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高中数学排列组合部分错题精选


高考数学复习易做易错题选
排列组合易错题正误解析
排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化,稍不注意,极易出错.本文选 择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析,以飨读者.

1 没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分类 用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提. 例 1(1995 年上海高考题)从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.

误解: 因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机, 所以只有 2 种取法. 错因分析: 误解的原因在于没有意识到 “选取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机”是完成任务的两“类”办法,每类办法中都还有不同 的取法. 正解:由分析,完成第一类办法还可以分成两步:第一步在原装计算机中任意
2 3 选取 2 台,有 C6 种方法;第二步是在组装计算机任意选取 3 台,有 C 5 种方法,据 2 3 3 2 乘法原理共有 C6 ? C5 种方法.同理,完成第二类办法中有 C6 ? C5 种方法.据加法原 2 3 3 2 理完成全部的选取过程共有 C 6 ? C5 ? C6 ?C5 ? 350 种方法.

例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同 的夺冠情况共有( )种.
3 (A) A4

(B) 4 3

(C) 3 4

3 (D) C 4

误解:把四个冠军,排在甲、乙、丙三个位置上,选 A. 错因分析:误解是没有理解乘法原理的概念,盲目地套用公式. 正解:四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有 3 种选取 方法,由乘法原理共有 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 4 种. 说明:本题还有同学这样误解,甲乙丙夺冠均有四种情况,由乘法原理得 4 3 . 这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后,其他人就不再有 4 种夺冠可能.

2 判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时, 主要看元素的组成有没有顺序性, 有

顺序的是排列,无顺序的是组合. 例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排,共有多少 种不同的排列方法?
8 误解:因为是 8 个小球的全排列,所以共有 A8 种方法.

错因分析:误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的,5 个白色小球也是完 全相同的,同色球之间互换位置是同一种排法. 正解:8 个小球排好后对应着 8 个位置,题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球,剩下的位置给白球,由于这 3 个红球完全相同,所以没有顺序,
3 是组合问题.这样共有: C8 ? 56 排法.

3 重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、 平均分组问题等, 这些问题要注意避免 重复计数,产生错误。 例 4(2002 年北京文科高考题)5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至 少一本,不同的分法种数为( (A)480 种 (B)240 种 ) (C)120 种 (D)96 种

4 误解:先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人,有 A5 种方法,剩下的 1 本书可以给 4 任意一个人有 4 种分法,共有 4 ? A5 ? 480 种不同的分法,选 A.

错因分析:设 5 本书为 a 、 b 、 c 、 d 、 e ,四个人为甲、乙、丙、丁.按照上 述分法可能如下的表 1 和表 2: 甲

a e

乙 b
表1



c

丁 d



e a

乙 b
表2



c

丁 d

表 1 是甲首先分得 a 、乙分得 b 、丙分得 c 、丁分得 d ,最后一本书 e 给甲的情况; 表 2 是甲首先分得 e 、乙分得 b 、丙分得 c 、丁分得 d ,最后一本书 a 给甲的情况. 这两种情况是完全相同的,而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次. 正解:首先把 5 本书转化成 4 本书,然后分给 4 个人.第一步:从 5 本书中任 意取出 2 本捆绑成一本书, C 5 种方法; 有 2 第二步: 再把 4 本书分给 4 个学生, A4 有 4
2 4 种方法.由乘法原理,共有 C 5 ? A4 ? 240种方法,故选 B.

例 5 某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人

至少值 2 天,其不同的排法共有( (A)5040 (B)1260

)种. (D)630

(C)210

误解:第一个人先挑选 2 天,第二个人再挑选 2 天,剩下的 3 天给第三个人,
2 2 3 这三个人再进行全排列.共有: C 7 C5 A3 ? 1260,选 B.

错因分析:这里是均匀分组问题.比如:第一人挑选的是周一、周二,第二人 挑选的是周三、周四;也可能是第一个人挑选的是周三、周四,第二人挑选的是周 一、周二,所以在全排列的过程中就重复计算了. 正解:
2 2 3 C7 C5 A3 ? 630种. 2

4 遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面, 因为遗漏某些情况, 而出错。 例 6 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有( ) (A)36 个 (B)48 个 (C)66 个 (D)72 个 0 1, 3

误解:如右图,最后一位只能是 1 或 3 有两种取法, 又因为第 1 位不能是 0,在最后一位取定后只有 3 种取

2 2 法,剩下 3 个数排中间两个位置有 A3 种排法,共有 2 ? 3 ? A3 ? 36 个.

错因分析:误解只考虑了四位数的情况,而比 1000 大的奇数还可能是五位数.
3 正解:任一个五位的奇数都符合要求,共有 2 ? 3 ? A3 ? 36 个,再由前面分析四

位数个数和五位数个数之和共有 72 个,选 D.

5 忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号, 不 然就可能多解或者漏解. 例 7 (2003 全国高考题)如图,一个 地区分为 5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答) 3 1 4 2 5

误解:先着色第一区域,有 4 种方法,剩下 3 种颜色涂四个区域,即有一种
1 2 颜色涂相对的两块区域,有 C3 ? 2 ? A2 ? 12 种,由乘法原理共有: 4 ?12 ? 48种.

错因分析: 据报导, 在高考中有很多考生填了 48 种.这主要是没有看清题设 “有 4 种颜色可供选择” .. ,不一定需要 4 种颜色全部使用,用 3 种也可以完成任务.

正解:当使用四种颜色时,由前面的误解知有 48 种着色方法;当仅使用三种
3 颜色时:从 4 种颜色中选取 3 种有 C 4 种方法,先着色第一区域,有 3 种方法,剩

下 2 种颜色涂四个区域,只能是一种颜色涂第 2、4 区域,另一种颜色涂第 3、5
3 区域,有 2 种着色方法,由乘法原理有 C 4 ? 3 ? 2 ? 24 种.综上共有: 48? 24 ? 72 种.

例 8 已知 ax 2 ? b ? 0 是关于 x 的一元二次方程,其中 a 、b ? {1,2,3,4} ,求解集 不同的一元二次方程的个数.
2 误解:从集合 {1,2,3,4} 中任意取两个元素作为 a 、b ,方程有 A4 个,当 a 、b 取 2 同一个数时方程有 1 个,共有 A4 ? 1 ? 13 个.

错因分析:误解中没有注意到题设中: “求解集不同的??”所以在上述解法 .... 中要去掉同解情况,由于 ?
?a ? 1 ?a ? 2 ?a ? 2 ?a ? 4 和? 和? 同解、 ? 同解,故要减去 2 个。 b ? 2 ?b ? 4 ? ?b ? 1 ?b ? 2

正解:由分析,共有 13? 2 ? 11个解集不同的一元二次方程.

6 未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况,一有疏漏就会出错. 例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张,100 元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种数是( (A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 )

误解:因为共有人民币10张,每张人民币都有取和不取2种情况,减去全不取 的1种情况,共有 210 ? 1 ? 1023种. 错因分析:这里100元面值比较特殊有两张,在误解中被计算成 4 种情况, 实际上只有不取、取一张和取二张3种情况. 正解:除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况,100元人民币的取法有 3种情况,再减去全不取的1种情况,所以共有 2 9 ? 3 ? 1 ? 1535种.

7 题意的理解偏差出错
( 例 10 现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有 )种.

8 6 3 8 4 3 5 3 3 (A) A6 ? A5 (B) A8 ? A6 ? A3 (C) A5 ? A3 (D) A8 ? A6
5 误解:除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排,有 A5 种排法,5 人排好后产生 6

3 5 3 个空档,插入甲、乙、丙三人有 A6 种方法,这样共有 A6 ? A5 种排法,选 A.

错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义,得到的结 果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、 .... 乙、丙三人不能同时相邻,但允许其中有两人相邻. 正解:在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到
8 6 3 甲、乙、丙三人不相邻的方法数,即 A8 ? A6 ? A3 ,故选 B.

8 解题策略的选择不当出错
有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难, 要采取适当的解决策略, 如 间接法、插入法、捆绑法、概率法等,有助于问题的解决. 例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工 厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( (A)16 种 (B)18 种 (C)37 种 (D)48 种 ).

误解:甲工厂先派一个班去,有 3 种选派方法,剩下的 2 个班均有 4 种选择, 这样共有 3? 4? 4 ? 48种方案. 错因分析:显然这里有重复计算.如:a 班先派去了甲工厂,b 班选择时也去了 甲工厂,这与 b 班先派去了甲工厂, a 班选择时也去了甲工厂是同一种情况,而在 上述解法中当作了不一样的情况,并且这种重复很难排除. 正解:用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人 去的情况,即: 4? 4? 4 ? 3?3?3 ? 37 种方案. 排列组合问题虽然种类繁多,但只要能把握住最常见的原理和方法,即: “分 步用乘、分类用加、有序排列、无序组合” ,留心容易出错的地方就能够以不变应 万变,把排列组合学好.


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