面.

3.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平面 AB1M∥平面 BC1N,AC∩平面 BC1N=N,求证:N 为 AC 的中点.
[解析] 因为平面 AB1M∥平面 BC1N, 平面 ACC1A1∩平面 AB1M=AM, 平面 BC1N∩平面 ACC1A1=C1N, 所以 C1N∥AM,又 AC∥A1C1, 所以四边形 ANC1M 为平行四边形, 所以 AN 1 1 C1M= A1C1= AC, 2 2

所以 N 为 AC 的中点.


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